2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)(解析版)
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2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)(解析版)

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资料简介
2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分 150 分. 2.作答时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 U={−2,−1,0,1,2,3},A={−1,0,1},B={1,2},则 ( ) A. {−2,3} B. {−2,2,3} C. {−2,−1,0,3} D. {−2,−1,0,2,3} 【答案】A 【解析】 【分析】 首先进行并集运算,然后计算补集即可. 【详解】由题意可得: ,则 . 故选:A. 【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用,属于基础题. 2.若 α 为第四象限角,则( ) A. cos2α>0 B. cos2α0 D. sin2α   3 πα = − 2cos2 cos 03 πα  = − sin 2 2sin cos 0α α α= a ( )2,1 a 2 3 0x y− − = ( )2,1 ( ),a a a 圆的标准方程为 . 由题意可得 , 可得 ,解得 或 , 所以圆心的坐标为 或 , 圆心到直线 距离均为 ; 所以,圆心到直线 的距离为 . 故选:B. 【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算,求出圆的方程是解题的关键,考查计算能力,属于中等题. 6.数列 中, , ,若 ,则 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 分析】 取 ,可得出数列 是等比数列,求得数列 的通项公式,利用等比数列求和公式可得出关于 的等式,由 可求得 的值. 【详解】在等式 中,令 ,可得 , , 所以,数列 是以 为首项,以 为公比的等比数列,则 , , ,则 ,解得 . 故选:C. 【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值,解答的关键就是求出数列的通项公式,考查计算能力, 属于中等题. 7.如图是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为 ,在俯视图中对应 的点为 ,则该端点在侧视图中对应的点为( ) 的 【 ( ) ( )2 2 2x a y a a− + − = ( ) ( )2 2 22 1a a a− + − = 2 6 5 0a a− + = 1a = 5a = ( )1,1 ( )5,5 2 3 0x y− − = 2 2 5 55 d −= = 2 3 0x y− − = 2 5 5 { }na 1 2a = m n m na a a+ = 15 5 1 2 10 2 2k k ka a a+ + ++ + + = − k = 1m = { }na { }na k k ∗∈N k m n m na a a+ = 1m = 1 1 2n n na a a a+ = = 1 2n n a a +∴ = { }na 2 2 12 2 2n n na −= × = ( ) ( ) ( ) ( )10 1 10 1 1 10 5 10 1 2 10 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 11 2 1 2 k k k k k k a a a a + + + + + + ⋅ − ⋅ − ∴ + + + = = = − = −− − 1 52 2k+∴ = 1 5k + = 4k = M N A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据三视图,画出多面体立体图形,即可求得 点在侧视图中对应的点. 【详解】根据三视图,画出多面体立体图形, 图中标出了根据三视图 点所在位置, 可知在侧视图中所对应的点为 故选:A 【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置,解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还 原立体图形的方法,考查了分析能力和空间想象,属于基础题. 8.设 为坐标原点,直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点,若 的面积为 8,则 的焦距的最小值为( ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 E F G H M M E O x a= 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > ,D E ODE C 【分析】 因为 ,可得双曲线的渐近线方程是 ,与直线 联立方程求得 , 两点坐标,即可求得 ,根据 的面积为 ,可得 值,根据 ,结合均值不等式, 即可求得答案. 【详解】 双曲线的渐近线方程是 直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 , 两点 不妨设 为在第一象限, 在第四象限 联立 ,解得 故 联立 ,解得 故 面积为: 双曲线 其焦距为 当且仅当 取等号 的焦距的最小值: 故选:B. 【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题,解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求 最值方法,在使用均值不等式求最值时,要检验等号是否成立,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 9.设函数 ,则 f(x)( ) 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > by xa = ± x a= D E | |ED ODE 8 ab 2 22 2c a b= +  2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > ∴ by xa = ±  x a= 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > D E D E x a by xa = = x a y b =  = ( , )D a b x a by xa = = − x a y b =  = − ( , )E a b− ∴| | 2ED b= ∴ ODE 1 2 82ODES a b ab= × = =△  2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > ∴ 2 22 2 2 2 2 16 8c a b ab= + ≥ = = 2 2a b= = ∴ C 8 ( ) ln | 2 1| ln | 2 1|f x x x= + − − A. 是偶函数,且在 单调递增 B. 是奇函数,且在 单调递减 C. 是偶函数,且在 单调递增 D. 是奇函数,且在 单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】 根据奇偶性的定义可判断出 为奇函数,排除 AC;当 时,利用函数单调性的性质可判断 出 单调递增,排除 B;当 时,利用复合函数单调性可判断出 单调递减,从而得 到结果. 【详解】由 得 定义域为 ,关于坐标原点对称, 又 , 为定义域上的奇函数,可排除 AC; 当 时, , 在 上单调递增, 在 上单调递减, 在 上单调递增,排除 B; 当 时, , 在 上单调递减, 在定义域内单调递增, 根据复合函数单调性可知: 在 上单调递减,D 正确. 故选:D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断;判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下,根 据 与 的关系得到结论;判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数,根据单调性的 1( , )2 +∞ 1 1( , )2 2 − 1( , )2 −∞ − 1( , )2 −∞ − ( )f x 1 1,2 2x  ∈ −   ( )f x 1, 2x  ∈ −∞ −   ( )f x ( ) ln 2 1 ln 2 1f x x x= + − − ( )f x 1 2x x ≠ ±   ( ) ( )ln 1 2 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1f x x x x x f x− = − − − − = − − + = − ( )f x∴ 1 1,2 2x  ∈ −   ( ) ( ) ( )ln 2 1 ln 1 2f x x x= + − − ( )ln 2 1y x= + 1 1,2 2  −   ( )ln 1 2y x= − 1 1,2 2  −   ( )f x∴ 1 1,2 2  −   1, 2x  ∈ −∞ −   ( ) ( ) ( ) 2 1 2ln 2 1 ln 1 2 ln ln 12 1 2 1 xf x x x x x +  = − − − − = = + − −  21 2 1x µ = + − 1, 2  −∞ −   ( ) lnf µ µ= ( )f x 1, 2  −∞ −   ( )f x− ( )f x 性质和复合函数“同增异减”性得到结论. 10.已知△ABC 是面积为 的等边三角形,且其顶点都在球 O 的球面上.若球 O 的表面积为 16π,则 O 到 平面 ABC 的距离为( ) A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据球 的表面积和 的面积可求得球 的半径 和 外接圆半径 ,由球的性质可知所求距 离 . 【详解】设球 的半径为 ,则 ,解得: . 设 外接圆半径为 ,边长为 , 是面积为 的等边三角形, ,解得: , , 球心 到平面 的距离 . 故选:C. 【点睛】本题考查球的相关问题的求解,涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用;解题关键是明 确球的性质,即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面. 11.若 ,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将不等式变为 ,根据 的单调性知 ,以此去判断各个选项中真数与 的大小关系,进而得到结果. 【详解】由 得: , 9 3 4 3 3 2 3 2 O ABC O R ABC r 2 2d R r= − O R 24 16Rπ π= 2R = ABC r a ABC 9 3 4 21 3 9 3 2 2 4a∴ × = 3a = 2 22 2 99 33 4 3 4 ar a∴ = × − = × − = ∴ O ABC 2 2 4 3 1d R r= − = − = 2 2 3 3x y x y− −− < − ln( 1) 0y x− + > ln( 1) 0y x− + < ln | | 0x y− > ln | | 0x y− < 2 3 2 3x x y y− −− < − ( ) 2 3t tf t −= − x y< 1 2 2 3 3x y x y− −− < − 2 3 2 3x x y y− −− < − 令 , 为 上的增函数, 为 上的减函数, 为 上的增函数, , , , ,则 A 正确,B 错误; 与 的大小不确定,故 CD 无法确定. 故选:A. 【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题,解题关键是能够通过构造函数的方式,利用函数的单调性得 到 的大小关系,考查了转化与化归的数学思想. 12.0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足 ,且存在正整数 , 使得 成立,则称其为 0-1 周期序列,并称满足 的最小正整数 为这个 序列的周期.对于周期为 的 0-1 序列 , 是描述其性质的重要 指标,下列周期为 5 的 0-1 序列中,满足 的序列是( ) A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由 知,序列 的周期为 m,由已知, , 对于选项 A, ,不满足; 对于选项 B, ,不满足; 对于选项 D, . ( ) 2 3t tf t −= − 2xy = R 3 xy −= R ( )f t∴ R x y∴ < 0y x− > 1 1y x∴ − + > ( )ln 1 0y x∴ − + > x y− 1 ,x y 1 2 na a a  {0,1}( 1,2, )ia i∈ =  m ( 1,2, )i m ia a i+ = =  ( 1,2, )i m ia a i+ = =  m m 1 2 na a a  1 1( ) ( 1,2, , 1) m i i k i C k a a k mm + = = = −∑  1( ) ( 1,2,3,4)5C k k≤ = 11010 11011 10001 11001 i m ia a+ = ia 5m = 5 1 1( ) , 1,2,3,45 i i k i C k a a k+ = = =∑ 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 1 1 1 1 1 1(1) ( ) (1 0 0 0 0)5 5 5 5 5i i i C a a a a a a a a a a a a+ = = = + + + + = + + + + = ≤∑ 5 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 1 1 1 1 2(2) ( ) (0 1 0 1 0)5 5 5 5i i i C a a a a a a a a a a a a+ = = = + + + + = + + + + =∑ 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 1 1 1 1 3(1) ( ) (1 0 0 1 1)5 5 5 5i i i C a a a a a a a a a a a a+ = = = + + + + = + + + + =∑ ,不满足; 故选:C 【点晴】本题考查数列的新定义问题,涉及到周期数列,考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力, 是一道中档题. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知单位向量 a,b 的夹角为 45°,ka–b 与 a 垂直,则 k=__________. 【答案】 【解析】 【分析】 首先求得向量的数量积,然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数 k 的值. 【详解】由题意可得: , 由向量垂直的充分必要条件可得: , 即: ,解得: . 故答案为: . 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则,向量垂直的充分必要条件等知识,意在考查学 生的转化能力和计算求解能力. 14.4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去 1 个小区,每个小区至少安排 1 名同学,则 不同的安排方法共有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意,采用捆绑法,先取 2 名同学看作一组,现在可看成是 3 组同学分配到 3 个小区,即可求得答案. 【详解】 4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去 1 个小区,每个小区至少安排 1 名同 学 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 1 1 1 1 2(1) ( ) (1 0 0 0 1)5 5 5 5i i i C a a a a a a a a a a a a+ = = = + + + + = + + + + =∑ 2 2 21 1 cos45 2a b → → ⋅ = × × = 0k a b a → → → − ⋅ =   2 2 02k a a b k → → → × − ⋅ = − = 2 2k = 2 2 36  先取 2 名同学看作一组,选法有: 现在可看成是 3 组同学分配到 3 个小区,分法有: 根据分步乘法原理,可得不同的安排方法 种 故答案为: . 【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用,解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用,考查了分 析能力和计算能力,属于中档题. 15.设复数 , 满足 , ,则 =__________. 【答案】 【解析】 【分析】 令 , , 根 据 复 数 的 相 等 可 求 得 ,代入复数模长的公式中即可得到结果. 【详解】 ,可设 , , , ,两式平方作和得: , 化简得: 故答案为: . 【点睛】本题考查复数模长的求解,涉及到复数相等的应用;关键是能够采用假设的方式,将问题转化为 三角函数的运算问题. 16.设有下列四个命题: p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面. . ∴ 2 4 6C = 3 3 6A = 6 6 36× = 36 1z 2z 1 2| |=| |=2z z 1 2 3 iz z+ = + 1 2| |z z− 2 3 1 2cos 2sinz iθ θ= + ⋅ 2 2cos 2sinz iα α= + ⋅ 1cos cos sin sin 2 θ α θ α+ = − 1 2 2z z= = 1 2cos 2sinz iθ θ= + ⋅ 2 2cos 2sinz iα α= + ⋅ ( ) ( )1 2 2 cos cos 2 sin sin 3z z i iθ α θ α∴ + = + + + ⋅ = + ( ) ( ) 2 cos cos 3 2 sin sin 1 θ α θ α  + =∴ + = ( )4 2 2cos cos 2sin sin 4θ α θ α+ + = 1cos cos sin sin 2 θ α θ α+ = − ( ) ( )1 2 2 cos cos 2 sin sinz z iθ α θ α∴ − = − + − ⋅ ( ) ( ) ( )2 24 cos cos 4 sin sin 8 8 cos cos sin sinθ α θ α θ α θ α= − + − = − + 8 4 2 3= + = 2 3 p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行. p4:若直线 l 平面 α,直线 m⊥平面 α,则 m⊥l. 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ① ② ③ ④ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 利用两交线直线确定一个平面可判断命题 的真假;利用三点共线可判断命题 的真假;利用异面直线可 判断命题 的真假,利用线面垂直的定义可判断命题 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论. 【详解】对于命题 ,可设 与 相交,这两条直线确定的平面为 ; 若 与 相交,则交点 在平面 内, 同理, 与 的交点 也在平面 内, 所以, ,即 ,命题 为真命题; 对于命题 ,若三点共线,则过这三个点的平面有无数个, 命题 为假命题; 对于命题 ,空间中两条直线相交、平行或异面, 命题 为假命题; 对于命题 ,若直线 平面 , 则 垂直于平面 内所有直线, 直线 平面 , 直线 直线 , 命题 为真命题. 综上可知, 为真命题, 为假命题, ⊂ 1 4p p∧ 1 2p p∧ 2 3p p¬ ∨ 3 4p p¬ ∨ ¬ 1p 2p 3p 4p 1p 1l 2l α 3l 1l A α 3l 2l B α AB α⊂ 3l α⊂ 1p 2p 2p 3p 3p 4p m ⊥ α m α  l ⊂ α ∴ m ⊥ l 4p 1 4p p∧ 1 2p p∧ 为真命题, 为真命题. 故答案为:①③④. 【点睛】本题考查复合命题的真假,同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断,考查推理能力, 属于中等题. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17. 中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC. (1)求 A; (2)若 BC=3,求 周长的最大值. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【分析】 (1)利用正弦定理角化边,配凑出 的形式,进而求得 ; (2)利用余弦定理可得到 ,利用基本不等式可求得 的最大值,进而 得到结果. 【详解】(1)由正弦定理可得: , , , . (2)由余弦定理得: , 即 . (当且仅当 时取等号), , 解得: (当且仅当 时取等号), 2 3p p¬ ∨ 3 4p p¬ ∨ ¬ ABC ABC 2 3 π 3 2 3+ cos A A ( )2 9AC AB AC AB+ − ⋅ = AC AB+ 2 2 2BC AC AB AC AB− − = ⋅ 2 2 2 1cos 2 2 AC AB BCA AC AB + −∴ = = −⋅ ( )0,A π∈ 2 3A π∴ = 2 2 2 2 22 cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB= + − ⋅ = + + ⋅ = ( )2 9AC AB AC AB+ − ⋅ = 2 2 AC ABAC AB + ⋅ ≤    AC AB= ( ) ( ) ( )2 2 2 239 2 4 AC ABAC AB AC AB AC AB AC AB + ∴ = + − ⋅ ≥ + − = +   2 3AC AB+ ≤ AC AB= 周长 , 周长的最大值为 . 【点睛】本题考查解三角形的相关知识,涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最 大值的求解问题;求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中,结合基本不等式构造不等关系 求得最值. 18.某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数 量,将其分成面积相近的 200 个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区,调查得到 样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野 生动物的数量,并计算得 , , , , . (1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均 数乘以地块数); (2)求样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到 0.01); (3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物 数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由. 附:相关系数 r= , =1.414. 【答案】(1) ;(2) ;(3)详见解析 【解析】 【分析】 (1)利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数,代入数据即可; (2)利用公式 计算即可; (3)各地块间植物覆盖面积差异较大,为提高样本数据的代表性,应采用分层抽样. 【详解】(1)样区野生动物平均数为 , ABC∴ 3 2 3L AC AB BC= + + ≤ + ABC∴ 3 2 3+ 20 1 60 i ix = =∑ 20 1 1200 i iy = =∑ 20 2 1 ) 80 i i xx = − =∑( 20 2 1 ) 9000 i iy y = − =∑( 20 1 ) ) 800i i ix yx y = − − =∑( ( 1 2 2 1 1 ) ) ) ) n i i i i i n n i i x y x x y yyx = = = − − − − ∑ ∑ ∑ ( ( ( ( 2 12000 0.94 20 1 20 20 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( ) i i i i i i i x x y y r x x y y = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ 20 1 1 1 1200 6020 20i i y = = × =∑ 地块数为 200,该地区这种野生动物的估计值为 (2)样本 的相关系数为 (3) 由于各地块间植物覆盖面积差异较大,为提高样本数据的代表性,应采用分层抽样 先将植物覆盖面积按优中差分成三层, 在各层内按比例抽取样本, 在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可. 【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取,考查学生数学运算能力, 是一道容易题. 19.已知椭圆 C1: (a>b>0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合,C1 的中心与 C2 的顶点重合.过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A,B 两点,交 C2 于 C,D 两点,且|CD|= |AB|. (1)求 C1 的离心率; (2)设 M 是 C1 与 C2 的公共点,若|MF|=5,求 C1 与 C2 的标准方程. 【答案】(1) ;(2) , . 【解析】 【分析】 (1)求出 、 ,利用 可得出关于 、 的齐次等式,可解得椭圆 的离心率的值; (2)由(1)可得出 的方程为 ,联立曲线 与 的方程,求出点 的坐标,利用抛物 线的定义结合 可求得 的值,进而可得出 与 的标准方程. 【详解】(1) , 轴且与椭圆 相交于 、 两点, 则直线 的方程为 , 200 60 12000× = ( , )i ix y 20 1 20 20 2 2 1 1 ( )( ) 800 2 2 0.94380 9000( ) ( ) i i i i i i i x x y y r x x y y = = = − − = = = ≈ ×− − ∑ ∑ ∑ 2 2 2 2 1x y a b + = 4 3 1 2 2 2 1 : 136 27 x yC + = 2 2 : 12C y x= AB CD 4 3CD AB= a c 1C 1C 2 2 2 2 14 3 x y c c + = 1C 2C M 5MF = c 1C 2C ( ),0F c AB x⊥ 1C A B AB x c= 联立 ,解得 ,则 , 抛物线 的方程为 ,联立 , 解得 , , ,即 , , 即 ,即 , ,解得 ,因此,椭圆 的离心率为 ; (2)由(1)知 , ,椭圆 的方程为 , 联立 ,消去 并整理得 , 解得 或 (舍去), 由抛物线的定义可得 ,解得 . 因此,曲线 的标准方程为 , 曲线 的标准方程为 . 2 2 2 2 2 2 2 1 x c x y a b a b c =  + =  = + 2 x c by a = = ± 22bAB a = 2C 2 4y cx= 2 4 x c y cx =  = 2 x c y c =  = ± 4CD c∴ = 4 3CD AB= 284 3 bc a = 22 3b ac= 2 22 3 2 0c ac a+ − = 22 3 2 0e e+ − = 0 1e< ON AP= 6NP AO AB m= = =  O 1 1 1A B C△ 1 1 1A B C△ 6m ∴ 1 6 sin 60 33ON m= × × ° = 3ON AP m= =  //EF BC ∴ AP EP AM BM = ∴ 3 33 3 EP= EP m= 1 1B C 1B Q EP m= = 2QN m=  1B Q EP= 1 //B Q EP ∴ 1B QPE ∴ 1 //B E PQ 1 1B C ⊥ 1A AMN QPN∠ 1B E 1A AMN Rt QPN△ ( ) ( )2 22 2 2 6 2 10PQ QN PN m m m= + = + = 2 10sin 102 10 QN mQPN PQ m ∴ ∠ = = = 直线 与平面 所成角的正弦值: . 【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直,及其线面角,解题关键是掌握面面垂直转为求证线面 垂直的证法和线面角的定义,考查了分析能力和空间想象能力,属于难题. 21.已知函数 f(x)=sin2xsin2x. (1)讨论 f(x)在区间(0,π)的单调性; (2)证明: ; (3)设 n∈N*,证明:sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ . 【答案】(1)当 时, 单调递增,当 时, 单调递 减,当 时, 单调递增.(2)证明见解析;(3)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)首先求得导函数的解析式,然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号,最后确定原函数的单调性 即可; (2)首先确定函数的周期性,然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的 不等式; (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 ,然后结合(2)的结论和三角 函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得: ,则: , 在 上的根为: , 当 时, 单调递增, ∴ 1B E 1A AMN 10 10 3 3( ) 8f x ≤ 3 4 n n 0, 3x π ∈   ( ) ( )' 0,f x f x> 2,3 3x π π ∈   ( ) ( )' 0,f x f x< 2 ,3x π π ∈   ( ) ( )' 0,f x f x> ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 3sin sin sin 2 sin 2 sin 4 sin 2 sin 2 sin 2n n nf x x x x x x x x x− =   ( ) 32sin cosf x x x= ( ) ( )2 2 4' 2 3sin cos sinf x x x x= − ( )2 2 22sin 3cos sinx x x= − ( )2 22sin 4cos 1x x= − ( )( )22sin 2cos 1 2cos 1x x x= + − ( )' 0f x = ( )0,x π∈ 1 2 2,3 3x x π π= = 0, 3x π ∈   ( ) ( )' 0,f x f x> 当 时, 单调递减, 当 时, 单调递增. (2)注意到 , 故函数 是周期为 的函数, 结合(1)的结论,计算可得: , , , 据此可得: , , 即 . (3)结合(2)的结论有: . 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数 的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系. (2) 利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决 生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.并用 2B 铅笔将所选题号涂黑, 多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做,则按所做的第一题计分. [选修 4—4:坐标系与参数方程] 2,3 3x π π ∈   ( ) ( )' 0,f x f x< 2 ,3x π π ∈   ( ) ( )' 0,f x f x> ( ) ( ) ( ) ( )2 2sin sin 2 sin sin 2f x x x x x f xπ π π+ = + + = =   ( )f x π ( ) ( )0 0f f π= = 2 3 3 3 3 3 2 2 8f π    = × =        2 2 3 3 3 3 3 2 2 8f π      = × − = −              ( ) max 3 3 8f x =   ( ) min 3 3 8f x = −   ( ) 3 3 8f x ≤ 2 2 2 2sin sin 2 sin 4 sin 2nx x x x 2 3 3 3 3 3sin sin 2 sin 4 sin 2nx x x x =   ( )( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 3sin sin sin 2 sin 2 sin 4 sin 2 sin 2 sin 2n n nx x x x x x x x− =   2 3 23 3 3 3 3 3sin sin 28 8 8 nx x  ≤ × × × × ×    2 33 3 8 n   ≤       3 4 n =    22.已知曲线 C1,C2 的参数方程分别为 C1: (θ 为参数),C2: (t 为参数). (1)将 C1,C2 的参数方程化为普通方程; (2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1,C2 的交点为 P,求圆心在极轴上,且经过 极点和 P 的圆的极坐标方程. 【答案】(1) ; ;(2) . 【解析】 【分析】 (1)分别消去参数 和 即可得到所求普通方程; (2)两方程联立求得点 ,求得所求圆的直角坐标方程后,根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极 坐标方程. 【详解】(1)由 得 的普通方程为: ; 由 得: ,两式作差可得 的普通方程为: . (2)由 得: ,即 ; 设所求圆圆心的直角坐标为 ,其中 , 则 ,解得: , 所求圆的半径 , 所求圆的直角坐标方程为: ,即 , 所求圆的极坐标方程为 . 【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题,涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐 标方程等知识,属于常考题型. 2 2 4cos 4sin x y θ θ  =  = , 1, 1 x t t y t t  = +  = − 1 : 4C x y+ = 2 2 2 : 4C x y− = 17 cos5 ρ θ= θ t P 2 2cos sin 1θ θ+ = 1C 4x y+ = 1 1 x t t y t t  = +  = − 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 x t t y t t  = + +  = + − 2C 2 2 4x y− = 2 2 4 4 x y x y + =  − = 5 2 3 2 x y  =  = 5 3,2 2P     ( ),0a 0a > 2 2 25 302 2a a   − + − =       17 10a = ∴ 17 10r = ∴ 2 2 217 17 10 10x y   − + =       2 2 17 5x y x+ = ∴ 17 cos5 ρ θ= [选修 4—5:不等式选讲] 23.已知函数 . (1)当 时,求不等式 的解集; (2)若 ,求 a 的取值范围. 【答案】(1) 或 ;(2) . 【解析】 【分析】 (1)分别在 、 和 三种情况下解不等式求得结果; (2)利用绝对值三角不等式可得到 ,由此构造不等式求得结果. 【详解】(1)当 时, . 当 时, ,解得: ; 当 时, ,无解; 当 时, ,解得: ; 综上所述: 的解集为 或 . (2) (当且仅当 时取等号), ,解得: 或 , 的取值范围为 . 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题,属于常考题型. 2( ) | 2 1|f x x a x a= − + − + 2a = ( ) 4f x  ( ) 4f x  3 2x x ≤ 11 2x ≥  ( ] [ ), 1 3,−∞ − +∞ 3x ≤ 3 4x< < 4x ≥ ( ) ( )21f x a≥ − 2a = ( ) 4 3f x x x= − + − 3x ≤ ( ) 4 3 7 2 4f x x x x= − + − = − ≥ 3 2x≤ 3 4x< < ( ) 4 3 1 4f x x x= − + − = ≥ 4x ≥ ( ) 4 3 2 7 4f x x x x= − + − = − ≥ 11 2x ≥ ( ) 4f x ≥ 3 2x x ≤ 11 2x ≥  ( ) ( ) ( ) ( )22 2 22 1 2 1 2 1 1f x x a x a x a x a a a a= − + − + ≥ − − − + = − + − = − 22 1a x a− ≤ ≤ ( )21 4a∴ − ≥ 1a ≤ − 3a ≥ a∴ ( ] [ ), 1 3,−∞ − +∞

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