绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如
需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1.已知集合 A={x||x|1，x∈Z}，则 A∩B=（ ）
A. B. {–3，–2，2，3）
C. {–2，0，2} D. {–2，2}
【答案】D
【解析】
【分析】
解绝对值不等式化简集合 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为 ，
或 ，
所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.
2.（1–i）4=（ ）
A. –4 B. 4
C. –4i D. 4i
【答案】A
【解析】
∅
,A B
{ } { }3, 2, 1,0,1,2A x x x Z= < ∈ = − −
{ } {1, 1B x x x Z x x= > ∈ = > }1,x x Z< − ∈
{ }2, 2A B = −【分析】
根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
【详解】 .
故选：A.
【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.
3.如图，将钢琴上的 12 个键依次记为 a1，a2，…，a12.设 1≤i
2 3 1 7a = × + = , 2 1 3k = + = 7 10>
2 7 1 15a = × + = , 3 1 4k = + = 15 10>
4k =
2 3 0x y− − =
5
5
2 5
5
3 5
5
4 5
5
( ), , 0a a a > a
( )2,1 a 2 3 0x y− − =
( )2,1
( ),a a a
( ) ( )2 2 2x a y a a− + − =
( ) ( )2 2 22 1a a a− + − =
2 6 5 0a a− + = 1a = 5a =
( )1,1 ( )5,5圆心到直线 的距离均为 ；
所以，圆心到直线 的距离为 .
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
9.设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，若
的面积为 8，则 的焦距的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】
因为 ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 联立方程求得 ，
两点坐标，即可求得 ，根据 的面积为 ，可得 值，根据 ，结合均值不等式，
即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得
故
联立 ，解得
故
2 3 0x y− − = 2 2 5
55
d
−= =
2 3 0x y− − = 2 5
5
O x a= 2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > ,D E
ODE C
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > by xa
= ± x a= D E
| |ED ODE 8 ab 2 22 2c a b= +
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > >
∴ by xa
= ±
x a= 2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > D E
D E
x a
by xa
= =
x a
y b
=
=
( , )D a b
x a
by xa
= = −
x a
y b
=
= −
( , )E a b−
∴| | 2ED b=面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当 取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求
最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
10.设函数 ,则 （ ）
A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的解析式可知函数的定义域为 ，利用定义可得出函数 为奇函数，
再根据函数的单调性法则，即可解出．
【详解】因为函数 定义域为 ，其关于原点对称，而 ，
所以函数 为奇函数．
又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递增，
而 在 上单调递减，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递增．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
11.已知△ABC 是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上.若球 O 的表面积为 16π，则 O 到
∴ ODE
1 2 82ODES a b ab= × = =△
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > >
∴ 2 22 2 2 2 2 16 8c a b ab= + ≥ = =
2 2a b= =
∴ C 8
3
3
1( )f x x x
= − ( )f x
{ }0x x ≠ ( )f x
( ) 3
3
1f x x x
= − { }0x x ≠ ( ) ( )f x f x− = −
( )f x
3y x= ( )0,+¥ ( ),0- ¥
3
3
1y xx
−= = ( )0,+¥ ( ),0- ¥
( ) 3
3
1f x x x
= − ( )0,+¥ ( ),0- ¥
9 3
4平面 ABC 的距离为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据球 的表面积和 的面积可求得球 的半径 和 外接圆半径 ，由球的性质可知所求距
离 .
【详解】设球 的半径为 ，则 ，解得： .
设 外接圆半径为 ，边长为 ，
是面积为 的等边三角形，
，解得： ， ，
球心 到平面 的距离 .
故选：C.
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明
确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.
12.若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将不等式变为 ，根据 的单调性知 ，以此去判断各个选项中真数与
的大小关系，进而得到结果.
【详解】由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数，
3 3
2
3
2
O ABC O R ABC r
2 2d R r= −
O R 24 16Rπ π= 2R =
ABC r a
ABC
9 3
4
21 3 9 3
2 2 4a∴ × = 3a = 2
22 2 99 33 4 3 4
ar a∴ = × − = × − =
∴ O ABC 2 2 4 3 1d R r= − = − =
2 2 3 3x y x y− −− < −
ln( 1) 0y x− + > ln( 1) 0y x− + < ln | | 0x y− > ln | | 0x y− <
2 3 2 3x x y y− −− < − ( ) 2 3t tf t −= − x y< 1
2 2 3 3x y x y− −− < − 2 3 2 3x x y y− −− < −
( ) 2 3t tf t −= −
2xy = R 3 xy −= R ( )f t∴ R，
， ， ，则 A 正确，B 错误；
与 的大小不确定，故 CD 无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得
到 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.若 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.
【详解】 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.
14.记 为等差数列 的前 n 项和．若 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
因为 是等差数列，根据已知条件 ，求出公差，根据等差数列前 项和，即可求得答案.
【详解】 是等差数列，且 ，
设 等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
x y∴ <
0y x− > 1 1y x∴ − + > ( )ln 1 0y x∴ − + >
x y− 1
,x y
2sin 3x = − cos2x =
1
9
2 22 8 1cos2 1 2sin 1 2 ( ) 13 9 9x x= − = − × − = − =
1
9
nS { }na 1 2 62, 2a a a= − + = 10S =
25
{ }na 2 6 2a a+ = n
{ }na 1 2a = − 2 6 2a a+ =
{ }na d
( )1 1na a n d+ −=
1 1 5 2a d a d+ + + =
( )2 2 5 2d d− + + − + =
6 6d =解得：
根据等差数列前 项和公式：
可得：
.
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了求等差数列的前 项和，解题关键是掌握等差数列的前 项和公式，考查了分析能
力和计算能力，属于基础题.
15.若 x，y 满足约束条件 则 的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线 ，在平面区域内找到一点使得
直线 在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.
【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：
平移直线 ，当直线经过点 时，直线 在纵轴上的截距最大，
此时点 的坐标是方程组 的解，解得： ，
因此 的最大值为： .
故答案为： .
【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.
1d =
n *
1
( 1) ,2n
n nS na d n N
−= + ∈
( )10
10 (10 1)10 2 20 45 252S
× −= − + = − + =
∴ 10 25S =
25
n n
1
1
2 1,
x y
x y
x y
+ ≥ −
− ≥ −
− ≤
，
， 2z x y= +
8
1
2y x= −
1 1
2 2y x z= − +
1
2y x= − A 1 1
2 2y x z= − +
A
1
2 1
x y
x y
− = −
− =
2
3
x
y
=
=
2z x y= + 2 2 3 8+ × =
816.设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线 l 平面 α，直线 m⊥平面 α，则 m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
① ② ③ ④
【答案】①③④
【解析】
【分析】
利用两交线直线确定一个平面可判断命题 的真假；利用三点共线可判断命题 的真假；利用异面直线可
判断命题 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】对于命题 ，可设 与 相交，这两条直线确定的平面为 ；
若 与 相交，则交点 在平面 内，
同理， 与 的交点 也在平面 内，
所以， ，即 ，命题 真命题；
对于命题 ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题 为假命题；
对于命题 ，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题 为假命题；
对于命题 ，若直线 平面 ，
则 垂直于平面 内所有直线，
直线 平面 ， 直线 直线 ，
为
⊂
1 4p p∧ 1 2p p∧ 2 3p p¬ ∨ 3 4p p¬ ∨ ¬
1p 2p
3p 4p
1p 1l 2l α
3l 1l A α
3l 2l B α
AB α⊂ 3l α⊂ 1p
2p
2p
3p
3p
4p m ⊥ α
m α
l ⊂ α ∴ m ⊥ l命题 为真命题.
综上可知， 为真命题， 为假命题，
为真命题， 为真命题.
故答案为：①③④.
【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，
属于中等题.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17.△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ．
（1）求 A；
（2）若 ，证明：△ABC 是直角三角形．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系， 可化为 ，
即可解出；
（2）根据余弦定理可得 ，将 代入可找到 关系，
再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
【详解】（1）因为 ，所以 ，
即 ，
解得 ，又 ，
所以 ；
4p
1 4p p∧ 1 2p p∧
2 3p p¬ ∨ 3 4p p¬ ∨ ¬
2 5cos ( ) cos2 4A A
π + + =
3
3b c a− =
3A
π=
2 5cos cos2 4A A
π + + =
2 51 cos cos 4A A− + =
2 2 2b c a bc+ − = 3
3b c a− = , ,a b c
2 5cos cos2 4A A
π + + =
2 5sin cos 4A A+ =
2 51 cos cos 4A A− + =
1cos 2A = 0 A π< <
3A
π=（2）因为 ，所以 ，
即 ①，
又 ②， 将②代入①得， ，
即 ，而 ，解得 ，
所以 ，
故 ，
即 是直角三角形．
【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形
状，属于基础题．
18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数
量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查得到
样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野
生动物的数量，并计算得 ， ， ， ，
.
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均
数乘以地块数）；
（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到 0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物
数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数 r= ， =1.414.
【答案】（1） ；（2） ；（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；
3A
π= 2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
+ −= =
2 2 2b c a bc+ − =
3
3b c a− = ( )22 2 3b c b c bc+ − − =
2 22 2 5 0b c bc+ − = b c> 2b c=
3a c=
2 2 2b a c= +
ABC
20
1
60
i
ix
=
=∑ 20
1
1200
i
iy
=
=∑ 20
2
1
) 80
i
i xx
=
− =∑（
20
2
1
) 9000
i
iy y
=
− =∑（
20
1
) ) 800i
i
ix yx y
=
− − =∑（ （
1
2 2
1 1
) )
) )
n
i
i i
i i
n n
i i
x y
x
x y
yyx
=
= =
− −
− −
∑
∑ ∑
（ （
（ （
2
12000 0.94（2）利用公式 计算即可；
（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.
【详解】（1）样区野生动物平均数为 ，
地块数为 200，该地区这种野生动物的估计值为
（2）样本 的相关系数为
（3）
由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样
先将植物覆盖面积按优中差分成三层，
在各层内按比例抽取样本，
在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.
【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，
是一道容易题.
19.已知椭圆 C1： (a>b>0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合，C1 的中心与 C2 的顶点重合．过
F 且与 x 轴重直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D 两点，且|CD|= |AB|．
（1）求 C1 的离心率；
（2）若 C1 的四个顶点到 C2 的准线距离之和为 12，求 C1 与 C2 的标准方程．
【答案】（1） ；（2） ： ， ： .
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 在第一象限，运用代入法求出
20
1
20 20
2 2
1 1
( )( )
( ) ( )
i i
i
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
= =
− −
=
− −
∑
∑ ∑
20
1
1 1 1200 6020 20i
i
y
=
= × =∑
200 60 12000× =
( , )i ix y
20
1
20 20
2 2
1 1
( )( ) 800 2 2 0.94380 9000( ) ( )
i i
i
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
= =
− −
= = = ≈
×− −
∑
∑ ∑
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
4
3
1
2 1C
2 2
116 12
x y+ = 2C 2 8y x=
2C ,A C点的纵坐标，根据 ，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；
（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合
已知进行求解即可；
【详解】解：（1）因为椭圆 的右焦点坐标为： ,所以抛物线 的方程为 ，其中
.
不妨设 在第一象限，因为椭圆 的方程为： ，
所以当 时，有 ，因此 的纵坐标分别为 ， ；
又因为抛物线 的方程为 ，所以当 时，有 ，
所以 的纵坐标分别为 ， ，故 ， .
由 得 ，即 ，解得 （舍去）， .
所以 的离心率为 .
（2）由（1）知 ， ，故 ，所以 的四个顶点坐标分别为 ，
， ， ， 的准线为 .
由已知得 ，即 .
所以 的标准方程为 ， 的标准方程为 .
【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的
坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.
20.如图，已知三棱柱 ABC–A1B1C1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1 的中
点，P 为 AM 上一点．过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F．
, , ,A B C D 4| | | |3CD AB=
1C (c,0)F 2C 2 4y cx=
2 2c a b= −
,A C 1C
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
x c= 2 2 2
2 2 1c y bya b a
+ = ⇒ = ± ,A B
2b
a
2b
a
−
2C 2 4y cx= x c= 2 4 2y c c y c= ⋅ ⇒ = ±
,C D 2c 2c−
22| | bAB a
= | | 4CD c=
4| | | |3CD AB= 284 3
bc a
= 23 2 2( )c c
a a
⋅ = − 2c
a
= − 1
2
c
a
=
1C 1
2
2a c= 3b c=
2 2
1 2 2: 14 3
x yC c c
+ = 1C (2 ,0)c
( 2 ,0)c− (0, 3 )c (0, 3 )c− 2C x c= −
3 12c c c c+ + + = 2c =
1C
2 2
116 12
x y+ = 2C 2 8y x=（1）证明：AA1//MN，且平面 A1AMN⊥平面 EB1C1F；
（2）设 O 为△A1B1C1 的中心，若 AO=AB=6，AO//平面 EB1C1F，且∠MPN= ，求四棱锥 B–EB1C1F 的体
积．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 分别为 ， 的中点， ，根据条件可得 ，可证 ，要证平
面 平面 ，只需证明 平面 即可；
（2）根据已知条件求得 和 到 的距离，根据椎体体积公式，即可求得 .
【详解】（1） 分别为 ， 的中点，
又
在等边 中， 为 中点，则
又 侧面 为矩形，
由 ， 平面
平面
π
3
24
,M N BC 1 1B C 1//MN CC 1 1/ /AA BB 1MN AA//
1 1EB C F ⊥ 1A AMN EF ⊥ 1A AMN
1 1EB C FS四边形 M PN 1 1B EB C FV −
,M N BC 1 1B C
1//MN BB∴
1 1/ /AA BB
1//MN AA∴
ABC M BC BC AM⊥
1 1BB C C
1BC BB∴ ⊥
1//MN BB
MN BC⊥
MN AM M∩ = ,MN AM ⊂ 1A AMN
∴ BC ⊥ 1A AMN又 ，且 平面 ， 平面 ，
平面
又 平面 ，且平面 平面
又 平面
平面
平面
平面 平面
（2）过 作 垂线，交点为 ，
画出图形，如图
平面
平面 ，平面 平面
又
为 的中心.
故： ，则 ，
1 1 //B C BC 1 1B C ⊄ ABC BC ⊂ ABC
1 1 //B C∴ ABC
1 1B C ⊂ 1 1EB C F 1 1EB C F ∩ ABC EF=
1 1 / /B C EF∴
//EF BC∴
BC ⊥ 1A AMN
∴ EF ⊥ 1A AMN
EF ⊂ 1 1EB C F
∴ 1 1EB C F ⊥ 1A AMN
M PN H
//AO 1 1EB C F
AO ⊂ 1A AMN 1A AMN ∩ 1 1EB C F NP=
//AO NP∴
//NO AP
∴ 6AO NP= =
O 1 1 1A B C△
∴ 1 1
1 1sin 60 6 sin 60 33 3ON AC= ° = × × ° =
3ON AP= = 3 3 3AM AP= =平面 平面 ，平面 平面 ，
平面
平面
又 在等边 中
即
由（1）知，四边形 为梯形
四边形 的面积为：
，
为 到 的距离 ，
.
【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为
求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.
21.已知函数 f（x）=2lnx+1．
（1）若 f（x）≤2x+c，求 c 的取值范围；
（2）设 a>0 时，讨论函数 g（x）= 的单调性．
【答案】（1） ；（2） 在区间 和 上单调递减，没有递增区间
【解析】
【分析】
（1）不等式 转化为 ，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进
行求解即可；
（2）对函数 求导，把导函数 分子构成一个新函数 ，再求导得到 ，根据 的正
负，判断 的单调性，进而确定 的正负性，最后求出函数 的单调性.
的
1 1EB C F ⊥ 1A AMN 1 1EB C F ∩ 1A AMN NP=
MH ⊂ 1A AMN
∴ MH ⊥ 1 1EB C F
ABC
EF AP
BC AM
=
3 6 2
3 3
AP BCEF AM
⋅ ×= = =
1 1EB C F
∴ 1 1EB C F
1 1
1 1 2 6= 6 242 2EB C F
EF B CS NP
+ += ⋅ × =四边形
1 1 1 1
1
3B EB C F EB C FV S h−∴ = ⋅四边形
h M PN 2 3 sin 60 3MH ⋅= ° =
∴ 1 24 3 243V = × × =
( ) ( )f x f a
x a
−
−
1c ≥ − ( )g x (0, )a ( , )a +∞
( ) 2f x x c≤ + ( ) 2 0f x x c− − ≤
( )g x ( )g x′ ( )m x ( )m x′ ( )m x′
( )m x ( )g x′ ( )g x【详解】（1）函数 的定义域为：
，
设 ，则有 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以当 时，函数 有最大值，
即 ，
要想不等式 在 上恒成立，
只需 ；
（2） 且
因此 ，设 ，
则有 ，
当 时， ，所以 ， 单调递减，因此有 ，即
，所以 单调递减；
当 时， ，所以 ， 单调递增，因此有 ，即 ，
所以 单调递减，
所以函数 在区间 和 上单调递减，没有递增区间.
【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学
运算能力，是中档题.
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将
所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多
答按所答第一题评分．
[选修 4—4：坐标系与参数方程]
( )f x (0, )+∞
( ) 2 ( ) 2 0 2ln 1 2 0( )f x x c f x x c x x c≤ + ⇒ − − ≤ ⇒ + − − ≤ ∗
( ) 2ln 1 2 ( 0)h x x x c x= + − − > 2 2(1 )( ) 2 xh x x x
−′ = − =
1x > ( ) 0, ( )h x h x′ <
0 1x< < ( ) 0, ( )h x h x′ >
1x = ( )h x
max( ) (1) 2ln1 1 2 1 1h x h c c= = + − × − = − −
( )∗ (0, )+∞
max( ) 0 1 0 1h x c c≤ ⇒ − − ≤ ⇒ ≥ −
2ln 1 (2ln 1) 2(ln ln )( ) ( 0x a x ag x xx a x a
+ − − −= = >− − )x a≠
2
2( ln ln )( ) ( )
x a x x x ag x x x a
− − +′ = − ( ) 2( ln ln )m x x a x x x a= − − +
( ) 2(ln ln )m x a x′ = −
x a> ln lnx a> ( ) 0m x′ < ( )m x ( ) ( ) 0m x m a< =
( ) 0g x′ < ( )g x
0 x a< < ln lnx a< ( ) 0m x′ > ( )m x ( ) ( ) 0m x m a< = ( ) 0g x′ <
( )g x
( )g x (0, )a ( , )a +∞22.已知曲线 C1，C2 的参数方程分别为 C1： （θ 为参数），C2： （t 为参数）.
（1）将 C1，C2 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过
极点和 P 的圆的极坐标方程.
【答案】（1） ； ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）分别消去参数 和 即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点 ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极
坐标方程.
【详解】（1）由 得 的普通方程为： ；
由 得： ，两式作差可得 的普通方程为： .
（2）由 得： ，即 ；
设所求圆圆心的直角坐标为 ，其中 ，
则 ，解得： ， 所求圆的半径 ，
所求圆的直角坐标方程为： ，即 ，
所求圆的极坐标方程为 .
【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐
标方程等知识，属于常考题型.
2
2
4cos
4sin
x
y
θ
θ
=
=
，
1,
1
x t t
y t t
= +
= −
1 : 4C x y+ = 2 2
2 : 4C x y− = 17 cos5
ρ θ=
θ t
P
2 2cos sin 1θ θ+ = 1C 4x y+ =
1
1
x t t
y t t
= +
= −
2 2
2
2 2
2
1 2
1 2
x t t
y t t
= + +
= + −
2C 2 2 4x y− =
2 2
4
4
x y
x y
+ =
− =
5
2
3
2
x
y
=
=
5 3,2 2P
( ),0a 0a >
2 2
25 302 2a a − + − =
17
10a = ∴ 17
10r =
∴
2 2
217 17
10 10x y − + =
2 2 17
5x y x+ =
∴ 17 cos5
ρ θ=[选修 4—5：不等式选讲]
23.已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求 a 的取值范围.
【答案】（1） 或 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）分别在 、 和 三种情况下解不等式求得结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得到 ，由此构造不等式求得结果.
【详解】（1）当 时， .
当 时， ，解得： ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的解集为 或 .
（2） （当且仅当
时取等号），
，解得： 或 ，
的取值范围为 .
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
2( ) | 2 1|f x x a x a= − + − +
2a = ( ) 4f x
( ) 4f x
3
2x x ≤
11
2x ≥
( ] [ ), 1 3,−∞ − +∞
3x ≤ 3 4x< < 4x ≥
( ) ( )21f x a≥ −
2a = ( ) 4 3f x x x= − + −
3x ≤ ( ) 4 3 7 2 4f x x x x= − + − = − ≥ 3
2x≤
3 4x< < ( ) 4 3 1 4f x x x= − + − = ≥
4x ≥ ( ) 4 3 2 7 4f x x x x= − + − = − ≥ 11
2x ≥
( ) 4f x ≥ 3
2x x ≤
11
2x ≥
( ) ( ) ( ) ( )22 2 22 1 2 1 2 1 1f x x a x a x a x a a a a= − + − + ≥ − − − + = − + − = −
22 1a x a− ≤ ≤
( )21 4a∴ − ≥ 1a ≤ − 3a ≥
a∴ ( ] [ ), 1 3,−∞ − +∞
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