2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题文档版（含答案）

2020 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．设集合 A={x|1≤x≤3}，B={x|2 2 2log log 2a b+ ≥ − 2a b+ ≤ 1,2, ,n 1 ( ) 0( 1,2, , ), 1 n i i i P X i p i n p = = = > = =∑ 2 1 ( ) log n i i i H X p p = = −∑ 1p 1 ( 1,2, , )ip i nn = =  1,2, ,m 2 1( ) ( 1,2, , )j m jP Y j p p j m+ −= = + =  3 AB15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆 心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BC⊥ DG，垂足为 C，tan∠ODC= ， ，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2． 16．已知直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的棱长均为 2，∠BAD=60°．以 为球心， 为半径的球面与侧面 BCC1B1 的交线长为________． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10 分） 在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角 形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（12 分） 已知公比大于 的等比数列 满足 ． （1）求 的通项公式； （2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 ． 19．（12 分） 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 天空气中的 和 浓度（单位： ），得下表： 3 5 BH DG∥ 1D 5 3ac = sin 3c A = 3c b= c ABC△ , ,A B C , ,a b c sin 3sinA B= 6C π= 1 { }na 2 4 320, 8a a a+ = = { }na mb { }na *(0, ]( )m m∈N { }mb 100 100S 100 PM2.5 2SO 3μg/m 2SO PM2.5 [0,50] (50,150] (150,475]32 18 4 6 8 12 3 7 10 （1）估计事件“该市一天空气中 浓度不超过 ，且 浓度不超过 ”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的 列联表： （3）根据（2）中的列联表，判断是否有 的把握认为该市一天空气中 浓度与 浓度有关？ 附： ， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 20．（12分） 如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 21．（12分） 已知函数 ． （1）当 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f（x）≥1，求a的取值范围． 22．（12分） 已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点A（2，1）． [0,35] (35,75] (75,115] PM2.5 75 2SO 150 2 2× 2SO PM2.5 [0,150] (150,475] [0,75] (75,115] 99% PM2.5 2SO 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 2( )P K k≥ k 1( ) e ln lnxf x a x a−= − + ea = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2（1）求C的方程： （2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 参考答案 一、选择题 1．C 2．D 3．C 4．B 5．C 6．B 7．A 8．D 二、选择题 9．ACD 10．BC 11．ABD 12．AC 三、填空题 13． 14． 15． 16． 四、解答题 17．解： 方案一：选条件①． 由 和余弦定理得 ． 由 及正弦定理得 ． 于是 ，由此可得 ． 由① ，解得 ． 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时 ． 方案二：选条件②． 由 和余弦定理得 ． 由 及正弦定理得 ． 于是 ，由此可得 ， ， ． 由② ，所以 ． 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时 ． 16 3 23 2n n− 5 42 π + 2 2 π 6C π= 2 2 2 3 2 2 a b c ab + − = sin 3sinA B= 3a b= 2 2 2 2 3 3 22 3 b b c b + − = b c= 3ac = 3, 1a b c= = = 1c = 6C π= 2 2 2 3 2 2 a b c ab + − = sin 3sinA B= 3a b= 2 2 2 2 3 3 22 3 b b c b + − = b c= 6B C π= = 2 3A π= sin 3c A = 2 3, 6c b a= = = 2 3c =方案三：选条件③． 由 和余弦定理得 ． 由 及正弦定理得 ． 于是 ，由此可得 ． 由③ ，与 矛盾． 因此，选条件③时问题中的三角形不存在． 18．解： （1）设 的公比为 ．由题设得 ， ． 解得 （舍去）， ．由题设得 ． 所以 的通项公式为 ． （2）由题设及（1）知 ，且当 时， ． 所以 ． 19．解： （1）根据抽查数据，该市 100 天的空气中 PM2.5 浓度不超过 75，且 浓度不超过 150 的天数为 ,因此,该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过 75，且 浓度不超过 150 的概率的估计值 为 ． （2）根据抽查数据，可得 列联表： 64 16 10 10 （3）根据（2）的列联表得 ． 由于 ，故有 的把握认为该市一天空气中 浓度与 浓度有关． 20．解： 6C π= 2 2 2 3 2 2 a b c ab + − = sin 3sinA B= 3a b= 2 2 2 2 3 3 22 3 b b c b + − = b c= 3c b= b c= { }na q 3 1 1 20a q a q+ = 2 1 8a q = 1 2q = − 2q = 1 2a = { }na 2n na = 1 0b = 12 2n nm +≤ < mb n= 100 1 2 3 4 5 6 7 32 33 63 64 65 100( ) ( ) ( ) ( )S b b b b b b b b b b b b b= + + + + + + + + + + + + + + +   2 3 4 50 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 (100 63)= + × + × + × + × + × + × − 480= 2SO 32 18 6 8 64+ + + = 2SO 64 0.64100 = 2 2× 2SO PM2.5 [0,150] (150,475] [0,75] (75,115] 2 2 100 (64 10 16 10) 7.48480 20 74 26K × × − ×= ≈× × × 7.484 6.635> 99% PM2.5 2SO（1）因为 底面 ，所以 ． 又底面 为正方形，所以 ，因此 底面 ． 因为 ， 平面 ，所以 平面 ． 由已知得 ．因此 平面 ． （2）以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ． 则 ， ， ． 由（1）可设 ，则 ． 设 是平面 的法向量，则 即 可取 ． 所以 ． 设 与平面 所成角为 ，则 ． 因为 ，当且仅当 时等号成立，所以 与平面 所成角的正弦值的最大值 为 ． 21．解： 的定义域为 ， ． （1）当 时， ， ， 曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ． 直线 在 轴， 轴上的截距分别为 ， ． 因此所求三角形的面积为 ． PD ⊥ ABCD PD AD⊥ ABCD AD DC⊥ AD ⊥ PDC AD BC∥ AD ⊄ PBC AD∥ PBC l AD∥ l ⊥ PDC D DA x D xyz− (0,0,0), (0,1,0), (1,1,0), (0,0,1)D C B P (0,1,0)DC = (1,1, 1)PB = − ( ,0,1)Q a ( ,0,1)DQ a= ( , , )x y z=n QCD 0, 0, DQ DC  ⋅ = ⋅ =   n n 0, 0. ax z y + =  = ( 1,0, )a= −n 2 1cos , | | | | 3 1 PB aPB PB a ⋅ − −〈 〉 = = ⋅ +   nn n PB QCD θ 22 3 | 1| 3 2sin 13 3 11 a a aa θ += × = + ++ 2 3 2 613 1 3 a a + ≤+ 1a = PB QCD 6 3 ( )f x (0, )+∞ 1 1( ) exf x a x −′ = − ea = ( ) e ln 1xf x x= − + (1) e 1f ′ = − ( )y f x= (1, (1))f (e 1) (e 1)( 1)y x− + = − − (e 1) 2y x= − + (e 1) 2y x= − + x y 2 e 1 − − 2 2 e 1−（2）当 时， ． 当 时， ， ． 当 时， ；当 时， ． 所以当 时， 取得最小值，最小值为 ，从而 ． 当 时， ． 综上， 的取值范围是 ． 22．解： （1）由题设得 ， ，解得 ， ． 所以 的方程为 ． （2）设 ， ． 若直线 与 轴不垂直，设直线 的方程为 ， 代入 得 ． 于是 ．① 由 知 ，故 ， 可得 ． 将①代入上式可得 ． 整理得 ． 因为 不在直线 上，所以 ，故 ， ． 于是 的方程为 . 所以直线 过点 . 若直线 与 轴垂直，可得 . 由 得 . 又 ，可得 .解得 （舍去）， . 此时直线 过点 . 0 1a< < (1) ln 1f a a= + < 1a = 1( ) e lnxf x x−= − 1 1( ) exf x x −′ = − (0,1)x∈ ( ) 0f x′ < (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > 1x = ( )f x (1) 1f = ( ) 1f x ≥ 1a > 1 1( ) e ln ln e ln 1x xf x a x a x− −= − + ≥ − ≥ a [1, )+∞ 2 2 4 1 1a b + = 2 2 2 1 2 a b a − = 2 6a = 2 3b = C 2 2 16 3 x y+ = 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y MN x MN y kx m= + 2 2 16 3 x y+ = 2 2 2(1 2 ) 4 2 6 0k x kmx m+ + + − = 2 1 2 1 22 2 4 2 6,1 2 1 2 km mx x x xk k −+ = − =+ + AM AN⊥ 0AM AN⋅ =  1 2 1 2( 2)( 2) ( 1)( 1) 0x x y y− − + − − = 2 2 1 2 1 2( 1) ( 2)( ) ( 1) 4 0k x x km k x x m+ + − − + + − + = 2 2 2 2 2 2 6 4( 1) ( 2) ( 1) 4 01 2 1 2 m kmk km k mk k −+ − − − + − + =+ + (2 3 1)(2 1) 0k m k m+ + + − = (2,1)A MN 2 1 0k m+ − ≠ 2 3 1 0k m+ + = 1k ≠ MN 2 1( ) ( 1)3 3y k x k= − − ≠ MN 2 1( , )3 3P − MN x 1 1( , )N x y− 0AM AN⋅ =  1 1 1 1( 2)( 2) ( 1)( 1) 0x x y y− − + − − − = 2 2 1 1 16 3 x y+ = 2 1 13 8 4 0x x− + = 1 2x = 1 2 3x = MN 2 1( , )3 3P −令 为 的中点，即 . 若 与 不重合，则由题设知 是 的斜边，故 . 若 与 重合，则 . 综上，存在点 ，使得 为定值. Q AP 4 1( , )3 3Q D P AP Rt ADP△ 1 2 2| | | |2 3DQ AP= = D P 1| | | |2DQ AP= 4 1( , )3 3Q | |DQ