绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动
，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷
上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先解一元二次不等式求得集合 A，之后利用交集中元素的特征求得 ，得到结果.
【详解】由 解得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故选：D.
【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交
运算，属于基础题目.
2.若 ，则 （ ）
A. 0 B. 1
C. D. 2
2{ | 3 4 0}, { 4,1,3,5}A x x x B= − − < = − ， A B =
{ 4,1}− {1,5}
{3,5} {1,3}
A B
2 3 4 0x x− − < 1 4x− < <
{ }| 1 4A x x= − < <
{ }4,1,3,5B = − { }1,3A B =
31 2i iz = + + | | =z
2
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据 将 化简，再根据向量 模的计算公式即可求出．
【详解】因为 ，所以 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题．
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方
形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设 ，利用 得到关于 方程，解方程即可得到答案.
详解】如图，设 ，则 ，
由题意 ，即 ，化简得 ，
解得 （负值舍去）.
的
的
【
2 1i = − z
31+2 1+2 1z i i i i i= + = − = + 2 21 1 2z = + =
5 1
4
− 5 1
2
− 5 1
4
+ 5 1
2
+
,CD a PE b= = 2 1
2PO CD PE= ⋅ ,a b
,CD a PE b= = 2
2 2 2
4
aPO PE OE b= − = −
2 1
2PO ab= 2
2 1
4 2
ab ab− = 24( ) 2 1 0b b
a a
− ⋅ − =
1 5
4
b
a
+=
故选：C.
【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.
4.设 O 为正方形 ABCD 的中心，在 O，A，B，C，D 中任取 3 点，则取到的 3 点共线的概率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
列出从 5 个点选 3 个点的所有情况，再列出 3 点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.
【详解】如图，从 5 个点中任取 3 个有
共 种不同取法，
3 点共线只有 与 共 2 种情况，
由古典概型的概率计算公式知，
取到 3 点共线的概率为 .
故选：A
1
5
2
5
1
2
4
5
O A B C D, , , ,
{ , , },{ , , },{ , , },{ , , }O A B O A C O A D O B C
{ , , },{ , , },{ , , },{ , , }O B D O C D A B C A B D
{ , , },{ , , }A C D B C D 10
{ , , }A O C { , , }B O D
2 1
10 5
=
【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位：°C）的关系，在 20 个不同的温度
条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
由此散点图，在 10°C 至 40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类
型的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
故选：D.
【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.
6.已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
( , )( 1,2, ,20)i ix y i =
y a bx= + 2y a bx= +
exy a b= + lny a b x= +
y x lny a b x= +
2 2 6 0x y x+ − =
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线和圆心与点 连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】圆 化为 ，所以圆心 坐标为 ，半径为 ，
设 ，当过点 的直线和直线 垂直时，圆心到过点 的直线的距离最大，所求的弦长最短，
根据弦长公式最小值为 .
故选：B.
【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.
7.设函数 在 的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数 图象
与 轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式即可
(1,2)
2 2 6 0x y x+ − = 2 2( 3) 9x y− + = C (3,0)C 3
(1,2)P P CP P
22 9 | | 2 9 8 2CP− = − =
( ) cos π( )6f x xω= + [ π,π]−
10π
9
7π
6
4π
3
3π
2
4 ,09
π −
4cos 09 6
π πω − ⋅ + =
4 ,09
π −
( )f x
x 4
9 6 2
π π πω− ⋅ + = − 3
2
ω =
得解.
【详解】由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得：
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得：
所以函数 的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
8.设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到 ，即 ，进而求得 ，得到
结果.
【详解】由 可得 ，所以 ，
所以有 ，
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，
属于基础题目.
9.执行下面的程序框图，则输出的 n=（ ）
4 ,09
π −
( )f x 4cos 09 6
π πω − ⋅ + =
4 ,09
π −
( )f x x
4
9 6 2
π π πω− ⋅ + = − 3
2
ω =
( )f x
2 2 4
3 3
2
T
π π π
ω= = =
3log 4 2a = 4 a− =
1
16
1
9
1
8
1
6
3log 4 2a = 4 9a = 14 9
a− =
3log 4 2a = 3log 4 2a = 4 9a =
14 9
a− =
A. 17 B. 19 C. 21 D. 23
【答案】C
【解析】
【分析】
根据程序框图的算法功能可知，要计算满足 的最小正奇数 ，根据等差数列求和公
式即可求出．
【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的 是满足 的最小正奇数，
因为 ，解得 ，
所以输出的 ．
故选：C.
【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前 项和公式的应用，属于基础题．
10.设 是等比数列，且 ， ，则 （ ）
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件求得 的值，再由 可求得结果.
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，
，
1 3 5 100n+ + + + > n
n 1 3 5 100n+ + + + >
( )
( )2
11 1 121 3 5 1 1002 4
nn
n n
− + × + + + + + = = + >
19n >
21n =
n
{ }na 1 2 3 1a a a+ + = 2 3 4+ 2a a a+ = 6 7 8a a a+ + =
q ( )5
6 7 8 1 2 3a a a q a a a+ + = + +
{ }na q ( )2
1 2 3 1 1 1a a a a q q+ + = + + =
( )2 3 2
2 3 4 1 1 1 1 1 2a a a a q a q a q a q q q q+ + = + + = + + = =
因此， .
故选：D.
【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．
11.设 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且 ，则 的
面积为（ ）
A. B. 3 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
由 是 以 P 为 直 角 直 角 三 角 形 得 到 ， 再 利 用 双 曲 线 的 定 义 得 到
，联立即可得到 ，代入 中计算即可.
【详解】由已知，不妨设 ，
则 ，因为 ，
所以点 在以 为直径的圆上，
即 是以 P 为直角顶点的直角三角形，
故 ，
即 ，又 ，
所以 ，
解得 ，所以
故选：B
【点晴】本题考查双曲线中焦点三角面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，
是一道中档题.
12.已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ，
，则球 的表面积为（ ）
( )5 6 7 5 2 5
6 7 8 1 1 1 1 1 32a a a a q a q a q a q q q q+ + = + + = + + = =
1 2,F F
2
2: 13
yC x − = O P C | | 2OP = 1 2PF F△
7
2
5
2
1 2F F P 2 2
1 2| | | | 16PF PF+ =
1 2| | | | 2PF PF− = 1 2| || |PF PF 1 2F F PS =△ 1 2
1 | || |2 PF PF
1 2( 2,0), (2,0)F F−
1, 2a c= = 1 2
1| | 1 | |2OP F F= =
P 1 2F F
1 2F F P
2 2 2
1 2 1 2| | | | | |PF PF F F+ =
2 2
1 2| | | | 16PF PF+ = 1 2| | | | 2 2PF PF a− = =
2
1 24 | | | |PF PF= − = 2 2
1 2| | | | 2PF PF+ − 1 2| || | 16 2PF PF = − 1 2| || |PF PF
1 2| || | 6PF PF =
1 2F F PS =△ 1 2
1 | || | 32 PF PF =
, ,A B C O 1O ABC 1O 4π
1AB BC AC OO= = = O
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得等边 的外接圆半径，进而求出其边长，得出 的值，根据球截面性质，求出球的半径
，即可得出结论.
【详解】设圆 半径为 ，球的半径为 ，依题意，
得 ，
由正弦定理可得 ，
，根据圆截面性质 平面 ，
，
球 的表面积 .
故选：A
【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.若 x，y 满足约束条件 则 z=x+7y 的最大值为______________.
【答案】1
【解析】
【分析】
首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.
64π 48π 36π 32π
ABC 1OO
1O r R
2 4 , 2r rπ π= ∴ =
2 sin60 2 3AB r= ° =
1 2 3OO AB∴ = = 1OO ⊥ ABC
2 2 2 2
1 1 1 1 1, 4OO O A R OA OO O A OO r∴ ⊥ = = + = + =
∴ O 24 64S Rπ π= =
2 2 0,
1 0,
1 0,
x y
x y
y
+ − ≤
− − ≥
+ ≥
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数 即： ，
其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，
联立直线方程： ，可得点 A 的坐标为： ，
据此可知目标函数的最大值为： .
故答案为：1．
【点睛】求线性目标函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当 b＞0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值
最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b＜0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴
上截距最小时，z 值最大.
14.设向量 ，若 ，则 ______________.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.
【详解】由 可得 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
故答案为：5.
7z x y= + 1 1
7 7y x z= − +
2 2 0
1 0
x y
x y
+ − =
− − = ( )1,0A
max 1 7 0 1z = + × =
(1, 1), ( 1,2 4)m m= − = + −a b a b⊥ m =
a b⊥ 0a b⋅ =
(1, 1), ( 1,2 4)a b m m= − = + −
1 ( 1) ( 1) (2 4) 0a b m m⋅ = ⋅ + + − ⋅ − =
5m =
【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.
15.曲线 的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
设切线的切点坐标为 ，对函数求导，利用 ，求出 ，代入曲线方程求出 ，得到切线的
点斜式方程，化简即可.
【详解】设切线的切点坐标为 ，
，所以切点坐标为 ，
所求的切线方程为 ，即 .
故答案为： .
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
16.数列 满足 ，前 16 项和为 540，则 ______________.
【答案】
【解析】
【分析】
对 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用 表示，由
偶数项递推公式得出偶数项的和，建立 方程，求解即可得出结论.
【详解】 ，
当 为奇数时， ；当 为偶数时， .
设数列 前 项和为 ，的
ln 1y x x= + +
2y x=
0 0( , )x y 0
| 2xy′ = 0x 0y
0 0
1( , ), ln 1, 1x y y x x y x
= + + ′ = +
0 0 0
0
1| 1 2, 1, 2x xy x yx=′ = + = = = (1,2)
2 2( 1)y x− = − 2y x=
2y x=
{ }na 2 ( 1) 3 1n
n na a n+ + − = − 1a =
7
n 1a
1a
2 ( 1) 3 1n
n na a n+ + − = −
n 2 3 1n na a n+ = + − n 2 3 1n na a n+ + = −
{ }na n nS
16 1 2 3 4 16S a a a a a= + + + + +
1 3 5 15 2 4 14 16( ) ( )a a a a a a a a= + + + + + + +
1 1 1 1 1 1( 2) ( 10) ( 24) ( 44) ( 70)a a a a a a= + + + + + + + + + +
，
.
故答案为： .
【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属
于较难题.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为 A，B，C，D 四个等级.加工业务约定
：对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费 90 元，50 元，20 元；对于 D 级品，厂家每件
要赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为 25 元/件，乙分厂加工
成本费为 20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100 件这种产品，并统计
了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接
加工业务?
【答案】（1）甲分厂加工出来的 级品的概率为 ，乙分厂加工出来的 级品的概率为 ；（2）选
甲分厂，理由见解析.
【解析】
1 1( 102) ( 140) (5 17 29 41)a a+ + + + + + + +
1 18 392 92 8 484 540a a= + + = + =
1 7a∴ =
7
A 0.4 A 0.28
【分析】
（1）根据两个频数分布表即可求出；
（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工 件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．
【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为 级品的概率为 ，乙厂加工出来的一件产
品为 级品的概率为 ；
（2）甲分厂加工 件产品的总利润为
元，
所以甲分厂加工 件产品的平均利润为 元每件；
乙分厂加工 件产品 总利润为
元，
所以乙分厂加工 件产品的平均利润为 元每件．
故厂家选择甲分厂承接加工任务．
【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基
础题．
18. 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 B=150°.
（1）若 a= c，b=2 ，求 的面积；
（2）若 sinA+ sinC= ，求 C.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）已知角 和 边，结合 关系，由余弦定理建立 的方程，求解得出 ，利用面积公式，即可得
出结论；
（2）将 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关 角的三角函数值，结
合 的范围，即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可得 ，
的面积 ；
的
100
A 40 0.4100
=
A 28 0.28100
=
100
( ) ( ) ( ) ( )40 90 25 20 50 25 20 20 25 20 50 25 1500× − + × − + × − − × + =
100 15
100
( ) ( ) ( ) ( )28 90 20 17 50 20 34 20 20 21 50 20 1000× − + × − + × − − × + =
100 10
ABC
3 7 ABC
3 2
2
3 15°
B b ,a c c ,a c
30A C= ° − C
C
2 2 2 228 2 cos150 7b a c ac c= = + − ⋅ ° =
2, 2 3,c a ABC∴ = = ∴△ 1 sin 32S ac B= =
（2） ，
，
，
.
【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于
基础题.
19.如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 是底面的内接正三角形， 为 上一点，
∠APC=90°．
（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAC；
（2）设 DO= ，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥 P−ABC 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据已知可得 ，进而有 ，可得
，即 ，从而证得 平面 ，即可证得结论；
（2）将已知条件转化为母线 和底面半径 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形
边长，在等腰直角三角形 中求出 ，在 中，求出 ，即可求出结论.
【详解】（1） 为圆锥顶点， 为底面圆心， 平面 ，
在 上， ，
是圆内接正三角形， ， ，
30A C+ = °
sin 3sin sin(30 ) 3sinA C C C∴ + = ° − +
1 3 2cos sin sin( 30 )2 2 2C C C= + = + ° =
0 30 , 30 30 60C C° < < ° ∴ ° < + ° < °
30 45 , 15C C∴ + ° = ° ∴ = °
D O ABC P DO
2 3π
6
8
PA PB PC= = PAC PBC≅△ △
90APC BPC∠ = ∠ = PB PC⊥ PC ⊥ PAB
l r ABC
APC AP Rt APO PO
D O OD∴ ⊥ ABC
P DO ,OA OB OC PA PB PC= = ∴ = =
ABC AC BC∴ = PAC PBC≅△ △
，即 ，
平面 平面 ， 平面 平面 ；
（2）设圆锥的母线为 ，底面半径为 ，圆锥的侧面积为 ，
，解得 ， ，
在等腰直角三角形 中， ，
在 中， ，
三棱锥 的体积为 .
【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转
化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.
20.已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】（1）减区间为 ，增区间为 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将 代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间
；
90APC BPC∴∠ = ∠ = ° ,PB PC PA PC⊥ ⊥
,PA PB P PC= ∴ ⊥ ,PAB PC ⊂ PAC ∴ PAB ⊥ PAC
l r 3 , 3rl rlπ π= =
2 2 2 2OD l r= − = 1, 3r l= = 2 sin 60 3AC r= =
APC 2 6
2 2AP AC= =
Rt PAO 2 2 6 214 2PO AP OA= − = − =
∴ P ABC− 1 1 2 3 633 3 2 4 8P ABC ABCV PO S− = ⋅ = × × × =△
( ) ( 2)xf x e a x= − +
1a = ( )f x
( )f x a
( ,0)−∞ (0, )+∞ 1( , )e
+∞
1a =
（2）若 有两个零点，即 有两个解，将其转化为 有两个解，令
，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.
【详解】（1）当 时， ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 的减区间为 ，增区间为 ；
（2）若 有两个零点，即 有两个解，
从方程可知， 不成立，即 有两个解，
令 ，则有 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
且当 时， ，
而 时， ，当 时， ，
所以当 有两个解时，有 ，
所以满足条件的 的取值范围是： .
【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根
据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线 和直线
有两个交点，利用过点 的曲线 的切线斜率，结合图形求得结果.
21.已知 A、B 分别为椭圆 E： （a>1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点， ，P 为直
线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D．
（1）求 E 的方程；
（2）证明：直线 CD 过定点.
( )f x ( 2) 0xe a x− + =
2
xea x
= +
( ) ( 2)2
xeh x xx
= ≠ −+
1a = ( ) ( 2)xf x e x= − + ' ( ) 1xf x e= −
' ( ) 0f x < 0x < ' ( ) 0f x > 0x >
( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞
( )f x ( 2) 0xe a x− + =
2x =
2
xea x
= +
( ) ( 2)2
xeh x xx
= ≠ −+
'
2 2
( 2) ( 1)( ) ( 2) ( 2)
x x xe x e e xh x x x
+ − += =+ +
' ( ) 0h x > 1x > − ' ( ) 0h x < 2x < − 2 1x− < < −
( )h x ( , 2)−∞ − ( 2, 1)− − ( 1, )− +∞
2x < − ( ) 0h x <
2x +→ − ( )h x → +∞ x → +∞ ( )h x → +∞
2
xea x
= +
1( 1)a h e
> − =
a 1( , )e
+∞
xy e=
( 2)y a x= + ( 2,0)− xy e=
2
2
2 1x ya
+ = 8AG GB⋅ =
【答案】（1） ；（2）证明详见解析.
【解析】
【分析】
（1）由已知可得： ， ， ，即可求得 ，结合已知即可求得：
，问题得解.
（2）设 ，可得直线 的方程为： ，联立直线 的方程与椭圆方程即可求得点
的坐标为 ，同理可得点 的坐标为 ，即可表示出直线 的方
程，整理直线 的方程可得： ，命题得证.
【详解】（1）依据题意作出如下图象：
由椭圆方程 可得： ， ，
，
，
椭圆方程为：
（2）证明：设 ，
则直线 的方程为： ，即：
2
2 19
x y+ =
( ),0A a− ( ),0B a ( )0,1G 2 1AG GB a⋅ = −
2 9a =
( )06,P y AP ( )0 39
yy x= + AP C
2
0 0
2 2
0 0
3 27 6,9 9
y y
y y
− +
+ + D
2
0 0
2 2
0 0
3 3 2,1 1
y y
y y
− −
+ + CD
CD ( )0
2
0
4 3
23 3
yy x
y
= − −
2
2
2: 1( 1)xE y aa
+ = > ( ),0A a− ( ),0B a ( )0,1G
∴ ( ),1AG a= ( ), 1GB a= −
∴ 2 1 8AG GB a⋅ = − = ∴ 2 9a =
∴ 2
2 19
x y+ =
( )06,P y
AP ( ) ( )0 0 36 3
yy x
−= +− − ( )0 39
yy x= +
联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得：
，解得： 或
将 代入直线 可得：
所以点 的坐标为 .
同理可得：点 的坐标为
直线 的方程为： ，
整理可得：
整理得：
故直线 过定点
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属
于难题.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分.
[选修 4—4：坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）当 时， 是什么曲线？
AP
( )
2
2
0
19
39
x y
yy x
+ =
= +
( )2 2 2 2
0 0 09 6 9 81 0y x y x y+ + + − = 3x = −
2
0
2
0
3 27
9
yx y
− += +
2
0
2
0
3 27
9
yx y
− += + ( )0 39
yy x= + 0
2
0
6
9
yy y
= +
C
2
0 0
2 2
0 0
3 27 6,9 9
y y
y y
− +
+ +
D
2
0 0
2 2
0 0
3 3 2,1 1
y y
y y
− −
+ +
∴ CD
0 0
2 2 2
0 00 0
2 22 2
0 00 0
2 2
0 0
6 2
9 12 3 3
3 27 3 31 1
9 1
y y
y yy yy xy yy y
y y
−− + + − − − = − − + −+ + −+ +
( )
( ) ( )
2 2 2
0 00 0 0 0
2 2 24 2
0 0 00 0
8 32 3 3 8 3 3
1 1 16 9 6 3
y yy y y yy x xy y yy y
+ − −+ = − = − + + +− −
( ) ( )0 0 0
22 2
00 0
4 2 4 3
3 23 3 3 3
y y yy x xyy y
= + = − −− −
CD 3 ,02
xOy 1C cos ,
sin
k
k
x t
y t
=
=
(t ) x
2C 4 cos 16 sin 3 0ρ θ ρ θ− + =
1k = 1C
（2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标．
【答案】（1）曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用 消去参数 ，求出曲线 的普通方程，即可得出结论；
（2）当 时， ，曲线 的参数方程化为 为参数），两式相加消去参数 ，
得 普通方程，由 ，将曲线 化为直角坐标方程，联立 方程，即可求解.
【详解】（1）当 时，曲线 的参数方程为 为参数），
两式平方相加得 ，
所以曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆；
（2）当 时，曲线 的参数方程为 为参数），
所以 ，曲线 的参数方程化为 为参数），
两式相加得曲线 方程为 ，
得 ，平方得 ，
曲线 的极坐标方程为 ，
曲线 直角坐标方程为 ，
联立 方程 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
， 公共点的直角坐标为 .
【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，
4k = 1C 2C
1C 1 1( , )4 4
2 2sin cos 1t t+ = t 1C
4k = 0, 0x y≥ ≥ 1C
2
2
cos (
sin
x t t
y t
= =
t
1C cos , sinx yρ θ ρ θ= = 2C 1 2,C C
1k = 1C cos (sin
x t ty t
=
=
2 2 1x y+ =
1C
4k = 1C
4
4
cos (
sin
x t t
y t
=
=
0, 0x y≥ ≥ 1C
2
2
cos (
sin
x t t
y t
= =
1C 1x y+ =
1y x= − 2 1,0 1,0 1y x x x y= − + ≤ ≤ ≤ ≤
2C 4 cos 16 sin 3 0ρ θ ρ θ− + =
2C 4 16 3 0x y− + =
1 2,C C 2 1
4 16 3 0
y x x
x y
= − + − + =
12 32 13 0x x− + = 1
2x = 13
6x =
1 1,4 4x y∴ = = 1 2,C C∴ 1 1( , )4 4
要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.
[选修 4—5：不等式选讲]
23.已知函数 ．
（1）画出 的图像；
（2）求不等式 的解集．
【答案】（1）详解解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据分段讨论法，即可写出函数 的解析式，作出图象；
（2）作出函数 的图象，根据图象即可解出．
【详解】（1）因为 ，作出图象，如图所示：
（2）将函数 的图象向左平移 个单位，可得函数 的图象，如图所示：
( ) | 3 1| 2 | 1|f x x x= + − −
( )y f x=
( ) ( 1)f x f x> +
7, 6
−∞ −
( )f x
( )1f x+
( )
3, 1
15 1, 13
13, 3
x x
f x x x
x x
+ ≥
= − − <
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