绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 则 （ ）
A. B.
C. D.
2.若 ，则 （ ）
A. 0 B. 1
C. D. 2
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它 形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方
形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A. B. C. D.
4.设 O 为正方形 ABCD 的中心，在 O，A，B，C，D 中任取 3 点，则取到的 3 点共线的概率为（ ）
的
2{ | 3 4 0}, { 4,1,3,5}A x x x B= − − < = − ， A B =
{ 4,1}− {1,5}
{3,5} {1,3}
31 2i iz = + + | | =z
2
5 1
4
− 5 1
2
− 5 1
4
+ 5 1
2
+A. B.
C. D.
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位：°C）的关系，在 20 个不同的温度
条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
由此散点图，在 10°C 至 40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类
型的是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
7.设函数 在 图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为（ ）
A. B.
C D.
的
.
1
5
2
5
1
2
4
5
( , )( 1,2, ,20)i ix y i =
y a bx= + 2y a bx= +
exy a b= + lny a b x= +
2 2 6 0x y x+ − =
( ) cos π( )6f x xω= + [ π,π]−
10π
9
7π
6
4π
3
3π
28.设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
9.执行下面的程序框图，则输出的 n=（ ）
A. 17 B. 19 C. 21 D. 23
10.设 是等比数列，且 ， ，则 （ ）
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32
11.设 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且 ，则 的
面积为（ ）
A. B. 3 C. D. 2
12.已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ，
，则球 的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.若 x，y 满足约束条件 则 z=x+7y 的最大值为______________.
14.设向量 ，若 ，则 ______________.
15.曲线 一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为______________.的
3log 4 2a = 4 a− =
1
16
1
9
1
8
1
6
{ }na 1 2 3 1a a a+ + = 2 3 4+ 2a a a+ = 6 7 8a a a+ + =
1 2,F F
2
2: 13
yC x − = O P C | | 2OP = 1 2PF F△
7
2
5
2
, ,A B C O 1O ABC 1O 4π
1AB BC AC OO= = = O
64π 48π 36π 32π
2 2 0,
1 0,
1 0,
x y
x y
y
+ − ≤
− − ≥
+ ≥
(1, 1), ( 1,2 4)m m= − = + −a b a b⊥ m =
ln 1y x x= + +16.数列 满足 ，前 16 项和为 540，则 ______________.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为 A，B，C，D 四个等级.加工业务约定：
对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费 90 元，50 元，20 元；对于 D 级品，厂家每件要
赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为 25 元/件，乙分厂加工成
本费为 20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100 件这种产品，并统计了
这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接
加工业务?
18. 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 B=150°.
（1）若 a= c，b=2 ，求 的面积；
（2）若 sinA+ sinC= ，求 C.
19.如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 是底面的内接正三角形， 为 上一点，
∠APC=90°．
的
{ }na 2 ( 1) 3 1n
n na a n+ + − = − 1a =
ABC
3 7 ABC
3 2
2
D O ABC P DO（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAC；
（2）设 DO= ，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥 P−ABC 的体积.
20.已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
21.已知 A、B 分别为椭圆 E： （a>1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点， ，P 为直线
x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D．
（1）求 E 的方程；
（2）证明：直线 CD 过定点.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分.
[选修 4—4：坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）当 时， 是什么曲线？
（2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标．
[选修 4—5：不等式选讲]
23.已知函数 ．
（1）画出 的图像；
2 3π
( ) ( 2)xf x e a x= − +
1a = ( )f x
( )f x a
2
2
2 1x ya
+ = 8AG GB⋅ =
xOy 1C cos ,
sin
k
k
x t
y t
=
=
(t ) x
2C 4 cos 16 sin 3 0ρ θ ρ θ− + =
1k = 1C
4k = 1C 2C
( ) | 3 1| 2 | 1|f x x x= + − −
( )y f x=（2）求不等式 的解集．
( ) ( 1)f x f x> +
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