北京高考压轴卷数学
一、选择题（本大题共 10 小题．每小题 45 分，共 40 分在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1.设复数 z 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知得 ，根据复数的除法法则，求出 的实部和虚部，即可求解.
【详解】 ， ，
.
故选:A.
【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数模长，属于基础题.
2.设集合 ， 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先解不等式得集合 ，再求出 的补集，最后根据交集的定义求结果.
【详解】由 ，得 或 ，即 或 ，
，
又
.
1 3iz z+ = | |z =
10
10
5
5 5 10
1
1 3z i
= − z
1 3iz z+ = 1 1 3 1 3
1 3 10 10 10
iz ii
+= = = +−
10| | 10z =
{ }1,0,1,2,3A = − 2{ | 2 0},B x x x= − > ( )RA B =
{ }1,3− { }0,1,2 { }1,2,3
{ }0,1,2,3
B B
2 2 0x x− > 0x < 2x > { | 0B x x= < 2}x >
={ | 0 2}R B x x∴ ≤ ≤
{ }1,0,1,2,3A = −
( )={0,1,2}RA B∴ 故选：B.
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合的交集、补集的运算，是基础题.
3.已知定义域为 奇函数 满足 ，且当 时， ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知函数是以 为周期的函数，从而可得 ，再根据函数为奇函数
可得 ，将 代入表达式即可求解.
【详解】由 满足 ，
所以函数的周期 ，
又因为函数 为奇函数，且当 时， ，
所以 .
故选：B
【点睛】本题考查了利用函数的周期性、奇偶性求函数值，属于基础题.
4.函数 图象的大致形状是（ ）
A. B. C. D.
的R ( )f x ( 2) ( )f x f x+ = 0 1x≤ ≤ 3( )f x x=
5
2f − =
27
8
− 1
8
− 1
8
27
8
2 5 1
2 2f f − = −
1 1
2 2f f − = −
1
2x =
( )f x ( 2) ( )f x f x+ =
2T =
( )f x 0 1x≤ ≤ 3( )f x x=
5 1 1 1
2 2 2 8f f f − = − = − = −
( ) 2 1 cos1 xf x xe
= − + 【答案】B
【解析】
【分析】
利用奇偶性可排除 A、C；再由 的正负可排除 D.
【详解】 ，
，故 为奇函数，排除选项 A、C；又 ，排除 D，选 B.
故选：B.
【点睛】本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单
调性、对称性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题.
5.已知坐标原点到直线 的距离为 ，且直线 与圆 相切，则满足条件
的直线 有（ ）条
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设出直线 ： ，再根据点到直线的距离为 和直线与圆相切列方程组成，解得
， 即可求解.
【详解】显然直线 有斜率，设 ： ，
则 ，即 ，①
又直线 与圆相切，
，②
联立①②， ， ，
所以直线 的方程为 .
故选：A
(1)f
( ) 2 1 e1 cos cos1 e 1 e
x
x xf x x x
− = − = + +
( ) 1 e cos( )1 e
x
xf x x
−
−
−− = − =+
e 1cose 1
x
x x
−
+
( )f x= − ( )f x 1 e(1) cos1 01 ef
−= B. 对任意 x，y∈(0，1)，E(ξ)≤
C. 对任意 x，y∈(0，1)，D(ξ)≤E(ξ) D. 存在 x，y∈(0，1)，D(ξ)>
【答案】C
【解析】
【分析】
表示出期望与方差，利用基本不等式证明不等关系。
【详解】解：依题意可得 ，
因为
所以 即 故 ， 错误；
( ) 0a a b⋅ + =
( )a a b⊥ + 2( ) 0 0⋅ + = ⇒ + ⋅ = a a b a a b
1a = 1a b⋅ = −
1a b⋅ = − 1a = 2 0+ ⋅ = a a b ( )a a b⊥ +
( )a a b⊥ + 1a b⋅ = −
1
2
1
4
1
4
( ) 2E xyξ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 22 2 1 2 1 2 1 2 1 2D x xy y y xy x y x y x y x y x x y yxξ = − + − = − + − = − + −
1x y+ =
( )2 12 2 2
x yxy
+≤ = ( ) 1
2E ξ ≤ A B即 ，故 成立；
故 错误
故选：
【点睛】本题考查简单随机变量的分布列中期望和方差的运算，属于难题。
二．填空题（本大题共 5 小题．每小题 5 分，共 25 分）
11.已知曲线 的一条切线的斜率是 3，则该切点的横坐标为____________.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值，令导数 ，解得 的值，
即为得出结果．
【详解】解：由于 ，则 ，
由导数的几何意义可知，曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值，
曲线 的一条切线斜率是 3，
令导数 ，可得 ，
所以切点的横坐标为 2.
故答案为：2．
【点睛】本题考查导数的几何意义和曲线上某点处的切线斜率的意义，属于基础题．
12.函数 的最小正周期等于_____.
【答案】
【解析】
【分析】
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 1 2 1 2 1 2D x x x y yx x x y yx x yxξ ∴ = − + − = − + = −
0 1x< k
( ) x xf x e e−= − R ( ) ( ) ( ),x xf x e e f x f x−− = − = −
( ) x xf x e e−= − ( ) 0x xf x e e−= + >′ ( )f x R
( ) 2 2f x x x= + ( ) 2 2x xg x e e x x−= − − −
0x = ( )0 0g = ( ) 2 2f x x x= + 0x =
( ) ( )3 4
3 4
1 13 13 0, 4 20 0g e g ee e
= − − = − − ( ) 2 2f x x x= + (3,4)
(0, )x∈ +∞ ( )f x kx> 0x xe e kx−− − >令 ，且 ，
若 恒成立，则必有 恒成立，
若 ，即 恒成立，
而 ，若有 ，所以是正确的，综上可得①②④正确.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 85 分．解答题应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
16.已知函数 （k 为常数， 且 ）．
（1）在下列条件中选择一个________使数列 是等比数列，说明理由；
①数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列；
②数列 是首项为 4，公差为 2 的等差数列；
③数列 是首项为 2，公差为 2 的等差数列的前 n 项和构成的数列．
（2）在（1）的条件下，当 时，设 ，求数列 的前 n 项和 .
【答案】（1）②，理由见解析；（2）
【解析】
分析】
（1）选②，由 和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论；
（2）运用等比数列的通项公式可得 ，进而得到 ，由数列的裂项相消求和可得
所求和.
【详解】（1）①③不能使 成等比数列.②可以：由题意 ，
即 ，得 ，且 ， .
常数 且 ， 为非零常数，
【
( ) x xh x e e kx−= − − ( )0 0h =
( ) 0h x > ( ) 0x xh x e e k−′ = + − >
0x xe e k−+ − > 1x x x
xk e e e e
−< + = +
1 2x
xe e
+ ≥ 2k <
( ) logkf x x= 0k > 1k ≠
{ }na
( ){ }nf a
( ){ }nf a
( ){ }nf a
2k =
1
2
2
4 1
+
= −
n
n na b n
{ }nb nT
2 1n
nT n
= +
( )f x
na 2
1
4 1nb n
= −
{ }na ( ) 4 ( 1) 2 2 2nf a n n= + − × = +
log 2 2k na n= + 2 2n
na k += 4
1 0a k= ≠
2( 1) 2
21
2 2
n
n
n
n
a k ka k
+ +
+
+∴ = =
0k > 1k ≠ 2k∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（2）由（1）知 ，所以当 时， .
因为 ，
所以 ，所以 ，
.
【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，
属于中档题.
17.在四棱锥 中， 平面 ，底面四边形 为直角梯形， ，
， ， ， 为 中点．
（1）求证： ；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值．
【答案】（1）详见解析；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）以 为原点，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，计
算得 ，即可证明结论；
∴ { }na 4k 2k
( ) 14 2 2 2n k
na k k k
− += ⋅ = 2k = 12n
na +=
1
2
2
4 1
+
= −
n
n na b n
2
1
4 1nb n
= −
1 1 1 1
(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1nb n n n n
= = − − + − +
1 2
1 1 1 1 1 1L 1 L2 3 3 5 2 1 2 1n nT b b b n n
= + + + = − + − + + − − +
1 112 2 1 2 1
n
n n
= − = + +
P ABCD− PA ⊥ ABCD ABCD / /AD BC
AD AB⊥ 2PA AD= = 1AB BC= = Q PD
PD BQ⊥
PC BQ
2
3
A AB AD AP x y z
0PD BQ⋅ = （2）先求出 ，再利用向量夹角公式即可得出.
【详解】（1）由题意在四棱锥 中， 平面 ，底面四边形 为直角
梯形， ，
以 为原点，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ．因为 为 中点，所以
，
所以 ， ，所以 ，所以
．
（2）由（1）得 ， ， ，
，
，所以 与 所成角的余弦值为 ．
【点睛】本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力
与计算能力，属于基础题．
18.已知函数
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，若 在 上有零点，求实数 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ） ，结合定义域讨论导数的正负求
单调区间即可；
（Ⅱ）当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .所以 在
上有零点的必要条件是 ，得 ，讨论 和 时函数单调性求解参数
PC
P ABCD− PA ⊥ ABCD ABCD
AD AB⊥
A AB AD AP x y z
( )0,0,0A ( )1,0,0B ( )1,1,0C ( )0,2,0D ( )0 0 2P , , Q PD
( )0,1,1Q
( )0,2, 2PD = − ( )1,1,1BQ = − ( ) ( )0,2, 2 1,1,1 0PD BQ⋅ = − ⋅ − =
PD BQ⊥
( )1,1, 2PC = − ( ) ( )1,1, 2 1,1,1 2PC BQ⋅ = − ⋅ − = − 6PC =
3BQ =
2, 3
PC BQ
COS PC BQ
PC BQ
⋅
= =
PC BQ 2
3
( ) ( )2 2ln Rf x a x x ax a= − + ∈
( )f x
0a > ( )f x ( )1,e a
( )5 1 e
1, 2
−
( ) ( )( )2 2 22 a x a xa ax xf x x x
− ++=′ − =
0a > ( )f x ( )0,a ( ),a +∞ ( )f x
( )1,e ( ) 0f a ≥ 1a ≥ 1a = 1a >范围即可.
试题解析：
解：（Ⅰ）函数 的定义域为 ，
.
由 得 或 .
当 时， 在 上恒成立，
所以 的单调递减区间是 ，没有单调递增区间.
当 时， 的变化情况如下表：
所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
当 时， 的变化情况如下表：
所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
（Ⅱ）当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
所以 在 上有零点的必要条件是 ，
即 ，所以 .
而 ，所以 .
( )f x ( )0,+∞
( ) ( )( )2 2 22 a x a xa ax xf x x x
− ++=′ − =
( ) 0f x′ = x a=
2
ax = −
0a = ( ) 0f x′ < ( )0,+∞
( )f x ( )0,+∞
0a > ( ) ( ), ,x f x f x′
( )f x ( )0,a ( ),a +∞
0a < ( ) ( ), ,x f x f x′
( )f x 0, 2
a − ,2
a − +∞
0a > ( )f x ( )0,a ( ),a +∞
( )f x ( )1,e ( ) 0f a ≥
2ln 0a a ≥ 1a ≥
( )1 1f a= − ( )1 0f ≥若 ， 在 上是减函数， ， 在 上没有零点.
若 ， ， 在 上是增函数，在 上是减函数，
所以 在 上有零点等价于 ，
即 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函
数的图象与参数的交点个数；
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
19.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随
机抽取了 100 人，统计结果整理如下：
20 以下 70 以上
使用人数 3 12 17 6 4 2 0
未使用人数 0 0 3 14 36 3 0
（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在 且未使用自由购的概率；
（Ⅱ）从被抽取的年龄在 使用自由购的顾客中，随机抽取 3 人进一步了解情况，用
表示这 3 人中年龄在 的人数，求随机变量 的分布列及数学期望；
（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送 1 个环保购物袋.若某日该
超市预计有 5000 人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
【答案】 ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200
1a = ( )f x ( )1,e ( )1 0f = ( )f x ( )1,e
1a > ( )1 0f > ( )f x ( )1,a ( ),a +∞
( )f x ( )1,e
( )e 0
1 e
f
a
<
<
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