绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.若 z=1+i，则|z2–2z|=（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
【答案】D
【解析】
分析】
由题意首先求得 的值，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得： ，则 .
故 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.
2.设集合 A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且 A∩B={x|–2≤x≤1}，则 a=（ ）
A. –4 B. –2 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
【
2
2 2z z−
( )22 1 2z i i= + = ( )2 2 2 2 1 2z z i i− = − + = −
2 2 2 2z z− = − =
由题意首先求得集合 A,B，然后结合交集的结果得到关于 a 的方程，求解方程即可确定实数 a 的值.
【详解】求解二次不等式 可得： ，
求解一次不等式 可得： .
由于 ，故： ，解得： .
故选：B.
【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方
形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设 ，利用 得到关于 的方程，解方程即可得到答案.
【详解】如图，设 ，则 ，
由题意 ，即 ，化简得 ，
解得 （负值舍去）.
2 4 0x − ≤ { }2| 2A x x−= ≤ ≤
2 0x a+ ≤ | 2
aB x x = ≤ −
{ }| 2 1A B x x∩ = − ≤ ≤ 12
a− = 2a = −
5 1
4
− 5 1
2
− 5 1
4
+ 5 1
2
+
,CD a PE b= = 2 1
2PO CD PE= ⋅ ,a b
,CD a PE b= = 2
2 2 2
4
aPO PE OE b= − = −
2 1
2PO ab= 2
2 1
4 2
ab ab− = 24( ) 2 1 0b b
a a
− ⋅ − =
1 5
4
b
a
+=
故选：C.
【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.
4.已知 A 为抛物线 C:y2=2px（p>0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p=（ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为 F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位：°C）的关系，在 20 个不同的温度
条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
由此散点图，在 10°C 至 40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类
| | 122A
pAF x= + = 12 9 2
p= + 6p =
( , )( 1,2, ,20)i ix y i =
型的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
故选：D.
【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.
6.函数 的图像在点 处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求得函数 的导数 ，计算出 和 的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】 ， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
7.设函数 在 的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为（ ）
y a bx= + 2y a bx= +
exy a b= + lny a b x= +
y x lny a b x= +
4 3( ) 2f x x x= − (1 (1))f，
2 1y x= − − 2 1y x= − +
2 3y x= − 2 1y x= +
( )y f x= ( )f x′ ( )1f ( )1f ′
( ) 4 32f x x x= − ( ) 3 24 6f x x x′∴ = − ( )1 1f∴ = − ( )1 2f ′ = −
( )1 2 1y x+ = − − 2 1y x= − +
( ) cos π( )6f x xω= + [ π,π]−
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数 图象
与 轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式即可
得解.
【详解】由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得：
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得：
所以函数 的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
10π
9
7π
6
4π
3
3π
2
4 ,09
π −
4cos 09 6
π πω − ⋅ + =
4 ,09
π −
( )f x
x 4
9 6 2
π π πω− ⋅ + = − 3
2
ω =
4 ,09
π −
( )f x 4cos 09 6
π πω − ⋅ + =
4 ,09
π −
( )f x x
4
9 6 2
π π πω− ⋅ + = − 3
2
ω =
( )f x
2 2 4
3 3
2
T
π π π
ω= = =
8. 的展开式中 x3y3 的系数为（ ）
A. 5 B. 10
C. 15 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】
求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式
的乘积为 或 形式，对 分别赋值为 3，1 即可求得 的系数，问题得解.
【详解】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 与 展开式的乘积可表示为：
或
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 系数为
故选：C
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属
于中档题.
9.已知 ，且 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
的
2
5( )( )x xy
x y+ +
5( )x y+ 5
1 5
r r r
rT C x y−
+ = r N∈ 5r ≤
2yx x
+
5( )x y+
6
5
r r rC x y− 4 2
5
r r rC x y− + r 3 3x y
5( )x y+ 5
1 5
r r r
rT C x y−
+ = r N∈ 5r ≤
2yx x
+
5( )x y+
5 6
1 5 5
r r r r r r
rxT xC x y C x y− −
+ = = 2 2
5 4 2
1 5 5
r r r r r r
rT C x yx C yy y xx
− − +
+ = =
6
1 5
r r r
rxT C x y−
+ = 3r = 3 3 3
4 5xT C x y= 3 3x y 10
4 2
1 5
2
r r r
rT C xx yy − +
+ = 1r = 5
2
1 3 3
2T Cy xx y= 3 3x y 5
3 3x y 10 5 15+ =
π( )0,α∈ 3cos2 8cos 5α α− = sinα =
5
3
2
3
1
3
5
9
【解析】
【分析】
用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于 的一元二次方程，求解得出 ，再用同角间的三角
函数关系，即可得出结论.
【详解】 ，得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 .
故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能
力，属于基础题.
10.已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ，
，则球 的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得等边 的外接圆半径，进而求出其边长，得出 的值，根据球截面性质，求出球的半径
，即可得出结论.
【详解】设圆 半径为 ，球的半径为 ，依题意，
得 ，
由正弦定理可得 ，
，根据圆截面性质 平面 ，
，
球 的表面积 .
故选：A
cosα cosα
3cos2 8cos 5α α− = 26cos 8cos 8 0α α− − =
23cos 4cos 4 0α α− − = 2cos 3
α = − cos 2α =
2 5(0, ), sin 1 cos 3
α π α α∈ ∴ = − =
, ,A B C O 1O ABC 1O 4π
1AB BC AC OO= = = O
64π 48π 36π 32π
ABC 1OO
1O r R
2 4 , 2r rπ π= ∴ =
2 sin60 2 3AB r= ° =
1 2 3OO AB∴ = = 1OO ⊥ ABC
2 2 2 2
1 1 1 1 1, 4OO O A R OA OO O A OO r∴ ⊥ = = + = + =
∴ O 24 64S Rπ π= =
【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
11.已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，过点 作⊙M 的切线
，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由 题 意 可 判 断 直 线 与 圆 相 离 ， 根 据 圆 的 知 识 可 知 ， 四 点 共 圆 ， 且 ， 根 据
可知，当直线 时， 最小，求出以 为直径的圆的方程，
根据圆系的知识即可求出直线 的方程．
【详解】圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，所以
直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以
，而 ，
当直线 时， ， ，此时 最小．
∴ 即 ，由 解得， ．
所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程．
2 2 2 2 2 0x y x y+ − − − = l 2 2 0x y+ + = P l P
,PA PB ,A B | | | |PM AB⋅ AB
2 1 0x y− − = 2 1 0x y+ − = 2 1 0x y− + = 2 1 0x y+ + =
, , ,A P B M AB MP⊥
2 2PAMPM AB S PA⋅ = =△ MP l⊥ PM AB⋅ MP
AB
( ) ( )2 21 1 4x y− + − = M l 2 2
2 1 1 2 5 2
2 1
d
× + += = >
+
l
, , ,A P B M AB MP⊥
12 2 22PAMPM AB S PA AM PA⋅ = = × × × =△
2 4PA MP= −
MP l⊥
min 5MP =
min 1PA = PM AB⋅
( )1: 1 12MP y x− = − 1 1
2 2y x= +
1 1
2 2
2 2 0
y x
x y
= +
+ + =
1
0
x
y
= −
=
MP ( )( ) ( )1 1 1 0x x y y− + + − = 2 2 1 0x y y+ − − =
2 1 0x y+ + = AB
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的
转化能力和数学运算能力，属于中档题．
12.若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设 ，利用作差法结合 的单调性即可得到答案.
【详解】设 ，则 为增函数，因为
所以 ，
所以 ，所以 .
，
当 时， ，此时 ，有
当 时， ，此时 ，有 ，所以 C、D 错误.
故选：B.
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中
档题.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.若 x，y 满足约束条件 则 z=x+7y 的最大值为______________.
【答案】1
【解析】
【分析】
首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
2 42 log 4 2loga ba b+ = +
2a b> 2a b< 2a b> 2a b<
2( ) 2 logxf x x= + ( )f x
2( ) 2 logxf x x= + ( )f x 2
2 4 22 log 4 2log 2 loga b ba b b+ = + = +
( ) (2 )f a f b− = 2
2 22 log (2 log 2 )a ba b+ − + = 2 2
2 22 log (2 log 2 )b bb b+ − + 2
1log 1 02
= = − <
( ) (2 )f a f b< 2a b<
2( ) ( )f a f b− = 2 2
2 22 log (2 log )a ba b+ − + = 22 2
2 22 log (2 log )b bb b+ − + = 22
22 2 logb b b− −
1b = 2( ) ( ) 2 0f a f b− = > 2( ) ( )f a f b> 2a b>
2b = 2( ) ( ) 1 0f a f b− = − < 2( ) ( )f a f b< 2a b<
2 2 0,
1 0,
1 0,
x y
x y
y
+ − ≤
− − ≥
+ ≥
目标函数 即： ，
其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，
联立直线方程： ，可得点 A 的坐标为： ，
据此可知目标函数的最大值为： .
故答案为：1．
【点睛】求线性目标函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当 b＞0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值
最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b＜0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴
上截距最小时，z 值最大.
14.设 为单位向量，且 ，则 ______________.
【答案】
【解析】
【分析】
整理已知可得： ，再利用 为单位向量即可求得 ，对 变形可得：
，问题得解.
【详解】因为 为单位向量，所以
所以
解得：
7z x y= + 1 1
7 7y x z= − +
2 2 0
1 0
x y
x y
+ − =
− − = ( )1,0A
max 1 7 0 1z = + × =
,a b | | 1+ =a b | |a b− =
3
( )2
a b a b+ = + ,a b 2 1a b⋅ = − a b−
2 2
2a b a a b b− = − ⋅ +
,a b 1a b= =
( )2 2 2
2 2 2 1a b a b a a b b a b+ = + = + ⋅ + = + ⋅ =
2 1a b⋅ = −
所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.
15.已知 F 为双曲线 的右焦点，A 为 C 的右顶点，B 为 C 上的点，且 BF 垂直于 x
轴.若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为______________.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据双曲线的几何性质可知， ， ，即可根据斜率列出等式求解即可．
【详解】依题可得， ，而 ， ，即 ，变形得 ，
化简可得， ，解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
16.如图，在三棱锥 P–ABC 的平面展开图中，AC=1， ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，
则 cos∠FCB=______________.
【答案】
( )2 2 2
2 3a b a b a a b b− = − = − ⋅ + =
3
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > >
2bBF a
= AF c a= −
3BF
AF
= 2bBF a
= AF c a= −
2
3
b
a
c a
=−
2 2 23 3c a ac a− = −
2 3 2 0e e− + = 2e = 1e =
2
3AB AD= =
1
4
−
【解析】
【分析】
在 中，利用余弦定理可求得 ，可得出 ，利用勾股定理计算出 、 ，可得出 ，然
后在 中利用余弦定理可求得 的值.
【详解】 ， ， ，
由勾股定理得 ，
同理得 ， ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17.设 是公比不为 1 的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由已知结合等差中项关系，建立公比 的方程，求解即可得出结论；
ACE△ CE CF BC BD BF
BCF cos FCB∠
AB AC⊥ 3AB = 1AC =
2 2 2BC AB AC= + =
6BD = 6BF BD∴ = =
ACE△ 1AC = 3AE AD= = 30CAE∠ =
2 2 2 32 cos30 1 3 2 1 3 12CE AC AE AC AE= + − ⋅ = + − × × × =
1CF CE∴ = =
BCF 2BC = 6BF = 1CF =
2 2 2 1 4 6 1cos 2 2 1 2 4
CF BC BFFCB CF BC
+ − + −∠ = = = −⋅ × ×
1
4
−
{ }na 1a 2a 3a
{ }na
1 1a = { }nna n
2− 1 (1 3 )( 2)
9
n
n
nS
− + −=
q
（2）由（1）结合条件得出 的通项，根据 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
【详解】（1）设 的公比为 ， 为 的等差中项，
，
；
（2）设 的前 项和为 ， ，
，①
，②
① ②得，
，
.
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求
解能力，属于基础题.
18.如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ． 是底面的内接
正三角形， 为 上一点， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
{ }na { }nna
{ }na q 1a 2 3,a a
2
1 2 3 12 , 0, 2 0a a a a q q= + ≠ ∴ + − =
1, 2q q≠ ∴ = −
{ }nna n nS 1
1 1, ( 2)n
na a −= = −
2 11 1 2 ( 2) 3 ( 2) ( 2)n
nS n −= × + × − + × − + + −
2 3 12 1 ( 2) 2 ( 2) 3 ( 2) ( 1)( 2) ( 2)n n
nS n n−− = × − + × − + × − + − − + −
− 2 13 1 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)n n
nS n−= + − + − + + − − −
1 ( 2) 1 (1 3 )( 2)( 2)1 ( 2) 3
n n
n nn
− − − + −= − − =− −
1 (1 3 )( 2)
9
n
n
nS
− + −∴ =
D O AE AE AD= ABC
P DO 6
6PO DO=
PA ⊥ PBC
B PC E− −
2 5
5
【分析】
（1）要证明 平面 ，只需证明 ， 即可；
（2）以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴，ON 为 y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面 的法
向量为 ，平面 的法向量为 ，利用公式 计算即可得到答案.
【详解】（1）由题设，知 为等边三角形，设 ，
则 ， ，所以 ，
又 为等边三角形，则 ，所以 ，
，则 ，所以 ，
同理 ，又 ，所以 平面 ；
（2）过 O 作 ∥BC 交 AB 于点 N，因为 平面 ，以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴，ON 为 y 轴建
立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
PA ⊥ PBC PA PB⊥ PA PC⊥
PCB
n PCE m cos ,
| || |
n mm n
n m
⋅< >=
DAE△ 1AE =
3
2DO = 1 1
2 2CO BO AE= = = 6 2
6 4PO DO= =
2 2 2 26 6, ,4 4PC PO OC PB PO OB= + = = + =
ABC 2sin60
BA OA=
3
2BA =
2 2 23
4PA PB AB+ = = 90APB∠ = PA PB⊥
PA PC⊥ PC PB P= PA ⊥ PBC
ON PO ⊥ ABC
1 2 1 3 1 3( ,0,0), (0,0, ), ( , ,0), ( , ,0)2 4 4 4 4 4E P B C− − − −
1 3 2( , , )4 4 4PC = − − − 1 3 2( , , )4 4 4PB = − − 1 2( ,0, )2 4PE = − −
PCB 1 1 1( , , )n x y z=
由 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为
由 ，得 ，令 ，得 ，
所以
故 ，
设二面角 的大小为 ，则 .
【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算
能力，是一道容易题.
19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛
的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；
当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、
乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 ，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；
（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率
和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.
0
0
n PC
n PB
⋅ =
⋅ =
1 1 1
1 1 1
3 2 0
3 2 0
x y z
x y z
− − − =
− + − = 1 2x = 1 11, 0z y= − =
( 2,0, 1)n = −
PCE 2 2 2( , , )m x y z=
0
0
m PC
m PE
⋅ =
⋅ =
2 2 2
2 2
3 2 0
2 2 0
x y z
x z
− − − =
− − = 2 1x =
2 2
32, 3z y= − =
3(1, , 2)3m = −
2 2 2 5cos , 5| | | | 103
3
n mm n
n m
⋅< >= = =
⋅ ×
B PC E− − θ 2 5cos 5
θ =
1
2
1
16
3
4
7
16
【详解】（1）记事件 甲连胜四场，则 ；
（2）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，
则四局内结束比赛的概率为
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为 ；
（3）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，
记事件 甲赢，记事件 丙赢，
则甲赢的基本事件包括： 、 、 、
、 、 、 、 ，
所以，甲赢的概率为 .
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为 .
【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属
于中等题.
20.已知 A、B 分别为椭圆 E： （a>1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点， ，P 为直
线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D．
（1）求 E 的方程；
（2）证明：直线 CD 过定点.
【答案】（1） ；（2）证明详见解析.
【解析】
【分析】
（1）由已知可得： ， ， ，即可求得 ，结合已知即可求得：
，问题得解.
:M ( ) 41 1
2 16P M = =
A B C
( ) ( ) ( ) ( ) 41 14 2 4P P ABAB P ACAC P BCBC P BABA ′ = + + + = × =
31 4P P′= − =
A B C
:M :N
BCBC ABCBC ACBCB
BABCC BACBC BCACB BCABC BCBAC
( ) 4 51 1 972 2 32P M = + × =
( ) 9 71 2 32 16P N = − × =
2
2
2 1x ya
+ = 8AG GB⋅ =
2
2 19
x y+ =
( ),0A a− ( ),0B a ( )0,1G 2 1AG GB a⋅ = −
2 9a =
（2）设 ，可得直线 的方程为： ，联立直线 的方程与椭圆方程即可求得点
的坐标为 ，同理可得点 的坐标为 ，即可表示出直线 的方
程，整理直线 的方程可得： ，命题得证.
【详解】（1）依据题意作出如下图象：
由椭圆方程 可得： ， ，
，
，
椭圆方程为：
（2）证明：设 ，
则直线 的方程为： ，即：
联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得：
，解得： 或
将 代入直线 可得：
( )06,P y AP ( )0 39
yy x= + AP C
2
0 0
2 2
0 0
3 27 6,9 9
y y
y y
− +
+ + D
2
0 0
2 2
0 0
3 3 2,1 1
y y
y y
− −
+ + CD
CD ( )0
2
0
4 3
23 3
yy x
y
= − −
2
2
2: 1( 1)xE y aa
+ = > ( ),0A a− ( ),0B a ( )0,1G
∴ ( ),1AG a= ( ), 1GB a= −
∴ 2 1 8AG GB a⋅ = − = ∴ 2 9a =
∴ 2
2 19
x y+ =
( )06,P y
AP ( ) ( )0 0 36 3
yy x
−= +− − ( )0 39
yy x= +
AP
( )
2
2
0
19
39
x y
yy x
+ =
= +
( )2 2 2 2
0 0 09 6 9 81 0y x y x y+ + + − = 3x = −
2
0
2
0
3 27
9
yx y
− += +
2
0
2
0
3 27
9
yx y
− += + ( )0 39
yy x= + 0
2
0
6
9
yy y
= +
所以点 的坐标为 .
同理可得：点 的坐标为
直线 的方程为： ，
整理可得：
整理得：
故直线 过定点
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属
于难题.
21.已知函数 .
（1）当 a=1 时，讨论 f（x）的单调性；
（2）当 x≥0 时，f（x）≥ x3+1，求 a 的取值范围.
【答案】（1）当 时， 单调递减，当 时， 单调递
增 （2）
【解析】
【分析】
(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.
(2)首先讨论 x=0 情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定
实数 a 的取值范围.
【详解】(1)当 时， ， ，
由于 ，故 单调递增，注意到 ，故：
.
的
C
2
0 0
2 2
0 0
3 27 6,9 9
y y
y y
− +
+ +
D
2
0 0
2 2
0 0
3 3 2,1 1
y y
y y
− −
+ +
∴ CD
0 0
2 2 2
0 00 0
2 22 2
0 00 0
2 2
0 0
6 2
9 12 3 3
3 27 3 31 1
9 1
y y
y yy yy xy yy y
y y
−− + + − − − = − − + −+ + −+ +
( )
( ) ( )
2 2 2
0 00 0 0 0
2 2 24 2
0 0 00 0
8 32 3 3 8 3 3
1 1 16 9 6 3
y yy y y yy x xy y yy y
+ − −+ = − = − + + +− −
( ) ( )0 0 0
22 2
00 0
4 2 4 3
3 23 3 3 3
y y yy x xyy y
= + = − −− −
CD 3 ,02
2( ) exf x ax x= + −
1
2
( ),0x∈ −∞ ( ) ( )' 0,f x f x< ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )' 0,f x f x>
27 ,4
e − +∞
1a = ( ) 2x xx ef x= + − ( )' 2 1xf x e x= + −
( )'' 2 0xf x e= + > ( )'f x ( )' 0 0f =
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
(2)由 得， ，其中 ，
①.当 x=0 时，不等式为： ，显然成立，符合题意；
②.当 时，分离参数 a 得， ，
记 ， ，
令 ，
则 ， ，
故 单调递增， ，
故函数 单调递增， ，
由 可得： 恒成立，
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因此， ,
综上可得，实数 a 的取值范围是 .
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数
的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)
利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决
生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
[选修 4—4：坐标系与参数方程]
( ),0x∈ −∞ ( ) ( )' 0,f x f x<
( )0,x∈ +∞ ( ) ( )' 0,f x f x>
( ) 31 12f x x≥ + 2 31 12
xe ax x x+ − + 0x ≥
1 1≥
0x >
3
2
1 12
xe x x
a x
− − −
−
( )
3
2
1 12
xe x x
g x x
− − −
= − ( )
( ) 2
3
12 12'
xx e x x
g x x
− − − − = −
( ) ( )21 1 02
xe x xh x x− − − ≥=
( )' 1xh x e x= − − ( )'' 1 0xh x e= − ≥
( )'h x ( ) ( )' ' 0 0h x h≥ =
( )h x ( ) ( )0 0h x h≥ =
( ) 0h x ≥ 21 1 02
xe x x− − −
( )0,2x∈ ( )' 0g x > ( )g x
( )2,x∈ +∞ ( )' 0g x < ( )g x
( ) ( ) 2
max
72 4
eg x g
− = =
27 ,4
e − +∞
22.在直角坐标系 中，曲线 参数方程为 为参数 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）当 时， 是什么曲线？
（2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标．
【答案】（1）曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用 消去参数 ，求出曲线 的普通方程，即可得出结论；
（2）当 时， ，曲线 的参数方程化为 为参数），两式相加消去参数 ，
得 普通方程，由 ，将曲线 化为直角坐标方程，联立 方程，即可求解.
【详解】（1）当 时，曲线 的参数方程为 为参数），
两式平方相加得 ，
所以曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆；
（2）当 时，曲线 的参数方程为 为参数），
所以 ，曲线 的参数方程化为 为参数），
两式相加得曲线 方程为 ，
得 ，平方得 ，
曲线 的极坐标方程为 ，
曲线 直角坐标方程为 ，
联立 方程 ，
的xOy 1C cos ,
sin
k
k
x t
y t
=
=
(t ) x
2C 4 cos 16 sin 3 0ρ θ ρ θ− + =
1k = 1C
4k = 1C 2C
1C 1 1( , )4 4
2 2sin cos 1t t+ = t 1C
4k = 0, 0x y≥ ≥ 1C
2
2
cos (
sin
x t t
y t
= =
t
1C cos , sinx yρ θ ρ θ= = 2C 1 2,C C
1k = 1C cos (sin
x t ty t
=
=
2 2 1x y+ =
1C
4k = 1C
4
4
cos (
sin
x t t
y t
=
=
0, 0x y≥ ≥ 1C
2
2
cos (
sin
x t t
y t
= =
1C 1x y+ =
1y x= − 2 1,0 1,0 1y x x x y= − + ≤ ≤ ≤ ≤
2C 4 cos 16 sin 3 0ρ θ ρ θ− + =
2C 4 16 3 0x y− + =
1 2,C C 2 1
4 16 3 0
y x x
x y
= − + − + =
整理得 ，解得 或 （舍去），
， 公共点的直角坐标为 .
【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，
要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.
[选修 4—5：不等式选讲]
23.已知函数 ．
（1）画出 的图像；
（2）求不等式 的解集．
【答案】（1）详解解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据分段讨论法，即可写出函数 的解析式，作出图象；
（2）作出函数 的图象，根据图象即可解出．
【详解】（1）因为 ，作出图象，如图所示：
（2）将函数 的图象向左平移 个单位，可得函数 的图象，如图所示：
12 32 13 0x x− + = 1
2x = 13
6x =
1 1,4 4x y∴ = = 1 2,C C∴ 1 1( , )4 4
( ) | 3 1| 2 | 1|f x x x= + − −
( )y f x=
( ) ( 1)f x f x> +
7, 6
−∞ −
( )f x
( )1f x+
( )
3, 1
15 1, 13
13, 3
x x
f x x x
x x
+ ≥
= − − <
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