2020年高考全国卷(新课标卷Ⅲ文数)压轴题解析

新课标卷Ⅲ文数压轴题 12．【课标 3 卷文科 12 题】已知函数 f（x）＝sin x＋ ，则（　　） A．f（x）的最小值为 2 B．f（x）的图像关于 y 轴对称 C．f（x）的图像关于直线 x＝π 对称 D．f（x）的图像关于直线 x＝ 对称 【答案】D 【解析】A．由于 ＝2，A 错误．B．f（x）＝f（－x）显然不成立，B 错误 C．f（π－x）＝f（π ＋x）显然不成立，C 错误．D．容易验证 f ＝f 在定义域上恒成立，D 正确． 16．已知圆锥的底面半径为 1，母 线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积________． 【答案】 π 【解析】该圆锥轴截面为底边长为 2，腰为 3 的等腰三角形，其内切圆为该球 的大圆，该三角形的周 长为 8，面积为 2 ，由于三角形面积 S，周长 C 和内切圆半径 R 的关系为 S＝ ，所以 R ＝ ，故该球的体积 πR3＝ π· 3＝ π． 20．（12 分）已知函数 f（x）＝x3－kx＋k2． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有三个零点，求 k 的取值范围． 【解析】（1）由题意可得，定义域为 R f′（x）＝3x2－k ①当 k≤0 时，f′（x）＞0，函数 f（x）在 R 上单调递增 ②当 k＞0 时，f′（x）＝3x2－k f′（x）＞0⇒x＜ 或 x＞ 1 sin x 2 π ( )2f π− 2 x π −   2 x π +   2 3 2 2 CR 2S C 2 2 4 3 4 3 2 2       2 3 3 k 3 kf（x）在 单调递增 或 f（x）在 单调递增 f′（x）＜0⇒ ＜x＜ 函数 f（x）在 上单调递增 （2）f（x）＝x3－kx＋k2 由（1）可知，k≤0 时（舍去） k＞0，由题意得 k＞0 且 f ＞0，f ＜0，解之得 0＜k＜ ．[ 21．（12 分）已知椭圆 C： ＝1（0＜m＜5）的离心率 为 ，A，B 分别为 C 的左、右顶点． （1）求 C 的方程： （2）若点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x＝6 上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ 的面积． 【答案】 （1）C： ＝1（0＜m＜5）　（2） 【解析】（1）设 a＝4t，c＝ t，则 b＝m＝t，所以 m＝t， 又 a＝4t＝5，解得 t＝ ，所以 m＝ ，所以 C 的方程为 C： ＝1（0＜m＜5）． （2）解法一：如图 设点 Q（6，t），P（m，n），又 A（－5，0），B（5，0）， 则 ＝（m－5，n）， ＝（1－t）， 3 k −∞ −    ， 3 k + ∞    ， 3 k 3 k 3 3 k k −    ， 3 k      3 k      4 27 2 2 225 x y m + 15 4 2 216 25 25 x y+ 5 2 15 5 4 5 4 2 216 25 25 x y+ BP BQ所以 · ＝0，得 m－5＋nt＝0，[来源:学&科&网] 过 P 作 PK⊥x 轴，所以∠1＋∠2＝ ，∠1＋∠3＝ ， 所以∠2＝∠3，∠4＝∠1， 所以△PKB≅△BQA，[来源:Z.Com] 得 KB＝QG，PK＝BG＝1，即 y＝1， 所以 P（m，1），得 m－5＋t＝0，[来源:学§科§网] 代入椭圆方程 ＝1， 解得 m＝±3， 所以 P（3，1）或 P（－3，1）；Q（6，2）或 Q（6，8）， 当 P（3，1），Q（6，2）时，|AQ|＝ ， 直线 AQ 的方程为：2x－11y＋10＝0，P（3，1）到直线 AQ 的距离为 d＝ ， 所以 S△APQ＝ |AQ|d＝ × × ＝ ， 当 P（－3，1），Q（6，8）时，|AQ|＝ ， 直线 AQ 的方程为：8x－11y＋ 40＝0，P（－3，1）到直线 AQ 的距离为 d＝ ， 所以 S△APQ＝ |AQ|d＝ × × ＝ ， 综上△APQ 的面积为 ． 解法二：如图 设点 Q（6，t），P（m，n），又 A（－5，0），B（5，0）， 所以 kPBKBQ＝－1，得 t· ＝－1，① BP BQ 2 π 2 π 2 16 25 25 x + 125 5 125 1 2 1 2 125 5 125 5 2 185 5 185 1 2 1 2 185 5 185 5 2 5 2 5 m n −由|BP|＝|BQ|，得（m－5）2＋n2＝t2＋1，② 由①得，t·＝ 代入②得（m－5）2＋n2＝ 2＋1， （m－5）2n2＋n4＝（5－m）2＋n2 整理得， （m－5）2（n2－1）＝n2（1－n2）， 即 n＝1， 得 m＋t－5＝0， 以下解法同法一得到 P（3，1），Q（6，2）或 P（ －3，1），Q（6，8）． 当 P（3，1），Q（6，2），A（－5，0）时， 所以 AP＝（8，1），AQ＝（11，2）， 所以 S△APQ＝ |x1y2－x2y1|＝ ， 当 P（－3，1），Q（6，8），A（－5，0）时， 所以 AP＝（2，1），AQ＝（11，8）， 所 S△APQ＝ |x1y2－x2y1|＝ ， 综上△APQ 的面积为 ． 5 m n − 5 m n −     1 2 5 2 1 2 5 2 5 2