2020 年河南省濮阳市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（共 12 小题）.
1．已知集合 A＝{1，3，5，6}，B＝{x∈N|0＜x＜8}，则图中阴影部分表示的集合的元素个
数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．在复平面内，复数 z＝ 的共轭复数对应的向量 为（ ）
A． B．
C． D．
3．若双曲线 C1 与双曲线 C2： 有共同的渐近线，且 C1 过点（2，3），则双曲线
C1 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a3＝5， ＝4，则 a10＝（ ）
A．9 B．11 C．19 D．21
5．已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，H 分别为 DD1，AB 的中点，点 F，G 分别在线段
BC，CC1 上，且 CF＝CG＝ BC，则在 F，G，H 这三点中任取两点确定的直线中，与
平面 ACE 平行的条数为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
6．2020 年 2 月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门
的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标 ξ～N（15，0.0025
），单位为 g，该厂每天生产的质量在（14.9g，15.05g）的口罩数量为 818600 件，则可
以估计该厂每天生产的质量在 15.15g 以上的口罩数量为（ ）
参考数据：若 ξ～N（μ，σ2），则 P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2
σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9973．
A．158 700 B．22 750 C．2 700 D．1 350
7．已知定义域为 R 的函数 f（x）的图象关于原点对称，且 f（2﹣x）+f（x+6）＝0，当 x∈[0
，4]时，f（x）＝ ，则 f（f（2020））+f（2021）＝（ ）
A．﹣ B． C． D．
8．2020 年 2 月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等
多种方式来指导学生线上学习．为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调
查了相同数量的男、女学生，发现有 80%的男生喜欢网络课程，有 40%的女生不喜欢网
络课程，且有 99%的把握但没有 99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被
调查的男、女学生总数量可能为（ ）
附： ，其中 n＝a+b+c+d．
P（K2≥k） 0.1 0.05 0.01 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
A．130 B．190 C．240 D．250
9．已知函数 f（x）＝sinωx（ω＞0）满足对任意 x∈R，f（x）＝f（x+π），则函数 f（x）
在[0，2π]上的零点个数不可能为（ ）
A．5 B．9 C．21 D．23
10．已知 m＝2lnπ，n＝ ，p＝ ，则（ ）
A．n＞p＞m B．p＞n＞m C．m＞n＞p D．n＞m＞p
11．已知△ABC 中，点 M 在线段 AB 上，∠ACB＝2∠BCM＝60°，且 ﹣λ ＝ ．若| |＝6，则 • ＝（ ）
A．27 B．18 C．27 D．18
12．已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，若点 M 在线段 AA1 上
运动，则四棱锥 M﹣BCC1B1 外接球半径的取值范围为（ ）
A．[ ， ] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[ ， ]
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知实数 x，y 满足 ，则 z＝2x+y 的最大值为 ．
14．运行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为 ．
15．已知抛物线 C：x2＝2py（p＞0）的焦点 F 到准线的距离为 4，过点 F 和 R（m，0）的
直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点，若 ＝ ，则|PQ|＝ ．
16 ． 已 知 数 列 {an} 满 足 ＝ n ﹣ 1 （ n∈N* ） ， a1+a2+a3 ＝ 75 ， 记 Sn ＝
a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+……+anan+1an+2，则 a2＝ ，使得 Sn 取得最大值的 n 的值为 ．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60
分.
17．已知△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 b＝ ，c＝2 ，2S△ABC
﹣ accosB＝0（S△ABC 为△ABC 的面积）．
（Ⅰ）求 tanA 的值；
（Ⅱ）已知点 M 在线段 AB 上，求 的最小值．
18．已知四棱锥 S﹣ABCD 中，四边形 ABCD 是菱形，且∠ABC＝120°，△SBC 为等边三
角形，平面 SBC⊥平面 ABCD．
（Ⅰ）求证：BC⊥SD；
（Ⅱ）若点 E 是线段 SA 上靠近 S 的三等分点，求直线 DE 与平面 SAB 所成角的正弦值
．
19．已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）过点（ ，﹣ ），顺次连接椭圆 C 的 4 个顶
点，得到的四边形的面积为 4．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）已知直线 l：y＝kx+2 与椭圆 C 交于 M，N 两点，若∠MON 为锐角（O 为坐标原
点），求实数 k 的取值范围．
20．某 24 小时便利店计划购进一款盒装寿司（保质期为 2 天），已知该款寿司的进价为 10
元/盒，售价为 15 元/盒，如果 2 天之内无法销售，就当做垃圾处理，且 2 天内的销售情
况相互独立，若该便利店每两天购进一批新做寿司，连续 200 天该款寿司的日销售情况
如表所示：
日销售量/盒 25 26 27 28 29
天数 40 10 80 50 20
（Ⅰ）求便利店该款寿司这 200 天的日销售量的方差 s2；（Ⅱ）若 n 表示该便利店某日的寿司进货量，用这 200 天的日销售量频率代替对应日需
求量的概率，以连续两天的销售总利润为决策依据，判断 n＝52 和 n＝53 哪一种进货量
更加合适，并说明理由．
参考数据：265×0.7775＝206.0375，250×0.1625＝40.625．
21．已知函数 f（x）＝（x2+1）ex﹣1．
（Ⅰ）求函数 f（x）在[﹣1，1]上的最值；
（Ⅱ）若函数 g（x）＝f（x）﹣mx 在[﹣1，+∞）上有两个零点，求实数 m 的取值范围
．
（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （γ 为参数），曲线 C2
的参数方程为 （s 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，已知点 A 的极坐标为（1，π），直线 l：θ＝α（ρ∈R）与 C2 交于点 B，其中
．
（Ⅰ）求曲线 C1 的极坐标方程以及曲线 C2 的普通方程；
（Ⅱ）过点 A 的直线 m 与 C 交于 M，N 两点，若 l∥m，且 ，求 α 的值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知正数 m，n，p 满足 m2+n2+p2＝4．
（Ⅰ）比较 lnm+lnn+lnp 与|x﹣2|+|x﹣1|的大小关系，并说明理由；
（Ⅱ）若 m+n＝2mn，求 p 的最大值．参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．已知集合 A＝{1，3，5，6}，B＝{x∈N|0＜x＜8}，则图中阴影部分表示的集合的元素个
数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】求出集合 A，B，图中阴影部分表示的集合为∁BA，由此能求出图中阴影部分表
示的集合的元素个数．
解：∵集合 A＝{1，3，5，6}，
B＝{x∈N|0＜x＜8}＝{1，2，3，4，5，6，7}，
∴图中阴影部分表示的集合为∁BA＝{2，4，7}，
∴图中阴影部分表示的集合的元素个数为 3．
故选：B．
2．在复平面内，复数 z＝ 的共轭复数对应的向量 为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数的几何意义进行判断即可．
解：z＝ ＝ ＝ ＝2﹣i，
则 ＝2+i，共轭复数对应的向量 ＝（2，1），
故选：A．3．若双曲线 C1 与双曲线 C2： 有共同的渐近线，且 C1 过点（2，3），则双曲线 C1
的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用双曲线是渐近线方程，设出双曲线方程，代入点的坐标求解即可．
解：设双曲线 C1 的方程为 ，将（2，3）代入，可得 ，
故双曲线 C1 的方程为 ．
故选：D．
4．记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a3＝5， ＝4，则 a10＝（ ）
A．9 B．11 C．19 D．21
【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．
解：由{an}为等差数列，设公差为 d，由 a3＝5， ，
得 ，
解得
所以 an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，故 a10＝19．
故选：C．
5．已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，H 分别为 DD1，AB 的中点，点 F，G 分别在线段
BC，CC1 上，且 CF＝CG＝ BC，则在 F，G，H 这三点中任取两点确定的直线中，与
平面 ACE 平行的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由题意作出图形，取 CE 的中点 I，由 AI∥GH，利用线面平行的判定定理可知
GH∥平面 ACE，又 HF，GF 均不与平面 ACE 平行，即可得解．
解：作出图形如下所示，取 CE 的中点 I，可知 AI∥GH，
又 GH⊄平面 ACE，AI⊂平面 ACE，
故 GH∥平面 ACE，
又 HF，GF 均不与平面 ACE 平行，
故在 F，G，H 这三点中任取两点确定的直线中，与平面 ACE 平行的条数为 1．
故选：B．
6．2020 年 2 月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门
的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标 ξ～N（15，0.0025
），单位为 g，该厂每天生产的质量在（14.9g，15.05g）的口罩数量为 818600 件，则可
以估计该厂每天生产的质量在 15.15g 以上的口罩数量为（ ）
参考数据：若 ξ～N（μ，σ2），则 P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2
σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9973．
A．158 700 B．22 750 C．2 700 D．1 350
【分析】根据正态分布模型，计算对应的概率值，从而求出对应的频数．
解：由题意知，ξ～N（15，0.0025），即 μ＝15，σ2＝0.0025，即σ＝0.05；
所以 P（14.9＜ξ＜15.05）＝P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+σ）＝ ＝0.8186，
所以该厂每天生产的口罩总量为 818600÷0.8186＝1000000（件），又 P（ξ＞15.15）＝P（ξ＞μ+3σ）＝ ，
所以估计该厂每天生产的质量在 15.15g 以上的口罩数量为 1000000× ＝1350
（件）．
故选：D．
7．已知定义域为 R 的函数 f（x）的图象关于原点对称，且 f（2﹣x）+f（x+6）＝0，当 x∈[0
，4]时，f（x）＝ ，则 f（f（2020））+f（2021）＝（ ）
A．﹣ B． C． D．
【分析】根据题意，分析可得有﹣f（x﹣2）+f（x+6）＝0，即 f（x+6）＝f（x﹣2），
变形分析可得函数 f（x）是周期为 8 的周期函数，据此可得 f（2020）＝f（4+2016）＝f
（4），f（2021）＝f（﹣3+2024）＝f（﹣3）＝﹣f（3），结合函数的解析式求出 f（f（
2020））和 f（2021）的值，计算可得答案．
解：根据题意，定义域为 R 的函数 f（x）的图象关于原点对称，即函数 f（x）为奇函数
，则有 f（﹣x）＝﹣f（x），
又由 f（2﹣x）+f（x+6）＝0，则有﹣f（x﹣2）+f（x+6）＝0，即 f（x+6）＝f（x﹣2）
，
变形可得 f（x+8）＝f（x），即函数 f（x）是周期为 8 的周期函数，
则 f（2020）＝f（4+2016）＝f（4），f（2021）＝f（﹣3+2024）＝f（﹣3）＝﹣f（3）
，
又由当 x∈[0，4]时，f（x）＝ ，则 f（4）＝0，f（3）＝ ；
则 f（2020）＝f（4）＝0，则有 f（f（2020））＝f（0）＝0；
故 f（f（2020））+f（2021）＝0﹣ ＝﹣ ；
故选：A．
8．2020 年 2 月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等
多种方式来指导学生线上学习．为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调
查了相同数量的男、女学生，发现有 80%的男生喜欢网络课程，有 40%的女生不喜欢网络课程，且有 99%的把握但没有 99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被
调查的男、女学生总数量可能为（ ）
附： ，其中 n＝a+b+c+d．
P（K2≥k） 0.1 0.05 0.01 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
A．130 B．190 C．240 D．250
【分析】设男、女生的人数各为 5x，建立 2×2 列联表，由表格中的数据求出 K2 的观测
值，结合临界值表得关于 x 的不等式组，求解 10x 的范围得答案．
解：依题意，设男、女生的人数各为 5x，建立 2×2 列联表如下所示：
喜欢网络课程 不喜欢网络课程 总计
男生 4x x 5x
女生 3x 2x 5x
总计 7x 3x 10x
故 ，由题可知 ，
∴139.335＜10x＜227.388．只有 B 符合题意．
故选：B．
9．已知函数 f（x）＝sinωx（ω＞0）满足对任意 x∈R，f（x）＝f（x+π），则函数 f（x）
在[0，2π]上的零点个数不可能为（ ）
A．5 B．9 C．21 D．23
【分析】计算 f（x）在[0，2π]上的周期个数，根据周期个数得出零点个数．
解：f（x）的最小正周期为 T＝ ，
∵对任意 x∈R，f（x）＝f（x+π），
∴π＝ •k，k∈N×，
故 f（x）在[0，2π]上有偶数 2k 个周期，
∴f（x）在[0，2π]上的零点个数为 4k+1 个，
故选：D．10．已知 m＝2lnπ，n＝ ，p＝ ，则（ ）
A．n＞p＞m B．p＞n＞m C．m＞n＞p D．n＞m＞p
【分析】由已知结合对数的运算性质分别分析 m，n，p 的范围，即可比较大小．
解：易得 m，n，p＞0，
因为 n＝ ＝ ，p＝ ＝ ，
又 ln ＝ln ＜ln1＝0，
所以 ln ，故 n＞p，
而 m＝2lnπ＝ ，而 ln ﹣（2﹣lnπ）＝ln ，
所以 ln ﹣＞2﹣lnπ，即 ，
即 2lnπ ，
故 n＞p＞m
故选：A．
11．已知△ABC 中，点 M 在线段 AB 上，∠ACB＝2∠BCM＝60°，且 ﹣λ ＝ ．
若| |＝6，则 • ＝（ ）
A．27 B．18 C．27 D．18
【分析】作出菱形 CPMQ，计算 λ 和 CP，用 表示 ，再计算数量积．
解：以 CM 为对角线作平行四边形 CPMQ，
∵CM 平分∠ACB，∴四边形 XPMQ 是菱形，
又 CM＝6，∠BCM＝30°，
∴CP＝CQ＝2 ，
∴ ＝2 2 ×cos60°＝6，
∵ ﹣λ ＝ ，即 ＝ +λ ，且 A，M，B 三点共线，
∴λ＝ ，
又 ＝ ，∴ ＝ ， ＝3 ，
∴ ＝（ ）•（3 ﹣ ）＝3 ﹣ + ＝3×12﹣ ×12+
×6＝27．
故选：C．
12．已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，若点 M 在线段 AA1 上
运动，则四棱锥 M﹣BCC1B1 外接球半径的取值范围为（ ）
A．[ ， ] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[ ， ]
【分析】首先把三棱柱体转换为正方体，利用 B、C、C1、B1 在球面上，球心 G 在线段 OO2
上，整理出关系式 R2＝x2+y2，且 ，然后利用勾股定理的应用
建立二次函数的关系式，再利用二次函数的最值的应用求出结果．
解：将三棱柱 ABC﹣A1B1C1 补成一个正方体 ABCD﹣A1B1C1D1．
设四棱锥体 M﹣BCC1B1 外接球的球心为 G，AA1 的中点为 O1，
DD1 的中点为 O2，O1O2 的中点为 O，如图所示，则 ， ，
由于 B、C、C1、B1 在球面上，所以球心 G 在线段 OO2 上，
设 GM＝GB＝R， ， ，
则 OG＝y﹣ ，在 Rt△O1MG 中，R2＝x2+y2①
在 Rt△O1MG 中， ②，
联立①②得 ，由于 ，
故 ，
故 ＝ ，
所以 ．
故选：C．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知实数 x，y 满足 ，则 z＝2x+y 的最大值为 11 ．
【分析】先画出实数 x，y 满足 的平面区域，再将平面区域的各角点坐标代
入进行判断，即可求出 2x+y 的最大值．
解：已知实数 x，y 满足 ，
在坐标系中画出可行域，如图中阴影三角形，
解得 B（4，3），
由图可知，当 x＝4，y＝3 时，目标函数 y＝﹣2x+z 的截距取得最大值，此时 2x+y 的最
大值是 11．
故答案为：11．14．运行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为 1011 ．
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构分别计算 T 和 N 的值
并输出变量 S＝N﹣T 的值，模拟程序的运行过程，结合数列中分组求和的方法进行运算
即可得解．
解：由题可知，T＝0+2+4+6+……+2018+2020，N＝1+3+5+7+……+2019+2021，
所以 S＝N﹣T＝（1﹣0）+（3﹣2）+……+（2019﹣2018）+（2021﹣2020）＝1×1011＝
1011．
故答案为：1011．
15．已知抛物线 C：x2＝2py（p＞0）的焦点 F 到准线的距离为 4，过点 F 和 R（m，0）的直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点，若 ＝ ，则|PQ|＝ 9 ．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用向量关系，求解 P 的坐标，得到直线的斜率，然
后求解 Q 坐标，即可得到两点间的距离．
解：依题意，抛物线 C：x2＝8y，因为 ，F（0，2）．
故点 P 的纵坐标为 1，代入抛物线方程，可得点 P 的横坐标为 ．
不妨设 ，则 ，
故直线 l 方程为 将其代入 x2＝8y，
得 ，可得 ，
故|PQ|＝ ＝9．
故答案为：9．
16 ． 已 知 数 列 {an} 满 足 ＝ n ﹣ 1 （ n∈N* ） ， a1+a2+a3 ＝ 75 ， 记 Sn ＝
a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+……+anan+1an+2，则 a2＝ 25 ，使得 Sn 取得最大值的 n 的值为
10 ．
【分析】由已知递推式可得 a1＝28，a2＝25，a3＝22，推得 ﹣ ＝﹣ ，
可令 cn＝ （n≥2），运用数列恒等式可得 cn，an＝31﹣3n，求得 bn＝anan+1an+2＝（
31﹣3n）（28﹣3n）（25﹣3n），令 bn≥0，求得 n 的范围，即可得到所求最大值 n．
解：由 ＝n﹣1（n∈N*），可取 n＝1，即 a1﹣28＝0，可得 a1＝28，
取 n＝2，可得 ＝1，即 a3＝2a2﹣28，又 a1+a2+a3＝75，可得 a2＝25，a3＝22，当 n≥2 时，由 ＝n﹣1 可得 ﹣ ＝﹣ ，
可令 cn＝ （n≥2），则 cn﹣cn﹣1＝28（ ﹣ ），
由 cn＝c1+（c2﹣c1）+…+（cn﹣cn﹣1）＝c1+28（ ﹣1+ ﹣ +…+ ﹣ ），
可得 cn＝c1+28（ ﹣1）＝a2+28（ ﹣1），则 an+1＝ncn＝na2+28（1﹣n）＝28+n（a2﹣
28），
故 an+1＝28﹣3n（n≥2），所以 an＝31﹣3n（n≥3），
又 a1＝28，a2＝25，也符合上式，所以 an＝31﹣3n，
于是 bn＝anan+1an+2＝（31﹣3n）（28﹣3n）（25﹣3n），
由 bn≥0，可得（31﹣3n）（28﹣3n）（25﹣3n）≥0，解得 1≤n≤8（n∈N*）或 n＝10
，
又因为 b9＝﹣8，b10＝10，所以 n＝10 时，Sn 取得最大值．
故答案为：25，10．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60
分.
17．已知△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 b＝ ，c＝2 ，2S△ABC
﹣ accosB＝0（S△ABC 为△ABC 的面积）．
（Ⅰ）求 tanA 的值；
（Ⅱ）已知点 M 在线段 AB 上，求 的最小值．
【分析】（Ⅰ）由题意利用三角形的面积公式结合 cosB≠0，可求 tanB＝ ，结合范围
B∈（0，π），可求 B＝ ，由正弦定理解得 sinC＝ ，结合 b＞c，利用同角三角函
数基本关系式可求 cosC，tanC 的值，进而利用两角和的正切函数公式即可求解 tanA 的
值．
（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可得 a 的值，在△MBC 中，由正弦定理得 ＝
＝ CM，由（Ⅰ）可知，A，B 为锐角，可得当 CM⊥BA 时，点 M 在线段 AB
上，CM 取得最小值 asinB＝ ，即可求解 的最小值．解：（Ⅰ）由题意可得 S△ABC＝ accosB，即 acsinB＝ accosB，
因为 cosB≠0，
所以 tanB＝ ，
因为 B∈（0，π），
所以 B＝ ，
由正弦定理 ，可得 ＝ ，解得 sinC＝ ，
因为 b＞c，故 cosC＝ ＝ ，解得 tanC＝ ，
故 tanA＝﹣tan（B+C）＝﹣ ＝3 ；
（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理，可得（ ）2＝（2 ）2+a2﹣2 •cos ，
解得 a＝3 ，或 a＝﹣ （舍去），
在△MBC 中，由正弦定理，可得 ＝ ＝ CM，
由（Ⅰ）可知，A，B 为锐角，
所以当 CM⊥BA 时，点 M 在线段 AB 上，CM 取得最小值 asinB＝ ，
故 的最小值为 3 ．
18．已知四棱锥 S﹣ABCD 中，四边形 ABCD 是菱形，且∠ABC＝120°，△SBC 为等边三
角形，平面 SBC⊥平面 ABCD．
（Ⅰ）求证：BC⊥SD；
（Ⅱ）若点 E 是线段 SA 上靠近 S 的三等分点，求直线 DE 与平面 SAB 所成角的正弦值
．【分析】（Ⅰ）取 BC 的中点 F，连接 BD、DF 和 SF，证明 BC⊥平面 SDF 即可；
（Ⅱ）证明 SF、BC、DF 两两垂直，由此建立空间直角坐标系 F﹣xyz，求出平面 SAB
的一个法向量，再求直线 DE 与平面 SAB 所成角的正弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）取 BC 的中点 F，连接 BD、DF 和 SF，
因为△SBC 为等边三角形，所以 SF⊥BC；
又四边形 ABCD 是菱形，且∠ABC＝120°，
所以△BCD 为等边三角形，所以 DF⊥BC；
又 SF∩DF＝F，SF⊂平面 SDF，DF⊂平面 SDF，
所以 BC⊥平面 SDF，又 SD⊂平面 SDF，
所以 BC⊥SD；
（Ⅱ）解：因为平面 SBC⊥平面 ABCD，平面 SBC∩平面 ABCD＝BC，
SF⊥BC，SF⊂平面 SBC，所以 SF⊥平面 ABCD；
又 DF⊥BC，所以 SF、BC、DF 两两垂直；
以点 F 为坐标原点，FC、FD、FS 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 F﹣xyz
，如图所示；
不妨设 AB＝2，则 A（﹣2， ，0），B（﹣1，0，0），S（0，0， ）；
所以 ＝（1，﹣ ，0）， ＝（2， ， ）；
设平面 SAB 的一个法向量为 ＝（x，y，z），
由 ，得 ，
令 y＝1，得 ＝（ ，1，﹣1），
又 ＝ ＝（﹣ ， ，﹣ ），所以 E（﹣ ， ， ），又 D（0， ，0），所以 ＝（﹣ ，﹣ ， ），
设直线 DE 与平面 SAB 所成的角为 θ，
则 sinθ＝ ＝ ＝ ．
19．已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）过点（ ，﹣ ），顺次连接椭圆 C 的 4 个顶
点，得到的四边形的面积为 4．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）已知直线 l：y＝kx+2 与椭圆 C 交于 M，N 两点，若∠MON 为锐角（O 为坐标原
点），求实数 k 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由题可知， ，解之即可得 a 和 b 的值，从而求得椭圆
的方程；
（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，消去 y，结合韦达定理求出 x1x2 和 y1y2，由于∠MON 为
锐角，所以 ，即 x1x2+y1y2＞0，代入结论解不等式即可得 k 的取值范围．
解：（Ⅰ）由题可知， ，解得 a＝2，b＝1，
故椭圆的方程为 ．
（Ⅱ）联立 ，整理得 ，
由 ，得 或 ，
设 M（x1，y1），N（x2，y2），所以 ， ，
所以 y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2x1x2+2k（x1+x2）+4＝ ＝ ．因为∠MON 为锐角，所以 ，即 ，解得 k2＜4，即﹣2＜k＜
2，
综上所述，实数 k 的取值范围为 ．
20．某 24 小时便利店计划购进一款盒装寿司（保质期为 2 天），已知该款寿司的进价为 10
元/盒，售价为 15 元/盒，如果 2 天之内无法销售，就当做垃圾处理，且 2 天内的销售情
况相互独立，若该便利店每两天购进一批新做寿司，连续 200 天该款寿司的日销售情况
如表所示：
日销售量/盒 25 26 27 28 29
天数 40 10 80 50 20
（Ⅰ）求便利店该款寿司这 200 天的日销售量的方差 s2；
（Ⅱ）若 n 表示该便利店某日的寿司进货量，用这 200 天的日销售量频率代替对应日需
求量的概率，以连续两天的销售总利润为决策依据，判断 n＝52 和 n＝53 哪一种进货量
更加合适，并说明理由．
参考数据：265×0.7775＝206.0375，250×0.1625＝40.625．
【分析】（Ⅰ）由频数分布列先求出便利店该款寿司这 200 天的日销售量的平均数，由
此能求出便利店该款寿司这 200 天的日销售量的方差 s2．
（Ⅱ）连续两天需求量的可能情况列表，求出当 n＝52 时，连续两天的销售总利润 Yi 的
分布列和 E（Y1）及当 n＝53 时，连续两天的销售总利润 Y2 的分布列和 E（Y2），由 E（
Y2）＞E（Y1），得到 n＝53 更加合适．
解：（Ⅰ）日销售量为 25，26，27，28，29 时，对应的频率分别为 0.2，0.05，0.4，0.25
，0.1，
则 ＝25×0.2+26×0.05+27×0.4+28×0.25+29×0.1＝27，
∴s2＝（25﹣27）2×0.2+（26﹣27）2×0.05+（28﹣27）2×0.25+（29﹣27）2×0.1＝1.5．
（Ⅱ）依题意，连续两天需求量的可能情况如下表：
两天需求量/盒 50 51 52 53 54 55 56 57 58
频率 0.04 0.02 0.1625 0.14 0.225 0.21 0.1425 0.05 0.01
设当 n＝52 和 n＝53 时，连续两天的销售总利润分别为 Y1，Y2 元，
当 n＝52 时，连续两天的销售总利润 Yi 的分布列如下： Y1 260 245 230
P 0.94 0.02 0.04
∴E（Y1）＝260×0.94+245×0.02+230×0.04＝258.5，
当 n＝53 时，连续两天的销售总利润 Y2 的分布列如下所示：
Y2 265 250 220
P 0.7775 0.1625 0.04
∴E（Y2）＝265×0.7775+250×0.162+235×0.02+220×0.04＝260.1625．
∵E（Y2）＞E（Y1），
∴n＝53 更加合适．
21．已知函数 f（x）＝（x2+1）ex﹣1．
（Ⅰ）求函数 f（x）在[﹣1，1]上的最值；
（Ⅱ）若函数 g（x）＝f（x）﹣mx 在[﹣1，+∞）上有两个零点，求实数 m 的取值范围
．
【分析】（I）先对函数求导，然后结合导数与单调性及极值，最值的关系即可求解；
（II）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对 m 进行分类讨论确定函数的单调性，
然后结合函数的性质及零点判定定理可求．
解：（I）f′（x）＝（x2+1+2x）ex＝（x+1）2ex≥0 恒成立，
故函数 f（x）在[﹣1，1]上单调递增，
所以函数的最小值 f（﹣1）＝ ，最大值 f（1）＝2e﹣1，
（II）∵g（x）＝f（x）﹣mx＝（x2+1）ex﹣1﹣mx，
则 g′（x）＝（x+1）2ex﹣m，
①m≤0 时，g′（x）≥0，g（x）在[﹣1，+∞）上单调递增，不可能有 2 个零点，
②m＞0 时，易得 g′（x）在[﹣1，+∞）上单调递增，g′（0）＝1﹣m，g（0）＝0，
（i）当 m＝1 时，g′（0）＝1﹣m＝0，x＞0 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当﹣
1＜x＜0 时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
故当 x＝0 时，函数取得最小值 g（0）＝0，此时函数只有一个零点，
（ii）当 m＞1 时，g′（0）＜0，g′（m）＝（m+1）2em﹣m＞（m+1）2﹣m＞0，
故存在 x0∈（0，m）使得 g′（x0）＝0，
所以在（﹣1，x0）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在（x0，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
故 g（x0）＜g（0）＝0，
因为 g（m）＝（m2+1）em﹣1﹣m2＞（m2+1）﹣1﹣m2＝0，
结合函数的零点判定定理可知，g（x）在（x0，m）上有且仅有一个零点，
又在（﹣1，x0）上有且仅有 1 个零点，
故 m＞1 时，函数 g（x）在[﹣1，+∞）上有两个零点，
（iii）0＜m＜1 时，g′（﹣1）＝﹣m＜0，g′（0）＝1﹣m＞0，
故存在 x0′∈（﹣1，0）使得 g′（x0′）＝0，
易得 x∈[﹣1，x0′）时，g′（x0′）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0′，+∞）时，g′（
x0′）＜＞，g（x）单调递增，
因为 g（x）在（x0′，+∞）有且仅有一个零点 0，若 g（x）在[﹣1，+∞）上有 2 个零
点，则在 x∈[﹣1，x0′）有且仅当 1 个零点，
又 g（x0′）＜g（0）＝0，所以 g（﹣1）≥0，即 m﹣1+ ≥0，
故 m ，
即当 时，g（x）在[﹣1，+∞）上有 2 个零点，
综上可得，m 的范围[1﹣ ，1）∪（1，+∞）．
（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （γ 为参数），曲线 C2
的参数方程为 （s 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，已知点 A 的极坐标为（1，π），直线 l：θ＝α（ρ∈R）与 C2 交于点 B，其中
．
（Ⅰ）求曲线 C1 的极坐标方程以及曲线 C2 的普通方程；
（Ⅱ）过点 A 的直线 m 与 C 交于 M，N 两点，若 l∥m，且 ，求 α 的值．
【分析】（Ⅰ）消去曲线 C1 的参数方程中的参数，可得 x2+y2﹣2y＝0．由 ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2，得曲线 C1 的极坐标方程．由曲线 C2 的参数方程 （s 为参数），相
加消去参数可得曲线 C2 的普通方程；
（Ⅱ）由 A 的极坐标求得直角坐标．设 l： （p 为参数）， ，
则直线 m： （t 为参数），把直线 m 的参数方程代入 C1 的普通方程，得
关于 t 的一元二次方程．把直线 l 的参数方程代入 C2 的方程 x+y﹣1＝0（x≠﹣1），得（
sinα+cosα）p＝1（tanα≠﹣2）．设 M，N，B 对应的参数分别为 tM，tN，pB，则 tM+tN＝
2（sinα+cosα）， ．再由 列式求得 sin2α＝1，则 α 的
值可求．
解：（Ⅰ）依题意，得曲线 C1 的普通方程为 x2+（y﹣1）2＝1，即 x2+y2﹣2y＝0．
由 ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2，得曲线 C1 的极坐标方程为 ρ2﹣2ρsinθ＝0，
即曲线 C1 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ．
由曲线 C2 的参数方程 （s 为参数），得 ，
又 ，
故曲线 C2 的普通方程为 x+y﹣1＝0（x≠﹣1）；
（Ⅱ）∵A 的极坐标为（1，π），故 A 的直角坐标为（﹣1，0）．
设 l： （p 为参数）， ，则直线 m： （t 为参
数），
把直线 m 的参数方程代入 C1 的方程 x2+（y﹣1）2＝1，得 t2﹣2（sinα+cosα）t+1＝0．
把直线 l 的参数方程代入 C2 的方程 x+y﹣1＝0（x≠﹣1），得（sinα+cosα）p＝1（tanα
≠﹣2）．
设 M，N，B 对应的参数分别为 tM，tN，pB，则 tM+tN＝2（sinα+cosα），
．
由 ，且 tM，tN，pB＞0，得 ，即 sin2α＝
1．又 ，故 ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知正数 m，n，p 满足 m2+n2+p2＝4．
（Ⅰ）比较 lnm+lnn+lnp 与|x﹣2|+|x﹣1|的大小关系，并说明理由；
（Ⅱ）若 m+n＝2mn，求 p 的最大值．
【分析】（Ⅰ）根据条件，利用基本不等式，可知 ，
由绝对值三角不等式，可知|x﹣2|+|x﹣1|≥1，进一步得到 lnm+lnn+lnp＜|x﹣2|+|x﹣1|；
（Ⅱ）由 m+n＝2mn，可知 ，然后由 m2+n2＝ ，利
用基本不等式求出 m2+n2 的最小值，再求出 p 的最大值．
【解答】解（I）∵lnm+lnn+lnp＝lnmnp，
，
∴ ，当且仅当 时等号成立，
∴ ．
∵|x﹣2|+|x﹣1|≥|x﹣2|+|x﹣1|≥|x﹣2+1﹣x|＝1，
∴lnm+lnn+lnp＜|x﹣2|+|x﹣1|．
（Π）∵m+n＝2mn，∴ ，即 ，
∴ ，
当且仅当 m＝n＝1 时等号成立，
∵m2+n2＝4﹣p2，∴4﹣p2≥2，∴ ，
∴p 的最大值是 ．
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