2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）（原卷版）

绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.若 z=1+i，则|z2–2z|=（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 2.设集合 A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且 A∩B={x|–2≤x≤1}，则 a=（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方 形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A. B. C. D. 4.已知 A 为抛物线 C:y2=2px（p>0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p=（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位：°C）的关系，在 20 个不同的温度 2 5 1 4 − 5 1 2 − 5 1 4 + 5 1 2 + 条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图： 由此散点图，在 10°C 至 40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类 型的是（ ） A. B. C. D. 6.函数 的图像在点 处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7.设函数 在 的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 8. 的展开式中 x3y3 的系数为（ ） A. 5 B. 10 ( , )( 1,2, ,20)i ix y i =  y a bx= + 2y a bx= + exy a b= + lny a b x= + 4 3( ) 2f x x x= − (1 (1))f， 2 1y x= − − 2 1y x= − + 2 3y x= − 2 1y x= + ( ) cos π( )6f x xω= + [ π,π]− 10π 9 7π 6 4π 3 3π 2 2 5( )( )x xy x y+ + C. 15 D. 20 9.已知 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 10.已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 11.已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上 动点，过点 作⊙M 的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（ ） A. B. C. D. 12.若 ，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.若 x，y 满足约束条件 则 z=x+7y 的最大值为______________. 14.设 为单位向量，且 ，则 ______________. 15.已知 F 为双曲线 的右焦点，A 为 C 的右顶点，B 为 C 上的点，且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为______________. 16.如图，在三棱锥 P–ABC 平面展开图中，AC=1， ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°， 则 cos∠FCB=______________. 的 的 π( )0,α∈ 3cos2 8cos 5α α− = sinα = 5 3 2 3 1 3 5 9 , ,A B C O 1O ABC 1O 4π 1AB BC AC OO= = = O 64π 48π 36π 32π 2 2 2 2 2 0x y x y+ − − − = l 2 2 0x y+ + = P l P ,PA PB ,A B | | | |PM AB⋅ AB 2 1 0x y− − = 2 1 0x y+ − = 2 1 0x y− + = 2 1 0x y+ + = 2 42 log 4 2loga ba b+ = + 2a b> 2a b< 2a b> 2a b< 2 2 0, 1 0, 1 0, x y x y y + − ≤  − − ≥  + ≥ ,a b | | 1+ =a b | |a b− = 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 3AB AD= = 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.设 是公比不为 1 等比数列， 为 ， 的等差中项． （1）求 的公比； （2）若 ，求数列 的前 项和． 18.如图， 为圆锥 顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ． 是底面的内接 正三角形， 为 上一点， ． （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值． 19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛 的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰； 的 的 { }na 1a 2a 3a { }na 1 1a = { }nna n D O AE AE AD= ABC P DO 6 6PO DO= PA ⊥ PBC B PC E− − 当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、 乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 ， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 20.已知 A、B 分别为椭圆 E： （a>1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点， ，P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D． （1）求 E 的方程； （2）证明：直线 CD 过定点. 21.已知函数 . （1）当 a=1 时，讨论 f（x）的单调性； （2）当 x≥0 时，f（x）≥ x3+1，求 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 [选修 4—4：坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）当 时， 是什么曲线？ （2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标． [选修 4—5：不等式选讲] 23.已知函数 ． （1）画出 的图像； 1 2 2 2 2 1x ya + = 8AG GB⋅ =  2( ) exf x ax x= + − 1 2 xOy 1C cos , sin k k x t y t  =  = (t ) x 2C 4 cos 16 sin 3 0ρ θ ρ θ− + = 1k = 1C 4k = 1C 2C ( ) | 3 1| 2 | 1|f x x x= + − − ( )y f x= （2）求不等式 解集．的( ) ( 1)f x f x> +