2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）（原卷版）

2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分 150 分. 2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则 （ ） A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3} 2.若 α 为第四象限角，则（ ） A. cos2α>0 B. cos2α0 D. sin2α > ,D E ODE C ( ) ln | 2 1| ln | 2 1|f x x x= + − − 1( , )2 +∞ 1 1( , )2 2 − 1( , )2 −∞ − 1( , )2 −∞ − 9 3 4 3 3 2 3 2 2 2 3 3x y x y− −− < − ln( 1) 0y x− + > ln( 1) 0y x− + < ln | | 0x y− > ln | | 0x y− < 1 2 na a a  {0,1}( 1,2, )ia i∈ =  m ( 1,2, )i m ia a i+ = =  ( 1,2, )i m ia a i+ = =  m序列的周期.对于周期为 的 0-1 序列 ， 是描述其性质的重要 指标，下列周期为 5 的 0-1 序列中，满足 的序列是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知单位向量 a，b 的夹角为 45°，ka–b 与 a 垂直，则 k=__________. 14.4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同学，则 不同的安排方法共有__________种. 15.设复数 ， 满足 ， ，则 =__________ 16.设有下列四个命题： p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p4：若直线 l 平面 α，直线 m⊥平面 α，则 m⊥l. 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ① ② ③ ④ 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC. （1）求 A； （2）若 BC=3，求 周长的最大值. 18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数 量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查得到 样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野 生动物的数量，并计算得 ， ， ， ， . （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均 . m 1 2 na a a  1 1( ) ( 1,2, , 1) m i i k i C k a a k mm + = = = −∑  1( ) ( 1,2,3,4)5C k k≤ = 11010 11011 10001 11001 1z 2z 1 2| |=| |=2z z 1 2 3 iz z+ = + 1 2| |z z− ⊂ 1 4p p∧ 1 2p p∧ 2 3p p¬ ∨ 3 4p p¬ ∨ ¬ ABC ABC 20 1 60 i ix = =∑ 20 1 1200 i iy = =∑ 20 2 1 ) 80 i i xx = − =∑（ 20 2 1 ) 9000 i iy y = − =∑（ 20 1 ) ) 800i i ix yx y = − − =∑（ （数乘以地块数）； （2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到 0.01）； （3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物 数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由. 附：相关系数 r= ， =1 414. 19.已知椭圆 C1： (a>b>0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合，C1 的中心与 C2 的顶点重合.过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D 两点，且|CD|= |AB|. （1）求 C1 的离心率； （2）设 M 是 C1 与 C2 的公共点，若|MF|=5，求 C1 与 C2 的标准方程. 20.如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1 的中点， P 为 AM 上一点，过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F. （1）证明：AA1∥MN，且平面 A1AMN⊥EB1C1F； （2）设 O 为△A1B1C1 的中心，若 AO∥平面 EB1C1F，且 AO=AB，求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦 值. 21.已知函数 f(x)=sin2xsin2x. （1）讨论 f(x)在区间(0，π)的单调性； （2）证明： ； （3）设 n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ . . 1 2 2 1 1 ) ) ) ) n i i i i i n n i i x y x x y yyx = = = − − − − ∑ ∑ ∑ （ （ （ （ 2 2 2 2 2 1x y a b + = 4 3 3 3( ) 8f x ≤ 3 4 n n（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.并用 2B 铅笔将所选题号涂黑， 多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修 4—4：坐标系与参数方程] 22.已知曲线 C1，C2 参数方程分别为 C1： （θ 为参数），C2： （t 为参数）. （1）将 C1，C2 的参数方程化为普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过 极点和 P 的圆的极坐标方程. [选修 4—5：不等式选讲] 23.已知函数 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 ，求 a 的取值范围. 的 2 2 4cos 4sin x y θ θ  =  = ， 1, 1 x t t y t t  = +  = − 2( ) | 2 1|f x x a x a= − + − + 2a = ( ) 4f x  ( ) 4f x 