2020 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分 150 分.
2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则 （ ）
A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3}
【答案】A
【解析】
【分析】
首先进行并集运算，然后计算补集即可.
【详解】由题意可得： ，则 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.
2.若 α 为第四象限角，则（ ）
A. cos2α>0 B. cos2α0 D. sin2α
3
πα = − 2cos2 cos 03
πα = − sin 2 2sin cos 0α α α= a
( )2,1 a 2 3 0x y− − =
( )2,1
( ),a a a
圆的标准方程为 .
由题意可得 ，
可得 ，解得 或 ，
所以圆心的坐标为 或 ，
圆心到直线 距离均为 ；
所以，圆心到直线 的距离为 .
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
6.数列 中， ， ，若 ，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
分析】
取 ，可得出数列 是等比数列，求得数列 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于
的等式，由 可求得 的值.
【详解】在等式 中，令 ，可得 ， ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ，
，
，则 ，解得 .
故选：C.
【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，
属于中等题.
7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为 ，在俯视图中对应
的点为 ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）
的
【
( ) ( )2 2 2x a y a a− + − =
( ) ( )2 2 22 1a a a− + − =
2 6 5 0a a− + = 1a = 5a =
( )1,1 ( )5,5
2 3 0x y− − = 2 2 5
55
d
−= =
2 3 0x y− − = 2 5
5
{ }na 1 2a = m n m na a a+ = 15 5
1 2 10 2 2k k ka a a+ + ++ + + = − k =
1m = { }na { }na k
k ∗∈N k
m n m na a a+ = 1m = 1 1 2n n na a a a+ = = 1 2n
n
a
a
+∴ =
{ }na 2 2 12 2 2n n
na −= × =
( ) ( ) ( ) ( )10 1 10
1 1 10 5 10
1 2 10
1 2 2 1 2
2 2 1 2 2 11 2 1 2
k
k k
k k k
a
a a a
+
+ +
+ + +
⋅ − ⋅ −
∴ + + + = = = − = −− −
1 52 2k+∴ = 1 5k + = 4k =
M
N
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得 点在侧视图中对应的点.
【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，
图中标出了根据三视图 点所在位置，
可知在侧视图中所对应的点为
故选：A
【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还
原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.
8.设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，若
的面积为 8，则 的焦距的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】B
【解析】
E F G H
M
M
E
O x a= 2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > ,D E
ODE C
【分析】
因为 ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 联立方程求得 ，
两点坐标，即可求得 ，根据 的面积为 ，可得 值，根据 ，结合均值不等式，
即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得
故
联立 ，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当 取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求
最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
9.设函数 ，则 f(x)（ ）
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > by xa
= ± x a= D E
| |ED ODE 8 ab 2 22 2c a b= +
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > >
∴ by xa
= ±
x a= 2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > D E
D E
x a
by xa
= =
x a
y b
=
=
( , )D a b
x a
by xa
= = −
x a
y b
=
= −
( , )E a b−
∴| | 2ED b=
∴ ODE
1 2 82ODES a b ab= × = =△
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > >
∴ 2 22 2 2 2 2 16 8c a b ab= + ≥ = =
2 2a b= =
∴ C 8
( ) ln | 2 1| ln | 2 1|f x x x= + − −
A. 是偶函数，且在 单调递增 B. 是奇函数，且在 单调递减
C. 是偶函数，且在 单调递增 D. 是奇函数，且在 单调递减
【答案】D
【解析】
【分析】
根据奇偶性的定义可判断出 为奇函数，排除 AC；当 时，利用函数单调性的性质可判断
出 单调递增，排除 B；当 时，利用复合函数单调性可判断出 单调递减，从而得
到结果.
【详解】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除 AC；
当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除 B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D 正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根
据 与 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的
1( , )2
+∞ 1 1( , )2 2
−
1( , )2
−∞ − 1( , )2
−∞ −
( )f x 1 1,2 2x ∈ −
( )f x 1, 2x ∈ −∞ −
( )f x
( ) ln 2 1 ln 2 1f x x x= + − − ( )f x 1
2x x ≠ ±
( ) ( )ln 1 2 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1f x x x x x f x− = − − − − = − − + = −
( )f x∴
1 1,2 2x ∈ −
( ) ( ) ( )ln 2 1 ln 1 2f x x x= + − −
( )ln 2 1y x= +
1 1,2 2
−
( )ln 1 2y x= − 1 1,2 2
−
( )f x∴ 1 1,2 2
−
1, 2x ∈ −∞ −
( ) ( ) ( ) 2 1 2ln 2 1 ln 1 2 ln ln 12 1 2 1
xf x x x x x
+ = − − − − = = + − −
21 2 1x
µ = + −
1, 2
−∞ −
( ) lnf µ µ=
( )f x 1, 2
−∞ −
( )f x− ( )f x
性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
10.已知△ABC 是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上.若球 O 的表面积为 16π，则 O 到
平面 ABC 的距离为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据球 的表面积和 的面积可求得球 的半径 和 外接圆半径 ，由球的性质可知所求距
离 .
【详解】设球 的半径为 ，则 ，解得： .
设 外接圆半径为 ，边长为 ，
是面积为 的等边三角形，
，解得： ， ，
球心 到平面 的距离 .
故选：C.
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明
确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.
11.若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将不等式变为 ，根据 的单调性知 ，以此去判断各个选项中真数与
的大小关系，进而得到结果.
【详解】由 得： ，
9 3
4
3 3
2
3
2
O ABC O R ABC r
2 2d R r= −
O R 24 16Rπ π= 2R =
ABC r a
ABC
9 3
4
21 3 9 3
2 2 4a∴ × = 3a = 2
22 2 99 33 4 3 4
ar a∴ = × − = × − =
∴ O ABC 2 2 4 3 1d R r= − = − =
2 2 3 3x y x y− −− < −
ln( 1) 0y x− + > ln( 1) 0y x− + < ln | | 0x y− > ln | | 0x y− <
2 3 2 3x x y y− −− < − ( ) 2 3t tf t −= − x y< 1
2 2 3 3x y x y− −− < − 2 3 2 3x x y y− −− < −
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数，
，
， ， ，则 A 正确，B 错误；
与 的大小不确定，故 CD 无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得
到 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
12.0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足 ，且存在正整数 ，
使得 成立，则称其为 0-1 周期序列，并称满足 的最小正整数 为这个
序列的周期.对于周期为 的 0-1 序列 ， 是描述其性质的重要
指标，下列周期为 5 的 0-1 序列中，满足 的序列是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由 知，序列 的周期为 m，由已知， ，
对于选项 A，
，不满足；
对于选项 B，
，不满足；
对于选项 D，
.
( ) 2 3t tf t −= −
2xy = R 3 xy −= R ( )f t∴ R
x y∴ <
0y x− > 1 1y x∴ − + > ( )ln 1 0y x∴ − + >
x y− 1
,x y
1 2 na a a {0,1}( 1,2, )ia i∈ = m
( 1,2, )i m ia a i+ = = ( 1,2, )i m ia a i+ = = m
m 1 2 na a a
1
1( ) ( 1,2, , 1)
m
i i k
i
C k a a k mm +
=
= = −∑
1( ) ( 1,2,3,4)5C k k≤ =
11010 11011 10001 11001
i m ia a+ = ia 5m =
5
1
1( ) , 1,2,3,45 i i k
i
C k a a k+
=
= =∑
5
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
1
1 1 1 1 1(1) ( ) (1 0 0 0 0)5 5 5 5 5i i
i
C a a a a a a a a a a a a+
=
= = + + + + = + + + + = ≤∑
5
2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7
1
1 1 1 2(2) ( ) (0 1 0 1 0)5 5 5 5i i
i
C a a a a a a a a a a a a+
=
= = + + + + = + + + + =∑
5
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
1
1 1 1 3(1) ( ) (1 0 0 1 1)5 5 5 5i i
i
C a a a a a a a a a a a a+
=
= = + + + + = + + + + =∑
，不满足；
故选：C
【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，
是一道中档题.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知单位向量 a，b 的夹角为 45°，ka–b 与 a 垂直，则 k=__________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数 k 的值.
【详解】由题意可得： ，
由向量垂直的充分必要条件可得： ，
即： ，解得： .
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学
生的转化能力和计算求解能力.
14.4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同学，则
不同的安排方法共有__________种.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，采用捆绑法，先取 2 名同学看作一组，现在可看成是 3 组同学分配到 3 个小区，即可求得答案.
【详解】 4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同
学
5
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
1
1 1 1 2(1) ( ) (1 0 0 0 1)5 5 5 5i i
i
C a a a a a a a a a a a a+
=
= = + + + + = + + + + =∑
2
2
21 1 cos45 2a b
→ →
⋅ = × × =
0k a b a
→ → → − ⋅ =
2 2 02k a a b k
→ → →
× − ⋅ = − = 2
2k =
2
2
36
先取 2 名同学看作一组，选法有：
现在可看成是 3 组同学分配到 3 个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分
析能力和计算能力，属于中档题.
15.设复数 ， 满足 ， ，则 =__________.
【答案】
【解析】
【分析】
令 ， ， 根 据 复 数 的 相 等 可 求 得
，代入复数模长的公式中即可得到结果.
【详解】 ，可设 ， ，
，
，两式平方作和得： ，
化简得：
故答案为： .
【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；关键是能够采用假设的方式，将问题转化为
三角函数的运算问题.
16.设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
.
∴ 2
4 6C =
3
3 6A =
6 6 36× =
36
1z 2z 1 2| |=| |=2z z 1 2 3 iz z+ = + 1 2| |z z−
2 3
1 2cos 2sinz iθ θ= + ⋅ 2 2cos 2sinz iα α= + ⋅
1cos cos sin sin 2
θ α θ α+ = −
1 2 2z z= = 1 2cos 2sinz iθ θ= + ⋅ 2 2cos 2sinz iα α= + ⋅
( ) ( )1 2 2 cos cos 2 sin sin 3z z i iθ α θ α∴ + = + + + ⋅ = +
( )
( )
2 cos cos 3
2 sin sin 1
θ α
θ α
+ =∴ + =
( )4 2 2cos cos 2sin sin 4θ α θ α+ + =
1cos cos sin sin 2
θ α θ α+ = −
( ) ( )1 2 2 cos cos 2 sin sinz z iθ α θ α∴ − = − + − ⋅
( ) ( ) ( )2 24 cos cos 4 sin sin 8 8 cos cos sin sinθ α θ α θ α θ α= − + − = − + 8 4 2 3= + =
2 3
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线 l 平面 α，直线 m⊥平面 α，则 m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
① ② ③ ④
【答案】①③④
【解析】
【分析】
利用两交线直线确定一个平面可判断命题 的真假；利用三点共线可判断命题 的真假；利用异面直线可
判断命题 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】对于命题 ，可设 与 相交，这两条直线确定的平面为 ；
若 与 相交，则交点 在平面 内，
同理， 与 的交点 也在平面 内，
所以， ，即 ，命题 为真命题；
对于命题 ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题 为假命题；
对于命题 ，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题 为假命题；
对于命题 ，若直线 平面 ，
则 垂直于平面 内所有直线，
直线 平面 ， 直线 直线 ，
命题 为真命题.
综上可知， 为真命题， 为假命题，
⊂
1 4p p∧ 1 2p p∧ 2 3p p¬ ∨ 3 4p p¬ ∨ ¬
1p 2p
3p 4p
1p 1l 2l α
3l 1l A α
3l 2l B α
AB α⊂ 3l α⊂ 1p
2p
2p
3p
3p
4p m ⊥ α
m α
l ⊂ α ∴ m ⊥ l
4p
1 4p p∧ 1 2p p∧
为真命题， 为真命题.
故答案为：①③④.
【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，
属于中等题.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.
（1）求 A；
（2）若 BC=3，求 周长的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理角化边，配凑出 的形式，进而求得 ；
（2）利用余弦定理可得到 ，利用基本不等式可求得 的最大值，进而
得到结果.
【详解】（1）由正弦定理可得： ，
，
， .
（2）由余弦定理得： ，
即 .
（当且仅当 时取等号），
，
解得： （当且仅当 时取等号），
2 3p p¬ ∨ 3 4p p¬ ∨ ¬
ABC
ABC
2
3
π
3 2 3+
cos A A
( )2 9AC AB AC AB+ − ⋅ = AC AB+
2 2 2BC AC AB AC AB− − = ⋅
2 2 2 1cos 2 2
AC AB BCA AC AB
+ −∴ = = −⋅
( )0,A π∈
2
3A
π∴ =
2 2 2 2 22 cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB= + − ⋅ = + + ⋅ =
( )2 9AC AB AC AB+ − ⋅ =
2
2
AC ABAC AB
+ ⋅ ≤ AC AB=
( ) ( ) ( )2
2 2 239 2 4
AC ABAC AB AC AB AC AB AC AB
+ ∴ = + − ⋅ ≥ + − = +
2 3AC AB+ ≤ AC AB=
周长 ， 周长的最大值为 .
【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最
大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系
求得最值.
18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数
量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查得到
样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野
生动物的数量，并计算得 ， ， ， ，
.
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均
数乘以地块数）；
（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到 0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物
数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数 r= ， =1.414.
【答案】（1） ；（2） ；（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；
（2）利用公式 计算即可；
（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.
【详解】（1）样区野生动物平均数为 ，
ABC∴ 3 2 3L AC AB BC= + + ≤ + ABC∴ 3 2 3+
20
1
60
i
ix
=
=∑ 20
1
1200
i
iy
=
=∑ 20
2
1
) 80
i
i xx
=
− =∑（
20
2
1
) 9000
i
iy y
=
− =∑（
20
1
) ) 800i
i
ix yx y
=
− − =∑（ （
1
2 2
1 1
) )
) )
n
i
i i
i i
n n
i i
x y
x
x y
yyx
=
= =
− −
− −
∑
∑ ∑
（ （
（ （
2
12000 0.94
20
1
20 20
2 2
1 1
( )( )
( ) ( )
i i
i
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
= =
− −
=
− −
∑
∑ ∑
20
1
1 1 1200 6020 20i
i
y
=
= × =∑
地块数为 200，该地区这种野生动物的估计值为
（2）样本 的相关系数为
（3）
由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样
先将植物覆盖面积按优中差分成三层，
在各层内按比例抽取样本，
在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.
【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，
是一道容易题.
19.已知椭圆 C1： (a>b>0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合，C1 的中心与 C2 的顶点重合.过 F
且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D 两点，且|CD|= |AB|.
（1）求 C1 的离心率；
（2）设 M 是 C1 与 C2 的公共点，若|MF|=5，求 C1 与 C2 的标准方程.
【答案】（1） ；（2） ， .
【解析】
【分析】
（1）求出 、 ，利用 可得出关于 、 的齐次等式，可解得椭圆 的离心率的值；
（2）由（1）可得出 的方程为 ，联立曲线 与 的方程，求出点 的坐标，利用抛物
线的定义结合 可求得 的值，进而可得出 与 的标准方程.
【详解】（1） ， 轴且与椭圆 相交于 、 两点，
则直线 的方程为 ，
200 60 12000× =
( , )i ix y
20
1
20 20
2 2
1 1
( )( ) 800 2 2 0.94380 9000( ) ( )
i i
i
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
= =
− −
= = = ≈
×− −
∑
∑ ∑
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
4
3
1
2
2 2
1 : 136 27
x yC + = 2
2 : 12C y x=
AB CD 4
3CD AB= a c 1C
1C
2 2
2 2 14 3
x y
c c
+ = 1C 2C M
5MF = c 1C 2C
( ),0F c AB x⊥ 1C A B
AB x c=
联立 ，解得 ，则 ，
抛物线 的方程为 ，联立 ，
解得 ， ，
，即 ， ，
即 ，即 ，
，解得 ，因此，椭圆 的离心率为 ；
（2）由（1）知 ， ，椭圆 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
解得 或 （舍去），
由抛物线的定义可得 ，解得 .
因此，曲线 的标准方程为 ，
曲线 的标准方程为 .
2 2
2 2
2 2 2
1
x c
x y
a b
a b c
=
+ =
= +
2
x c
by a
= = ±
22bAB a
=
2C 2 4y cx= 2 4
x c
y cx
=
=
2
x c
y c
=
= ± 4CD c∴ =
4
3CD AB=
284 3
bc a
= 22 3b ac=
2 22 3 2 0c ac a+ − = 22 3 2 0e e+ − =
0 1e<
ON AP= 6NP AO AB m= = =
O 1 1 1A B C△ 1 1 1A B C△ 6m
∴ 1 6 sin 60 33ON m= × × ° =
3ON AP m= =
//EF BC
∴ AP EP
AM BM
=
∴ 3
33 3
EP=
EP m=
1 1B C 1B Q EP m= = 2QN m=
1B Q EP= 1 //B Q EP
∴ 1B QPE
∴ 1 //B E PQ
1 1B C ⊥ 1A AMN
QPN∠ 1B E 1A AMN
Rt QPN△ ( ) ( )2 22 2 2 6 2 10PQ QN PN m m m= + = + =
2 10sin 102 10
QN mQPN PQ m
∴ ∠ = = =
直线 与平面 所成角的正弦值： .
【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面
垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题.
21.已知函数 f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论 f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明： ；
（3）设 n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ .
【答案】（1）当 时， 单调递增，当 时， 单调递
减，当 时， 单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性
即可；
(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的
不等式；
(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得
，然后结合(2)的结论和三角
函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.
【详解】(1)由函数的解析式可得： ，则：
，
在 上的根为： ，
当 时， 单调递增，
∴ 1B E 1A AMN 10
10
3 3( ) 8f x ≤
3
4
n
n
0, 3x
π ∈
( ) ( )' 0,f x f x> 2,3 3x
π π ∈
( ) ( )' 0,f x f x<
2 ,3x
π π ∈
( ) ( )' 0,f x f x>
( ) ( )( ) ( ) 2
2 2 2 1 2 3sin sin sin 2 sin 2 sin 4 sin 2 sin 2 sin 2n n nf x x x x x x x x x− =
( ) 32sin cosf x x x=
( ) ( )2 2 4' 2 3sin cos sinf x x x x= − ( )2 2 22sin 3cos sinx x x= −
( )2 22sin 4cos 1x x= − ( )( )22sin 2cos 1 2cos 1x x x= + −
( )' 0f x = ( )0,x π∈ 1 2
2,3 3x x
π π= =
0, 3x
π ∈
( ) ( )' 0,f x f x>
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
(2)注意到 ，
故函数 是周期为 的函数，
结合(1)的结论，计算可得： ，
， ，
据此可得： ， ，
即 .
(3)结合(2)的结论有：
.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数
的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)
利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决
生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.并用 2B 铅笔将所选题号涂黑，
多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修 4—4：坐标系与参数方程]
2,3 3x
π π ∈
( ) ( )' 0,f x f x<
2 ,3x
π π ∈
( ) ( )' 0,f x f x>
( ) ( ) ( ) ( )2 2sin sin 2 sin sin 2f x x x x x f xπ π π+ = + + = =
( )f x π
( ) ( )0 0f f π= =
2
3 3 3 3
3 2 2 8f
π = × =
2
2 3 3 3 3
3 2 2 8f
π = × − = −
( )
max
3 3
8f x = ( )
min
3 3
8f x = −
( ) 3 3
8f x ≤
2 2 2 2sin sin 2 sin 4 sin 2nx x x x
2
3 3 3 3 3sin sin 2 sin 4 sin 2nx x x x =
( )( ) ( ) 2
2 2 2 1 2 3sin sin sin 2 sin 2 sin 4 sin 2 sin 2 sin 2n n nx x x x x x x x− =
2
3
23 3 3 3 3 3sin sin 28 8 8
nx x
≤ × × × × ×
2
33 3
8
n ≤
3
4
n =
22.已知曲线 C1，C2 的参数方程分别为 C1： （θ 为参数），C2： （t 为参数）.
（1）将 C1，C2 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过
极点和 P 的圆的极坐标方程.
【答案】（1） ； ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）分别消去参数 和 即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点 ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极
坐标方程.
【详解】（1）由 得 的普通方程为： ；
由 得： ，两式作差可得 的普通方程为： .
（2）由 得： ，即 ；
设所求圆圆心的直角坐标为 ，其中 ，
则 ，解得： ， 所求圆的半径 ，
所求圆的直角坐标方程为： ，即 ，
所求圆的极坐标方程为 .
【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐
标方程等知识，属于常考题型.
2
2
4cos
4sin
x
y
θ
θ
=
=
，
1,
1
x t t
y t t
= +
= −
1 : 4C x y+ = 2 2
2 : 4C x y− = 17 cos5
ρ θ=
θ t
P
2 2cos sin 1θ θ+ = 1C 4x y+ =
1
1
x t t
y t t
= +
= −
2 2
2
2 2
2
1 2
1 2
x t t
y t t
= + +
= + −
2C 2 2 4x y− =
2 2
4
4
x y
x y
+ =
− =
5
2
3
2
x
y
=
=
5 3,2 2P
( ),0a 0a >
2 2
25 302 2a a − + − =
17
10a = ∴ 17
10r =
∴
2 2
217 17
10 10x y − + =
2 2 17
5x y x+ =
∴ 17 cos5
ρ θ=
[选修 4—5：不等式选讲]
23.已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求 a 的取值范围.
【答案】（1） 或 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）分别在 、 和 三种情况下解不等式求得结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得到 ，由此构造不等式求得结果.
【详解】（1）当 时， .
当 时， ，解得： ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的解集为 或 .
（2） （当且仅当
时取等号），
，解得： 或 ，
的取值范围为 .
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
2( ) | 2 1|f x x a x a= − + − +
2a = ( ) 4f x
( ) 4f x
3
2x x ≤
11
2x ≥
( ] [ ), 1 3,−∞ − +∞
3x ≤ 3 4x< < 4x ≥
( ) ( )21f x a≥ −
2a = ( ) 4 3f x x x= − + −
3x ≤ ( ) 4 3 7 2 4f x x x x= − + − = − ≥ 3
2x≤
3 4x< < ( ) 4 3 1 4f x x x= − + − = ≥
4x ≥ ( ) 4 3 2 7 4f x x x x= − + − = − ≥ 11
2x ≥
( ) 4f x ≥ 3
2x x ≤
11
2x ≥
( ) ( ) ( ) ( )22 2 22 1 2 1 2 1 1f x x a x a x a x a a a a= − + − + ≥ − − − + = − + − = −
22 1a x a− ≤ ≤
( )21 4a∴ − ≥ 1a ≤ − 3a ≥
a∴ ( ] [ ), 1 3,−∞ − +∞
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