2020 年河南省濮阳市高考数学二模试卷（文科）
一、选择题（共 12 小题）.
1．已知集合 A＝{x|2x2﹣13x＞0}，B＝{y|y＞2}，则（∁RA）∩B＝（ ）
A．（2， ） B．（0，2） C．[0，2] D．（2， ]
2．在复平面内，复数 z 所对应的向量 如图所示，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
3．“王莽方斗”铸造于王莽始建国元年（公元 9 年），有短柄，上下边缘刻有篆书铭文，
外壁漆画黍、麦、豆、禾和麻纹，如图 1 所示．因其少见，故为研究西汉量器的重要物
证．图 2 是“王莽方斗”模型的三视图，则该模型的容积为（ ）
A．213 B．162 C．178 D．193
4．若双曲线 C1 与双曲线 C2： 有共同的渐近线，且 C1 过点（2，3），则双曲线
C1 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a3＝5， ＝4，则 a10＝（ ）A．9 B．11 C．19 D．21
6．2020 年 2 月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门
的牵头下，甲工厂率先转业生产口罩．为了了解甲工厂生产口罩的质量，某调查人员随
机抽取了甲工厂生产的 6 个口罩，将它们的质量（单位：g）统计如图所示．记这 6 个口
罩质量的平均数为 m，则在其中任取 2 个口罩，质量都超过 m 的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知定义域为 R 的函数 f（x）的图象关于原点对称，且 x＞0 时，f（x+2）＝4f（x）．
当 x∈（0，2]时，f（x）＝ ，则 f（﹣8）+f（4）＝（ ）
A．﹣60 B．﹣8 C．12 D．68
8．2020 年 2 月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等
多种方式来指导学生线上学习．为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调
查了相同数量的男、女学生，发现有 80%的男生喜欢网络课程，有 40%的女生不喜欢网
络课程，且有 99%的把握但没有 99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被
调查的男、女学生总数量可能为（ ）
附： ，其中 n＝a+b+c+d．
P（K2≥k） 0.1 0.05 0.01 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
A．130 B．190 C．240 D．250
9．已知函数 f（x）＝sinωx（ω＞0）满足对任意 x∈R，f（x）＝f（x+π），则函数 f（x）
在[0，2π]上的零点个数不可能为（ ）
A．5 B．9 C．21 D．23
10．已知三棱锥 S﹣ABC 的底面是等边三角形，且 SA＝SB＝SC＝ ，则当三棱锥 S﹣ABC
的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A．9π B．12π C．18π D．27π
11．若函数 f（x）＝sin2x﹣4x﹣msinx 在[0，2π]上单调递减，则实数 m 的取值范围为（ ）
A．（﹣2，2） B．[﹣2，2] C．（﹣1，1） D．[﹣1，1]12．已知△ABC 中，点 M 在线段 AB 上，∠ACB＝2∠BCM＝60°，且 ﹣λ ＝ ．
若| |＝6，则 • ＝（ ）
A．27 B．18 C．27 D．18
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，若点 P（2，﹣5）在角 α
的终边上，则 tan2α＝ ．
14．运行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为 ．
15．已知抛物线 C：x2＝2py（p＞0）的焦点 F 到准线的距离为 4，过点 F 和 R（m，0）的
直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点，若 ＝ ，则|PQ|＝ ．
16．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 bcos2C+ccosBcosC＝ a，
则 C＝ ；若 B＝ ，a＝4，点 P 是 BC 的中点，点 M，N 分别在线段 AB，AC
上，∠BPM＝ ，∠CPN＝ ，则△PMN 的面积为 ．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.
17．已知某种农产品的日销量 y 与上市天数 x 之间满足的关系如图所示．
（Ⅰ）根据散点图判断 y＝a+bx 与 y＝c+dlnx 哪一个更适合作为日销量 y 与上市天数 x
的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的结果，求日销量 y 与上市天数 x 的回归方程．
参考公式：回归直线方程 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ＝
， ．
参考数据：
55 155.5 15.1 82.5 4.84 94.9 24.2
其中 ti＝lnxi．
18．如图所示多面体的底面 ABCD 是菱形，∠ABC＝120°，PA⊥平面 ABCD，QC⊥平面
ABCD．
（Ⅰ）求证：BQ∥平面 PAD；
（Ⅱ）若 CQ＝ CB＝ PA＝1，求三棱锥 Q﹣ADP 的体积．
19．记数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 2an+1+n＝4Sn+2p，a3＝7a1＝7．
（Ⅰ）求 p，S4 的值；（Ⅱ）若 bn＝an+1﹣an，求证：数列{bn}是等比数列．
20．已知椭圆 C： + ＝1 的右顶点为 A，左焦点为 F1，过点 A 的直线 l1 与椭圆 C 的另
一个交点为 B，BF1⊥x 轴，点 S（0，y0）（y0＞0）在直线 11 上．
（Ⅰ）求△ABF1 的面积；
（Ⅱ）若过点 S 的直线 l2 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且△SPA 的面积是△SBQ 的面积的
6 倍，求直线 l2 的方程．
21．已知函数 f（x）＝ax2﹣2ax﹣lnx+a（a∈R）的单调递减区间为 ．
（Ⅰ）求 a 的值；
（Ⅱ）证明：当 x＞1 时，f（x）＞1﹣x；
（Ⅲ）若存在 m＞1，使得当 x∈（1，m）时，恒有 f（x）＜k（x﹣1），求实数 k 的取
值范围．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （γ 为参数），曲线 C2
的参数方程为 （s 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，已知点 A 的极坐标为（1，π），直线 l：θ＝α（ρ∈R）与 C2 交于点 B，其中
．
（Ⅰ）求曲线 C1 的极坐标方程以及曲线 C2 的普通方程；
（Ⅱ）过点 A 的直线 m 与 C 交于 M，N 两点，若 l∥m，且 ，求 α 的值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知正数 m，n，p 满足 m2+n2+p2＝4．
（Ⅰ）比较 lnm+lnn+lnp 与|x﹣2|+|x﹣1|的大小关系，并说明理由；
（Ⅱ）若 m+n＝2mn，求 p 的最大值．参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．已知集合 A＝{x|2x2﹣13x＞0}，B＝{y|y＞2}，则（∁RA）∩B＝（ ）
A．（2， ） B．（0，2） C．[0，2] D．（2， ]
【分析】根据已知求出集合 A 及其补集，再求交集．
解：依題意， ，则∁RA＝{x|0≤x≤ }，
所以 ，
故选：D．
2．在复平面内，复数 z 所对应的向量 如图所示，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知求得 z，代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解：由图可知，z＝3+2i，
则 ，
故选：A．
3．“王莽方斗”铸造于王莽始建国元年（公元 9 年），有短柄，上下边缘刻有篆书铭文，
外壁漆画黍、麦、豆、禾和麻纹，如图 1 所示．因其少见，故为研究西汉量器的重要物
证．图 2 是“王莽方斗”模型的三视图，则该模型的容积为（ ）A．213 B．162 C．178 D．193
【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．
解：根据几何体的三视图转换为直观图：该模型的内侧的形状为长方体的容器，
如图所示：
所求体积为：V＝4.5×6×6＝162．
故选：B．
4．若双曲线 C1 与双曲线 C2： 有共同的渐近线，且 C1 过点（2，3），则双曲线
C1 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用双曲线是渐近线方程，设出双曲线方程，代入点的坐标求解即可．
解：设双曲线 C1 的方程为 ，将（2，3）代入，可得 ，
故双曲线 C1 的方程为 ．
故选：D．5．记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a3＝5， ＝4，则 a10＝（ ）
A．9 B．11 C．19 D．21
【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．
解：由{an}为等差数列，设公差为 d，由 a3＝5， ，
得 ，
解得
所以 an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，故 a10＝19．
故选：C．
6．2020 年 2 月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门
的牵头下，甲工厂率先转业生产口罩．为了了解甲工厂生产口罩的质量，某调查人员随
机抽取了甲工厂生产的 6 个口罩，将它们的质量（单位：g）统计如图所示．记这 6 个口
罩质量的平均数为 m，则在其中任取 2 个口罩，质量都超过 m 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可先求出 m，然后根据题意求解随机抽取 2 的所有情况及满足条件的情
况个数，根据等可能事件的概率公式可求．
解：依题意， ，
可知 6 个口罩中有 3 个质量超过 m，记为 A，B，C，另外 3 个记为 d，e，f．随机抽取 2
个，
所有的情况有 AB，AC，Ad，Ae，Af，BC，Bd，Be，Bf，Cd，Ce，Cf，de，df，ef，
共 15 种，
其中满足条件的有 AB，AC，BC，共 3 种，
故所求概率 ．
故选：C．7．已知定义域为 R 的函数 f（x）的图象关于原点对称，且 x＞0 时，f（x+2）＝4f（x）．
当 x∈（0，2]时，f（x）＝ ，则 f（﹣8）+f（4）＝（ ）
A．﹣60 B．﹣8 C．12 D．68
【分析】推导出 f（4）＝4f（2）＝4log33＝4，f（﹣8）＝﹣f（8）＝﹣4f（6）＝﹣16f（
4），由此能求出 f（﹣8）+f（4）的值．
解：依题意，f（4）＝4f（2）＝4log33＝4，
f（﹣8）＝﹣f（8）＝﹣4f（6）＝﹣16f（4）＝﹣16×4＝﹣64，
故 f（﹣8）+f（4）＝﹣64+4＝﹣60．
故选：A．
8．2020 年 2 月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等
多种方式来指导学生线上学习．为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调
查了相同数量的男、女学生，发现有 80%的男生喜欢网络课程，有 40%的女生不喜欢网
络课程，且有 99%的把握但没有 99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被
调查的男、女学生总数量可能为（ ）
附： ，其中 n＝a+b+c+d．
P（K2≥k） 0.1 0.05 0.01 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
A．130 B．190 C．240 D．250
【分析】设男、女生的人数各为 5x，建立 2×2 列联表，由表格中的数据求出 K2 的观测
值，结合临界值表得关于 x 的不等式组，求解 10x 的范围得答案．
解：依题意，设男、女生的人数各为 5x，建立 2×2 列联表如下所示：
喜欢网络课程 不喜欢网络课程 总计
男生 4x x 5x
女生 3x 2x 5x
总计 7x 3x 10x
故 ，由题可知 ，
∴139.335＜10x＜227.388．只有 B 符合题意．故选：B．
9．已知函数 f（x）＝sinωx（ω＞0）满足对任意 x∈R，f（x）＝f（x+π），则函数 f（x）
在[0，2π]上的零点个数不可能为（ ）
A．5 B．9 C．21 D．23
【分析】计算 f（x）在[0，2π]上的周期个数，根据周期个数得出零点个数．
解：f（x）的最小正周期为 T＝ ，
∵对任意 x∈R，f（x）＝f（x+π），
∴π＝ •k，k∈N×，
故 f（x）在[0，2π]上有偶数 2k 个周期，
∴f（x）在[0，2π]上的零点个数为 4k+1 个，
故选：D．
10．已知三棱锥 S﹣ABC 的底面是等边三角形，且 SA＝SB＝SC＝ ，则当三棱锥 S﹣ABC
的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A．9π B．12π C．18π D．27π
【 分 析 】 设 ∠ ASC ＝ θ ， SB 与 平 面 SAC 所 成 角 为 φ ， 则
，当 时，Vs﹣ABC 最大，此
时 SA，SB，SC 两两垂直，三棱柱 S﹣ABC 的外接球半径 R，满足
，由此能求出其外接球的表面积．
解：设∠ASC＝θ，SB 与平面 SAC 所成角为 φ，
则 ，
当 时，Vs﹣ABC 最大，此时 SA，SB，SC 两两垂直，
三棱柱 S﹣ABC 的外接球半径 R，
满足 ，
则其外接球的表面积为 S＝4πR2＝18π．
故选：C．
11．若函数 f（x）＝sin2x﹣4x﹣msinx 在[0，2π]上单调递减，则实数 m 的取值范围为（ ）
A．（﹣2，2） B．[﹣2，2] C．（﹣1，1） D．[﹣1，1]【分析】求出函数的导数，再设 t＝cosx∈[﹣1，1]，得到 g（t）＝4t2﹣mt﹣6，问题转化
为 g（t）≤0 在[﹣1，1]上恒成立，结合二次函数的性质判断即可．
解：依题意，f（x）＝2sinxcosx﹣4x﹣msinx，
所以 f′（x）＝2（2cos2x﹣1）﹣4﹣mcosx＝4cos2x﹣mcosx﹣6≤0 对∀x∈[0，2π]恒成立
．
设 t＝cosx∈[﹣1，1]，g（t）＝4t2﹣mt﹣6，
则 g（t）≤0 在[﹣1，1]上恒成立，
由二次函数的性质得
解得﹣2≤m≤2，
故选：B．
12．已知△ABC 中，点 M 在线段 AB 上，∠ACB＝2∠BCM＝60°，且 ﹣λ ＝ ．
若| |＝6，则 • ＝（ ）
A．27 B．18 C．27 D．18
【分析】作出菱形 CPMQ，计算 λ 和 CP，用 表示 ，再计算数量积．
解：以 CM 为对角线作平行四边形 CPMQ，
∵CM 平分∠ACB，∴四边形 XPMQ 是菱形，
又 CM＝6，∠BCM＝30°，
∴CP＝CQ＝2 ，
∴ ＝2 2 ×cos60°＝6，
∵ ﹣λ ＝ ，即 ＝ +λ ，且 A，M，B 三点共线，
∴λ＝ ，
又 ＝ ，
∴ ＝ ， ＝3 ，
∴ ＝（ ）•（3 ﹣ ）＝3 ﹣ + ＝3×12﹣ ×12+
×6＝27．
故选：C．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，若点 P（2，﹣5）在角 α
的终边上，则 tan2α＝ ．
【分析】直接利用任意角的三角函数可求 tanα 的值，进而根据二倍角的正切函数公式即
可求解．
解：依题意，角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，若点 P（2，﹣5）
在角 α 的终边上，
可得 ，
则 ．
故答案为： ．
14．运行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为 1011 ．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构分别计算 T 和 N 的值
并输出变量 S＝N﹣T 的值，模拟程序的运行过程，结合数列中分组求和的方法进行运算
即可得解．
解：由题可知，T＝0+2+4+6+……+2018+2020，N＝1+3+5+7+……+2019+2021，
所以 S＝N﹣T＝（1﹣0）+（3﹣2）+……+（2019﹣2018）+（2021﹣2020）＝1×1011＝
1011．
故答案为：1011．
15．已知抛物线 C：x2＝2py（p＞0）的焦点 F 到准线的距离为 4，过点 F 和 R（m，0）的
直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点，若 ＝ ，则|PQ|＝ 9 ．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用向量关系，求解 P 的坐标，得到直线的斜率，然
后求解 Q 坐标，即可得到两点间的距离．
解：依题意，抛物线 C：x2＝8y，因为 ，F（0，2）．
故点 P 的纵坐标为 1，代入抛物线方程，可得点 P 的横坐标为 ．
不妨设 ，则 ，故直线 l 方程为 将其代入 x2＝8y，
得 ，可得 ，
故|PQ|＝ ＝9．
故答案为：9．
16．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 bcos2C+ccosBcosC＝ a，
则 C＝ ；若 B＝ ，a＝4，点 P 是 BC 的中点，点 M，N 分别在线段 AB，AC
上，∠BPM＝ ，∠CPN＝ ，则△PMN 的面积为 ．
【分析】先结合正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出 C，先根据内角和求得∠BPM
以及 PM，进而求得△PMN 的面积．
解 ： 由 及 正 弦 定 理 ， 得
所以 ，
所以 ，所以 ，
在△BPM 中，因为 ， ，所以 ，可得 ，
在 △ CPM 中 ， ， 由 可 得 ． 又
，
故
故答案为： ； ．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60
分.
17．已知某种农产品的日销量 y 与上市天数 x 之间满足的关系如图所示．
（Ⅰ）根据散点图判断 y＝a+bx 与 y＝c+dlnx 哪一个更适合作为日销量 y 与上市天数 x
的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的结果，求日销量 y 与上市天数 x 的回归方程．
参考公式：回归直线方程 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ＝
， ．
参考数据：
55 155.5 15.1 82.5 4.84 94.9 24.2
其中 ti＝lnxi．
【分析】（Ⅰ）由图可知，y＝c+dlnx 更适合；
（Ⅱ）令 t＝lnx，则 ，利用已知数据及公式求得 c 与 d 的值，可得 y 关于 t 的线
性回归方程，进一步求得 y 关于 x 的回归方程．
解：（Ⅰ）由图可知，y＝c+dlnx 更适合；
（Ⅱ）令 t＝lnx，则 ．
，， ，
∴ ．
故 y 关于 t 的回归方程为 ，
即日销量 y 与上市天数 x 的回归方程为 ．
18．如图所示多面体的底面 ABCD 是菱形，∠ABC＝120°，PA⊥平面 ABCD，QC⊥平面
ABCD．
（Ⅰ）求证：BQ∥平面 PAD；
（Ⅱ）若 CQ＝ CB＝ PA＝1，求三棱锥 Q﹣ADP 的体积．
【分析】（Ⅰ）由已知可得 PA∥QC，由直线与平面平行的判定可得 QC∥平面 ADP．
再由四边形 ABCD 为菱形，得 BC∥AD，可得 BC∥平面 ADP．由平面与平面平行的判
定得到平面 BCQ∥平面 ADP，可得 BQ∥平面 PAD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 BQ∥平面 PAD，则点 Q 到平面 ADP 的距离等于点 B 到平面 ADP
的距离．证明 BE⊥平面 ADP 并求得 BE，则点 Q 到平面 ADP 的距离即为 BE 的长．再
求出三角形 PAD 的面积，代入棱锥体积公式求解．
【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面 ABCD，QC⊥平面 ABCD，∴PA∥QC．
又 PA⊂平面 ADP，QC⊄平面 ADP，∴QC∥平面 ADP．
又四边形 ABCD 为菱形，∴BC∥AD．
又 AD⊂平面 ADP，BC⊄平面 ADP，
∴BC∥平面 ADP．
又 BC∩QC＝C，BC⊂平面 BCQ，CQ⊂平面 BCQ，
∴平面 BCQ∥平面 ADP．
∵BQ⊂平面 BCQ，∴BQ∥平面 PAD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知 BQ∥平面 PAD，∴点 Q 到平面 ADP 的距离等于点 B 到平面 ADP 的距离．
如图取 AD 中点 E，连接 BE，BD．
∵四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠BAD＝60°，
∴△ABD 是边长为 2 的等边三角形，
∴BE⊥AD，且 ．
又 PA∩AD＝A，PA⊂平面 ADP，AD⊂平面 ADP，
∴BE⊥平面 ADP，则点 Q 到平面 ADP 的距离即为 BE 的长．
∵ ，
∴ ．
即三棱锥 Q﹣ADP 的体积为 ．
19．记数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 2an+1+n＝4Sn+2p，a3＝7a1＝7．
（Ⅰ）求 p，S4 的值；
（Ⅱ）若 bn＝an+1﹣an，求证：数列{bn}是等比数列．
【分析】（I）通过 a3＝7a1＝7，求出 a3，a1．然后利用 2an+1+n＝4Sn+2p，求出 a2，得
到 a3，求出 p，然后求解得 S4 的值．
（II）由（Ⅰ）利用 ，结合 ．两式作差，
推出 是首项为 ，公比为 3 的等比数列，求出通项公式，然后求解说明数列{bn}
是首项为 ，公比为 3 的等比数列．
解：（I）由 a3＝7a1＝7 知，a3＝7，a1＝1．
当 n＝1 时，由 2an+1+n＝4Sn+2p，得 ，
当 n＝2 时，由 2an+1+n＝4Sn+2p，得 a3＝4+3p＝7，
所以 p＝1，
当 n＝3 时，由 2an+1+n＝4Sn+2p，得 2a4+3＝4S3+2，解得 ．
所以 S4＝1+ +7+ ＝31．
（II）证明：由（I）可得 ，
则 ．
两式作差得 ，
即 （n∈N*）．
又易知 ，所以 ，
所以 对 n∈N*恒成立，
由上式变形可得 ．
而 ，
所以 是首项为 ，公比为 3 的等比数列，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以数列{bn}是首项为 ，公比为 3 的等比数列．
20．已知椭圆 C： + ＝1 的右顶点为 A，左焦点为 F1，过点 A 的直线 l1 与椭圆 C 的另
一个交点为 B，BF1⊥x 轴，点 S（0，y0）（y0＞0）在直线 11 上．
（Ⅰ）求△ABF1 的面积；
（Ⅱ）若过点 S 的直线 l2 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且△SPA 的面积是△SBQ 的面积的
6 倍，求直线 l2 的方程．
【分析】（I）求出 F1（﹣1，0），求出点 B 的横坐标为﹣1，将 x＝﹣1 代入
，求出 B，然后求解△ABF1 的面积．（Π）求出 S 的坐标，推出|SA|＝2|SB|，推出 ，得到 ，设 P（x1，y1），
Q（x2，y2），通过①当直线 PQ 斜率不存在时，直线 PQ 的方程为 x＝0，验证．②当
直线 PQ 斜率存在时，直线 PQ 的方程为 y＝kx+1，
联立 ，利用韦达定理，转化求解直线的斜率，得到直线方程．
解：（I）依题意，F1（﹣1，0），因为 BF1⊥x 轴，
所以点 B 的横坐标为﹣1，
将 x＝﹣1 代入 ，得 ，
由题可知直线 l1 的斜率为负，所以 ，
所以△ABF1 的面积 ．
（Π）由（I）可知 ，由 ，得 y0＝1，则 S（0，1），
易知|SA|＝2|SB|，所以 ，
所以 ，
所以 ，
设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则 ，
所以 x1＝﹣3x2
①当直线 PQ 斜率不存在时，直线 PQ 的方程为 x＝0，
此时 ，不合题意，舍去，
②当直线 PQ 斜率存在时，直线 PQ 的方程为 y＝kx+1，
联立 得（3+4k2）x2+8kx﹣8＝0，
所以 ，将 x1＝﹣3x2，代入 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以直线 l2 的方程为： 或 ．
21．已知函数 f（x）＝ax2﹣2ax﹣lnx+a（a∈R）的单调递减区间为 ．
（Ⅰ）求 a 的值；
（Ⅱ）证明：当 x＞1 时，f（x）＞1﹣x；
（Ⅲ）若存在 m＞1，使得当 x∈（1，m）时，恒有 f（x）＜k（x﹣1），求实数 k 的取
值范围．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于 a 的方程，解出 a 的值即可；
（Ⅱ）设 F（x）＝f（x）+x﹣1，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可；
（Ⅲ）令 G（x）＝f（x）﹣k（x﹣1），通过 k 的范围，得到函数的单调区间，确定 k
的范围即可．
解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞）．
．…………………………………………（1 分）
由题意知 为方程 f′（x）＝0 的一个根．
所以 ，解得 a＝2．………………………………
经检验，当 a＝2 时，f（x）的单调递减区间为 ，符合题意．………………
…
（II）证明：设 F（x）＝f（x）+x﹣1＝2x2﹣3x﹣lnx+1，
则 ．………………………………………………
当 x＞1 时，F′（x）＞0，所以 F（x）在（1，+∞）上单调递增．………………………
………
所以当 x＞1 时，F′（x）＞F（1）＝0，即 f（x）＞1﹣x．………………………………
……
（III）当 k＝﹣1 时，由（II）知不存在符合条件的 m．……………………………………
……
当 k＜﹣1 时，对于 x＞1，f（x）＞1﹣x＞k（x﹣1），故不存在符合条件的 m．…………当 k＞﹣1 时，令 G（x）＝f（x）﹣k（x﹣1）＝2x2﹣（4+k）x﹣lnx+2+k，
则 ．………………………………………
令 G′（x）＝0，得 ， ．
因为当 x∈（1，x2）时，G′（x）＜0，所以 G（x）在（1，x2）上单调递减，
G（x）＜G（1）＝0，即 f（x）＜k（x﹣1），此时取 m＝x2 即可．………………………
………………………
综上所述，k 的取值范围是（﹣1，+∞）．…………………………………………
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （γ 为参数），曲线 C2
的参数方程为 （s 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，已知点 A 的极坐标为（1，π），直线 l：θ＝α（ρ∈R）与 C2 交于点 B，其中
．
（Ⅰ）求曲线 C1 的极坐标方程以及曲线 C2 的普通方程；
（Ⅱ）过点 A 的直线 m 与 C 交于 M，N 两点，若 l∥m，且 ，求 α 的值．
【分析】（Ⅰ）消去曲线 C1 的参数方程中的参数，可得 x2+y2﹣2y＝0．由 ρsinθ＝y，ρ2
＝x2+y2，得曲线 C1 的极坐标方程．由曲线 C2 的参数方程 （s 为参数），相
加消去参数可得曲线 C2 的普通方程；
（Ⅱ）由 A 的极坐标求得直角坐标．设 l： （p 为参数）， ，
则直线 m： （t 为参数），把直线 m 的参数方程代入 C1 的普通方程，得
关于 t 的一元二次方程．把直线 l 的参数方程代入 C2 的方程 x+y﹣1＝0（x≠﹣1），得（
sinα+cosα）p＝1（tanα≠﹣2）．设 M，N，B 对应的参数分别为 tM，tN，pB，则 tM+tN＝
2（sinα+cosα）， ．再由 列式求得 sin2α＝1，则 α 的值可求．
解：（Ⅰ）依题意，得曲线 C1 的普通方程为 x2+（y﹣1）2＝1，即 x2+y2﹣2y＝0．
由 ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2，得曲线 C1 的极坐标方程为 ρ2﹣2ρsinθ＝0，
即曲线 C1 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ．
由曲线 C2 的参数方程 （s 为参数），得 ，
又 ，
故曲线 C2 的普通方程为 x+y﹣1＝0（x≠﹣1）；
（Ⅱ）∵A 的极坐标为（1，π），故 A 的直角坐标为（﹣1，0）．
设 l： （p 为参数）， ，则直线 m： （t 为参
数），
把直线 m 的参数方程代入 C1 的方程 x2+（y﹣1）2＝1，得 t2﹣2（sinα+cosα）t+1＝0．
把直线 l 的参数方程代入 C2 的方程 x+y﹣1＝0（x≠﹣1），得（sinα+cosα）p＝1（tanα
≠﹣2）．
设 M，N，B 对应的参数分别为 tM，tN，pB，则 tM+tN＝2（sinα+cosα），
．
由 ，且 tM，tN，pB＞0，得 ，即 sin2α＝
1．
又 ，故 ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知正数 m，n，p 满足 m2+n2+p2＝4．
（Ⅰ）比较 lnm+lnn+lnp 与|x﹣2|+|x﹣1|的大小关系，并说明理由；
（Ⅱ）若 m+n＝2mn，求 p 的最大值．
【分析】（Ⅰ）根据条件，利用基本不等式，可知 ，
由绝对值三角不等式，可知|x﹣2|+|x﹣1|≥1，进一步得到 lnm+lnn+lnp＜|x﹣2|+|x﹣1|；
（Ⅱ）由 m+n＝2mn，可知 ，然后由 m2+n2＝ ，利
用基本不等式求出 m2+n2 的最小值，再求出 p 的最大值．【解答】解（I）∵lnm+lnn+lnp＝lnmnp，
，
∴ ，当且仅当 时等号成立，
∴ ．
∵|x﹣2|+|x﹣1|≥|x﹣2|+|x﹣1|≥|x﹣2+1﹣x|＝1，
∴lnm+lnn+lnp＜|x﹣2|+|x﹣1|．
（Π）∵m+n＝2mn，∴ ，即 ，
∴ ，
当且仅当 m＝n＝1 时等号成立，
∵m2+n2＝4﹣p2，∴4﹣p2≥2，∴ ，
∴p 的最大值是 ．
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