安徽省定远县重点中学2020届高三数学（文）6月模拟试题（Word版附答案）

定远重点中学 2020 届高三下学期 6 月模拟考试 数学（文）试题 第 I 卷 选择题（共 60 分） 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。) 1.已知集合 ，则 A. B. C. D. 2.复数 z 满足 ，则 A. B. C. D. 3.己知命题 : “关于 的方程 有实根”,若非 为真命题的充分不必要 条件为 ,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 4.已知在等腰 中,若 ,且 ,则 的取值范围 是 A. B. C. D. 5.已知函数 ，对任意不等实数 ，不等式 恒 成立，则实数 的取值范围为 A. B. C. ( ) 11 i 1 iz − = + z = 2 2 i2 2 − 2 2 i2 2 + 1 i− 1 i+ p x 2 4 0x x a− + = p 3 1a m> + m ( )1,+∞ [ )1,+∞ ( ),1−∞ ( ],1−∞ AOB∆ 5OA OB= = 1 2OA OB AB+ ≥   OA OB⋅  [ )15,25− [ ]15,15− [ )0,25 [ ]0,15 D. 6.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 A. B. C. D. 7.已知程序框图如图，则输出 i 的值为 A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 8.将余弦函数 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不 变），再将所得到的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象.若关于 的方程 在 内有两个不同的解，则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 9.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成 ( ) cosf x x= 3 2 π ( )g x x ( ) ( )f x g x m+ = [ ]0,π m [ )1,2 [ ]1,2 [ ]2,2− [ )1,2−等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，现自上而下取第 1,3,9 节，则这 3 节的容积之和为 A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 10.函数 的部分图象大致是 11.某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加 2018 年全国高中数学联 赛，他们取得的成绩（满分 140 分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中 位数是 81，乙班学生成绩的平均数是 86，若正实数 满足 成等差数列且 成等比数列，则 的最小值为 A. B. C. D. 9 12.点 在圆 上运动，则 的取值范围是 A. B. ( ),M x y ( )22 2 1x y+ − = 2 24 xy x y+ ] [1 1, ,4 4  −∞ − ∪ +∞   ] [ { }1 1, , 04 4  −∞ − ∪ +∞ ∪  C. D. 第 II 卷 非选择题（共 90 分） 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 ，则 ________． 14.设 分别是双曲线 左右焦点， 是双曲线上一点， 内切 圆被双曲线渐近线所截得弦长不大于实半轴，且与 轴相切，则双曲线离心率取值 范围是_____. 15.如图，将边长为 2 的正 沿着高 折起，使 ，若折起后 、 、 、 四点都在球 的表面上，则球 的表面积为_____平方单位. 16.已知函数 的图象关于点 对 称，记 在区间 上的最大值为 ，且 在 （ ）上单调 递增，则实数 的最小值是__________． 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。) 17. （本题 12 分） 已知数列 的前 项和为 ，且 ． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，求 的最小值及取得最小值时 的值． 18. （本题 12 分） 1 1,0 0,4 4    − ∪      1 1,4 4  −   4cos 4 5 πα − =   sin 4 πα + =   ( ) ( ) ( )3sin 2 cos 2 ( 0)f x x xθ θ π θ= + − + − < < 06 π    ， ( )f x 6 2 π π    ， n ( )f x [ ]m nπ π， m n< m2017 年某市有 2 万多文科考生参加高考，除去成绩为 分（含 分）以上 的 3 人与成绩为 分（不含 分）以下的 3836 人，还有约 1.9 万文科考生的成绩 集中在 内，其成绩的频率分布如下表所示： 分数段 频率 0.108 0.133 0.161 0.183 分数段 频率 0.193 0.154 0.061 0.007 （Ⅰ）试估计该次高考成绩在 内文科考生的平均分（精确到 ）； （Ⅱ）一考生填报志愿后，得知另外有 4 名同分数考生也填报了该志愿.若该志 愿计划录取 3 人，并在同分数考生中随机录取，求该考生不被该志愿录取的概率. 19. （本题 12 分） 如图，在四棱锥 中， ， ， 平面 ，点 在棱 上. （Ⅰ）求证：平面 平面 ； （Ⅱ）若直线 平面 ，求此时三棱锥 的体积. 20. （本题 12 分） 如图， 、 是抛物线 上的两个点, 过点 、 引 抛物线的两条弦 . （1）求实数 的值； ( )1,2A 1 , 14B −   ( )2 0y ax a= > A B ,AE BF a（2）若直线 与 的斜率是互为相反数, 且 两点在直线 的两侧. ①直线 的斜率是否为定值？若是求出该定值，若不是, 说明理由； ②求四边形 面积的取值范围. 21. （本题 12 分） 已知函数 . （1）求 的单调区间； （2）当 时， ，求 的取值范围. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答。注意：只能做选定的题目，如果多做， 则按所做的第一题计分，解答时请写清题号。 22. （本题 10 分） 选修 4-4：极坐标系与参数方程 在极坐标系中曲线 的极坐标方程为 ，点 ．以极点 为原点，以极轴为 轴正半轴建立直角坐标系．斜率为 的直线 过点 ，且 与曲线 交于 两点． （Ⅰ）求出曲线 的直角坐标方程和直线 的参数方程； （Ⅱ）求点 到两点 的距离之积． 23. （本题 10 分） 选修 4-4 坐标系与参数方程 已 知 函 数 ， 曲 线 在 点 处 的 切 线 为 AE BF ,A B EF EF AEBF C 2sin cos 0ρ θ θ− = 1, 2M π     O x 1− l M C ,A B C l M ,A B，若 时， 有极值. （1）求 的值； （2）求 在 上的最大值和最小值.参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B A A D A D A B C C D 1.A 【解析】∵集合 ∴集合 ∵集合 ∴集合 ∴ 。故选 A. 2.B 【解析】 ， ， ，故选 B. 3.A 【解析】由命题 有实数根，则 则 所以非 时 是非 为真命题的充分不必要条件，所以 ，则 m 的取值范围为 。所以选 A 4.A 【解析】 ，所以 ，即 ， ， ， ，又 ， ( ) ( )( ) ( )2 1 11 1 , 1 1 1 1z i z i i ii i − = + ∴ − + = + + ( ) ( )2 1 1 2 1z i i i= − + = + 2 2 2 2z i∴ = + p 16 4 0a∆ = − ≥ 4a ≤ p 4a > 3 1a m> + p 3 1 4m + > 1m > ( )1,+∞ 1 1 2 2OA OB AB OB OA+ ≥ = −     2 21 4OA OB OB OA+ ≥ −    ( ) ( )2 21 4OA OB OB OA+ ≥ −    ( )2 2 2 212 24OA OA OB OB OB OA OB OA+ ⋅ + ≥ − ⋅ +        ( )2 2 2 215 2 5 5 2 54OA OB OA OB+ ⋅ + ≥ − ⋅ +    15OA OB⋅ ≥ −  5 5 25OA OB OA OB⋅ ≤ = × =   当且仅当 三点共线时取等号，因此上述等号取不到，所以所求范围是 ，故选 A． 5.D 【解析】对任意两个不等的实数 ，都有不等式 恒成立， 则当 时， 恒成立，即 在 上恒成立， 则 。故选 D． 6.A 【解析】由三视图可知几何体是如图的四棱锥，由正视图可得四棱锥底面四边形 中几何量的数据，再由侧视图得几何体的高，把数据代入棱锥的体积公式计算． 由三视图知：几何体是四棱锥 S-ABCD，如图： 四棱锥的底面四边形 ABCD 为直角梯形，直角梯形的底边长分别为 1、2，直角腰 长为 2； 四棱锥的高为 ， ∴几何体的体积 V ．故选 A． 7.D 【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变 量 的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 当 时，不满足退出循环的条件，故 ， 当 时，不满足退出循环的条件，故 ， 当 时，不满足退出循环的条件，故 ， 当 时，不满足退出循环的条件，故 ， 当 时，不满足退出循环的条件，故 ， , ,O A B [ )15,25−当 时，不满足退出循环的条件，故 ， 当 时，满足退出循环的条件， 故输出 。故选 8.A 【解析】由题意得， 若关于 的方程 在 内有两个不同的解， 根据图像知 ，选 A. 9.B 【解析】设自上而下各节的容积分别为 ，公差为 ， ∵上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升， ∴ ， 解得 ， ∴自上而下取第 1，3，9 节，则这 3 节的容积之和为： （升）．故选 B． 10.C 【解析】判断 f（x）的奇偶性，及 f（x）的函数值的符号即可得出答案． 函数的定义域为 ，∵ ∴f（x）是奇函数， 故 f（x）的图象关于原点对称， 当 x＞0 时， ， ∴当 0＜x＜1 时，f（x）＜0，当 x＞1 时，f（x）＞0， 故选：C． ( ) ( ) ( )3cos 3sin cos 3sin 2sin2 6g x x x f x g x x x x π π   = − = ∴ + = + = +       70 6 6 6x x π π ππ≤ ≤ ∴ ≤ + ≤ x ( ) ( )f x g x m+ = [ ]0,π 1 2m≤ − ,A B EF ( )6 0b b∴ − < 0 6b< < 2 1 2 1 2 2 1,4 16 b bx x x x ++ = = ( )2 1 2 171 4 1 44EF x x b∴ = + − − = + 1 2,d d 1 1,A B EF ( ) ( )1 22 2 6 , 1 4 1 4 b bd d −= = + − + − ( ) ( )1 2 1 1 3 3 156 1 4 1 4 ,2 8 4 4 4AEBFS d d EF b b b b  = + = + − + = + ∈   ∴ AEBF 3 15,4 4     所以， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 和 （2）由 及（1）知， ①当 时， ，不恒成立，因此不合题意； ②当 时， 需满足下列三个条件： ⑴极大值： ，得 ⑵极小值： ⑶当 时， 当 时， ， ，故 所以 ； ③当 时， 在 单调递增， 所以 ； ④当 时， 极大值： 极小值： 由②中⑶知 ，解得 所以 综上所述， 的取值范围是 22.（1） ， ；（2）2． 【解析】（1） ， ，由 得 ． 所以 ，即为曲线 C 的直角坐标方程；点 M 的直角坐标为 ， cosx ρ θ= siny ρ θ= 2sin cos 0ρ θ θ− = 2 2sin cosρ θ ρ θ= 2y x= ( )0 1，直线 l 的倾斜角为 故直线 l 的参数方程为 （t 为参数）即 （t 为参数） （2）把直线 l 的参数方程 （t 为参数）代入曲线 C 的方程得 ，即 ， ， 设 A、B 对应的参数分别为 ，则 又直线 l 经过点 M，故由 t 的几何意义得 点 M 到 A，B 两点的距离之积 23. 解析：（1）f′（x）=3x2+2ax+b， 则 f（﹣1）=a﹣b+c﹣1，f′（﹣1）=﹣2a+b+3， 故切线方程是：y=（3﹣2a+b）x+（﹣a+c+2）， 而切线方程是：y=﹣5x+5， 故 3﹣2a+b=﹣5，①， a﹣c﹣2=﹣5，②， 若 时，y=f（x）有极值， 则 f′（ ）= + +b=0，③， 由①②③联立方程组，解得： ； （2）由（1）f（x）=x3+2x2﹣4x+5， f′（x）=3x2+4x﹣4=（3x﹣2）（x+2）， 3 4 π 3 4{ 31 4 x tcos y tsin π π = = + 2 2{ 21 2 x t y t = − = + 2 2{ 21 2 x t y t = − = + 2 2 21 2 2t t  + = −    2 3 2 2 0t t+ + = ( )2 3 2 4 2 10 0∆ = − × = > 1 2t t、 1 2 1 2 3 2{ 2 t t t t + = − ⋅ = 1 2 1 2 2MA MB t t t t⋅ = = ⋅ =令 f′（x）＞0，解得：x＞ 或 x＜﹣2， 令 f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜ ， 故 f（x）在[﹣3，﹣2）递增，在（﹣2， ）递减，在（ ，2]递减， 由 f（﹣3）=8，f（﹣2）=13，f（ ）= ，f（2）=13， 故函数的最小值是 f（ ）= ， 最大值是 f（2）=f（﹣2）=13．