2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）（解析版）

2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上 无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 采用列举法列举出 中元素的即可. 【详解】由题意， 中的元素满足 ，且 ， 由 ，得 ， 所以满足 的有 ， 故 中元素的个数为 4. 故选：C. 【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数 的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 {( , ) | , , }A x y x y y x= ∈ ≥*N {( , ) | 8}B x y x y= + = A B A B A B 8 y x x y ≥  + = *,x y N∈ 8 2x y x+ = ≥ 4x ≤ 8x y+ = (1,7),(2,6),(3,5),(4,4) A B 1 1 3i− 3 10 − 1 10 − 1 10 3 10利用复数的除法运算求出 z 即可. 【详解】因为 ， 所以复数 的虚部为 . 故选：D. 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 3.在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 ，且 ，则下面四种情形中，对应 样本的标准差最大的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于 A 选项，该组数据的平均数为 ， 方差为 ； 对于 B 选项，该组数据的平均数为 ， 方差为 ； 对于 C 选项，该组数据的平均数为 ， 方差为 ； 对于 D 选项，该组数据的平均数为 ， 方差为 . 因此，B 选项这一组的标准差最大. 故选：B. 【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎 1 1 3 1 3 1 3 (1 3 )(1 3 ) 10 10 iz ii i i += = = +− − + 1 1 3z i = − 3 10 1 2 3 4, , ,pp p p 4 1 1i i p = =∑ 1 4 2 30.1, 0.4p p p p= = = = 1 4 2 30.4, 0.1p p p p= = = = 1 4 2 30.2, 0.3p p p p= = = = 1 4 2 30.3, 0.2p p p p= = = = ( ) ( )1 4 0.1 2 3 0.4 2.5Ax = + × + + × = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2.5 0.1 2 2.5 0.4 3 2.5 0.4 4 2.5 0.1 0.65As = − × + − × + − × + − × = ( ) ( )1 4 0.4 2 3 0.1 2.5Bx = + × + + × = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2.5 0.4 2 2.5 0.1 3 2.5 0.1 4 2.5 0.4 1.85Bs = − × + − × + − × + − × = ( ) ( )1 4 0.2 2 3 0.3 2.5Cx = + × + + × = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2.5 0.2 2 2.5 0.3 3 2.5 0.3 4 2.5 0.2 1.05Cs = − × + − × + − × + − × = ( ) ( )1 4 0.3 2 3 0.2 2.5Dx = + × + + × = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2.5 0.3 2 2.5 0.2 3 2.5 0.2 4 2.5 0.3 1.45Ds = − × + − × + − × + − × =累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型： ，其中 K 为最大确诊病例数．当 I( )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 【答案】C 【解析】 【分析】 将 代入函数 结合 求得 即可得解. 【详解】 ，所以 ，则 ， 所以， ，解得 . 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 5.设 O 为坐标原点，直线 x=2 与抛物线 C：y2=2px(p>0)交于 D，E 两点，若 OD⊥OE，则 C 的焦点坐标为 （ ） A. （ ，0） B. （ ，0） C. （1，0） D. （2，0） 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题中所给的条件 ，结合抛物线的对称性，可知 ，从而可以确定出点 的坐标，代入方程求得 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果. 【详解】因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ， 根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ， 代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性， 点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 0.23( 53)( )= 1 e tI Kt − −+ *t *t t t∗= ( ) ( )0.23 531 t KI t e− −= + ( ) 0.95I t K∗ = t∗ ( ) ( )0.23 531 t KI t e− −= + ( ) ( )0.23 53 0.95 1 t KI t K e ∗ ∗ − − = = + ( )0.23 53 19te ∗ − = ( )0.23 53 ln19 3t∗ − = ≈ 3 53 660.23t∗ ≈ + ≈ 1 4 1 2 OD OE⊥ 4COx COx π∠ = ∠ = D p 2x = 2 2 ( 0)y px p= > ,C D OD OE⊥ 4DOx COx π∠ = ∠ = (2,2)C 4 4p= 1p = 1( ,0)26.已知向量 a，b 满足 ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 计算出 、 的值，利用平面向量数量积可计算出 的值. 【详解】 ， ， ， . ， 因此， . 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算， 考查计算能力，属于中等题. 7.在△ABC 中，cosC= ，AC=4，BC=3，则 cosB=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据已知条件结合余弦定理求得 ，再根据 ，即可求得答案. 【详解】 在 中， ， ， 根据余弦定理： 可得 ，即 由 | | 5a = | | 6b = 6a b⋅ = − cos , =+a a b 31 35 − 19 35 − 17 35 19 35 ( )a a b⋅ +   a b+  cos ,a a b< + >   5a =  6b = 6a b⋅ = −  ( ) 2 25 6 19a a b a a b∴ ⋅ + = + ⋅ = − =      ( )2 2 2 2 25 2 6 36 7a b a b a a b b+ = + = + ⋅ + = − × + =        ( ) 19 19cos , 5 7 35 a a b a a b a a b ⋅ + < + >= = =×⋅ +          2 3 1 9 1 3 1 2 2 3 AB 2 2 2 cos 2 AB BC ACB AB BC + −= ⋅  ABC 2cos 3C = 4AC = 3BC = 2 2 2 2 cosAB AC BC AC BC C= + − ⋅ ⋅ 2 2 24 3 2 24 3 3AB = + − × × × 2 9AB = 3AB =  2 2 2 9 9 16 1cos 2 2 3 3 9 AB BC ACB AB BC + − + −= = =⋅ × ×故 . 故选：A. 【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A. 6+4 B. 4+4 C. 6+2 D. 4+2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积. 【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形 根据立体图形可得： 根据勾股定理可得： 是边长为 的等边三角形 根据三角形面积公式可得： 1cos 9B = 2 2 3 3 1 2 2 22ABC ADC CDBS S S= = = × × =△ △ △ 2 2AB AD DB= = = ∴ ADB△ 2 2 21 1 3sin 60 (2 2) 2 32 2 2ADBS AB AD= ⋅ ⋅ ° = ⋅ =△该几何体的表面积是： . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形， 考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题. 9.已知 2tanθ–tan(θ+ )=7，则 tanθ=（ ） A. –2 B. –1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】 ， ， 令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 . 故选：D. 【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题. 10.若直线 l 与曲线 y= 和 x2+y2= 都相切，则 l 的方程为（ ） A. y=2x+1 B. y=2x+ C. y= x+1 D. y= x+ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据导数的几何意义设出直线 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ， 函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ， 设直线 的方程为 ，即 ， 由于直线 与圆 相切，则 ， ∴ 2 3 6 2 33 2 =× + + π 4 2tan tan 74 πθ θ − + =   tan 12tan 71 tan θθ θ +∴ − =− tan , 1t tθ= ≠ 12 71 tt t +− =− 2 4 4 0t t− + = 2t = tan 2θ = x 1 5 1 2 1 2 1 2 1 2 l l y x= ( )0 0,x x 0 0x > y x= 1 2 y x ′ = l 0 1 2 k x = l ( )0 0 0 1 2 y x x x x − = − 0 02 0x x y x− + = l 2 2 1 5x y+ = 0 0 1 1 4 5 x x = +两边平方并整理得 ，解得 ， （舍）， 则直线 的方程为 ，即 . 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 11.设双曲线 C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 ．P 是 C 上一点， 且 F1P⊥F2P．若△PF1F2 的面积为 4，则 a=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】 根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案. 【详解】 ， ，根据双曲线的定义可得 ， ，即 ， ， ， ，即 ，解得 ， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于 中档题. 12.已知 55