安徽省定远县重点中学2020届高三数学（理）6月模拟试题（Word版附答案）

定远重点中学 2020 届高三下学期 6 月模拟考试 数学（理）试题 第 I 卷 选择题（共 60 分） 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。) 1.设全集 ，集合 ， ，则 A. B. C. D. 3.阅读如图所示程序框图，运行相应的程序.当输入的 时，则输出 的范 围是 A. B. C. D. 4.已知 为 所在平面内一点， ， ， 则 的面积等于 A. B. C. D. 5.如图，正四面体 中， 、 、 在棱 、 、 上，且 ， ， 分别记二面角 ， ， 的平面角为 、 、 ，在 P ABC∆ 0AB PB PC+ + =   2AB PB PC= = =   ABC∆ 3 2 3 3 3 4 3A. B. C. D. 6.已知函数 ，将函数 的图象向右平移 个单位，得到数 的图象，则函数 图象的一个对称中心是 A. B. C. D. 7.设 为抛物线 的焦点，过 且倾斜角为 的直线交 于 两点， 为坐标原点，则 的面积为 A. B. C. D. 8.函数 的图象大致为 A. B. C. D. 9.设 是定义在 上的偶函数， ，都有 ，且当 时， ，若函数 （ ）在区 间 内恰有三个不同零点，则实数 的取值范围是 F 2: 3C y x= F 30° C ,A B O OAB 3 34 9 4 9 38 63 32 ( ) ( ) 2 24 4 logx xf x x−= − ( )f x R Rx∀ ∈ ( ) ( )2 2f x f x− = + [ ]0,2x∈ ( ) 2 2xf x = − ( ) ( ) ( )log 1ag x f x x= − + 0, 1a a> ≠ ( ]1,9− aA. B. C. D. 10.设函数 ，若存在区间 ，使 在 上的值域为 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 11.已知 是实数，若圆 与直线 相切， 则 的取值范围是 A. B. C. D. 12.下列说法正确的是 A. 若命题 ， ，则 ， B. 已知相关变量 满足回归方程 ，若变量 增加一个单位，则 平均增加 个单位 C. 命题“若圆 与两坐标轴都有公共点，则实数 ” 为真命题 D. 已知随机变量 ，若 ，则 ( )1 1, 3, 79 5  ∪   ( )1 ,1 1, 39  ∪   ( )10, 7,9  ∪ +∞   ( )1 1, 5,37 3  ∪   ,a b ( ) ( )2 21 1 1x y− + − = ( ) ( )1 1 2 0a x b y+ + + − = a b+ 2 2 2,2 2 2 − +  ] [( ),2 2 2 2 2 2,−∞ − ∪ + +∞ ] [( ), 2 2 2 2,−∞ − ∪ +∞ ] [( ), 2 2 2 2,−∞ − ∪ + +∞第 II 卷 非选择题（共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22 题-第 23 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若 满足约束条件 ，则 的最大值是__________． 14.多项式 展开式中所有项的系数之和为 64，则该展开式中的常数项 为__________． 15.《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱 三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之， 问各几何？”其意为：“仅有甲带了 560 钱，乙带了 350 钱，丙带了 180 钱，三 人一起出关，共需要交关税 100 钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出 __________钱（所得结果四舍五入，保留整数）． 16.已知函数 对任意的 ，都有 ，函数 是奇 函数，当 时， ，则方程 在区间 内的所有零 点之和为_____________． 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。) 17. （本题 12 分） 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 . （1）求角 C 的大小； （2）若 A= ，△ABC 的面积为 ，M 为 BC 的中点，求 AM. 18. （本题 12 分） 2012 年 12 月 18 日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的 74 个城市之一， 郑州市正式发布 数据.资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成 ,x y { 1 1 y x x y y ≥ + ≤ ≥ − 2z x y= − 12 1 n x x  − +   ( )f x x R∈ 1 1 2 2f x f x   + = −       ( )1f x + 1 1 2 2x− ≤ ≤ ( ) 2f x x= ( ) 1 2f x = − [ ]3,5−效，空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有 9 个监测站点监测空气质 量指数（ ），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有 2,5,2 个 监测站点，以 9 个站点测得的 的平均值为依据，播报我市的空气质量. （Ⅰ）若某日播报的 为 118，已知轻度污染区 的平均值为 74，中度污染区 的平均值为 114，求重度污染区 的平均值； （Ⅱ）如图是 2018 年 11 月的 30 天中 的分布，11 月份仅有一天 在 内. 组数 分组 天数 第一组 3 第二组 4 第三组 4 第四组 6 第五组 5 第六组 4 第七组 3 第八组 1 ①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的 为标准，如果 小于 180，则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率，求该校周日进 行社会实践活动的概率； ②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标， 从当月的空气质量监测数据中抽取 3 天的数据进行评价，设抽取到 不小于 180 的天数为 ，求 的分布列及数学期望. 19. （本题 12 分） 已知多面体 中，四边形 为平行四边形， ，且 ， ABCDEF ABCD EF CE⊥ 2AC =， ， . （1）求证：平面 平面 ； （2）若 ，直线 与平面 夹角的正弦值为 ，求 的值. 20. （本题 12 分） 已知椭圆 ： 的右焦点为 ，且点 在椭圆 上． ⑴求椭圆 的标准方程； ⑵已知动直线 过点 且与椭圆 交于 两点．试问 轴上是否存在定点 ,使得 恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 21. （本题 12 分） 已知函数 . （1）当 时，判断函数 的单调性； （2）当 有两个极值点时，若 的极大值小于整数 ，求 的最小值. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答。注意：只能做选定的题目，如果多做， 则按所做的第一题计分，解答时请写清题号。 22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（本题 10 分） 在直角坐标系中 中，曲线 的参数方程为 为参数， ）. 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为 . （1）设 是曲线 上的一个动点，当 时，求点 到直线 的距离的最大值； 1AE EC= = 2 BCEF = / /AD EF ACE ⊥ ADEF AE AD⊥ AE ACF 3 3 AD xOy C { (2 x acost ty sint = = 0a > x l cos 2 24 πρ θ + = −   P C 2 3a = P l（2）若曲线 上所有的点均在直线 的右下方，求 的取值范围. 23.[选修 4-5：不等式选讲]（本题 10 分） 已知定义在 上的函数 ，且 恒成立. （1）求实数 的值； （2）若 ，求证： . C l a R ( ) *2 ,f x x m x m N= − − ∈ ( ) 4f x < m ( ) ( ) ( ) ( )0,1 , 0,1 , 3f fα β α β∈ ∈ + = 4 1 18α β+ ≥参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B D B D C B B A C B C 1.C【解析】 由题意得 ， ∴ ， ∴ ．选 C． 2.B【解析】由 ， 得： ， 所以 ， ， 所以 ，故选：B． 3.D【解析】当 时， ， 则 ； 当 时， ； 综上所述，输出 的范围为 ． 4.B【解析】根据条件得知点 P 在三角形中位线的延长线上，三角形 ABC 是以 B 为直角的直角三角形，记 AC 中点为 O 点，OBPC 按这一顺序构成平行四边形的 四 个 边 ， 并 且 是 菱 形 ， 边 长 为 2 ， 故 BC 为 2 ， 此 时 三 角 形 面 积 为 故答案为：B。 5.D【解析】 是正四面体， 、 、 在棱 、 、 上，且 ， ，可得 为钝角， 为锐角，设 到 的距离为 ， 到 的距离为 ， 到 的 距 离 为 ， 到 的 距 离 为 ， 设 正 四 面 体 的 高 为 , 可 得 ，由余弦定理可得 ，由三角形面积相等可得到 ， 所以可以推出 所以 ，故选 D. 6.C【解析】 ， 将函数 的图象向右平移 个单位，得到数 的图象， 3 1 2 2 3 2 3.2S = × × =即 ， 由 ，得 ， ， 当 时， ， 即函数 的一个对称中心为 ，故选：C． 7.B【解析】由 ，得 则 ∴过 的直线方程为 即 联立 ，得 设 则 故选 B 8.B【解析】∵ ∴ 为奇函数，排除 A，C ， ，且 排除 D，故选：B 9.A 【 解 析 】 由 可 得 函 数 的 图 象 关 于 对 称 ， 即 又函数 是偶函数，则 ， ∴ ，即函数的周期是 4． 当 时， ，此时 ， 2 3y x= 32 3 2p p= =， ， 3 04F（ ，）． A B， 3 3 3 4y x= −（ ）， 33 4x y= + ． 2 3 { 33 4 y x x y + ＝ ＝ 24 12 3 9 0y y− − = ． 1 1 2 2A x y B x y（ ， ），（ ， ）， 1 2 1 2 93 3 4y y y y+ = = −， ． 1 2 1 3 2 4OAB OAF OFBS S S y y∴ = + = × −    ( ) ( )22 1 2 1 2 3 3 94 3 3 98 8 4y y y y= + − = × + = ． ( ) ( ) ( ) ( )2 24 4 log x x xf x f x−− = − − = − ( )f x 2 1 1 12 log 32 2 4f    = − = −       1 2 24f   = −   1 1 4 2f f   >       ( ) ( )2 2f x f x− = + ( )f x 2x = ( ) ( )4f x f x+ = − ( )f x ( ) ( )f x f x− = ( ) ( )4f x f x+ = [ ]2,0x∈ − [ ]0,2x− ∈ ( ) ( ) 22 xf x f x − −= − =由 得 ，令 ． ∵函数 （ ）在区间 内恰有三个不同零点， ∴函数 和 的图象在区间 内有三个不 同的公共点． 作出函数 的图象如图所示． ①当 时，函数 为增函数， 结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则需满足 在点 A 处的函数 值小于 2，在点 B 处的函数值大于 2， 即 ，解得 ； ②当 时，函数 为减函数， 结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则需满足 在点 C 处的函数 值小于 ，在点 B 处的函数值大于 ， 即 ，解得 ． 综上可得实数 的取值范围是 ．选 A． 10.C【解析】详解：由题意 ，设 ，则 ( ) ( ) ( )1 0ag x f x log x= − + = ( ) ( )1 ( 0 1)af x log x a a= + > ≠且 ( ) ( )1 ( 0 1)ah x log x a a= + > ≠且 ( ) ( ) ( )log 1ag x f x x= − + 0, 1a a> ≠ ( ]1,9− ( )y f x= ( ) ( )1 ( 0 1)ah x log x a a= + > ≠且 ( ]1,9− ( )f x 1a > ( ) ( )1ah x log x= + ( )h x ( ) ( ) 1 { 2 3 2 6 7 2 a a a h log h log > = < = > 3 7a< < 0 1a< < ( ) ( )1ah x log x= + ( )h x 1− 1− ( ) ( ) 0 1 { 4 5 1 8 9 1 a a a h log h log < < = > − = < − 1 1 9 5a< < a ( )1 1, 3, 79 5  ∪  当 时， ，所以函数 在 单调递增， 所以 ，所以 在 单调递增， 因为 ，所以 在 单调递增， 因为 在 上的值域为 ，所以 ， 所以方程 在 上有两解 ， 作出 与直线 的函数的图象，则两图象有两个交点， 若直线 过点 ，则 ， 若直线 与 的图象相切，设切点为 则 ，解得 ， 综上所述，所以实数 的取值范围是 ，故选 C. 11.B【解析】11.由题设圆心 到直线 的距离 ，即 ，也即 ，因为 ，所以 ，即 ，解之得 或 ，应选答案 B。 12.C【解析】若命题 ， ，则 ， ; 已知相关变量 满足回归方程 ，若变量 增加一个单位，则 平均减少 个 ( )1,1C ( ) ( )1 1 2 0a x b y+ + + − = ( ) ( )2 2 1 1 2 1 1 1 a bd a b + + + −= = + + + ( ) ( )2 2 1 1 1 a b a b + = + + + ( ) ( )2 2 2 2 2a b a b a b+ = + + + + ( )22 2 1 2a b a b+ ≥ + ( ) ( ) ( )2 212 2 2a b a b a b+ − + − ≥ + ( ) ( )2 4 4 0a b a b+ − + − ≥ 2 2 2a b+ ≥ + 2 2 2a b+ ≤ −单位; 命题“若圆 与两坐标轴都有公共点，则 为真命题; 已知随机变量 ，若 ，则 ;所以选 C. 13. 【解析】, 画出约束条件 表示的可行域，如图，平移直线 ，当直线经过点 时，直线在 轴上的截距最小， 有最大值，由 可得 ， 有最大值为 ，故答案为 . 14.141 【解析】由 展开式中所有项的系数之和为 可得： ，则 展开式中的常数项可分为 种情况 个括号都取 ⑵ 个括号取 ， 个括号取 ， 个括号都取 ， ⑶ 个括号取 ， 个括号取 ， 个括号取 ， ⑷ 个括号取 ， 个括号取 ， 1 2 { 1 1 y x x y y ≥ + ≤ ≥ − 2y x z= − C y 2z x y= − { 1 y x x y = + = 1 1 2 2C     ， 2z x y= − 1 1 12 2 2 2 × − = 1 2 12 1 n x x  − +   64 2 64n = 6n = 612 1x x  − +   4 1\* GB2 6= ⑴ 1 1 2x 1 1 x − 4 1 2 2x 1 1 x − 2 1 3 2x 3 1 x −展开式中的常数项为 15.17 【解析】依照钱的多少按比例出钱，所以丙应该出钱 ，故 填 . 16.4 【解析】∵函数 是奇函数 ∴函数 的图象关于点 对称 ∴把函数 的图象向右平移 1 个单位可得函数 的图象，即函数 的 图象关于点 对称，则 . 又∵ ∴ ，从而 ∴ ，即 ∴函数 的周期为 2，且图象关于直线 对称. 画出函数 的图象如图所示： ∴ 结 合 图 象 可 得 区 间 内 有 8 个 零 点 ， 且 所 有 零 点 之 和 为 . 故答案为 4. 17.(1) (2) . 【解析】(1)∵ ∴ ( ) ( ) ( )2 31 1 2 2 2 3 3 3 6 5 6 4 6 31 2 1 2 1 2 1 141C C C C C C+ − + − + − = ( )1f x + ( )1f x + ( )0,0 ( )1f x + ( )f x ( )f x ( )1,0 ( ) ( )2f x f x− = − 1 1 2 2f x f x   + = −       ( ) ( )1f x f x− = ( ) ( )2 1f x f x− = − − ( ) ( )1f x f x+ = − ( ) ( ) ( )2 1f x f x f x+ = − + = ( )f x 1 2x = ( )f x ( ) 1 2f x = − [ ]3,5− 1 2 4 42 × × = ∴ ∴ 由正弦定理得： 即 ∴ ∵C 为三角形的内角，∴ (2)由（1）知 ，∴ ∴△ABC 为等腰三角形，即 CA=CB 又∵M 为 CB 中点 ∴CM=BM 设 CA=CB=2x 则 CM=BM=x ∴ 解得：x=2 ∴CA=4,CM=2 由余弦定理得：AM= . 18. （Ⅰ）设重度污染区 的平均值为 ，则 ，解得 . 即重度污染区 平均值为 172. （Ⅱ）①由题意知， 在 内的天数为 1， 由图可知， 在 内的天数为 17 天，故 11 月份 小于 180 的天数为 ， 又 ，则该学校去进行社会实践活动的概率为 . ②由题意知， 的所有可能取值为 0，1，2，3，且 ， ， ， ， 则 的分布列为 0 1 2 3数学期望 . 19.解析：（1）∵ ， ，∴ ， ∴ ； 又 ， ，∴ 平面 ； 因为 平面 ，所以平面 平面 . （2）因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 所以 平面 ， 平面 ，故 ； 以 为原点， 所在直线分别为 轴，过点 且垂直于平面 的直线 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设 ，则 ， ， ， ， 设平面 的一个法向量 ， 因为 ， ， ∴ ，取 ， ，则 ， ， 设直线 与平面 的夹角为 ， 2AC = 1AE EC= = 2 2 2AC AE CE= + AE EC⊥ EF CE⊥ AE EF E∩ = CE ⊥ ADEF CE ⊂ ACE ACE ⊥ ADEF ACE ⊥ ADEF ACE ∩ ADEF AE= AE AD⊥ AD ⊥ AEC AC ⊂ AEC AC AD⊥ A ,AC AD ,x y A ABCD z 2AD a= ( )0,0,0A ( )2,0,0C 2 2, ,2 2F a  −    2 2,0,2 2E       ACF ( ), ,m x y z= ( )2,0,0AC = 2 2, ,2 2AF a  = −     2 0 { 2 2 02 2 x x ay z = − + = 2z = 1y a = 10, , 2m a  =     2 2,0,2 2AE  =      AE ACF θ故 ，解得 （ 舍去），故 . 20.（1） （2） 轴上存在点 解析：（1）由题意知， 根据椭圆的定义得： 即 ， 椭圆 的标准方程为 （2）假设在 轴上存在点 ，使得 恒成立． ① 当直线 的斜率为 时， ， ． 则 解得 ． ② 当直线 的斜率不存在时， ， ． 则 解得 或 ③ 由①②可知当直线 的斜率为 或不存在时， 使得 成立． 下面证明 即 时 恒成立． 设直线 的斜率存在且不为 时，直线 方程为 ， , 由 ，可得 ， ∴ 2 • 1 3sin 31 2 AE m AE m a θ = = = +     1a = 1a = − 2AD =综上所述：在 轴上存在点 ，使得 恒成立． 21.（1） 为 上的减函数（2）3 详解：（1）由题 . 方法 1：由于 ， 又 ，所以 ，从而 ， 于是 为 上的减函数. 方法 2：令 ，则 ， 当 时， ， 为增函数；当 时， ， 为减函数. 故 在 时取得极大值，也即为最大值. 则 .由于 ，所以 ， 于是 为 上的减函数. （2）令 ，则 ， 当 时， ， 为增函数；当 时， ， 为减函数. 当 趋近于 时， 趋近于 . 由于 有两个极值点，所以 有两个不等实根， 即 有两不等实根 （ ）. 则 解得 . 可知 ，由于 ， ，则 . 而 ，即 （#） 所以 ，于是 ，（*） 令 ，则（*）可变为 ， 可得 ，而 ，则有 ，下面再说明对于任意 ， . 又由（#）得 ，把它代入（*）得 ， 所以当 ， 恒成立， 故 为 的减函数，所以 . 所以满足题意的整数 的最小值为 3. 22.（1） （2） 解：(1)由 ，得 ，化成直角坐标方程，得 ，即直线 的方程为 ，依题意，设 ，则 到直线 的距离 ，当 ， 即 时， ，故点 到直线 的距离的最大值为 . (2)因为曲线 上的所有点均在直线 的右下方， ， 恒成立，即 （其中 ）恒成立， ，又 ，解得 ，故 取值范围为 . 23. 解：（1） ,要使 恒成立，则 ， 解得 .又 ， . （ 2 ） ， 即 ，当 且仅当 ，即 时取等号，故 . 4 2 ( )0,2 3 cos 2 24 πρ θ + = −   ( )2 cos sin 2 22 ρ θ ρ θ− = − ( )2 2 22 x y− = − l 4 0x y− + = ( )2 3cos ,2sinP t t P l 4cos 42 3cos 2sin 4 6 2 2 2 2cos 62 2 tt t d t π π  + + − +   = = = + +   26t k π π+ = 2 ,6t k k Z ππ= − ∈ max 4 2d = = P l 4 2 C l t∴∀ ∈ R cos 2sin 4 0a t t− + > ( )2 4cos 4a t ϕ+ + − 2tan a ϕ = 2 4 4a∴ + < 0a > 0 2 3a< < a ( )0,2 3 2 2 2x m x x m x m− − ≤ − − = 2 4x m x− − < 2m < 2 2m− < < m∈ *N 1m∴ = ( ) ( ) ( ) ( )0,1 , 0,1 , 2 2 2 2 3f fα β α β α β∈ ∈ ∴ + = − + − = ( )1 4 1 4 1 4 4, 2 2 5 2 5 2 182 β α β αα β α βα β α β α β α β     + = ∴ + = + + = + + ≥ + ⋅ =            4β α α β= 1 1,3 6 α β= = 4 1 18α β+ ≥