湖北省武汉市江岸区2020届高三元月调研数学试卷（理科） 含参考答案与试题解析

试卷第 1 页，总 13 页 2020 年湖北省武汉市江岸区高三元月调研数学试卷（理科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1. 集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lnx ≤ 0}，则M ∪ N＝（ ） A.[0, 1] B.(0, 1] C.[0, 1) D.(−∞, 1] 2. 若复数z = 1 + i (1−i)2，则z的虚部为（ ） A.1 2 B.1 2i C.1 D.i 3. 若a > b > 0，0 < c < 1，则（ ） A.ac < bc B.ca > cb C.logac < logbc D.logca < logcb 4. 已知圆心为(1, 0)，半径为2的圆经过椭圆C:x2 a2 + y2 b2 = 1(a > b > 0)的三个顶点，则C的标 准方程为（ ） A.x2 4 + y2 3 = 1 B.x2 9 + y2 3 = 1 C.x2 16 + y2 4 = 1 D.x2 16 + y2 9 = 1 5. 函数f(x)＝(ex + e−x)ln|x|的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数f(x) = 3sin(2x + φ) + cos(2x + φ)(0 < φ < π)是定义在R上的偶函数，则f(−π 8)的 值为（ ） 试卷第 2 页，总 13 页 A. 2 B. 3 C.− 2 D.− 3 7. 已知{an}是等差数列，若a1 + 1，a3 + 3，a5 + 5成等比数列，且公比为q，则q＝（ ） A.3 B.−3 C.1 D.−1 8. 甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜， 比赛结束）．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为2 3，乙队获胜 的概率为1 3．若前两局中乙队以2:0领先，则下列说法中错误的是（ ） A.甲队获胜的概率为 8 27 B.乙队以3:0获胜的概率为1 3 C.乙队以三比一获胜的概率为2 9 D.乙队以3:2获胜的概率为4 9 9. 杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南 宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项 式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数 列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列{an}，若数列{an} 的前n项和为Sn，则S57＝（ ） A.265 B.521 C.1034 D.2059 10. 学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖 去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上）， 圆锥底面直径为10 2cm，高为10cm．打印所用原料密度为1g/cm3，不考虑打印损耗， 制作该模型所需原料的质量为( )g．（取π＝3.14，精确到0.1） 试卷第 3 页，总 13 页 A.609.4 B.447.3 C.398.4 D.357.3 11. 关于函数f(x) = sinx 2 + cosx，有下面四个结论： ①f(x)是奇函数 ②f(x)在(π 2, π)上单调递减 ③f(x)在[−π, π]上有两个零点④f(x)的最大值 为 3 3 ．其中所有正确结论的编号是（ ） A.①②④ B.①④ C.②④ D.①③ 12. 设函数f(x)＝(x−a)(x−b)2(a, b ∈ R, a ≠ b)，f′(x)为f(x)的导函数．若f(x)和f′(x)的零点均在 集合{−2, 0, 1}中，则f(x)( ) A.在(−1, 0)上单调递增 B.在(0, 1)上单调递增 C.极小值为0 D.最大值为4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 如图，一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8．连续两次抛掷这 个正八面体，记下它与地面接触的面上的数字分别为m，n，则事件“m + n＝9”的概率 为________． 14. 曲线y＝cosxlnx在点(1, 0)处的切线方程为________． 15. 双曲线C:x2 a2−y2 b2 = 1(a > 0, b > 0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交曲线C右支 于P、Q两点，且PQ ⊥ PF1，若3|PQ|＝4|PF1|，则C的离心率等于________ 10 2 ． 16. 设函数f(x)＝|lnx−x−a|(a ∈ R)，记f(x)在区间[1 e, e]上的最大值为g(a)，则当a＝ ________时，g(a)的最小值为________． 试卷第 4 页，总 13 页 三、解答题：本大题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 223 题为选考题，考生根据要求作答。(一) 必考题：共 60 分。 17. 在 △ ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 → AB ⋅ → AC = → BA ⋅ → BC = 1． (Ⅰ)求证：A＝B； (Ⅱ)求边长c的值； (Ⅲ)若| → AB + → AC| = 6，求 △ ABC的面积． 18. 如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB ⊥ 平面ABCD，AD // BC，AB ⊥ AD，AB ⊥ PA， 点E为BC上一点且BC＝2AB＝2AD＝4BE． （1）求证：平面PED ⊥ 平面PAC； （2）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为 5 5 ，求二面角A−PC−D的余弦值． 19. 已知抛物线C:y2＝2px焦点坐标为(2, 0)． （1）求抛物线C的方程； （2）已知点B(−1, 0)，设不垂直于x轴的直线l与抛物线C交于不同的两点P，Q，若x轴是 ∠PBQ的角平分线，求证：直线l过定点． 20. 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D （单位：分贝）与声音能量I（单位：W/cm2）之间的关系，将测量得到的声音强度Di 和声音能量Ii(i＝1, 2,…,10)数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值． ¯ I ¯ D ¯ W 10 i=1   (Ii− ¯ I)2 10 I=1   (Wi− ¯ W)2 10 i=1   (Ii− ¯ I)(Di− ¯ D) 10 i=1   (Wi− ¯ W)(Di− ¯ D) 1.04 × 10−11 45.7 −11.5 1.56 × 10−21 0.51 6.88 × 10−11 5.1 试卷第 5 页，总 13 页 表中Wi＝lgIi， ¯ W = 1 10∑ i=110 Wi ． （1）根据散点图判断，D＝a1 + b1I与D＝a2 + b2lgI哪一个适宜作为声音强度D关于声音 能量I的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程； （3）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P共受到两个 声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且1 I1 + 4 I2 = 1010．已知点P的声音能量 等于声音能量I1与I2之和．请根据（1）中的回归方程，判断P点是否受到噪音污染的干 扰，并说明理由． 附：对于一组数据(μ1, v1)，(μ2, v2)，…，(μn, vn)，其回归直线v＝α + βμ的斜率和截距的 最小二乘估计分别为：β = ∑n i=1   (μi− ¯ μ)(vi− ¯ v) ∑n i=1  (μi− ¯ μ) 2 ，α = ¯ v−β ¯ μ． 21. 已知函数f(x) = sinx ex−1，g(x)为f(x)的导函数． （1）证明：当x ∈ [−π 2, 0]时，f(x)−xg(x) ≥ 0； （2）若xn是函数u(x)＝f(x) + 1在(−2nπ−π 2, −2nπ)(n ∈ N)内零点，求证：xn + 2nπ < sinx0 e2nπ(cosx0−sinx0) ． (二)选考题：共 10 分。请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题记分。[选修 4-4：坐标系与参数方程] 试卷第 6 页，总 13 页 22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x = 3cosθ y = sinθ ，（θ为参数），直线l的参数方程 为 {x = a + 4t y = 1−t ，（t为参数）． (1)若a = −1，求C与l的交点坐标； (2)若C上的点到l距离的最大值为 17，求a． [选修 4-5：不等式选讲] 23. 已知函数f(x)＝|x| + 2|x−a|(a > 0)． （1）当a＝1时，解不等式f(x) ≤ 4； （2）若不等式f(x) ≥ 4对一切x ∈ R恒成立，求实数a的取值范围． 试卷第 7 页，总 13 页 参考答案与试题解析 2020 年湖北省武汉市江岸区高三元月调研数学试卷（理科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1. 【答案】 A 2. 【答案】 A 3. 【答案】 D 4. 【答案】 B 5. 【答案】 D 6. 【答案】 A 7. 【答案】 C 8. 【答案】 D 9. 【答案】 C 10. 【答案】 C 11. 【答案】 B 12. 【答案】 B 试卷第 8 页，总 13 页 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 【答案】 1 8 14. 【答案】 xcos1−y−cos1＝0 15. 【答案】 10 2 ． 16. 【答案】 −e 2,e 2−1 三、解答题：本大题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 223 题为选考题，考生根据要求作答。(一) 必考题：共 60 分。 17. 【答案】 （1）∵ → AB ⋅ → AC = → BA ⋅ → BC． ∴ bccosA＝accosB，即bcosA＝acosB 由正弦定理得sinBcosA＝sinAcosB ∴ sin(A−B)＝0 ∵ −π < A−B < π ∴ A−B＝0，∴ A＝B （2）∵ → AB ⋅ → AC = 1，∴ bccosA＝1 由余弦定理得bc ⋅ b2 + c2−a2 2bc = 1，即b2 + c2−a2＝2 ∵ 由(Ⅰ)得a＝b，∴ c2＝2，∴ c = 2 试卷第 9 页，总 13 页 (Ⅲ)∵ | → AB + → AC| = 6，∴ | → AB|2 + | → AC|2 + 2| → AB ⋅ → AC|＝6 即c2 + b2 + 2＝6 ∴ c2 + b2＝4 ∵ c2＝2 ∴ b2＝2，b = 2 ∴ △ ABC为正三角形 ∴ S△ABC = 3 4 × ( 2)2 = 3 2 18. 【答案】 证明：∵ 平面PAB ⊥ 平面ABCD，平面PAB ∩ 平面ABCD＝AB，AB ⊥ PA， ∴ PA ⊥ 平面ABCD，又AB ⊥ AD． 分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o−xyz， 可得A(0, 0, 0)D(0, 2, 0)，E(2, 1, 0)，C(2, 4, 0)，P(0, 0, λ)(λ > 0)． ∴ → AC = (2, 4, 0)， → AP = (0, 0, λ)， → DE = (2, −1, 0)． 由 → DE ⋅ → AC = 4−4 + 0＝0， → DE ⋅ → AP = 0， ∴ DE ⊥ AC且DE ⊥ AP， ∵ AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ ED ⊥ 平面PAC． ∵ ED ⊂ 平面PED，∴ 平面PED ⊥ 平面PAC； 由（1）得平面PAC的一个法向量是 → DE = (2, −1, 0)， → PE = (2, 1, −λ)． 设直线PE与平面PAC所成的角为θ， 则sinθ＝|cos < → PE, → DE > | = | → PE ⋅ → DE| | → PE| ⋅ | → DE| = |4−1| 5 ⋅ 5 + λ2 = 5 5 ，解得λ＝ ± 2． ∵ λ > 0，∴ λ＝2，可得P的坐标为(0, 0, 2)． 设平面PCD的一个法向量为 → n = (x, y, z)， → DC = (2, 2, 0)， → DP = (0, −2, 2)， 由{ → n ⋅ → DC = 2x + 2y = 0 → n ⋅ → DP = −2y + 2z = 0  ，令x＝1，得 → n = (1, −1, −1)． ∴ cos < → n， → DE > = → n ⋅ → DE | → n| ⋅ | → DE| = 15 5 ． 由图形可得二面角A−PC−D的平面角是锐角， ∴ 二面角A−PC−D的平面角的余弦值为 15 5 ． 试卷第 10 页，总 13 页 19. 【答案】 ∵ 焦点坐标为(2, 0)，∴ p 2 = 2，∴ p＝4， ∴ 抛物线C的方程为：y2＝8x； 设直线l的方程为：y＝kx + t，代入y2＝8x 得：k2x2 + (2kt−8)x + t2＝0， 设P(x1, y1)，Q(x2, y2)， ∴ x1 + x2 = −2kt−8 k2 ，x1x2 = t2 k2， ∵ x轴是∠PBQ的角平分线， ∴ kBP＝−kBQ， ∴ y1 x1 + 1 = − y2 x2 + 1， ∴ kx1 + t x1 + 1 = −kx2 + t x2 + 1， ∴ 2kx1x2 + (k + t)(x1 + x2) + 2t＝0， ∴ 2k ⋅ t2 k2 + (k + t) ⋅ (−2kt−8 k2 ) + 2t = 0， 整理得：k + t＝0，∴ t＝−k， ∴ 直线l的方程为：y＝kx−k＝k(x−1)，过定点(1, 0)． 20. 【答案】 根据散点图判断，模型D＝a2 + b2lgI更适合； 令Wi＝lgIi，先建立D关于W的线性回归方程， 由于b = ∑10 i=1   (Wi− ¯ W)(Di− ¯ D) ∑10 i=1  (Wi− ¯ W) 2 = 5.1 0.51 = 10， ∴ a = ¯ D−b ¯ W = 160.7， ∴ D关于W的线性回归方程是D = 10W + 160.7， 即D关于I的回归方程是D = 101gI + 160.7； 点P的声音能量为I＝I1 + I2， 试卷第 11 页，总 13 页 ∵ 1 I1 + 4 I2 = 1010， ∴ I = I1 + I2 = 10−10(1 I1 + 4 I2)(I1 + I2) = 10−10(5 + I2 I1 + 4I1 I2 ) ≥ 9 × 10−10， 根据（1）中的回归方程知，点P的声音强度D的预报值为 Dmin = 101g(9 × 10−10) + 160.7 = 101g9 + 60.7 > 60， ∴ 点P会受到噪声污染的干扰． 21. 【答案】 证明：g(x)＝f′(x) = cosx−sinx ex−1 ， 当x ∈ (−π 2, 0)时，g(x)＝f′(x) > 0， 所以在(−π 2, 0)上，f(x)单调递增． g′(x) = (−sinx−cosx)ex−1−(cosx−sinx)ex−1 ex−1 = −2cosx ex−1 ， 在(−π 2, 0)上，g′(x) < 0，g(x)单调递减， 令F(x)＝f(x)−xg(x)，x ∈ [−π 2, 0]， F′(x)＝f′(x)−g(x)−xg′(x)＝g(x)−g(x)−xg′(x)＝−xg′(x)， 当x ∈ (−π 2, 0)是，F′(x) < 0，F(x)单调递减， 所以F(x) ≥ F(0)＝f(0)−0 × g(0)＝0， 所以f(x)−xg(x) ≥ 0． 证明：若xn是函数u(x)＝f(x) + 1在(−2nπ−π 2, −2nπ)(n ∈ N)内零点， 则u(xn)＝0在(−2nπ−π 2, −2nπ)(n ∈ N)有根， 所以f(xn) + 1＝0在(−2nπ−π 2, −2nπ)(n ∈ N)有根， 即sinxn exn−1 = −1在(−2nπ−π 2, −2nπ)(n ∈ N)有根，① 令yn＝xn + 2nπ，则yn ∈ (−π 2, 0) f(yn) = sinyn eyn−1 = sin(xn + 2nπ) exn+2nπ−1 = sinxn exn−1 ⋅ e2nπ， 又因为①式成立，所以f(yn)＝−e−2nπ， 因为f(yn)＝−e−2nπ ≥ −1＝f(y0)， 由（1）可知在(−π 2, 0)上，f(x)单调递增． 所以yn ≥ y0， 由（1）可知(−π 2, 0)上，g(x)单调递减， 所以0 < g(yn) ≤ g(y0) 试卷第 12 页，总 13 页 由（1）可知f(yn)−yng(yn) ≥ 0； 所以yn ≤ f(yn) g(yn) = −e−2nπ g(yn) ≤ −e−2nπ g(y0) = −e−2nπ cosy0−siny0 ey0−1 = −e−2nπ ⋅ ey0−1 cosy0−siny0 = −e−2nπ ⋅ ex0−1 cosx0−sinx0 = −ex0−1 e2nπ(cosx0−sinx0) 又因为①式成立，得yn < sinx0 e2nπ(cosx0−sinx0) ， 所以xn + 2nπ < sinx0 e2nπ(cosx0−sinx0) ． (二)选考题：共 10 分。请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题记分。[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22. 【答案】 解：(1)曲线C的参数方程为{x = 3cosθ， y = sinθ （θ为参数）， 化为标准方程是：x2 9 + y2 = 1； a = −1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x + 4y−3 = 0； 联立方程{ x2 9 + y2 = 1， x + 4y−3 = 0， 解得{x = 3， y = 0 或{x = −21 25 ， y = 24 25 ， 所以椭圆C和直线l的交点为(3, 0)和(−21 25, 24 25)． (2)l的参数方程{x = a + 4t， y = 1−t （t为参数）化为一般方程是：x + 4y−a−4 = 0， 椭圆C上的任一点P可以表示成P(3cosθ, sinθ)，θ ∈ [0, 2π)， 所以点P到直线l的距离d为： d = |3cosθ + 4sinθ−a−4| 17 = |5sin(θ + φ)−a−4| 17 ， φ满足tanφ = 3 4，且d的最大值为 17． ①当−a−4 ≤ 0时，即a ≥ −4时， |5sin(θ + φ)−a−4| ≤ |−5−a−4| = 5 + a + 4 = 17 解得a = 8 ≥ −4，符合题意． ②当−a−4 > 0时，即a < −4时， |5sin(θ + φ)−a−4| ≤ |5−a−4| = 5−a−4 = 1−a = 17 解得a = −16 < −4，符合题意． 故a = 8或a = −16. [选修 4-5：不等式选讲] 23. 【答案】 当a＝1时，不等式f(x) ≤ 4即为|x| + 2|x−1| ≤ 4， 当x ≥ 1时，可得x + 2(x−1) ≤ 4，解得x ≤ 2，则1 ≤ x ≤ 2； 试卷第 13 页，总 13 页 当0 < x < 1时，可得x−2(x−1) ≤ 4，解得x ≥ −2，则0 < x < 1； 当x ≤ 0时，可得−x−2(x−1) ≤ 4，解得x ≥ −2 3，则−2 3 ≤ x ≤ 0． 综上可得，原不等式的解集为[−2 3, 2]； 若不等式f(x) ≥ 4对一切x ∈ R恒成立，即为f(x)min ≥ 4， 由f(x)＝|x| + 2|x−a|＝|x| + |x−a| + |x−a| ≥ |x−x + a| + |a−a|＝|a|，当且仅当x＝a时， 取得等号， 因为a > 0，可得f(x)min＝a， 则a ≥ 4，即a的取值范围是[4,  + ∞)．