2020 年河南省焦作市高考数学四模试卷（理科）
一、选择题（共 12 小题）.
1．已知集合 A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}， ，则 A∩B＝（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣2，3] C．（﹣2，+∞） D．（3，+∞）
2．已知复数 z＝ ，则其共轭复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3． 的展开式的常数项为（ ）
A．9 B．8 C．﹣1 D．﹣7
4．“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，其基本原理是：以一根确定长
度的琴弦为基准，取此琴弦长度的 得到第二根琴弦，第二根琴弦长度的 为第三根琴
弦，第三根琴弦长度的 为第四根琴弦，第四根琴弦长度的 为第五根琴弦．琴弦越短，
发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫、商、角（jué
）、微（zhǐ）、羽”，则“角”和“徵”对应的琴弦长度之比为（ ）
A． B． C． D．
5．函数 的部分图象大致是（ ）
A．
B．C．
D．
6．执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．已知 为奇函数，则 f（g（2））+g（f（﹣8））＝（
）
A．2+log23 B．1 C．0 D．﹣log238．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11+2a5a9+a3a13＝25，则 a1a13 的最大值是（ ）
A．25 B． C．5 D．
9．如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E，F 分别在边 AD，CD 上，△BEF 是等边三角形，
在正方形 ABCD 内随机取一点，则该点取自△BEF 内的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是正方形，AA1＝2AB，E，F，G，H 分
别是 AD，AB，BC，CC1 的中点，则异面直线 EF 与 GH 的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．记双曲线 C： 的右焦点为 F，以 F 为圆心，r 为半径作圆 F
，以 C'（0，m）为圆心．2r 为半径作圆 C'．若圆 F 与圆 C'仅有 3 条公切线，且其中 2
条恰为双曲线 C 的渐近线，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．抛物线 C：x2＝2py（0＜p＜3）在点 A（3，y1）处的切线交准线于 B，且与 y 轴交于 D
，F 为 C 的焦点．若△BDF 的面积为 ，则 p＝（ ）
A． B． C．4 D．
二．填空题
13．已知向量 ， ，则 与 夹角的余弦值为 ．
14．某一批花生种子的发芽率为 p，设播下 10 粒这样的种子，发芽的种子数量为随机变量 X
．若 ，
则 p＝ ．
15．已知正项数列{an}中，a1＝1，a2＝ ，an+12﹣an2＝an2﹣an﹣12（n≥2），则数列的前 60 项和 ．
16．已知函数 ，g（x）＝﹣5x+4lnx，若函数 f（x）的导函数 f'（x）与 g
（x）（x∈[1，9]）的图象上至少存在一对关于 x 轴对称的点，则实数 m 的最大值为
．
三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题
17．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b＝4， ．
（Ⅰ）AD 是 BC 边上的中线，若 ，求 c 的值；
（Ⅱ）若 ，求△ABC 的周长．
18．如图 1，在正方形 ABCP 中，AB＝4，D 是 CP 的中点，把△ADP 沿 AD 折叠，使△PAB
为等边三角形，得到如图 2 所示的几何体．
（Ⅰ）证明：AB⊥PD；
（Ⅱ）求二面角 A﹣PB﹣C 的余弦值．
19．已知椭圆 C： 的离心率为 ，短轴长为 ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）若斜率为 k（k≠0）的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的垂直
平分线过定点 ，求 k 的取值范围．
20．已知函数 f（x）＝x2+2ax﹣4a2lnx，其中 a∈R．
（Ⅰ）若 a≠0，讨论 f（x）的单调性；
（Ⅱ）若 a＝0，当 x≥1 时，xlnx﹣m[f（x）﹣1]≤0 恒成立，求实数 m 的取值范围．
21．无线电技术在航海中有很广泛的应用，无线电波可以作为各种信息的载体．现有一艘航行中的轮船需要与陆地上的基站进行通信，其连续向基站拍发若干次呼叫信号，每次
呼叫信号被基站收到的概率都是 0.2，基站收到呼叫信号后立即向轮船拍发回答信号，回
答信号一定能被轮船收到．
（Ⅰ）若要保证基站收到信号的概率大于 0.99，求轮船至少要拍发多少次呼叫信号．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中求得的结果为 n．若轮船第一次拍发呼叫信号后，每隔 5 秒钟拍发下
一次，直到收到回答信号为止，已知该轮船最多拍发 n 次呼叫信号，且无线电信号在轮
船与基站之间一个来回需要 16 秒，设轮船停止拍发时，一共拍发了 X 次呼叫信号，求 X
的数学期望（结果精确到 0.01）．
参考数据：210≈1.05×106．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （φ 为参数）．以
坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρcosθ
﹣2ρsinθ﹣5＝0．
（Ⅰ）求曲线 C 的普通方程与直线 l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若与 l 平行的直线 l'与曲线 C 交于 A，B 两点．且在 x 轴的截距为整数，△ABC
的面积为 ，求直线 l'的方程．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|5x﹣3|﹣|5x﹣2|．
（Ⅰ）求不等式 f（x）＞3﹣4x 的解集；
（Ⅱ）若 a，b∈R+， ，不等式 2a+b≥f（x）+2m2+1 恒成立，求实数 m 的取值
范围．参考答案
一．选择题：
1．已知集合 A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}， ，则 A∩B＝（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣2，3] C．（﹣2，+∞） D．（3，+∞）
解：∵A＝{x|x＜﹣2 或 x＞3}，B＝{y|y＞2}，
∴A∩B＝（3，+∞）．
故选：D．
2．已知复数 z＝ ，则其共轭复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：∵ ，
∴ ，
在复平面内对应的点为（﹣1，﹣2），在第三象限．
故选：C．
3． 的展开式的常数项为（ ）
A．9 B．8 C．﹣1 D．﹣7
解： 的通项 ．
令 12﹣4r＝0，得 r＝3，令 12﹣4r＝﹣4，得 r＝4，
所以 的展开式的常数项为 ．
故选：A．
4．“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，其基本原理是：以一根确定长
度的琴弦为基准，取此琴弦长度的 得到第二根琴弦，第二根琴弦长度的 为第三根琴
弦，第三根琴弦长度的 为第四根琴弦，第四根琴弦长度的 为第五根琴弦．琴弦越短，
发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫、商、角（jué
）、微（zhǐ）、羽”，则“角”和“徵”对应的琴弦长度之比为（ ）A． B． C． D．
解：设基准琴弦的长度为 1，
则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度依次为 ， ， ， ，
五根琴弦的长度从大到小依次为 1， ， ， ， ，
所以“角”和“微”对应的琴弦长度分别为 和 ，其长度之比为 ，
故选：C．
5．函数 的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．解：因为 ，所以 f（x）是奇函数，排
除选项 C 和 D，
因为 x＝1 时，0＜cos1＜1，0＜sin1＜1，所以 ，排除选项 A．
故选：B．
6．执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：第一次循环， ，n＝1+2＝3；
第二次循环， ，n＝3+2＝5；
第三次循环， ，n＝5+2＝7；
第四次循环， ，n＝7+2＝9，
跳出循环，输出 S＝4．
故选：B．
7．已知 为奇函数，则 f（g（2））+g（f（﹣8））＝（
）
A．2+log23 B．1 C．0 D．﹣log23解：因为 为奇函数，
所以 g（x）＝1﹣log2（2x）（x＞0）．
所以 g（2）＝1﹣log24＝﹣1，
所以 f（g（2））＝﹣1+log22＝0．f（﹣8）＝﹣1+log216＝3，
所以 g（f（﹣8））＝g（3）＝1﹣log26，
所以 f（g（2））+g（f（﹣8））＝1﹣log26＝1﹣log22﹣log23＝﹣log23．
故选：D．
8．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11+2a5a9+a3a13＝25，则 a1a13 的最大值是（ ）
A．25 B． C．5 D．
解 ： 由 题 意 利 用 等 比 数 列 的 性 质 知
，
又因为 an＞0，所以 a6+a8＝5，
所以 ，当且仅当 时取等号，
故选：B．
9．如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E，F 分别在边 AD，CD 上，△BEF 是等边三角形，
在正方形 ABCD 内随机取一点，则该点取自△BEF 内的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：连接 BD 交 EF 于 G，则 BD⊥EF，EG＝FG，所以∠ABE＝15°．
设等边三角形 BEF 的边长为 2，所以 AB＝2cos15°，
所以正方形 ABCD 的面积为 ，
等边三角形 BEF 的面积为 ，故所求的概率 ．
故选：A．
10．在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是正方形，AA1＝2AB，E，F，G，H 分
别是 AD，AB，BC，CC1 的中点，则异面直线 EF 与 GH 的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，取 DD1 的中点 N，连接 EN，FN，
因为 E，F，G，H 分别是 AD，AB，BC，CC1 的中点，由长方体的性质可知 GH∥EN，
所以∠FEN（或其补角）为异面直线 EF 与 GH 所成的角，
因为 AA1＝2AB，设正方形 ABCD 的边长为 a，所以 AA1＝2a， ，
， ，
在 △ EFN 中 ， 由 余 弦 定 理 得
，
所以异面直线 EF 与 GH 的夹角的余弦值为 ．
故选：C．11．记双曲线 C： 的右焦点为 F，以 F 为圆心，r 为半径作圆 F
，以 C'（0，m）为圆心．2r 为半径作圆 C'．若圆 F 与圆 C'仅有 3 条公切线，且其中 2
条恰为双曲线 C 的渐近线，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解：设双曲线的半焦距为 c，离心率为 e．双曲线的一条渐近线为 bx﹣ay＝0，
故 F（c，0）到渐近线的距离为 ，即 b＝r．
设圆 F 与圆 C'的切点为 M，点 O 为坐标原点，
由题意可得圆 C'与圆 F 外切，则 OM⊥FC'，故 Rt△OMF∽Rt△C'OF，
故 ，即 ，故 ，
则 ，
故所求离心率 ．
故选：A．
12．抛物线 C：x2＝2py（0＜p＜3）在点 A（3，y1）处的切线交准线于 B，且与 y 轴交于 D
，F 为 C 的焦点．若△BDF 的面积为 ，则 p＝（ ）
A． B． C．4 D．
解：因为 x2＝2py（0＜p＜3），所以 ，则 ．
又 ，所以点 A 处的切线方程为 ．令 ，得 ，即 ．
令 x＝0，得 ，即 ．
因为 ，所以 ．
因为 0＜p＜3，所以 ，
整理得 5p4+56p2﹣405＝0，解得 p2＝5 或 （舍去），
所以 p2＝5，即 ．
故选：A．
二．填空题
13．已知向量 ， ，则 与 夹角的余弦值为 ．
解：由已知向量 ， ，可得 ，
， ，
所以 ，
故答案为： ．
14．某一批花生种子的发芽率为 p，设播下 10 粒这样的种子，发芽的种子数量为随机变量 X
．若 ，
则 p＝ 或 ．
解：X 服从二项分布，即 X～B（10，p）．
因为 ，所以 ，
解得 或 ．
故答案为： 或 ．
15．已知正项数列{an}中，a1＝1，a2＝ ，an+12﹣an2＝an2﹣an﹣12（n≥2），则数列
的前 60 项和 5 ．
解：由条件可知，an+12+an﹣12＝2an2（n≥2），∴数列 是首项为 ，公差为的等差数列，
所以 ，又 an＞0，所以 ，
所以 ＝ ，
所以数列 的前 n 项和 Sn＝ [（ ）+（ ）+（ ）+…（
）＝ （ ），
即 ，所以 ．
故答案为：5．
16．已知函数 ，g（x）＝﹣5x+4lnx，若函数 f（x）的导函数 f'（x）与 g
（x）（x∈[1，9]）的图象上至少存在一对关于 x 轴对称的点，则实数 m 的最大值为
．
解 ： 因 为 ， 所 以 ． 由 题 意 知 方 程
+4lnx＝0 在 x∈[1，9]上有解，
等价于 在 x∈[1，9]上有解，
令 +4lnx（x∈[1，9]），则 ，
当 1＜x＜4 时，h'（x）＜0，当 4＜x＜9 时，h'（x）＞0．
所以函数 h（x）在[1，4）上单调递减，在（4，9]上单调递增，
所以 h（1）＞h（4），
因 为 ，
，
所以 h（x）的最大值为 ，
所以 m 的最大值为 ．
故答案为： ．
三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b＝4， ．
（Ⅰ）AD 是 BC 边上的中线，若 ，求 c 的值；
（Ⅱ）若 ，求△ABC 的周长．
解：（Ⅰ）因为 ，
所以 ，
即 b2+c2+2bccosA＝28．
所以 c2+4c﹣12＝0，解得 c＝2（负值舍去）．
（Ⅱ）由 ，可得 ．
因为 a＞b，所以 A＞B，所以 ．
所以 ．
所以 ．
所以△ABC 的周长为 ．
18．如图 1，在正方形 ABCP 中，AB＝4，D 是 CP 的中点，把△ADP 沿 AD 折叠，使△PAB
为等边三角形，得到如图 2 所示的几何体．
（Ⅰ）证明：AB⊥PD；
（Ⅱ）求二面角 A﹣PB﹣C 的余弦值．
解：（I）证明：依题意，底面 ABCD 是直角梯形，AB⊥BC，AB＝2CD．
取 AB 的中点 E，连接 DE，PE，
则 BE＝CD，BE∥CD，所以四边形 BCDE 为矩形，所以 BE⊥DE．
因为△PAB 为等边三角形，所以 AB⊥PE．
因为 PE∩DE＝E，所以 AB⊥平面 PDE．
因为 PD⊂平面 PDE，所以 AB⊥PD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AB⊥平面 PDE，所以平面 ABCD⊥平面 PDE．
点 P 到平面 ABCD 的距离即点 P 到 DE 的距离．
因为 PD⊥PA，PD⊥AB，AB∩PA＝A，所以 PD⊥平面 PAB，所以 PD⊥PE．
在 Rt△PDE 中，可得 P 到 DE 的距离为 ．
分别以 DE，DC 的方向为 x 轴，y 轴的正方向，过点 D 垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴
建立如图所示的空间直角坐标系 D﹣xyz．
则 D（0，0，0），B（4，2，0），C（0，2，0）， ，
所以 ， ．
设平面 PBC 的一个法向量为 ，
取 z＝2，则 ．
而平面 PAB 的一个法向量为 ．
则 ，
由图可知，二面角 A﹣PB﹣C 为钝角，所以所求的余弦值为 ．
19．已知椭圆 C： 的离心率为 ，短轴长为 ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）若斜率为 k（k≠0）的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的垂直
平分线过定点 ，求 k 的取值范围．
解：（Ⅰ）由题意可知 解得 ，故椭圆 C 的标准方程为 ．
（Ⅱ）设直线 l：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立直线与椭圆方程，消去 y 得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0．
则△＝（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，整理得 m2＜4k2+3．①
由根与系数关系得 ，
则 ， ，即 AB 中点的坐标为 ．
又线段 AB 的垂直平分线方程为 ，所以 ，
化简可得 ．②
由①②得 ，因为 4k2+3＞0，所以 4k2+3＜9k2，
所以 ，得 或 ．
所以 k 的取值范围是 ．
20．已知函数 f（x）＝x2+2ax﹣4a2lnx，其中 a∈R．
（Ⅰ）若 a≠0，讨论 f（x）的单调性；
（Ⅱ）若 a＝0，当 x≥1 时，xlnx﹣m[f（x）﹣1]≤0 恒成立，求实数 m 的取值范围．
解：（Ⅰ）因为 f（x）＝x2+2ax﹣4a2lnx，所以 x∈（0，+∞）．
所以 ．
①当 a＞0 时，由 f'（x）＞0 得 x＞a；由 f'（x）＜0 得 0＜x＜a．
故 f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．
②当 a＜0 时，由 f'（x）＞0 得 x＞﹣2a；由 f'（x）＜0 得 0＜x＜﹣2a．
故 f（x）在（0，﹣2a）上单调递减，在（﹣2a，+∞）上单调递增
综上，①当 a＞0 时 f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增；
②当 a＜0 时 f（x）在（0，﹣2a）上单调递减，在（﹣2a，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）若 a＝0，不等式转化为当 x≥1 时，xlnx﹣m（x2﹣1）≤0 恒成立．
令 F（x）＝xlnx﹣m（x2﹣1），则 F'（x）＝lnx+1﹣2mx．令 G（x）＝lnx+1﹣2mx，则 ．
①当 m≤0 时，对任意 x∈[1，+∞），恒有 F'（x）＝lnx+1﹣2mx＞0，
所以 F（x）在[1，+∞）上单调递增，所以 F（x）≥F（1）＝0，所以 m≤0 不合题意．
②当 时，因为 x≥1，所以 ，所以 ，即 G'（x）≤0，
所以 G（x）在[1，+∞）上单调递减，所以 G（x）≤G（1）＝1﹣2m≤0，即 F'（x）≤
0，
所以 F（x）在[1，+∞）上单调递减，所以 F（x）≤F（1）＝0，
所以 符合题意．
③当 时，令 ，解得 ：令 ，
解得 ．
所以 G（x）在 上单调递增．所以 G（x）≥G（1）＝1﹣2m＞0，即 F'（x）＞
0，
所以 F（x）在 上单调递增，所以当 时，F（x）≥F（1）＝0，
故 不合题意．
综合①②③可知，实数 m 的取值范围是 ．
21．无线电技术在航海中有很广泛的应用，无线电波可以作为各种信息的载体．现有一艘
航行中的轮船需要与陆地上的基站进行通信，其连续向基站拍发若干次呼叫信号，每次
呼叫信号被基站收到的概率都是 0.2，基站收到呼叫信号后立即向轮船拍发回答信号，回
答信号一定能被轮船收到．
（Ⅰ）若要保证基站收到信号的概率大于 0.99，求轮船至少要拍发多少次呼叫信号．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中求得的结果为 n．若轮船第一次拍发呼叫信号后，每隔 5 秒钟拍发下
一次，直到收到回答信号为止，已知该轮船最多拍发 n 次呼叫信号，且无线电信号在轮
船与基站之间一个来回需要 16 秒，设轮船停止拍发时，一共拍发了 X 次呼叫信号，求 X
的数学期望（结果精确到 0.01）．
参考数据：210≈1.05×106．
解：（1）设“轮船拍发 k 次呼叫信号，基站至少收到 1 次信号”为事件A，则其对立事
件 表示“轮船拍发 k 次呼叫信号，基站收到 0 次信号”，其中 k 为正整数．要使 P（A）＞0.99，则需 ．
由题可知 ．
因为 ，
而 0.821≈0.0116×0.8＝0.00928＜0.01，
又因为 k∈N*，所以 k≥21，即轮船至少要拍发 21 次呼叫信号．
（Ⅱ）若第 1 次呼叫信号就被基站收到，则轮船 16 秒后会收到回答信号从而停止拍发，
16 秒内轮船会继续拍发 3 次，即一共拍发了 4 次呼叫信号；
若前 i﹣1（2≤i≤17）次呼叫信号都没有被基站收到，第 i 次呼叫信号被基站收到，与上
面同理，停止拍发时轮船一共拍发了 i+3 次呼叫信号；
若前 17 次呼叫信号都没有被基站收到，轮船会拍发 21 次后停止，
所以随机变量 X 的分布列如下：
X 4 5 6 … 19 20 21
P 0.2 0.8×0.2 0.82×0.2 … 0.815×0.2 0.816×0.2 0.817
所以 E（X）＝4×0.2+5×0.8×0.2+6×0.82×0.2+…+20×0.816×0.2+21×0.817＝0.8×1+1
×0.8+1.2×0.82+…+4×0.816+21×0.817，
所以 0.8E（X）＝0.8×0.8+1×0.82+1.2×0.83+…+4×0.817+16.8×0.817
＝ ，
两式相减得 0.2E（X）＝0.8+0.2×0.8+0.2×0.82+…+0.2×0.816+0.2×0.817
＝
所以 ．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （φ 为参数）．以
坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρcosθ
﹣2ρsinθ﹣5＝0．（Ⅰ）求曲线 C 的普通方程与直线 l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若与 l 平行的直线 l'与曲线 C 交于 A，B 两点．且在 x 轴的截距为整数，△ABC
的面积为 ，求直线 l'的方程．
解：（Ⅰ）曲线 C 的参数方程 ，
化为普通方程为（x+2）2+（y﹣1）2＝9．
由 ρcosθ﹣2ρsinθ﹣5＝0，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 可得，
直线 l 的直角坐标方程为 x﹣2y﹣5＝0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 l 的直角坐标方程为 x﹣2y﹣5＝0，C（﹣2，1）．
设直线 l'：x﹣2y+m＝0，由题知 m∈Z．
∴C 到直线 l'的距离 ，
∴ ，∴ ，
整理得（m﹣4）4﹣45（m﹣4）2+500＝0，∴（m﹣4）2＝20 或（m﹣4）2＝25，
∵m∈Z，∴m＝﹣1 或 m＝9．
∴直线 l'的方程为 x﹣2y﹣1＝0 或 x﹣2y+9＝0．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|5x﹣3|﹣|5x﹣2|．
（Ⅰ）求不等式 f（x）＞3﹣4x 的解集；
（Ⅱ）若 a，b∈R+， ，不等式 2a+b≥f（x）+2m2+1 恒成立，求实数 m 的取值
范围．
解：（Ⅰ）由题意：f（x）＝|5x﹣3|﹣|5x﹣2|＝
所以不等式 f（x）＞3﹣4x 可化为 或 或
解得 x＞1．
所以不等式 f（x）＞3﹣4x 的解集为（1，+∞）．
（Ⅱ）f（x）＝|5x﹣3|﹣|5x﹣2|≤|5x﹣3+2﹣5x|＝1因为 a，b∈R+， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 a＝1，b＝2 时取等号．
因为 2a+b≥f（x）+2m2+1 恒成立，
所以 4≥1+2m2+1，解得﹣1≤m≤1，
所以实数 m 的取值范围是[﹣1，1]．
微信/支付宝扫码支付