2020 年高考数学三模试卷（文科）
一、选择题（共 12 小题）.
1．已知集合 A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝|x|}，则集合 A∩B 的子集的个数为
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．小赵到哈尔滨南岗区 7 个小区和道里区 8 个小区调查空置房情况，将调查得到的小区空
置房的套数绘成了如图所示的茎叶图，则调查中的南岗区空置房套数的中位数与道里区
空置房套数的中位数之差为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．已知复数 z＝sinθ﹣ +（cosθ﹣ ）i 为纯虚数，则 tanθ＝（ ）
A． B． C． D．
4．“新冠肺炎”疫情的控制需要根据大数据进行分析，并有针对性的采取措施．如图是甲
、乙两个省份从 2 月 7 日到 2 月 13 日一周内的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图，根
据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，下列说法错误的是（ ）
A．2 月 7 日到 2 月 13 日甲省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数低于乙省
B．2 月 7 日到 2 月 13 日甲省的单日新增“新冠肺炎”确诊人数最大值小于乙省
C．2 月 7 日到 2 月 13 日乙省相对甲省的新增“新冠肺炎”确诊人数的波动大D．后四日（2 月 10 日至 13 日）乙省每日新增“新冠肺炎“确诊人数均比甲省多
5．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的 S 为（ ）
A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值
B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值
C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值
D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值
7．已知 M 为△ABC 的边 AB 的中点，N 为△ABC 内一点， ，则 ＝（
）
A． B． C． D．8．已知 为函数 的图象的一条对称轴，若 f（x1）+f（x2）＝0
，且 f（x）在（x1，x2）单调，则 f（x1+x2）＝（ ）
A．0 B．1 C． D．2
9．已知 12＝1，12﹣22＝﹣3，12﹣22+32＝6，12﹣22+32﹣42＝﹣10，……照此规律 12﹣22+32
﹣42+52﹣62+…+92﹣102＝（ ）
A．45 B．﹣45 C．55 D．﹣55
10．已知 F 为双曲线 C：x2﹣y2＝1 的右焦点，M 为双曲线 C 上一点，且 MF 与 x 轴垂直，
点 M 关于双曲线的渐近线的对称点为 N，则△MNF 的面积为（ ）
A． B． 或 C． 或 D． 或
11．已知 A、B 为半径为 2 的球 O 表面上的两点，且|AB|＝2．平面 α⊥平面 β，α∩β＝直线
AB，若平面 α、β 截球 O 所得的截面分别为 OO1 和 OO2，则|O1O2|＝（ ）
A． B． C．2 D．
12．已知函数 f（x）＝aex﹣x（a∈R）有两个零点 x1，x2，且 x1＜x2 则下列结论中不正确的
是（ ）
A． B．0＜x1＜1
C．x1+x2＞2 D．lnx1﹣x1＜lnx2﹣x2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填写在答题纸相应位置上．
13．随着国内疫情形势好转，暂停的中国正在重启，为了尽快提升经济、吸引顾客，哈西
某商场举办购物抽奖活动，凡当日购物满 1000 元的顾客，可参加抽奖，规则如下：盒中
有大小质地均相同 5 个球，其中 2 个红球和 3 个白球，不放回地依次摸出 2 个球，若在
第一次和第二次均摸到红球则获得特等奖，否则获得纪念奖，则顾客获得特等奖的概率
是 ．
14．设函数 f（x）＝ex 在 x＝0 处的切线与 x，y 轴围成的区域为 Ω，点 P 是 Ω 内一动点，
点 Q 是函数 上的动点，则线段|PQ|的最小值为 ．
15．已知函数 ，则不等式 f（x+1）≤f（0）的解集为 ．
16．在锐角△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且满足 2c•tanB＝b•（tanA+tanB），则 A＝ ；若 O 是△ABC 外接圆的圆心，则
＝ ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共 60
分．
17．已知数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*），满足 a1＝2b1，anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn＝0．
（Ⅰ）令 ，证明：数列{cn}为等差数列，并求数列{cn}的通项公式；
（Ⅱ）若 bn＝2n﹣1，求数列{an}的前 n 项和 Sn．
18．新冠肺炎疫情这只“黑天鹅”的出现，给经济运行带来明显影响，住宿餐饮、文体娱
乐、交通运输、旅游等行业受疫情影响严重．随着复工复产的有序推动，我市某西餐厅
推出线上促销活动：
A 套餐（在下列食品中 6 选 2）
西式面点：蔓越莓核桃包、南瓜芝士包、黑列巴、全麦吐司；
中式面点：豆包、桂花糕．
B 套餐：酱牛肉、老味烧鸡熟食类组合．
复工复产后某一周两种套餐的日销售量（单位：份）如表：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
A 套餐 11 12 14 18 22 19 23
B 套餐 6 13 15 15 37 20 41
（Ⅰ）根据上面一周的销量，计算 A 套餐和 B 套餐的平均销量和方差，并根据所得数据
评价两种套餐的销售情况；
（Ⅱ）若某顾客购买一份 A 套餐，求他所选的面点中至少一种中式面点的概率．
19．如图 1，在直角梯形 ABCD 中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝8，AD＝4，DC＝6，
点 E 在 CD 上，且 DE＝4，将三角形 ADE 沿线段 AE 折起到 PAE 的位置，PB＝ （
如图 2）．（Ⅰ）求证：平面 PAE⊥平面 ABCE；
（Ⅱ）在线段 PB 上是否存在点 M，使 CM∥平面 PAE？若存在，求出 的值；若不存
在，说明理由．
20．已知椭圆 C1： （a＞b＞0），四点 P1（1，1），P2（0，2），P3（ ，﹣
1），P4（ ，1）中恰有三点在椭圆 C1 上，抛物线 C2：y2＝2px（p＞0）焦点到准线的
距离为 ．
（Ⅰ）求椭圆 C1、抛物线 C2 的方程；
（Ⅱ）过椭圆 C1 右顶点 Q 的直线 l 与抛物线 C2 交于点 A、B，射线 OA、OB 分别交椭
圆 C1 于点 M、N．
（i）证明： 为定值；
（ii）求△MON 的面积的最小值．
21．已知函数 f（x）＝sinx﹣ax（a∈R）．
（Ⅰ）当 a＝ 时，求 f（x）在[ ， ]上最值；
（Ⅱ）若对一切 x∈（0，+∞），不等式 f（x）＞ 恒成立，求实数 a 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
第一题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修 4-4：坐标系
与参数方程]
22．已知曲线 （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建
立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A、B、
C、D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为 ．（Ⅰ）求曲线 C1 的普通方程及点 A、B、C、D 的直角坐标；
（Ⅱ）设 P 为 C1 上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|ax﹣1|（a＞0）．
（Ⅰ）若不等式 f（x）+f（x﹣1）≥1 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值集合 A；
（Ⅱ）若 x，y∈A，求证： ．参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有项
是符合题目要求的．
1．已知集合 A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝|x|}，则集合 A∩B 的子集的个数为
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
解：解 得， 或 ；
∴ ；
∴A∩B 子集个数为 ．
故选：B．
2．小赵到哈尔滨南岗区 7 个小区和道里区 8 个小区调查空置房情况，将调查得到的小区空
置房的套数绘成了如图所示的茎叶图，则调查中的南岗区空置房套数的中位数与道里区
空置房套数的中位数之差为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
解：因为南岗区空置房套数有 7 套，则其中位数是 79；道里区空置房套数有 8 套，则其
中位数为 ＝78，
所以两中位数之差是 79﹣78＝1．
故选：D．
3．已知复数 z＝sinθ﹣ +（cosθ﹣ ）i 为纯虚数，则 tanθ＝（ ）
A． B． C． D．解：∵z＝sinθ﹣ +（cosθ﹣ ）i 为纯虚数，
∴ ，解得 ，cos ．
则 tanθ＝ ．
故选：A．
4．“新冠肺炎”疫情的控制需要根据大数据进行分析，并有针对性的采取措施．如图是甲
、乙两个省份从 2 月 7 日到 2 月 13 日一周内的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图，根
据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，下列说法错误的是（ ）
A．2 月 7 日到 2 月 13 日甲省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数低于乙省
B．2 月 7 日到 2 月 13 日甲省的单日新增“新冠肺炎”确诊人数最大值小于乙省
C．2 月 7 日到 2 月 13 日乙省相对甲省的新增“新冠肺炎”确诊人数的波动大
D．后四日（2 月 10 日至 13 日）乙省每日新增“新冠肺炎“确诊人数均比甲省多
解：根据图象所给数据可得 2 月 7 日到 2 月 13 日甲省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数
约为 19，方差为 53，
单日新增最大值为 28，
2 月 7 日到 2 月 13 日乙省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数约为 22，方差约为 17，
单日新增最大值为 29，故可得 AB 正确，C 错误，
由图可知，后四日乙人数均比甲人数多，故 D 正确，
故选：C．
5．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）A． B． C． D．
解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体．
如图所示：
所以：V＝ ．
故选：B．
6．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的 S 为（ ）
A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值
C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值
D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值
解：模拟程序的运行，可得
k＝3，S＝a3，
满足条件 k＞0，执行循环体，k＝2，S＝a2+a3x0，
满足条件 k＞0，执行循环体，k＝1，S＝a1+x0（a2+a3x0），
满足条件 k＞0，执行循环体，k＝0，S＝a0+x0（a1+x0（a2+a3x0）），
不满足条件 k＞0，退出循环，输出 S 的值为 a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））．
故选：C．
7．已知 M 为△ABC 的边 AB 的中点，N 为△ABC 内一点， ，则 ＝（
）
A． B． C． D．
解：根据题意：已知 M 为△ABC 的边 AB 的中点，N 为△ABC 内一点， ，
所以 ，
所以 MN∥BC，且 ，
故点 N 在线段 MN 靠 M 的 MD 处．才满足
如图所示：所以
故选：B．
8．已知 为函数 的图象的一条对称轴，若 f（x1）+f（x2）＝0
，且 f（x）在（x1，x2）单调，则 f（x1+x2）＝（ ）
A．0 B．1 C． D．2
解：因为 为函数 的图象的一条对称轴，
∴f（﹣ ）＝asin（﹣ ）﹣ cos（﹣ ）＝﹣ a﹣ ＝± ；
∴ a2+ a+ ＝a2+3⇒a2﹣2a+1＝0⇒a＝1；
∴f（x）＝sinx﹣ cosx＝2sin（x﹣ ）；
∵f（x1）+f（x2）＝0，且 f（x）在（x1，x2）单调，
故 x1，x2 的中间值对应为对称中心；
∴ （x1﹣ +x2﹣ ）＝kπ⇒x1+x2＝ +2kπ，k∈Z；
∴f（x1+x2）＝2sin（ +2kπ﹣ ）＝2sin ＝ ．
故选：C．
9．已知 12＝1，12﹣22＝﹣3，12﹣22+32＝6，12﹣22+32﹣42＝﹣10，……照此规律 12﹣22+32
﹣42+52﹣62+…+92﹣102＝（ ）
A．45 B．﹣45 C．55 D．﹣55
解：观察下列等式：
12＝1
12﹣22＝﹣3
12﹣22+32＝6
12﹣22+32﹣42＝﹣10
…
分 n 为奇数和偶数讨论：
第 n 个等式左边为 12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1n2．
当 n 为偶数时，分组求和（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣1）2﹣n2]＝﹣ ，当 n 为奇数时，第 n 个等式左边＝（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣2）2﹣（n﹣1）2]+n2
＝﹣ +n2＝ ．
综上，第 n 个等式为 12﹣22+32﹣…+（﹣1）n﹣1n2＝ ．
当 n＝10 时，代入可得 ＝﹣55，
故选：D．
10．已知 F 为双曲线 C：x2﹣y2＝1 的右焦点，M 为双曲线 C 上一点，且 MF 与 x 轴垂直，
点 M 关于双曲线的渐近线的对称点为 N，则△MNF 的面积为（ ）
A． B． 或 C． 或 D． 或
解：设 M 在第一象限，由双曲线的方程可得右焦点 F（ ，0），MF⊥x 轴，可得 M（
，1），渐近线的方程 y＝±x，
M 关于 y＝x 的对称点 N（1， ）所以 S△MNF＝ |MF|•|xN﹣xF|＝ ×1× ＝
；
当 M 关于 y＝﹣x 对称时，则 N（﹣1，﹣ ），所以 S△MNF＝ |MF|•|xF﹣xN|＝ ×1×
（ +1）＝ ，
故选：C．
11．已知 A、B 为半径为 2 的球 O 表面上的两点，且|AB|＝2．平面 α⊥平面 β，α∩β＝直线
AB，若平面 α、β 截球 O 所得的截面分别为 OO1 和 OO2，则|O1O2|＝（ ）
A． B． C．2 D．
解：A、B 为半径为 2 的球 O 表面上的两点，且|AB|＝2．平面 α⊥平面 β，α∩β＝直线 AB
，若平面 α、β 截球 O 所得的截面分别为⊙O1 和⊙O2，如图：四边形 OO1CO2 是矩形，并且直线 OO1⊥圆面 OO1，直线 OO2⊥圆面 OO2，
由题意可知，OA＝2，AC＝CB＝1，可得 OC＝O1O2＝ ．
故选：A．
12．已知函数 f（x）＝aex﹣x（a∈R）有两个零点 x1，x2，且 x1＜x2 则下列结论中不正确的
是（ ）
A． B．0＜x1＜1
C．x1+x2＞2 D．lnx1﹣x1＜lnx2﹣x2
解：f′（x）＝aex﹣1，
当 a≤0 时，f′（x）＜0 在 x∈R 上恒成立，此时 f（x）在 R 上单调递减，不合题意；
当 a＞0 时，由 f'（x）＝0，解得 x＝﹣lna，
当 x＜﹣lna 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当 x＞﹣lna 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴当 a＞0 时，f（x）单调减区间为（﹣∞，﹣lna），单调增区间为（﹣lna，+∞），
可知当 x＝﹣lna 时，函数取得极小值为 f（﹣lna）＝ae﹣lna+lna＝lna+1，
又当 x→﹣∞时，f（x）→+∞，x→+∞时，f（x）→+∞，
∴要使函数 f（x）有两个零点，则 ，得 0＜a＜ ，故 A 正确；
由 f（0）＝a＞0，极小值点 x＝﹣lna＞0，
可得 0＜x1＜x2．
∵x1，x2 是 f（x）的两个零点，∴ ， ．
可得 lnx1＝lna+x1，lnx2＝lna+x2．
故 lnx1﹣x1＝lnx2﹣x2，故 D 错误；
由 lnx1﹣x1＝lnx2﹣x2＝lna，设 g（x）＝lnx﹣x﹣lna，则 x1，x2 为 g（x）的两个零点，
g′（x）＝ ﹣1＝ ，得 g（x）在（0，1）上单调增，在（1，+∞）上单调减，
∴0＜x1＜1＜x2，故 B 正确；
设 h（x）＝g（x）﹣g（2﹣x），（0＜x＜1），
则 h（x）＝lnx﹣ln（2﹣x）+2﹣2x（0＜x＜1），
h′（x）＝ + ﹣2＝ ＞0 恒成立，则 h（x）在（0，1）上单调增，
∵h（x）＜h（1）＝0，
∴h（x1）＝g（x1）﹣g（2﹣x1）＜0，即 g（x1）＜g（2﹣x1），得 g（x2）＜g（2﹣x1）
．
又 g（x）在（1，+∞）上单调减，x2，2﹣x1∈（1，+∞），
∴x2＞2﹣x1，即 x1+x2＞2，故 C 正确．
综上，错误的结论是 D．
故选：D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填写在答题纸相应位置上．
13．随着国内疫情形势好转，暂停的中国正在重启，为了尽快提升经济、吸引顾客，哈西
某商场举办购物抽奖活动，凡当日购物满 1000 元的顾客，可参加抽奖，规则如下：盒中
有大小质地均相同 5 个球，其中 2 个红球和 3 个白球，不放回地依次摸出 2 个球，若在
第一次和第二次均摸到红球则获得特等奖，否则获得纪念奖，则顾客获得特等奖的概率
是 ．
解：设 2 个红球分别为 A，B，3 个白球分别为 a，b，c，不放回地依次摸出 2 个球，
基本事件总数有 10 个，分别为：
（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，
b），（a，c），（b，c），
第一次和第二次均摸到红球包含的基本事件只有（A，B），
则顾客获得特等奖的概率是 P＝ ．
故答案为： ．
14．设函数 f（x）＝ex 在 x＝0 处的切线与 x，y 轴围成的区域为 Ω，点 P 是 Ω 内一动点，
点 Q 是函数 上的动点，则线段|PQ|的最小值为 ．解：∵f′（x）＝ex，f′（0）＝1，f（0）＝1．
故切线为：y﹣1＝x，即 y＝x+1．
函数 可化为：（x﹣3）2+（y+3）2＝1，（y≥﹣3）．
表示的是圆心为（3，﹣3），半径为 1 的半圆（y＝﹣3 上的点及上方的部分），
画出图象如下：阴影部分为 Ω 区域，半圆为函数 的图象．
易知|PQ|min＝ ．（即原点到圆心（3，﹣3）的距离减去半径 1）
．
故答案为： ．
15．已知函数 ，则不等式 f（x+1）≤f（0）的解集为 [﹣2， ﹣
1] ．
解：因为函数 ，
故 f（0）＝0；
∴f（x+1）≤f（0）⇒f（x+1）≤0；
当 x+1≥0 即 x≥﹣1 时，（x+1）3﹣3（x+1）≤0⇒（x+1）[（x+1）2﹣3]≤0⇒（x+1）2
﹣3≤0⇒﹣ ≤x+1 ⇒﹣ ﹣1≤x ；
故﹣1≤x≤ ；
当 x+1＜0 即 x＜﹣1 时，ln（﹣（x+1））≤0＝ln1⇒﹣（x+1）≤1⇒﹣2≤x＜﹣1；综上可得：﹣2≤x≤ ﹣1；
故答案为：[﹣2， ﹣1]．
16．在锐角△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且满足 2c•tanB＝b•（tanA+tanB
），则 A＝ ；若 O 是△ABC 外接圆的圆心，则
＝ ．
解：在锐角△ABC 中，2c•tanB＝b•（tanA+tanB），
所以 2sinCtanB＝sinB（tanA+tanB），
即 2sinC• ＝sinB• ；
又 sinB＞0，cosB＞0，
所以 2sinC＝ ；
又 sinC＞0，所以 cosA＝ ；
又 A 为锐角，所以 A＝ ；
如图所示，
O 是△ABC 外接圆的圆心，
则
＝
＝
＝ •sin2C+ •sin2B
＝sinCcosB+cosCsinB
＝sin（B+C）＝sinA
═ ．
故答案为： ； ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共 60
分．
17．已知数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*），满足 a1＝2b1，anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn＝0．
（Ⅰ）令 ，证明：数列{cn}为等差数列，并求数列{cn}的通项公式；
（Ⅱ）若 bn＝2n﹣1，求数列{an}的前 n 项和 Sn．
解：（Ⅰ）证明：∵bn≠0，anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn＝0，
∴ ﹣ ＝2，又 ，
∴cn+1﹣cn＝2，
又 c1＝ ＝2，
∴{cn}为首项、公差均为 2 的等差数列，
∴cn＝2n；
（Ⅱ）∵an＝bncn＝n•2n，
∴Sn＝1×2+2×22+3×23+…+n•2n①，
又 2Sn＝1×22+2×23+…+n•2n+1②，
由①﹣②可得：﹣Sn＝2+22+23+…+2n﹣n•2n+1＝ ﹣n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2，
∴Sn＝（n﹣1）•2n+1+2．
18．新冠肺炎疫情这只“黑天鹅”的出现，给经济运行带来明显影响，住宿餐饮、文体娱
乐、交通运输、旅游等行业受疫情影响严重．随着复工复产的有序推动，我市某西餐厅
推出线上促销活动：
A 套餐（在下列食品中 6 选 2）
西式面点：蔓越莓核桃包、南瓜芝士包、黑列巴、全麦吐司；
中式面点：豆包、桂花糕．
B 套餐：酱牛肉、老味烧鸡熟食类组合．复工复产后某一周两种套餐的日销售量（单位：份）如表：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
A 套餐 11 12 14 18 22 19 23
B 套餐 6 13 15 15 37 20 41
（Ⅰ）根据上面一周的销量，计算 A 套餐和 B 套餐的平均销量和方差，并根据所得数据
评价两种套餐的销售情况；
（Ⅱ）若某顾客购买一份 A 套餐，求他所选的面点中至少一种中式面点的概率．
解：（Ⅰ）A 套餐数据的平均数 ＝ （11+12+14+18+22+19+23）＝17，方差 ＝
（62+52+32+12+52+22+62）＝ ；
B 套 餐 数 据 的 平 均 数 ＝ （ 6+13+15+15+37+20+41 ） ＝ 21 ， 方 差 ＝ （
152+82+62+62+162+12+202）＝ ；
因为 ＜ ， ＜ ，该周销量中 A 套餐比 B 套餐平均销量低，且 A 套餐比 B 套
餐销量相对稳定；
（Ⅱ）设某顾客所选的面点中没有中式面点为事件 A，从 A 套餐中选两种共 n＝6×5＝
30 种不同的方法，
其中没有中式面点共 m＝4×3＝12 种不同的方法，则 P（A）＝ ＝ ＝ ，
他所选的面点中至少一种中式面点的概率：P（ ）＝1﹣P（A）＝1﹣ ＝ ．
19．如图 1，在直角梯形 ABCD 中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝8，AD＝4，DC＝6，
点 E 在 CD 上，且 DE＝4，将三角形 ADE 沿线段 AE 折起到 PAE 的位置，PB＝ （
如图 2）．
（Ⅰ）求证：平面 PAE⊥平面 ABCE；
（Ⅱ）在线段 PB 上是否存在点 M，使 CM∥平面 PAE？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）证明：取 AE 的中点 G，连接 PG，GB，
在△AGB 中，由余弦定理可得 BG2＝（2 ）2+82﹣2•2 •8•cos ＝40，
PB2＝48＝BG2+PG2，所以 PG⊥GB，
因为 PA＝PE，AG＝GE，所以 PG⊥AE，
又 AE∩GB＝G，AE⊂面 ABCE，GB⊂面 ABCE，
所以 PG⊥面 PAE，
又 PG⊂面 PAE，所以面 PAE⊥面 ABCE；
（Ⅱ）存在 M，满足 ＝ ，使得 CM∥平面 PAE．
证明：取 AB 的三等分点 N，且 AN＝2，连接 CN，则 EC∥AN，且 EC＝AN＝2，
所以四边形 EANC 为平行四边形，可得 CN∥EA，又 ＝ ＝3，所以 MN∥AP，
又 CN∥EA，CN⊄面 PAE，AE⊂面 PAE，所以 CN∥面 PAE，
同理可得 MN∥面 PAE，又 MN∩NC＝N，
所以面 CMN∥面 PAE，CM⊂面 CMN，
可得 CM∥面 PAE．
20．已知椭圆 C1： （a＞b＞0），四点 P1（1，1），P2（0，2），P3（ ，﹣
1），P4（ ，1）中恰有三点在椭圆 C1 上，抛物线 C2：y2＝2px（p＞0）焦点到准线的
距离为 ．
（Ⅰ）求椭圆 C1、抛物线 C2 的方程；
（Ⅱ）过椭圆 C1 右顶点 Q 的直线 l 与抛物线 C2 交于点 A、B，射线 OA、OB 分别交椭
圆 C1 于点 M、N．
（i）证明： 为定值；（ii）求△MON 的面积的最小值．
解：（Ⅰ）由于椭圆的对称性可得椭圆过 P3，P4，而 P1（1，1）与 P3 的纵坐标相同，
而横坐标不同，所以不过 P1，一定过 P2，
所以可得 a＝2，且 + ＝1，可得 b2＝1，
所以椭圆的方程为： +x2＝1；
因为抛物线的焦点到准线的距离 d＝p＝ ，
所以抛物线的方程为：y2＝x；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）可得右顶点 Q（1，0），由题意可得直线 l 的不为 0，设直线 l 的方
程为：x＝my+1，设 A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线 l 与代入抛物线的方程可得 y2﹣my﹣1＝0，y1+y2＝m，y1y2＝﹣1，
所以 ＝x1x2+y1y2＝y12y22+y1y2＝（﹣1）2+（﹣1）＝0 为定值；
（ii）kOA＝ ＝ ＝ ，所以直线 OA 的方程：y＝ x
整理可得：将直线 OA 代入 C1 中得： x2＝4，可得 xM2＝ ，yM2＝
，所以 xM2+yM2＝
同理可得 xN2＝ ，yN2＝ ，xN2+yN2＝ ，
S △ MON ＝ |OM| • |ON| ＝ ＝ 2 ＝ 2
＝2 ＝2 ＝2
当 m＝0 时，（S△MON）min＝ ．
21．已知函数 f（x）＝sinx﹣ax（a∈R）．
（Ⅰ）当 a＝ 时，求 f（x）在[ ， ]上最值；
（Ⅱ）若对一切 x∈（0，+∞），不等式 f（x）＞ 恒成立，求实数 a 的取值范围．解：（Ⅰ）当 a＝ 时， ，
易知函数 f（x）在 单调递减，在 单调递增，
又 ，
故 f（x）在[ ， ]上的最大值为 ，最小值为 ；
（Ⅱ）对一切 x∈（0，+∞），不等式 f（x）＞ 恒成立，即 恒成
立，
设 ，则 ，设 h（x）＝g′（x），则 h′（x）＝
﹣sinx+x，设 μ（x）＝x﹣sinx，μ′（x）＝1﹣cosx≥0，
∴μ（x）在（0，+∞）上递增，
∴μ（x）＞μ（0）＝0，即 h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上递增，
①当 1﹣a≥0，即 a≤1 时，g′（x）＞0，故 g（x）＞g（0）＝0 在（0，+∞）上恒成
立，符合题意；
②当 1﹣a＜0，即 a＞1 时，存在 x0∈（0，+∞），使得 g′（x0）═0，且在（0，x0）
上，g′（x）＜0，g（x）是减函数，
故在 x∈（0，x0）上，g（x）＜g（0）＝0，不合题意．
综上，a≤1．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
第一题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修 4-4：坐标系
与参数方程]
22．已知曲线 （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建
立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A、B、
C、D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为 ．
（Ⅰ）求曲线 C1 的普通方程及点 A、B、C、D 的直角坐标；
（Ⅱ）设 P 为 C1 上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围．解：（Ⅰ）曲线 （t 为参数）整理得 ， ≠﹣1，
所以转换为直角坐标方程为： ．
曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A、B、C、D 依逆时
针次序排列，点 A 的极坐标为 ．转换为直角坐标为（ ）
所以 B（2， ）转换为直角坐标为（﹣ ），C（2， ）转换为直角坐标
为（﹣ ），D（2， ）转换为直角坐标为（ ）．
（Ⅱ）设点 P（x0，y0），则： ，
所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2＝ ，
由于 ，
所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围为[20，32]．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|ax﹣1|（a＞0）．
（Ⅰ）若不等式 f（x）+f（x﹣1）≥1 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值集合 A；
（Ⅱ）若 x，y∈A，求证： ．
解：（Ⅰ）f（x）+f（x﹣1）≥1，即为|ax﹣1|+|ax﹣a﹣1|≥1，
而 a＞0 时，|ax﹣1|+|ax﹣a﹣1|≥|ax﹣1﹣ax+a+1|＝|a|＝a，
当且仅当（ax﹣1）（ax﹣a﹣1）≤0 时，上式取得等号．
即有|ax﹣1|+|ax﹣a﹣1|的最小值为 a，
由题意可得 1≤（|ax﹣1|+|ax﹣a﹣1|）min，
则 a≥1，即 A＝[1，+∞）；
（ Ⅱ ） 证 明 ： x+y+ ﹣ （ + +xy ） ＝ （ x ﹣ ） + （ y ﹣ xy ） + （ ﹣ ） ＝
+y（1﹣x）+ （1﹣x）
＝ [（x+1）y﹣xy2﹣1]＝ [xy（1﹣y）+（y﹣1）]＝ ，由 x，y∈[1，+∞），可得 x﹣1≥0，1﹣y≤0，xy≥1，即 xy﹣1≥0，
则 ≤0，
可得 ．
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