2020 年河北省衡水中学高考（理科）数学考前密卷
一、选择题（共 12 小题）.
1．设集合 A＝{x|x2﹣3x+2≤0}，B＝{x|log2x＜1}，则 A∪B＝（ ）
A．{x|1≤x＜2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|0≤x≤2}
2．已知 z1、z2 均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（ ）
A．|z1|＝| |＝
B．若|z2|＝2，则 z2 的取值集合为{﹣2，2，﹣2i，2i}（i 是虚数单位）
C．若 z12+z22＝0，则 z1＝0 或 z2＝0
D．z1 + z2 一定是实数
3．已知正实数 a，b 满足 ， ，则（ ）
A．a＜b＜1 B．1＜b＜a C．b＜1＜a D．1＜a＜b
4．2019 年 5 月 22 日，具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三
角城市群包括：上海市，江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．
现有 4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设
每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（
）
A． B． C． D．
5．已知函数 f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，点
， ，则下列说法错误的是（ ）
A．直线 是 f（x）图象的一条对称轴
B．f（x）的最小正周期为 πC．f（x）在区间 上单调递增
D．f（x）的图象可由 g（x）＝2sin2x 向左平移 个单位而得到
6．设向量 与 的夹角为 θ，定义 与 的“向量积”： 是一个向量，它的模
， 若 ， 则 ＝ （
）
A． B．2 C． D．4
7．已知（1+ ）（1+x）6 的展开式中各项系数的和为 256，则该展开式中 x3 的系数为（ ）
A．26 B．32 C．38 D．44
8．执行如图的程序框图，则输出的 S 是（ ）
A．36 B．45 C．﹣36 D．﹣45
9．数列{an}满足 a1∈Z，an+1+an＝2n+3，且其前 n 项和为 Sn．若 S13＝am，则正整数 m＝（ ）
A．99 B．103 C．107 D．198
10．已知双曲线 （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 的直线交双
曲线右支于 P，O 两点，且 PQ⊥PF1，若 ，则该双曲线离心率 e＝（ ）
A． B． C． D．
11．在三棱锥 P﹣ABC 中，△ABC 与△PBC 均为边长为 1 的等边三角形，P，A，B，C 四
点在球 O 的球面上，当三棱锥 P﹣ABC 的体积最大时，则球 O 的表面积为（ ）
A． B．2π C．5π D．12．已知函数 f（x）与 f'（x）的图象如图所示，则不等式 的解集为（ ）
A．（0，1） B． C． D．（1，4）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进
行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮
检测不合格的概率为 ，第二轮检测不合格的概率为 ，两轮检测是否合格相互没有影
响．若产品可以销售，则每件产品获科 40 元，若产品不能销售，则每件产品亏损 80 元，
已知一箱中有 4 件产品，记一箱产品获利 X 元，则 P（X≥﹣80）＝ ．
14．已知 f（x）＝sin（2019x+ ）+cos（2019x﹣ ）的最大值为 A，若存在实数 x1，x2
使得对任意实数 x 总有 f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则 A|x1﹣x2|的最小值为 ．
15．设函数 f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣ex+x]＝
e，若不等式 f（x）+f'（x）≥ax 对 x∈（0，+∞）恒成立，则实数 a 的取值范围是 ．
16．已知抛物线 y2＝2px（p＞0），F 为其焦点，l 为其准线，过 F 作一条直线交抛物线于 A
，B 两点，A′，B′分别为 A，B 在 l 上的射线，M 为 A′B′的中点，给出下列命题：
①A′F⊥B′F；
②AM⊥BM；
③A′F∥BM；
④A′F 与 AM 的交点在 y 轴上；
⑤AB′与 A′B 交于原点．
其中真命题的是 ．（写出所有真命题的序号）
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）
17．设公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn，若 a2是 a1 与 a4 的等比中项，a6＝12，a1b1＝a2b2＝1．
（1）求 an，Sn 与 Tn；
（2）若 ，求证： ．
18．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在
全公司范围内举行一次乙肝普查．为此需要抽验 960 人的血样进行化验，由于人数较多，
检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．
方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验 960 次．
方案②：按 k 个人一组进行随机分组，把从每组 k 个人抽来的血混合在一起进行检验，
如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这 k 个人的血就只需检验一次（这时
认为每个人的血化验 次）；否则，若呈阳性，则需对这 k 个人的血样再分别进行一次
化验．这样，该组 k 个人的血总共需要化验 k+1 次．
假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为 p，且这些人之间的试验反应相互独
立．
（1）设方案②中，某组 k 个人中每个人的血化验次数为 X，求 X 的分布列；
（2）设 p＝0.1．试比较方案②中，k 分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并指
出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果
四舍五入保留整数）．
19．如图，直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E 分别为 AA1、B1C
的中点．
（1）证明：DE⊥平面 BCC1B1；
（2）已知 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30°，求二面角 D﹣BC﹣B1 的余弦值．20．已知椭圆 + ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 ，P 是椭
圆上一点，且△PF1F2 面积的最大值为 1．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过 F2 且不垂直坐标轴的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，在 x 轴上是否存在一点 N（
n，0），使得|AN|：|BN|＝|AF2|：|BF2|，若存在，求出点 N（n，0），若不存在，说明
理由．
21．已知函数 f（x）＝e2x﹣ax．
（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）当 x＞0 时，f（x）＞ax2+1，求 a 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分.
22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数）．以坐标原
点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．直线 l 的极坐标方程为 2ρcosθ﹣ρsinθ+m
＝0．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2）已知 l 与 C 相切，求 m 的值．
23．已知 a＞0，b＞0，c＞0 设函数 f（x）＝|x﹣b|+|x+c|+a，x∈R．
（1）若 a＝b＝c＝2，求不等式 f（x）＞7 的解集；
（2）若函数 f（x）的最小值为 2，证明： + + ≥ （a+b+c）．参考答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1．设集合 A＝{x|x2﹣3x+2≤0}，B＝{x|log2x＜1}，则 A∪B＝（ ）
A．{x|1≤x＜2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|0≤x≤2}
解：A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，
∴A∪B＝{x|0＜x≤2}．
故选：C．
2．已知 z1、z2 均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（ ）
A．|z1|＝| |＝
B．若|z2|＝2，则 z2 的取值集合为{﹣2，2，﹣2i，2i}（i 是虚数单位）
C．若 z12+z22＝0，则 z1＝0 或 z2＝0
D．z1 + z2 一定是实数
解：A．不成立，例如取 z1＝i；
B．不成立，|z2|＝2，则 z2＝2（cosθ+isinθ），θ∈[0，2π）；
C．不成立，例如取 z1＝i，z2＝﹣i；
D．设 z1＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d∈R，则 z1 + z2＝（a+bi）（c﹣di）+（a﹣bi
）（c+di）＝ac+bd+（bc﹣ad）i+ac﹣bd+（ad﹣bc）i＝2ac，因此是实数，正确．
故选：D．
3．已知正实数 a，b 满足 ， ，则（ ）
A．a＜b＜1 B．1＜b＜a C．b＜1＜a D．1＜a＜b
解：在同一坐标系中分别作出函数 y＝ ，y＝ 及 y＝log2x 的图象如图：由图可知，1＜b＜a．
故选：B．
4．2019 年 5 月 22 日，具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三
角城市群包括：上海市，江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．
现有 4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设
每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（
）
A． B． C． D．
解：现有 4 名高三学生进行去四个地方的总共有：4×4×4×4＝44 种情况；
再四个地方选出一个地方空出 C41 种情况；将剩下的三个地方进行四人选择，将四人中
捆绑两人有 C42 种情况进行排列在三个位置有：A33 种；
则恰有一个地方未被选中的可能有：C41C42A33 种；
由古典概型的定义知：则恰有一个地方未被选中的概率为： ＝
故选：A．
5．已知函数 f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，点
， ，则下列说法错误的是（ ）A．直线 是 f（x）图象的一条对称轴
B．f（x）的最小正周期为 π
C．f（x）在区间 上单调递增
D．f（x）的图象可由 g（x）＝2sin2x 向左平移 个单位而得到
解：由题意可得： ，
由 2sinφ＝ ，得 sinφ＝ ，由 0＜φ＜π，得 φ＝ 或 φ＝ ；
又点 在最高点的左侧，∴φ＝ ．
由五点作图的第三点知， ，即 ω＝2．
∴f（x）＝2sin（2x+ ）．
由 f（ ）＝2sin（ ）＝2，可知直线 是 f（x）图象的一条对称轴，
故 A 正确；
由周期公式可得 T＝ ，故 B 正确；
当 x∈ ，2x+ ∈（ ），可知 f（x）在区间 上单
调递增，故 C 正确；
∵f（x）＝2sin（2x+ ）＝2sin2（x+ ），∴f（x）的图象可由 g（x）＝2sin2x 向左
平移 个单位而得到，故 D 错误．
故选：D．
6．设向量 与 的夹角为 θ，定义 与 的“向量积”： 是一个向量，它的模
， 若 ， 则 ＝ （ ）
A． B．2 C． D．4
解：设 的夹角为 θ，
则 cosθ＝ ＝﹣ ，
∴sinθ＝ ，
∴
＝2×2×
＝2．
故选：B．
7．已知（1+ ）（1+x）6 的展开式中各项系数的和为 256，则该展开式中 x3 的系数为（ ）
A．26 B．32 C．38 D．44
解：令 x＝1，可得（1+ ）（1+x）6 的展开式中各项系数的和为（1+a）•26＝256，
∴a＝3，
则（1+ ）（1+x）6 的展开式中 x3 的系数为 +3 ＝38，
故选：C．
8．执行如图的程序框图，则输出的 S 是（ ）
A．36 B．45 C．﹣36 D．﹣45
解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S＝﹣12+22﹣
32+…﹣72+82 的值，由于 S＝﹣12+22﹣32+…﹣72+82＝（22﹣12）+（42﹣32）+（62﹣52）+（82﹣72）＝
3+7+11+15＝36．
故选：A．
9．数列{an}满足 a1∈Z，an+1+an＝2n+3，且其前 n 项和为 Sn．若 S13＝am，则正整数 m＝（ ）
A．99 B．103 C．107 D．198
解：由 an+1+an＝2n+3，得 an+1﹣（n+1）﹣1＝﹣（an﹣n﹣1），
∴{an﹣n﹣1}为等比数列，
∴ ，
∴ ， ，
∴S13＝a1+（a2+a3）+…+（a12+a13）＝a1+2×（2+4+…+12）+3×6＝a1+102，
①m 为奇数时，a1﹣2+m+1＝a1+102，m＝103；
②m 为偶数时，﹣（a1﹣2）+m+1＝a1+102，m＝2a1+99，
∵a1∈Z，m＝2a1+99 只能为奇数，∴m 为偶数时，无解．
综上所述，m＝103，
故选：B．
10．已知双曲线 （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 的直线交双
曲线右支于 P，O 两点，且 PQ⊥PF1，若 ，则该双曲线离心率 e＝（ ）
A． B． C． D．
解：设 P，Q 为双曲线右支上一点，
由 PQ⊥PF1，|PQ|＝ |PF1|，
在直角三角形 PF1Q 中，|QF1|＝ ＝ |PF1|，
由双曲线的定义可得：2a＝|PF1|﹣|PF2|＝|QF1|﹣|QF2|，
由|PQ|＝ |PF1|，即有|PF2|+|QF2|＝ |PF1|，
即为|PF1|﹣2a+ |PF1|﹣2a＝ |PF1|，
∴（1﹣ + ）|PF1|＝4a，解得|PF1|＝ ．
∴|PF2|＝|PF1|﹣2a＝ ，
由勾股定理可得：2c＝|F1F2|＝ ＝ ，
则 e＝ ．
故选：C．
11．在三棱锥 P﹣ABC 中，△ABC 与△PBC 均为边长为 1 的等边三角形，P，A，B，C 四
点在球 O 的球面上，当三棱锥 P﹣ABC 的体积最大时，则球 O 的表面积为（ ）
A． B．2π C．5π D．
解：因为△ABC 和△PBC 为等边三角形，V＝ h，而 S 一定，所以高最大值时，
所以当面△PBC⊥面 ABC 时，三棱锥的体积最大，
设两个外接圆的圆心分别为 G，F，如图所示，
过 G，F 分别作两个面的垂线，交于 O，
连接 OP，OA，
则 OA＝OP 为外接球的半径 R，△OAG 中，OA2＝OG2+AG2，
而由题意 OG＝EF＝ ＝ ，AG＝ ＝ ，
所以 OA2＝（ ）2+（ ）2＝ ，
所以外接球的表面积 S＝4πR2＝ ，
故选：A．12．已知函数 f（x）与 f'（x）的图象如图所示，则不等式 的解集为（ ）
A．（0，1） B． C． D．（1，4）
解：根据导数与单调性的关系可知，当 f′（x）＜0 时，函数单调递减，当 f′（x）＞0
，函数单调递增，
结合图象可知，图象中实线为 f′（x）的图象，虚线为 f（x）的图象，
由 可得，0＜x＜1，
故选：A．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进
行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮
检测不合格的概率为 ，第二轮检测不合格的概率为 ，两轮检测是否合格相互没有影
响．若产品可以销售，则每件产品获科 40 元，若产品不能销售，则每件产品亏损 80 元，
已知一箱中有 4 件产品，记一箱产品获利 X 元，则 P（X≥﹣80）＝ ．解：由题意得该产品能销售的概率为（1﹣ ）（1﹣ ）＝ ，
X 的可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，
设 ξ 表示一篇产品中可以销售的件数，ξ～B（4， ），
∴P（ξ＝k）＝ ，
∴P（X＝﹣80）＝P（ξ＝2）＝ ＝ ，
P（X＝40）＝P（ξ＝3）＝ ，
P（X＝160）＝P（ξ＝4）＝ ＝ ，
∴P（X≥﹣80）＝P（X＝﹣80）+P（X＝40）+P（X＝160）＝ ＝ ．
故答案为： ．
14．已知 f（x）＝sin（2019x+ ）+cos（2019x﹣ ）的最大值为 A，若存在实数 x1，x2
使得对任意实数 x 总有 f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则 A|x1﹣x2|的最小值为 π ．
解 ： 已 知 ＝ sin2019x+ cos2019x+
cos2019x+ sin2019x＝ sin2019x+cos2019x＝2sin（2019x+ ），
函数的最大值为 A＝2，若存在实数 x1，x2 使得对任意实数 x 总有 f（x1）≤f（x）≤f（x2
）成立，
∴f（x1）为最小值，f（x2）为最大值，∴|x1﹣x2|的最小值为 • ＝ ，∴A|x1﹣x2|＝
2|x1﹣x2|的最小值为 π，
故答案为：π．
15．设函数 f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣ex+x]＝
e，若不等式 f（x）+f'（x）≥ax 对 x∈（0，+∞）恒成立，则实数 a 的取值范围是 {a|a
≤2e﹣1} ．
解：令 t＝f（x）﹣ex+x，
所以 f（x）＝ex﹣x+t，
因为 f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣ex+x]＝e，
故 t 为常数且 f（t）＝et＝e，
所以，t＝1，f（x）＝ex﹣x+1，f′（x）＝ex﹣1因为 f（x）+f'（x）≥ax 对 x∈（0，+∞）恒成立，
所以 2ex≥（a+1）x 对 x∈（0，+∞）恒成立，
即 a+1 对 x∈（0，+∞）恒成立，
令 g（x）＝ ，x＞0，
则 g′（x）＝ ，
当 x＞1 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当 0＜x＜1 时，g′（x）＜0，g（x）单调
递减，
故当 x＝1 时，函数取得最小值 g（1）＝2e，
故 a+1≤2e 即 a≤2e﹣1．
故答案为：{a|a≤2e﹣1}．
16．已知抛物线 y2＝2px（p＞0），F 为其焦点，l 为其准线，过 F 作一条直线交抛物线于 A
，B 两点，A′，B′分别为 A，B 在 l 上的射线，M 为 A′B′的中点，给出下列命题：
①A′F⊥B′F；
②AM⊥BM；
③A′F∥BM；
④A′F 与 AM 的交点在 y 轴上；
⑤AB′与 A′B 交于原点．
其中真命题的是 ①②③④⑤ ．（写出所有真命题的序号）
解：①由于 A，B 在抛物线上，根据抛物线的定义可知 A'A＝AF，B'B＝BF，因为 A′、
B′分别为 A、B 在 l 上的射影，所以 A'F⊥B'F；
②取 AB 中点 C，则 CM＝ ，∴AM⊥BM；
③由②知，AM 平分∠A′AF，∴A′F⊥AM，∵AM⊥BM，∴A'F∥BM；
④取 AB⊥x 轴，则四边形 AFMA′为矩形，则可知 A'F 与 AM 的交点在 y 轴上；
⑤取 AB⊥x 轴，则四边形 ABB'A'为矩形，则可知 AB'与 A'B 交于原点
故答案为①②③④⑤．三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）
17．设公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn，若 a2
是 a1 与 a4 的等比中项，a6＝12，a1b1＝a2b2＝1．
（1）求 an，Sn 与 Tn；
（2）若 ，求证： ．
【解答】（1）解：由题意得， ，即 ，得 a1＝d（d≠
0），
由 a6＝12，得 a1＝d＝2．
∴an＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n， ，
由 a1b1＝a2b2＝1，得 ， ，
∴ ；
（2）证明：∵ ，
由 0＜ ＜1 恒成立，∴cn＜ ＜ ＝ ，
∴c1+c2+…+cn＜ ．
18．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在
全公司范围内举行一次乙肝普查．为此需要抽验 960 人的血样进行化验，由于人数较多，
检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．
方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验 960 次．方案②：按 k 个人一组进行随机分组，把从每组 k 个人抽来的血混合在一起进行检验，
如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这 k 个人的血就只需检验一次（这时
认为每个人的血化验 次）；否则，若呈阳性，则需对这 k 个人的血样再分别进行一次
化验．这样，该组 k 个人的血总共需要化验 k+1 次．
假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为 p，且这些人之间的试验反应相互独
立．
（1）设方案②中，某组 k 个人中每个人的血化验次数为 X，求 X 的分布列；
（2）设 p＝0.1．试比较方案②中，k 分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并指
出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果
四舍五入保留整数）．
解：（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为 q，则 q＝1﹣p．
所以 k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为 qk，呈阳性反应的概率为 1﹣qk．
依题意可知 X＝ ，1+ 所以 X 的分布列为：
X 1+
P qk 1﹣qk
（2）方案②中．
结合（1）知每个人的平均化验次数为：
E（X）＝ •qk+（1+ ）（1﹣qk）＝ ﹣qk+1．
所以当 k＝2 时，E（X）＝ ﹣0.92+1＝0.69，此时 960 人需要化验的总次数为 662 次，
k＝3 时，E（X）＝ ﹣0.93+1≈0.6043，此时 960 人需要化验的总次数为 580 次，
k＝4 时，E（X）＝ ﹣0.94+1＝0.5939，此时 960 人需要化验的次数总为 570 次，
即 k＝2 时化验次数最多，k＝3 时次数居中，k＝4 时化验次数最少．
而采用方案①则需化验 960 次，
故在这三种分组情况下，相比方案①，当 k＝4 时化验次数最多可以平均减少 960﹣570＝
390 次．
19．如图，直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E 分别为 AA1、B1C的中点．
（1）证明：DE⊥平面 BCC1B1；
（2）已知 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30°，求二面角 D﹣BC﹣B1 的余弦值．
【解答】（1）证明：以 A 为坐标原点，射线 AB 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的直角
坐标系 A﹣xyz．
设 AB＝1，AD＝a，则 B（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，0，2a），D（0，0，a）
，B1（1，0，2a），
， ， ， ．
∵ ， ，∴DE⊥BC，DE⊥B1C，
又 BC∩B1C＝C，∴DE⊥平面 BCC1B1；
（2）解：设平面 BCD 的法向量 ＝（x0，y0，z0），
则 ，又 ，故 ，取 x0＝1，得 ．
∵B1C 与平面 BCD 所成的角为 30°， ，
∴|cos＜ ＞|＝ ，解得 ，
∴ ．
由（1）知平面 BCB1 的法向量 ，
∴cos＜ ＞＝ ＝ ．∴二面角 D﹣BC﹣B1 的余弦值为 ．
20．已知椭圆 + ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 ，P 是椭
圆上一点，且△PF1F2 面积的最大值为 1．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过 F2 且不垂直坐标轴的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，在 x 轴上是否存在一点 N（
n，0），使得|AN|：|BN|＝|AF2|：|BF2|，若存在，求出点 N（n，0），若不存在，说明
理由．
解：（1）由题意可得 e＝ ＝ ，（S ）max＝ ＝1，即 bc＝1，又 c2＝
a2﹣b2，解得：a2＝2，b2＝1，
所以椭圆的方程为： +y2＝1；
（2）假设存在 N（n，0）满足条件，
由|AN|：|BN|＝|AF2|：|BF2|，可得 AF2 为∠ANB 的角平分线，所以 kAN+kBN＝0，
由题意直线 AB 的斜率存在且不为 0，由（1）可得右焦点 F2（1，0），
设直线 AB 的方程为 x＝my+1，设 A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线 AB 的方程与椭圆的方程联立： ，整理可得：（2+m2）y2+2my﹣1＝
0，
y1+y2＝﹣ ，y1y2＝﹣ ，kAN+kBN ＝ + ＝ ＝
＝0，
所以 2my1y2﹣（n+1）（y1+y2）＝ ＝0，
即 2mn＝0，因为 m≠0，所以 n＝0，
即存在 N（0，0）满足条件．
21．已知函数 f（x）＝e2x﹣ax．
（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）当 x＞0 时，f（x）＞ax2+1，求 a 的取值范围．
解：（1）f′（x）＝2e2x﹣a，
a≤0 时，f′（x）＞0，f（x）在 R 上递增，
a＞0 时，由 f′（x）＝0 得 x＝ ln ，
x∈（﹣∞， ln ），f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞， ln ）上递减；
x∈（ ln ，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（ ln ，+∞）上递增．
（2）f（x）＝e2x﹣ax＞ax2+1 变形为 e2x﹣ax2﹣ax﹣1＞0，
令 g（x）＝e2x﹣ax2﹣ax﹣1，g′（x）＝2e2x﹣2ax﹣a，
令 g′（x）＝0，可得 a＝ ，
令 h（x）＝ ，h′（x）＝ ，
x＞0 时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴h（x）的值域是（2，+∞），
当 a≤2 时，g′（x）＝0 没有实根，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）＞g（0）＝0，符合题意，
当 a＞2 时，g′（x）＝0 有唯一实根 x0，x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，
g（x）在（0，x0）上递减，g（x）＜g（0）＝0，不符题意，
综上，a 的取值范围是 a≤2．
（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分.
22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数）．以坐标原
点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．直线 l 的极坐标方程为 2ρcosθ﹣ρsinθ+m
＝0．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2）已知 l 与 C 相切，求 m 的值．
解：（1）因为 ， ，两式相减，有 4x2﹣2y2＝4，
所以 C 的直角坐标方程为 ．
直线 l 的极坐标方程为 2ρcosθ﹣ρsinθ+m＝0．
把 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入上述方程可得：
直线 l 的直角坐标方程为 2x﹣y+m＝0．
（2）联立 l 与 C 的方程，有 ，消 y，得 2x2+4mx+m2+2＝0，
因为 l 与 C 相切，所以有△＝16m2﹣4×2（m2+2）＝8m2﹣16＝0，
解得： ．
23．已知 a＞0，b＞0，c＞0 设函数 f（x）＝|x﹣b|+|x+c|+a，x∈R．
（1）若 a＝b＝c＝2，求不等式 f（x）＞7 的解集；
（2）若函数 f（x）的最小值为 2，证明： + + ≥ （a+b+c）．解：（1）当 a＝b＝c＝2 时，f（x）＝|x﹣2|+|x+2|+2＝ ．
∵f（x）＞7，∴ 或 ，
∴ 或 ，
∴不等式的解集为 ．
（2）∵f（x）＝|x﹣b|+|x+c|+a≥|（x﹣b）﹣（x+c）|+a＝|b+c|+a＝b+c+a，
∴f（x）min＝b+c+a＝2，
∴ ＝
≥ ，
∴ ≥
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