2020 年普通高等学校招生全国统一考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.设集合 A={x|1≤x≤3}，B={x|2 0m n= > 0mn < 0, 0m n= >
0m n> > 2 2 1mx ny+ =
2 2
11 1
x y
m n
+ =
0m n> > 1 1
m n
< C y 0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 2 1x y n
+ =
C n
n
对于 C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故 C 正确；
对于 D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故 D 正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算
的核心素养.
10.下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)= （ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
首先利用周期确定 的值，然后确定 的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
【详解】由函数图像可知： ，则 ，所以不选 A,
当 时， ，
解得： ，
即函数的解析式为：
0mn < 2 2 1mx ny+ = 2 2 11 1 x y m n + = C 2 2 0mx ny+ = my xn = ± − 0, 0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 1y n
=
ny n
= ± C x
πsin( 3x + ） πsin( 2 )3 x− πcos(2 6x + ） 5πcos( 2 )6 x−
ω ϕ
2
2 3 6 2
T π ππ= − = 2 2 2T
π πω π= = =
2
53 6
2 12x
ππ π+
= = 1y = − ∴ ( )5 32 212 2 k k Z
π πϕ π× + = + ∈
( )22 3k kϕ π π= + ∈Z
.
而
故选：BC.
【点睛】已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求
待定系数 ω 和 φ，常用如下两种方法：
(1)由 ω＝ 即可求出 ω；确定 φ 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，则
令 ωx0＋φ＝0(或 ωx0＋φ＝π)，即可求出 φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 ω 和 φ，若
对 A，ω 的符号或对 φ 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
11.已知 a>0，b>0，且 a+b=1，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据 ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
详解】对于 A， ，
当且仅当 时，等号成立，故 A 正确；
对于 B， ，所以 ，故 B 正确；
对于 C， ，
当且仅当 时，等号成立，故 C 不正确；
对于 D，因为 ，
【
2sin 2 2 sin 2 cos 2 sin 23 6 2 6 3y x k x x x
π π π ππ π = + + = + + = + = −
5cos 2 cos( 2 )6 6x x
π π + = − −
2
T
π
2 2 1
2a b+ ≥ 12 2
a b− >
2 2log log 2a b+ ≥ − 2a b+ ≤
1a b+ =
( )22 2 2 21 2 2 1a b a a a a+ = + − = − +
21
2
1 12 2 2a
+
≥−=
1
2a b= =
2 1 1a b a− = − > − 1 12 2 2
a b− −> =
2
2 2 2 2 2
1log log log log log 22 4
a ba b ab
+ + = ≤ = = −
1
2a b= =
( )2
1 2 1 2a b ab a b+ = + ≤ + + =
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故 D 正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学
运算的核心素养.
12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 X 所有可能的取值为 ，且
，定义 X 的信息熵 .（ ）
A. 若 n=1，则 H(X)=0
B. 若 n=2，则 H(X)随着 的增大而增大
C. 若 ，则 H(X)随着 n 的增大而增大
D. 若 n=2m，随机变量 Y 所有可能的取值为 ，且 ，则 H(X)≤H(Y)
【答案】AC
【解析】
【分析】
对于 A 选项，求得 ，由此判断出 A 选项的正确性；对于 B 选项，利用特殊值法进行排除；对于 C
选 项 ， 计 算 出 ， 利 用 对 数 函 数 的 性 质 可 判 断 出 C 选 项 的 正 确 性 ； 对 于 D 选 项 ， 计 算 出
，利用基本不等式和对数函数的性质判断出 D 选项的正确性.
【详解】对于 A 选项，若 ，则 ，所以 ，所以 A 选项正确.
对于 B 选项，若 ，则 ， ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
两者相等，所以 B 选项错误.
对于 C 选项，若 ，则
2a b+ ≤ 1
2a b= =
1,2, ,n
1
( ) 0( 1,2, , ), 1
n
i i
i
P X i p i n p
=
= = > = =∑ 2
1
( ) log
n
i i
i
H X p p
=
= −∑
1p
1 ( 1,2, , )ip i nn
= =
1,2, ,m 2 1( ) ( 1,2, , )j m jP Y j p p j m+ −= = + =
( )H X
( )H X
( ) ( ),H X H Y
1n = 11, 1i p= = ( ) ( )21 log 1 0H X = − × =
2n = 1,2i = 2 11p p= −
( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 1X log 1 log 1H p p p p= − ⋅ + − ⋅ −
1
1
4p = ( ) 2 2
1 1 3 3log log4 4 4 4H X = − ⋅ + ⋅
1
3p 4
= ( ) 2 2
3 3 1 1log log4 4 4 4H X = − ⋅ + ⋅
( )1 1,2, ,ip i nn
= =
，
则 随着 的增大而增大，所以 C 选项正确.
对于 D 选项，若 ，随机变量 的所有可能的取值为 ，且
（ ）.
.
由于
，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 D 选项错误.
故选：AC
【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运
算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.斜率为 的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则 =________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去 y 并整理得到
关于 x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
( ) 2 2 2
1 1 1log log logH X n nn n n
= − ⋅ × = − =
( )H X n
2n m= Y 1,2, ,m ( ) 2 1j m jP Y j p p + −= = +
1,2, ,j m=
( ) 2 2
2 2
1 1
1log log
m m
i i i
i i i
H X p p p p= =
= − ⋅ = ⋅∑ ∑
1 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2 2 1 2
1 1 1 1log log log logm m
m m
p p p pp p p p−
−
= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅
( )H Y = ( ) ( ) ( )1 2 2 2 2 1 2 1 2
1 2 2 2 1 1
1 1 1log log logm m m m
m m m m
p p p p p pp p p p p p− +
− +
+ ⋅ + + ⋅ + + + ⋅+ + +
1 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2 2 2 1 2 2 1 1 2
1 1 1 1log log log logm m
m m m m
p p p pp p p p p p p p−
− −
= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅+ + + +
( )0 1,2, ,2ip i m> =
2 1
1 1
i i m ip p p + −
> + 2 2
2 1
1 1log log
i i m ip p p + −
> +
2 2
2 1
1 1log logi i
i i m i
p pp p p + −
⋅ > ⋅ +
( ) ( )H X H Y>
3 AB
16
3
【详解】∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点 F 坐标为 ，
又∵直线 AB 过焦点 F 且斜率为 ，∴直线 AB 的方程为：
代入抛物线方程消去 y 并化简得 ，
解法一：解得
所以
解法二：
设 ，则 ,
过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示.
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.
14.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前 n 项和为________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先判断出数列 与 项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，
利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列 是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列，
2 4y x= (1,0)F
3 3( 1)y x= −
23 10 3 0x x− + =
1 2
1 , 33x x= =
2
1 2
1 16| | 1 | | 1 3 | 3 |3 3AB k x x= + − = + ⋅ − =
100 36 64 0∆ = − = >
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2
10
3x x+ =
,A B 1x = − ,C D
1 2| | | | | | | | | | 1 1AB AF BF AC BD x x= + = + = + + + 1 2
16+2= 3x x= +
16
3
23 2n n−
{ }2 1n − { }3 2n −
{ }2 1n −
数列 是以 1 首项，以 3 为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以 1 为首项，以 6 为公差的等差数列，
所以 的前 项和为 ，
故答案为： .
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等
差数列求和公式，属于简单题目.
15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆
心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BC⊥DG，垂
足为 C，tan∠ODC= ， ，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半
径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【答案】
【解析】
【分析】
利用 求出圆弧 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形 的面积，求出直角
的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.
【详解】设 ，由题意 ， ，所以 ，
因为 ,所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 与圆弧 相切于 点，所以 ，
即 为等腰直角三角形；
{ }3 2n −
{ }na
{ }na n 2( 1)1 6 3 22
n nn n n
−⋅ + ⋅ = −
23 2n n−
3
5 BH DG∥
54 2
π+
3tan 5ODC∠ = AB AOB
OAH△
= =OB OA r 7AM AN= = 12EF = 5NF =
5AP = 45AGP °∠ =
//BH DG 45AHO °∠ =
AG AB A OA AG⊥
OAH△
在直角 中， ， ，
因为 ，所以 ，
解得 ；
等腰直角 的面积为 ；
扇形 的面积 ，
所以阴影部分的面积为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，
体现了五育并举的育人方针.
16.已知直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的棱长均为 2，∠BAD=60°．以 为球心， 为半径的球面与侧面
BCC1B1 的交线长为________．
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据已知条件易得 ， 侧面 ，可得侧面 与球面的交线上的点到 的距离为
OQD△ 25 2OQ r= − 27 2DQ r= −
3tan 5
OQODC DQ
∠ = = 3 2 5 221 252 2r r− = −
2 2r =
OAH△ 1
1 2 2 2 2 42S = × × =
AOB ( )2
2
1 3 2 2 32 4S
π π= × × =
1 2
1 542 2S S
ππ+ − = +
54 2
π+
1D 5
2
2
π
1D E 3= 1D E ⊥ 1 1B C CB 1 1B C CB E
，可得侧面 与球面的交线是扇形 的弧 ，再根据弧长公式可求得结果.
【详解】如图：
取 的中点为 ， 的中点为 ， 的中点为 ，
因为 60°，直四棱柱 的棱长均为 2，所以△ 为等边三角形，所以
， ，
又四棱柱 为直四棱柱，所以 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 侧面 ，
设 为侧面 与球面的交线上的点，则 ，
因为球的半径为 ， ，所以 ，
所以侧面 与球面的交线上的点到 的距离为 ，
因为 ，所以侧面 与球面的交线是扇形 的弧 ，
因为 ，所以 ，
所以根据弧长公式可得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，
考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2 1 1B C CB EFG FG
1 1B C E 1BB F 1CC G
BAD∠ = 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 1D B C 1D E
3= 1 1 1D E B C⊥
1 1 1 1ABCD A B C D− 1BB ⊥ 1111 DCBA 1 1 1BB B C⊥
1 1 1 1BB B C B= 1D E ⊥ 1 1B C CB
P 1 1B C CB 1D E EP⊥
5 1 3D E = 2 2
1 1| | | | | | 5 3 2EP D P D E= − = − =
1 1B C CB E 2
| | | | 2EF EG= = 1 1B C CB EFG FG
1 1 4B EF C EG
π∠ = ∠ =
2FEG
π∠ =
222 2FG
π π= × =
2
2
π
17.在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中 三角
形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到 a,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长
度，由余弦定理得到 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.
解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得 的值，得到角 的值，然后根据选择的条
件进行分析判断和求解.
【详解】解法一：
由 可得： ，
不妨设 ，
则： ，即
选择条件①的解析：
据此可得： ， ，此时 .
选择条件②的解析：
据此可得： ，
则： ，此时： ，则： .
选择条件③的解析：
可得 ， ，
与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在.
解法二：∵ ,
的
.
3ac = sin 3c A = 3=c b
c
ABC , ,A B C , ,a b c sin 3sinA B= 6C
π=
c
tanA , ,A B C
sin 3sinA B= 3a
b
=
( )3 , 0a m b m m= = >
2 2 2 2 2 232 cos 3 2 3 2c a b ab C m m m m m= + − = + − × × × = c m=
23 3 3ac m m m= × = = 1m∴ = 1c m= =
2 2 2 2 2 2
2
3 1cos 2 2 2
b c a m m mA bc m
+ − + −= = = −
21 3sin 1 2 2A = − − =
3sin 32c A m= × = 2 3c m= =
1c m
b m
= = c b=
3=c b
( )3 , ,6sinA sinB C B A C
π π= = = − +
∴ ,
，
∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,
若选①， ,∵ ,∴ ,∴c=1;
若选②， ,则 , ;
若选③,与条件 矛盾.
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的
一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式
的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
18.已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为 的形式，求解出 ，由此求得数列 的通项公式.
（2）通过分析数列 的规律，由此求得数列 的前 项和 .
【详解】（1）由于数列 是公比大于 的等比数列，设首项为 ，公比为 ，依题意有
，解得解得 ，或 (舍)，
所以 ，所以数列 的通项公式为 .
（2）由于 ，所以
对应的区间为： ，则 ；
( )3sin 3sin 6sinA A C A
π = + = +
( ) 3 13sin 3 · 3 ·2 2sinA A C sinA cosA= + = +
3sinA cosA= − 3tanA = − 2
3A
π=
6B C
π= =
3ac = 3 3a b c= = 23 3c =
3csinA = 3 32
c = 2 3c =
3=c b
1 { }na 2 4 320, 8a a a+ = =
{ }na
mb { }na *(0, ]( )m m∈N { }mb 100 100S
2n
na = 100 480S =
1,a q 1,a q { }na
{ }mb { }mb 100 100S
{ }na 1 1a q
3
1 1
2
1
20
8
a q a q
a q
+ =
= 1 2, 2a q= = 1
132, 2a q= =
2n
na = { }na 2n
na =
1 2 3 4 5 6 72 2,2 4,2 8,2 16,2 32,2 64,2 128= = = = = = =
1b ( ]0,1 1 0b =
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个
.
所以 .
【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查分析思考与解决问的能力，属于中档题.
19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 天空气中的
和 浓度（单位： ），得下表：
32 18 4
6 8 12
3 7 10
（1）估计事件“该市一天空气中 浓度不超过 ，且 浓度不超过 ”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的 列联表：
2 3,b b ( ] ( ]0,2 , 0,3 2 3 1b b= = 2 1
4 5 6 7, , ,b b b b ( ] ( ] ( ] ( ]0,4 , 0,5 , 0,6 , 0,7 4 5 6 7 2b b b b= = = = 22 2
8 9 15, , ,b b b ( ] ( ] ( ]0,8 , 0,9 , , 0,15 8 9 15 3b b b= = = = 32 3
16 17 31, , ,b b b ( ] ( ] ( ]0,16 , 0,17 , , 0,31 16 17 31 4b b b= = = = 42 4
32 33 63, , ,b b b ( ] ( ] ( ]0,32 , 0,33 , , 0,63 32 33 63 5b b b= = = = 52 5
64 65 100, , ,b b b ( ] ( ] ( ]0,64 , 0,65 , , 0,100 64 65 100 6b b b= = = = 37
6
2 3 4 5
100 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 37 480S = × + × + × + × + × + × =
100
PM2.5 2SO 3μg/m
2SO
PM2.5
[0,50] (50,150] (150,475]
[0,35]
(35,75]
(75,115]
PM2.5 75 2SO 150
2 2×
2SO
PM2.5
[0,150] (150,475]
[0,75]
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 的把握认为该市一天空气中 浓度与 浓度有关？
附： ，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1） ；（2）答案见解析；（3）有.
【解析】
【分析】
（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；
（2）根据表格中数据可得 列联表；
（3）计算出 ，结合临界值表可得结论.
【详解】（1）由表格可知，该市 100 天中，空气中的 浓度不超过 75，且 浓度不超过 150 的天
数有 天，
所以该市一天中，空气中的 浓度不超过 75，且 浓度不超过 150 的概率为 ；
（2）由所给数据，可得 列联表为：
合计
64 16 80
10 10 20
合计 74 26 100
(75,115]
99% PM2.5 2SO
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
2( )P K k≥
k
0.64
2 2×
2K
2.5PM 2SO
32 6 18 8 64+ + + =
2.5PM 2SO 64 0.64100
=
2 2×
2SO
2.5PM
[ ]0,150 ( ]150,475
[ ]0,75
( ]75,115
（3）根据 列联表中的数据可得
，
因为根据临界值表可知，有 的把握认为该市一天空气中 浓度与 浓度有关.
【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善 列联表，考查了独立性检验，属于中档题.
20.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形，PD⊥底面 ABCD．设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l．
（1）证明：l⊥平面 PDC；
（2）已知 PD=AD=1，Q 为 l 上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用线面垂直的判定定理证得 平面 ，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得 ，
从而得到 平面 ；
（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点 ，之后求得平面
的法向量以及向量 的坐标，求得 的最大值，即为直线 与平面 所成角的正弦值的
最大值.
【详解】（1）证明：
在正方形 中， ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
因为在四棱锥 中，底面 是正方形，所以
且 平面 ，所以
2 2×
2 2
2 ( ) 100 (64 10 16 10)
( )( )( )( ) 80 20 74 26
n ad bcK a b c d a c b d
− × × − ×= =+ + + + × × ×
3600 7.4844 6.635481
= ≈ >
99% 2.5PM 2SO
2 2×
6
3
AD ⊥ PDC //AD l
l ⊥ PDC
( ,0,1)Q m QCD
PB cos ,n PB< > PB QCD
ABCD //AD BC
AD ⊄ PBC BC ⊂ PBC
//AD PBC
AD ⊂ PAD PAD PBC l=
//AD l
P ABCD− ABCD , ,AD DC l DC⊥ ∴ ⊥
PD ⊥ ABCD , ,AD PD l PD⊥ ∴ ⊥
因为
所以 平面 ；
（2）如图建立空间直角坐标系 ，
因为 ，则有 ，
设 ，则有 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ，则
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与
平面所成角的正弦值等于
，当且仅当 时取等号，
所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定
和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.
21.已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 f（x）≥1，求 a 的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐
标，最后根据三角形面积公式得结果；
（2）解法一：利用导数研究，得到函数 得导函数 的单调递增，当 a=1 时由 得
CD PD D=
l ⊥ PDC
D xyz−
1PD AD= = (0,0,0), (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1), (1,1,0)D C A P B
( ,0,1)Q m (0,1,0), ( ,0,1), (1,1, 1)DC DQ m PB= = = −
QCD ( , , )n x y z=
0
0
DC n
DQ n
⋅ =
⋅ =
0
0
y
mx z
=
+ =
1x = z m= − QCD (1,0, )n m= −
2
1 0cos ,
3 1
n PB mn PB
n PB m
⋅ + +< >= =
⋅ +
2
|1 || cos , |
3 1
mn PB
m
+< > =
⋅ +
2
2
3 1 2
3 1
m m
m
+ += ⋅ +
2 2
3 2 3 2 | | 3 61 1 1 13 1 3 1 3 3
m m
m m
= ⋅ + ≤ ⋅ + ≤ ⋅ + =+ + 1m =
PB QCD 6
3
1( ) e ln lnxf x a x a−= − +
a e=
2
1e − [1, )+∞
( )f x ( )’f x ( )’ 1 0f =
,符合题意；当 a>1 时，可证 ，从而 存在零点 ，使得
，得到 ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式
可以证得 恒成立；当 时，研究 .即可得到不符合题意.综合可得 a 的取值范围.
解法二：利用指数对数的运算可将 ,
令 ,上述不等式等价于 ,注意到 的单调性，进一步等价转化为
，令 ,利用导数求得 ，进而根据不等式恒成立的意义得到关于 a
的对数不等式，解得 a 的取值范围.
【详解】（1） ， ， .
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 ,即 ,
切线与坐标轴交点坐标分别为 ,
∴所求三角形面积为 ;
（2）解法一： ,
，且 .
设 ,则
∴g(x)在 上单调递增，即 在 上单调递增，
当 时， ,∴ ,∴ 成立.
当 时， ， ， ,
∴存在唯一 ，使得 ，且当 时 ，当 时
， ， ，
( ) ( )1 1minf x f= = 1( ) (1) 0f fa
′ ′ < ( )'f x 0 0x >
0 1
0
0
1( ) 0xf x ae x
−′ = − = min( )f x
( ) 1x ≥ 0 1a< < ( )f 1 ( ) 11 1lna x lnxf x e lna x e lnx+ −≥ + + − ≥ +转化为 ( ) xg x e x= + ( ) ( )1g lna x g lnx+ − ≥ ( )g x 1lna lnx x≥ − + ( ) 1h x lnx x= − + ( )maxh x ( ) ln 1xf x e x= − + 1( ) xf x e x ′∴ = − (1) 1k f e′∴ = = − (1) 1f e= + 1 ( 1)( 1)y e e x− − = − − ( )1 2y e x= − + ∴ 2(0,2),( ,0)1e − − 1 2 22 | |=2 1 1e e −× × − − 1( ) ln lnxf x ae x a−= − + 1 1( ) xf x ae x −′∴ = − 0a >
( ) ( )g x f x= ′ 1
2
1( ) 0,xg x ae x
−′ = + >
(0, )+∞ ( )f x′ (0, )+∞
1a = ( ) 01f ′ = ( ) ( )1 1minf x f= = ( ) 1f x ≥
1a > 1 1a
< 1 1 1ae − 0 1
0
0
1( ) 0xf x ae x
−′ = − =
0(0, )x x∈ ( ) 0f x′ < 0( , )x x∈ +∞ ( ) 0f x′ > 0 1
0
1xae x
−∴ =
0 0ln 1 lna x x∴ + − = −
因此
>1,
∴ ∴ 恒成立；
当 时， ∴ 不是恒成立.
综上所述，实数 a 的取值范围是[1,+∞).
解法二： 等价于
,
令 ,上述不等式等价于 ,
显然 为单调增函数，∴又等价于 ，即 ，
令 ,则
在 上 h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上 h’(x) ( ) 1f x ≥
0 1a< < (1) ln 1,f a a a= + < < (1) 1, ( ) 1f f x< ≥ ( ) 1 1 1x lna xf x ae lnx lna e lnx lna− + −= − + = − + ≥ 1 1lna x lnxe lna x lnx x e lnx+ − + + − ≥ + = + ( ) xg x e x= + ( ) ( )1g lna x g lnx+ − ≥ ( )g x 1lna x lnx+ − ≥ 1lna lnx x≥ − + ( ) 1h x lnx x= − + ( ) 1 11 xh x x x −= − =′ ( )0,1 ( ) ( )1 0maxh x h= = 0 1lna a≥ ≥，即 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2
2
2 2
16 3
x y+ =
【详解】(1)设椭圆方程为： ，由题意可得： ，
解得： ，故椭圆方程 ： .
(2)设点 .因为 AM⊥AN，所以 .
整理可得： ①
设 MN 的方程为 y=kx+m，
联立直线与椭圆方程可得： ，
韦达定理可得：
，
， ，
代入①式有： ，
化简可得： ，
即 ，
据此可得： 或 ，
所以直线 MN 的方程为 或 ，
即 或 ，
所以直线过定点 或 .
为
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 2 2
2 2 2
3
2
4 1 1
c
a
a b
a b c
=
+ =
= +
2 2 26, 3a b c= = =
2 2
16 3
x y+ =
( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 1 2
1 2
1 1 12 2
y y
x x
− −⋅ = −− −
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 21 2 4y y y y x x x x− + + = − + + −
( )2 2 22 1 4 2 6 0k x kmx m+ + + − =
2
1 2 1 22 2
4 2 6,2 1 2 1
km mx x x xk k
−+ = − =+ +
( ) ( )1 2 1 2 2
2
2 1
my y kx m kx m k
+ = + + + = + ( )( ) 2 2
1 2 1 2 2
6
2 1
m ky y kx m kx m k
−+ + = +=
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 26 2 2 6 2 4 5 2 01m k m m km k− − + − − + +× − =
( )( )24 8 1 3 1 0k km m m+ + − + =
( )( )2 1 2 3 1 0k m k m+ − + + =
2 1k m= − 2 1 3k m= − −
1 2y kx k= + − 1 2
3
ky kx
− −= +
( )2 1y k x= − + 2 1
3 3y k x = − −
( )2,1 2 1,3 3
−
又因为 和 A 点重合，所以舍去，则直线过定点 .
由于 AE 为定值，且△AED 为直角三角形，AE 为斜边，
所以 AE 中点 Q 满足 为定值（AE 长度的一半 ）.
由于 ，故由中点坐标公式可得 .
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三
角形的面积等问题．
( )2,1 2 1,3 3E −
QD
2 21 2 1 4 22 12 3 3 3
− + + =
( ) 2 1,32,1 3,A E −
4 1,3 3Q
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