2020 年北京高考数学猜题卷（二）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1.已知命题 ： ， ，那么命题 的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】 原命题是全称命题，
命题 的否定是“ ， ”.
故选：A.
2.设集合 ， ，则 =（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意 ，
，
则 .
故选：C.
3.下列函数中既是奇函数，又在区间 上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于 A， ，不是奇函数，故 A 错误；
对于 B， ，所以 为偶函数不是奇函数，故 B 错误；
p x∀ ∈R e 1x > p
0x∃ ∈R 0e 1x ≤ x∀ ∈R e 1x <
0x∃ ∈R 0e 1x > x∀ ∈R e 1x ≤
∴ p 0x∃ ∈R 0e 1x ≤
{ }2| 3 4 0A x Z x x= ∈ − − ≤ 2{ |e 1}xB x −= < A B
{ 1,0,1,2}− [ 1,2)−
{ 1,0,1}− [ 1,2]−
{ } { } { }2| 3 4 0 | 1 4 1,0,1,2,3,4A x Z x x x Z x= ∈ − − ≤ = ∈ − ≤ ≤ = −
{ } { } { }2|e 1 | 2 0 | 2xB x x x x x−= < = − < = <
{ } { } { }1,0,1,2,3,4 | 2 1,0,1A B x x= − < = −
(0,1)
3( ) 2xf x= − + 1
2
( ) log | |f x x=
3( ) 3f x x x= − ( ) sinf x x=
( )3( ) 2f x x f x− = + ≠ −
( )1
2
( ) log | |f x x f x− = − = ( )f x对于 C， ，所以 为奇函数；由 ，当
时， ，故 在 上单调递减，故 C 正确；
对于 D，由正弦函数的单调性可知，函数 在 上单调递增，故 D 错误.
故选：C.
4.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【 解 析 】 由 对 数 函 数 的 单 调 性 可 知 ，
，
由正切函数的性质得 ，
故 .
故选：A.
5.为了宣传今年 月即将举办的“第十八届中国西部博览会”（简称“西博会”），组委会举办了
“西博会”知识有奖问答活动. 在活动中，组委会对会议举办地参与活动的 岁市民进
行随机抽样，各年龄段人数情况如下：
组号 分组 各组人数 各组人数频率分布直方图
第 组
第 组
第 组
第 组
第 组
根据以上图表中的数据可知图表中 和 的值分别为（ ）
( )3( ) 3f x x x f x− = − + = − ( )f x ( )2( ) 3 1f x x′ − = −
( )0,1x∈ ( ) 0f x′ − < ( )f x ( )0,1
( ) sinf x x= ( )0,1
3log 2a = 0.2log 0.3b = 11tan 3c
π= a b c
c b a< < b a c< <
c a b< < b c a< <
3 3log 2 log 3 1a = > =
0.2 0.20 log 0.3 log 0.2 1b< = < =
11 2tan tan 3 03 3c
π π= = = − <
0 1c b a< < < <
9
15 65
1 [15,25) 10
2 [25,35) a
3 [35,45) b
4 [45,55) c
5 [55,65] d
a xA. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】由题意可得总人数为 人，则 ，
由各组频率和为 1 可得 ，解得 .
故选：C.
6.已知向量 ，若 ，则 在 上的投影是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意 在 上的投影为 .
故选：D.
7.某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥中最长的棱的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将几何体还原在长方体中，如图，则该几何体即为 ，
可得最长棱为长方体的一条体对角线 .
故选：B.
20 0.15 15 0.015
20 0.015 15 0.15
10 1000.01 10
=× 100 0.02 10 20a = × × =
( )0.01 0.02 0.03 0.025 10 1x+ + + + × = 0.015x =
(2,2 3)a = 16
3a b⋅ = − b a
3
4
3
4
− 4
3
4
3
−
b a
( )22
16
43
32 2 3
a b
a
−⋅ = = −
+
5 3 6 2 3
A BCD−
2 22 2 1 3AC = + + =8.已知 ，则“ ”是“ 是直角三角形”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】若 ，则 或 ，不能推出 是直角三角形；
若 ，则 ，所以 是直角三角形不能推出 ;
所以“ ”是“ 是直角三角形”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
9.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了 多年.如图是
由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记 为图中虚线上的数 构成的数列
的第 项，则 的值为（ ）
A. 5049 B. 5050 C. 5051 D. 5101
【答案】B
【解析】由题意得 ， ， ，
观察规律可得 ，
所以 .
故选：B.
ABC sin cosA B= ABC
sin cosA B=
2A B
π+ =
2A B
π= + ABC
2A
π= sin cosA B≠ ABC sin cosA B=
sin cosA B= ABC
300
na 1,3,6,10,⋅⋅⋅ { }na
n 100a
1 1a = 2 3 1 2a = = + 3 6 1 2 3a = = + + 4 10 1 2 3 4a = = + + + ⋅⋅⋅
( )11 2 3 2n
n na n
+= + + +⋅⋅⋅+ =
100
100 101 50502a
×= =10.关于函数 ，有以下三个结论：
①函数恒有两个零点，且两个零点之积为 ；
②函数的极值点不可能是 ；
③函数必有最小值.
其中正确结论的个数有（ ）
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
【答案】D
【解析】由题意函数 的零点即为函数 的零点，
令 ，则 ，所以方程必有两个不等实根 ， ，设 ，
由韦达定理可得 ，故①正确；
，
当 时， ，故 不可能是函数 的极值
点，故②正确；
令 即 ， ，
设 的两个实数根为 ， 且 ，
则当 ， 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，所以 为函数极小值；
由①知，当 时，函数 ，所以当 时， ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 为函数的最小值，故③正确.
故选：D.
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.在 的二项展开式中， 的系数为________.（用数字作答）
【答案】80
2( ) ( 1)exf x x ax= + −
1−
1−
( )2( ) 1 exf x x ax= + − 2 1y x ax= + −
2 1 0x ax+ − = 2 4 0a= + > 1x 2x 1 2x x<
1 2 1x x = −
( ) ( ) ( )2 2( ) 2 e 1 e 2 1 ex x xf x x a x ax x a x a′ = + + + − = + + + −
1x = − ( ) 1 1( ) 1 2 1 e 2 0f x a a e− −′ = − − + − = − ≠ 1− ( )f x
( ) 0f x′ = ( )2 2 1 0x a x a+ + + − = ( ) ( )2 22 4 1 8 0a a a= + − − = + >
( )2 2 1 0x a x a+ + + − = 3x 4x 3 4x x<
( )3,x x∈ −∞ ( )4 ,x x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
( )3 4,x x x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x 4( )f x
( )1,x x∈ −∞ ( ) 0f x > ( )3,x x∈ −∞ ( ) 0f x >
(0) 0xf e= − < ( )30 ,x∈ +∞ ( )4( ) 0 0f x f≤ <
4( )f x
52x x
−
3x−【解析】由题意 的通项公式为 ，
令 即 ，则 .
故答案为：80.
12.已知复数 在复平面内对应的点位于第一象限，且满足 ， ，则 的实部
为_________，虚部为________.
【答案】 (1). 3 (2). 4
【解析】设 ，则 ，
由 可得 即 ，
则 ，由 可得 ，解得 ，
所以 ，故 的实部为 3，虚部为 4.
故答案为：3，4.
13.设无穷等比数列 的各项为整数，公比为 ，且 ， ，写出数列
的一个通项公式________.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】由题意可得数列首项 、公比 均为整数，
由 可得 ，
若 ，则 无解，不合题意；
若 ，则 ，解得 .
所以数列 首项 .
所以数列 的通项公式可以为 .
故答案为： （答案不唯一）.
14.在平面直角坐标系中，已知点 ， ， 为直线 上的动点， 关于直线
的对称点记为 ，则线段 的长度的最大值是________.
52x x
−
( )5 5 2
1 5 5
2 2
r
rr r r r
rT C x C xx
− −
+
= − = −
5 2 3r− = − 4r = ( )44
5 2 80C − =
z | | 5z = 6z z+ = z
( )0, 0z a bi a b= + > > z a bi= −
6z z+ = 2 6a = 3a =
3z bi= + | | 5z = 2 23 5z b= + = 4b =
3 4z i= + z
{ }na q | | 1q ≠ 1 3 22a a a+ < { }na
1 *2 ( )n
na n N−= − ∈
1a q
1 3 22a a a+ < 2
1 1 12a a q a q+ <
1 0a > 2 2 1 0q q− + <
1 0a < 2 2 1 0q q− + > 1q ≠
{ }na 1 0a <
{ }na 1 *2 ( )n
na n N−= − ∈
1 *2 ( )n
na n N−= − ∈
(0,1)A (1,1)B P AB A
OP Q BQ【答案】
【解析】 关于直线 的对称点记为 ， 为直线 上的动点，
， 点轨迹为以 为圆心， 为半径的圆（不包括点 ），如图，
又 ， .
故答案为： .
15.关于曲线 ，给出下列三个结论：
① 曲线 关于原点对称，但不关于 轴、 轴对称；
② 曲线 恰好经过 4 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
③ 曲线 上任意一点到原点的距离都不大于 .
其中，正确结论的序号是________.
【答案】①③
【解析】设 为曲线上任意一点，则 ，
设点 关于原点、 轴、 轴的对称点分别为 、 、 ，
因为 ；
； ；
所以点 在曲线 上，点 、点 不在曲线 上，
所以曲线 关于原点对称，但不关于 轴、 轴对称，故①正确；
当 时， ；当 ， .
2 1+
A OP Q P AB
∴ OQ OA= ∴ Q O OA F
1 1 2OB = + = ∴
max 2 2 1BQ OA= + = +
2 1+
2 2: 4C x xy y− + =
C x y
C
C 2 2
( ),P a b 2 2 4a ab b− + =
P x y ( ),Q a b− − ( ),M a b− ( ),N a b−
( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 4a a b b a ab b− − − − + − = − + =
( ) ( )22 2 2 4a a b b a ab b− − + − = + + ≠ ( ) ( )2 2 2 2 4a a b b a ab b− − − + = + + ≠
Q C M N C
C x y
0x = 2y = ± 0y = 2x = ±此外，当 时， ；当 时， .
故曲线过整点 ， ， ， ， ， ，故②错误；
又 ，所以 恒成立，
由 可得 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，所以曲线上任一点到原点的距离 ，故③正确.
故答案为：①③.
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16.已知：①函数 ；
②向量 ， ，且 ， ；
③函数 的图象经过点
请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知_________________，且函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 .
（1）若 ，且 ，求 的值；
（2）求函数 在 上的单调递减区间.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案不唯一
【解析】方案一：选条件①
因为
，
又 ，所以 ，所以 .
2x = 2y = 2x = − 2y = −
( )0,2 ( )0, 2− ( )2,2 ( )2, 2− − ( )2,0 ( )2,0−
( )22 2 2 0x y xy x y+ − = − ≥
2 2
2
x yxy ≤ +
2 2 4x xy y− + =
2 2
2 2 4 4 2
x yx y xy
++ = + ≤ + x y=
2 2 8x y+ ≤ 2 2 2 2x y ≤+
1( ) cos sin( ) ( 0)6 4f x x x
πω ω ω= + − >
( 3sin ,cos2 )m x xω ω= 1 1( cos , )2 4n xω= 0>ω ( )f x m n= ⋅
1( ) sin(2 )( 0, )2 2f x x
πω ϕ ω ϕ= + > < 1( , )6 2
π
( )f x
2
π
0 2
πθ< < 1sin 2
θ = ( )f θ
( )f x [0,2 ]π
1( ) cos sin( )6 4f x x x
πω ω= + − 1cos (sin cos cos sin )6 6 4x x x
π πω ω ω= + −
23 1 1sin cos cos2 2 4x x xω ω ω= + − 3 1sin 2 cos24 4x xω ω= +
1 3 1( sin 2 cos2 )2 2 2x xω ω= + 1 sin(2 )2 6x
πω= +
2
2T
π πω= = 1ω = 1( ) sin(2 )2 6f x x
π= +方案二：选条件②
因为 ， ，
所以 .
又 ，所以 ，所以 .
方案三：选条件③
由题意可知， ，所以 ，所以 .
又因为函数 图象经过点 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
（1）因为 ， ，所以 .
所以
（2）由 ，
得 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以函数 在 上的单调递减区间为 ， .
17.体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度 （单位： ）平均在
之间即为正常体温，超过 即为发热.发热状态下，不同体温可分成以
下三种发热类型：低热： ；高热： ；超高热（有生命危险）：
.
某位患者因患肺炎发热，于 12 日至 26 日住院治疗. 医生根据病情变化，从 14 日开始，以 3
天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热. 住院期间，患者每天上午
8:00 服药，护士每天下午 16:00 为患者测量腋下体温记录如下：
( 3sin ,cos2 )m x xω ω= 1 1( cos , )2 4n xω=
3 1 1( ) sin cos cos2 sin(2 )2 4 2 6f x m n x x x x
πω ω ω ω= ⋅ = + = +
2
2T
π πω= = 1ω = 1( ) sin(2 )2 6f x x
π= +
2
2T
π πω= = 1ω = 1( ) sin(2 )2f x x ϕ= +
( )f x 1( , )6 2
π 1 1 sin(2 )2 2 6
π ϕ= × +
| | 2
ϕ π< π
6
ϕ = 1( ) sin(2 )2 6f x x
π= +
0 2
πθ< < 1sin 2
θ =
6
πθ =
1 1( ) ( ) sin6 2 2 2f f
π πθ = = =
32 2 2 ,2 6 2k x k k Z
π π ππ π+ ≤ + ≤ + ∈
2 ,6 3k x k k Z
π ππ π+ ≤ ≤ + ∈
0k = 2
6 3x
π π≤ ≤ 1k = 7 5
6 3x
π π≤ ≤
( )f x [0,2 ]π 2[ , ]6 3
π π 7 5[ , ]6 3
π π
T C°
36 37C C° ∼ ° 37.1 C°
37.1 38T≤ ≤ 38 40T< ≤
40T >（1）请你计算住院期间该患者体温不低于 的各天体温平均值；
（2）在 日— 日期间，医生会随机选取 天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊
项目“ 项目”的检查，记 为高热体温下做“ 项目”检查的天数，试求 的分布列与数学
期望；
（3）抗生素治疗一般在服药后 2-8 个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到
消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗
效果最佳，并说明理由.
【答案】（1） ；（2）分布列见解析， ；（3）答案不唯一，给出合理理
由即可.
【解析】（1）由表可知，该患者共 6 天的体温不低于 ，记平均体温为 ，
.
所以，患者体温不低于 的各天体温平均值为 .
（2） 的所有可能取值为 ， ， .
， ， .
则 的分布列为：
P
所以 .
（3）“抗生素 C”治疗效果最佳可使用理由：
39 C°
19 23 3
α X α X
39.55 C
6( ) 5E X =
39 C x
1 (39.4 39.7 40.1 39.9 39.2+39.0) 39.55 C6x = + + + + =
39 C° 39.55 C
X 0 1 2
3 0
3 2
3
5
1( 0) 10
C CP X C
= = =
2 1
3 2
3
5
6 3( 1) 10 5
C CP X C
= = = =
1 2
3 2
3
5
3( 2) 10
C CP X C
= = =
X
X 0 1 2
1
10
3
5
3
10
1 3 3 6( ) 0 1 210 5 10 5E X = × + × + × =①“抗生素 B”使用期间先连续两天降温 1.0 又回升 0.1 ，“抗生素 C”使用期间持续降温
共计 1.2 ，说明“抗生素 C”降温效果最好，故“抗生素 C”治疗效果最佳.
②抗生素 B”治疗期间平均体温 39.03 ，方差约为 ；“抗生素 C”平均体温 38 ，
方差约为 ，“抗生素 C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果
明显，故“抗生素 C”治疗效果最佳.
“抗生素 B”治疗效果最佳可使用理由：
自使用“抗生素 B”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素 B”治疗当天共降温 0.7
，是单日降温效果最好的一天，故“抗生素 B”治疗效果最佳.
18.在四棱锥 中，平面 平面 .底面 为梯形， ，
，且 ， ， .
（1）求证： ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）若 是棱 的中点，求证：对于棱 上任意一点 ， 与 都不平行.
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）见解析
【解析】
（1）证明：因为平面 平面 ， 平面 平面 ，
平面 ， ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 .
（2）因为 ， ，所以 .
由（1）得 平面 ，所以 ，
C C
C
C 0.0156 C
0.1067
C
P ABCD− PAD ⊥ ABCD ABCD / /AB CD
AB AD⊥ 1AB = 2PA AD DC= = = 2 2PD =
AB PD⊥
P BC D− −
M PA BC F MF PC
6
6
ABCD ⊥ PAD ABCD PAD AD=
AB Ì ABCD AB AD⊥
AB ⊥ PAD
PD ⊂ PAD
AB PD⊥
2PA AD= = 2 2PD = PA AD⊥
AB ⊥ PAD AB PA⊥故 ， ， 两两垂直.
如图，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴，
建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， .
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量是 .
而 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则由 得 取 ，有 ，
所以 .
由题知，二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 .
（3）证明：假设棱 上存在点 ， ，设 .
依题意，可知 ， ， ，
所以 ， ，设 ，
根据假设，有 ，而此方程组无解，故假设错误，问题得证.
AB AD AP
A AB AD AP , ,x y z
A xyz−
(0,0,2)P (1,0,0)B (2,2,0)C (0,2,0)D
PA ⊥ BCD BCD (0,0,1)n =
(1,0, 2)PB = − (2,2, 2)PC = −
PBC ( , , )m x y z=
0,
0,
m PB
m PC
⋅ =
⋅ =
2 0
2 2 2 0
x z
x y z
− =
+ − = 1z = (2, 1,1)m = −
1 6cos , 66
n mn m
n m
⋅〈 〉 = = =
P BC D− − P BC D− − 6
6
BC F / /MF PC , [0,1]BF BCλ λ= ∈
(0,0,1)M (1,2,0)BC = ( 1,2 ,0)F λ λ= +
( 1,2 , 1)MF λ λ= + − (2,2, 2)PC = − MF PCµ=
1 2
2 2
1 2
λ µ
λ µ
µ
+ =
=
− = −19.已知椭圆 的离心率为 ，过椭圆右焦点 的直线 与椭圆交于
， 两点，当直线 与 轴垂直时， .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）当直线 与 轴不垂直时，在 轴上是否存在一点 （异于点 ），使 轴上任意点到
直线 ， 的距离均相等？若存在，求 点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在点
【解析】（1）由题意得 ，解得: ， ， .
所以椭圆的标准方程为： .
（2）依题意，若直线 的斜率不为零，可设直线 ， ，
.
假设存在点 ，设 ，由题设， ，且 ， .
设直线 ， 的斜率分别为 ， ，
则 ， .
因为 ， 在 上，
故 ， ，
而 轴上任意点到直线 ， 距离均相等等价于“ 平分 ”，
继而等价于 .
则 .
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1
2 F l
A B l x 3AB =
C
l x x P F x
PA PB P
2 2
14 3
x y+ = (4,0)P
2
2 2 2
2 3,
1 ,2
b
a
c
a
a b c
=
=
= +
2a = 3b = 1c =
2 2
14 3
x y+ =
l : 1( 0)l x my m= + ≠ 1 1( , )A x y
2 2( , )B x y
P 0( ,0)P x 0 1x ≠ 0 1x x≠ 0 2x x≠
PA PB 1k 2k
1
1
1 0
yk x x
= −
2
2
2 0
yk x x
= −
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1x my= +
1 1 1x my= + 2 2 1x my= +
x PA PB PF APB∠
1 2 0k k+ =
1 2
1 2
1 0 2 0
y yk k x x x x
+ = +− −
1 2 2 1 0 1 2
1 0 2 0
( )
( )( )
x y x y x y y
x x x x
+ − += − −
1 2 0 1 2
1 0 2 0
2 (1 )( ) 0( )( )
my y x y y
x x x x
+ − += =− −联立 ，消去 得： ，
有 ， .
则 ，
即 ，故 或 （舍）.
当直线 的斜率为零时， 也符合题意.
故存在点 ，使得 轴上任意点到直线 ， 距离均相等.
20.已知函数 .
（1）若曲线 在 处的切线与 轴平行，求 ；
（2）已知 在 上的最大值不小于 ，求 的取值范围；
（3）写出 所有可能的零点个数及相应的 的取值范围.（请直接写出结论）
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析
【解析】（1）因为 ，故 .
依题意 ，即 .
当 时， ，此时切线不与 轴重合，符合题意，
因此 .
（2）当 时， 最大值不小于 2
在 上有解，
显然 不是解，即 在 上有解，
设 ， ，
2 2
14 3
1
x y
x my
+ =
= +
x 2 2(3 4) 6 9 0m y my+ + − =
1 2 2
6
3 4
my y m
−+ = + 1 2 2
9
3 4y y m
−= +
0 0
1 2 2 2
1 0 2 0 1 0 2 0
18 6 6 24 60 (3 4)( )( ) (3 4)( )( )
m m mx m mxk k m x x x x m x x x x
− − + − ++ = = =+ − − + − −
04 0m mx− + = 0 4x = 0m =
l (4,0)P
(4,0)P x PA PB
2( ) e ( )xf x ax a R= − ∈
( )y f x= (1, (1))f x a
( )f x [0,1] 2 a
( )f x a
e
2a = ( ,e 2]−∞ −
2( ) e ( )xf x ax a R= − ∈ ( ) e 2xf x ax′ = −
(1) e 2 0f a′ = − = e
2a =
e
2a = e(1) 02f = ≠ x
e
2a =
[0,1]x∈ ( )f x ⇔
2( ) e 2xf x ax= − ≥ [0,1]x∈
0x =
2
e 2x
a x
−≤ (0,1]x∈
2
e 2( )
x
g x x
−= (0,1]x∈则 .
设 ， ，
则 .
所以 在 单调递减， ，
所以 ，所以 在 单调递增，
所以 .
依题意需 ，
所以 的取值范围为 .
（3）当 时， 有 0 个零点；当 时， 有 1 个零点
当 时， 有 2 个零点；当 时， 有 3 个零点.·
21.已知集合 ，对于
， ，定义 与 的差为
； 与 之间的距离为
.
（1）若 ，试写出所有可能的 ， ；
（2） ，证明： ；
（3） ， 三个数中是否一定有偶数？证明你的结论.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）一定有偶数，理由见解析
【解析】（1）由题意可得，所有满足要求的 ， 为：
， ；
， ；
3
e 2e 4( )
x xxg x x
− +′ =
( ) e 2e 4x xh x x= − + (0,1]x∈
( ) e ( 1) 0xh x x′ = − ≤
( )h x (0,1] ( ) (1) 4 0h x h e≥ = − >
( ) 0g x′ > ( )g x (0,1]
max( ) (1) 2g x g e= = −
2a e≤ −
a ( ,e 2]−∞ −
0a ≤ ( )y f x= 2e0 4a< < ( )y f x=
2e
4a = ( )y f x= 2e
4a > ( )y f x=
{ }1 2{ | ( , , , ), 0,1 , 1,2, , }( 2)n n iS X X x x x x i n n= = ∈ = ≥
1 2( , , , )nA a a a= nS∈ 1 2( , , , )n nB b b b S= ∈ A B
1 1 2 2( , , , )n nA B a b a b a b− = − − − A B
1 1 2 2( , )= + n nd A B a b a b a b− − + + −
(0,1)A B− = A B
, , nA B C S∀ ∈ ( , ) ( , )d A C B C d A B− − =
, , nA B C S∀ ∈ ( , ), ( , ), ( , )d A B d A C d B C
A B
( )0,0A = ( )0,1B =
( )0,1A = ( )0,0B =， ；
， .
（2）证明：令 ， ， ，
对 ，
当 时，有 ；
当 时，有 .
所以
.
（3） ， ， ， ， ， 三个数中一定有偶数.
理由如下：
设 ， ， ，
， ， ，
记 ，由（2）可知: ，
， ，
所以 中 1 的个数为 ， 中 1 的个数为 .
设 是使 成立的 的个数，则 .
由此可知， ， ， 三个数不可能都是奇数，
即 ， ， 三个数中一定有偶数.
( )1,0A = ( )1,1B =
( )1,1A = ( )1,0B =
1 2( , , , )nA a a a= 1 2( , , , )nB b b b= 1 2( , , , )nC c c c=
1,2, ,i n=
0ic = i i i i i ia c b c a b− − − = −
1ic = 1 (1 )i i i i i i i ia c b c a b a b− − − = − − − = −
( , )d A C B C− −
1 1 1 1 2 2 2 2 n n n na c b c a c b c a c b c= − − − + − − − +⋅⋅⋅+ − − −
1 1 2 2 ( , )n na b a b a b d A B= − + − + + − =
A∀ B nC S∈ ( , )d A B ( , )d A C ( , )d B C
1 2( , , , )nA a a a= ⋅⋅⋅ 1 2( , , , )nB b b b= ⋅⋅⋅ 1 2( , , , )n nC c c c S= ⋅⋅⋅ ∈
( , )d A B k= ( , )d A C l= ( , )d B C h=
0 (0,0, 0) nS= ⋅⋅⋅ ∈ ( , ) ( , ) (0, )d A B d A A B A d B A k= − − = − =
( , ) ( , ) (0, )d A C d A A C A d C A l= − − = − = ( , ) ( , )d B C d B A C A h= − − =
( 1,2, , )i ib a i n− = ⋅⋅⋅ k ( 1,2, , )i ic a i n− = ⋅⋅⋅ l
t 1i i i ib a c a− = − = i 2h l k t= + −
k l h
( , )d A B ( , )d A C ( , )d B C
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