2020 年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）
数 学
1.设集合 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
由题可知 ，∴选 C.
2. （ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
.
3. 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 个场馆，甲场馆安排 名，乙
场馆安排 名，丙场馆安排 名，则不同的安排方法共有（ ）
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
答案：
C
解析：
.
4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时
间，把地球看成一个球（球心记为 ），地球上一点 的纬度是指 与地球赤道所在平
面所成角，点 处的水平面是指过点 且与 垂直的平面，在点 处放置一个日晷，
若晷面与赤道所在平面平行，点 处的纬度为北纬 ，则晷针与点 处的水平面所成角
为（ ）
{ |1 3}A x x= ≤ ≤ { | 2 4}B x x= < < A B∪ = { | 2 3}x x< ≤ { | 2 3}x x≤ ≤ { |1 4}x x≤ < { |1 4}x x< < { |1 4}A B x x∪ = ≤ < 2 1 2 i i − =+ 1 1− i i− 2 (2 )(1 2 ) 5 1 2 (1 2 )(1 2 ) 5 i i i i ii i i − − − −= = = −+ + − 6 1 1 2 3 120 90 60 30 1 2 6 5 60C C⋅ = O A OA A A OA A A 40° A
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
如图所示,由题意可知直线 与 夹角 ，即为所求角，
∴ ，故选 B.
5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 的学生喜欢足球或游泳， 的学生喜欢
足球， 的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的
比例是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
由 图可知，既喜欢足球又喜欢游泳的学生所占比 ，故
选 C.
6.基本再生数 与世代间隔 是新冠肺炎的流行学基本参数，基本再生数指一个感染者传
20°
40°
50°
90°
l AC α
40DAOα = ∠ = °
96% 60%
82%
62%
56%
46%
42%
Venn 60% 82% 96% 46%X = + − =
0R T
染的平均人数，世代间隔指间隔相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型： 描述累计感染病例数 随时间 （单位：天）的规律，指数增
长率 与 ， 近似满足 ，有学者基于已有数据估计出 ， ，
据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 倍需要的时间约为（ ）
（ ）
A. 天
B. 天
C. 天
D. 天
答案：
B
解析：
， ， ，∴ ，得 ，∴ ，∴
，∴ ， .
7.已知 是边长为 的正六边形 内的一点，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
如图，建立平面直角坐标系 ，由题意知 ， ， ， ，
设 ，则 ，∵ ，∴ ，∴ 的
取值范围是 .
8.若定义在 的奇函数 在 单调递减，且 ，则满足 的
的取值范围是（ ）
A.
B.
( ) rtI t e= ( )I t t
r 0R T 0 1R rT= + 0 3.28R = 6T =
1 ln2 0.69≈
1.2
1.8
2.5
3.5
0 3.28R = 6T = 0 1R rT= + 3.28 1 6r= + 0.38r = 0.38( ) 2tI t e= =
0.38 ln 2t = 0.38 0.69t ≈ 1.8t ≈
P 2 ABCDEF AP AB⋅
( 2, 6)−
( 6, 2)−
( 2, 4)−
( 4, 6)−
A xy− (0,0)A (2,0)B (3, 3)C ( 1, 3)F −
( , )P x y 1 3x− < < ( , ) (2,0) 2AP AB x y x⋅ = ⋅ = 2 2 6x− < < AP AB⋅ ( 2, 6)− R ( )f x ( ,0)−∞ (2) 0f = ( 1) 0xf x − ≥ x [ 1,1] [3, )− ∪ +∞ [ 3, 1] [0,1]− − ∪
C.
D.
答案：
D
解析：
∵ 为 上奇函数，在 单调递减，∴ ， 上单调递减.
由 ，∴ ，由 ，得 或 ，
解得 或 ，∴ 的取值范围是 ，∴选 D.
9.已知曲线 （ ）
A.若 ，则 是椭圆，其焦点在 轴上
B.若 ，则 是圆，其半径为
C.若 ，则 是双曲线，其渐近线方程为
D.若 ， ，则 是两条直线
答案：
A、C、D
解析：
由曲线 ，得其标准形式为 ，
A 中，若 ，则 ，表示焦点在 轴上；
B 中，若 ，则 ，表示圆心在原点，半径为 的圆；
C 中，若 ，则 ， 异号， 表示双曲线，渐近线方程为 ；
D 中，若 ， ，则 ，表示两条直线.
10.右图是函数 的部分图像，则 （ ）
[ 1, 0] [1, )− ∪ +∞
[ 1,0] [1,3]− ∪
( )f x R ( ,0)−∞ (0) 0f = (0, )+∞
(2) 0f = ( 2) 0f − = ( 1) 0xf x − ≥ 0
( 1) 0
x
f x
≥
− ≥
0
( 1) 0
x
f x
≤
− ≤
1 3x≤ ≤ 1 0x− ≤ ≤ x [ 1, 0] [1,3]−
2 2: 1C mx ny+ =
0m n> > C y
0m n= > C n
0mn < C my xn = ± − 0m = 0n > C
2 2: 1C mx ny+ = 2 2
11 1
x y
m n
+ =
0m n> > 1 1
n m
> y
0m n= > 2 2 1x y n
+ = 1
n
0mn < m n C my xn = ± − 0m = 0n > 2 1:C y n
=
sin( )y xω ϕ= + sin( )xω ϕ+ =
A.
B.
C.
D.
答案：
B、C
解析：
由图易知 ，则 ， ，由题意结合图像知， ，
故 ，则
.
11.已知 ， ，且 ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A、B、D
解析：
∵ ， ，且 ，因为 ，∴ ，
A： ，A 对，
B： ， ，∵ ，∴ ，∴ ，B 对.
sin( )3x
π+
sin( 2 )3 x
π −
cos(2 )6x
π+
5cos( 2 )6 x
π −
2
2 3 6 2
T π π π= − = T π= 2 2T
πω = = 2 6
π ϕ π× + =
2
3
πϕ = 2sin(2 ) sin(2 ) sin( 2 )3 3 3y x x x
π π ππ= + = + − = −
sin(2 ) cos(2 )2 6 6x x
π π π= + + = +
0a > 0b > 1a b+ =
2 2 1
2a b+ ≥
12 2
a b− >
2 2log log 2a b+ ≥−
2a b+ ≤
0a > 0b > 1a b+ = 2a b ab+ ≥ 1
4ab ≤
2 2 2 1 1( ) 2 1 2 2a b a b ab+ = + − ≥ − =
0a > 0b > 1a b+ = 1a b− > − 12 2
a b− >
C： ，C 错.
D： ，∴ ，D 对.
12.信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量 所有可能的取值为 ，且
， ， 定 义 的 信 息 熵
（ ）
A.若 ，则
B.若 ，则 随着 的增大而增大
C.若 ，则 随着 的增大而增大
D.若 ，随机变量 所有可能的取值为 ， ，…， ，且
，则
答案：
A、C
解析：
A 中：当 时，则 ， .
B 中：若 ，由题知 ，
，
，
∴ ，∴B 错误.
C 中： ，
，
∴
，
∴ 随着 的增大而增大，∴C 正确.
D 中：令 ，则 ，
2
2 2 2 2log log log log ( ) 22
a ba b ab
++ = ≤ = −
2( ) 2 2a b a b ab+ = + + ≤ 2a b+ ≤
X 1,2, n
( ) 0( 1,2, , )iP X i p i n= = > = 1
1
n
i
i
p
=
=∑ X 2
1
( ) log
n
i i
i
H X p p
=
= −∑
1n = ( ) 0H X =
2n = ( )H X 1p
1
1 ( 1,2, , )p i nn
= = ( )H X n
2n m= Y 1 2 m
2 1( ) ( 1,2, , )j m jP Y j p p j m+ −= = + = ( ) ( )H X H Y≤
1n = 1 1p = 1 2 1( ) log 0H X p p= ⋅ =
2n = 1 2 1p p+ =
1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1( ) ( log log ) [ log (1 ) log (1 )]H X p p p p p p p p=− + =− ⋅ + − ⋅ −
1 2 1 1 2 1(1 ) [(1 ) log (1 ) log ]H X p p p p− =− − ⋅ − + ⋅
( ) (1 )H X H X= −
1
1 ( 1, 2,3, , )p i nn
= =
1 2 1 2 2 2 2( ) ( log log log )n nH X p p p p p p=− ⋅ + ⋅ + + ⋅
1 2 2 2 2
1 1 1( ) ( log log log )nH X p p pn n n
= − ⋅ + ⋅ + + ⋅
1 2 2 2
1( ) log lognp p p nn
= − + + ⋅ =
( )H x n
1m = 2n =
此时 ， ，此时
，
∴ ，∴D 错误.
∴正确选项为 A、C.
13. 斜 率 为 的 直 线 过 抛 物 线 的 焦 点 ， 且 与 交 于 ， 两 点 ， 则
.
答案：
解析：
由题抛物线 ，可知其焦点为 ，准线为 ，
如图所示.作 ， ，直线 准线交于点 ，
由 ，∴倾斜角 ，∴ ，
由抛物线定义知： ， ，
又∵ ，∴ 为 中点，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ .
14.将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列 ，则 的前 项和
为 .
1 2( 1) 1P Y p p= = + = 1
2
1
( ) ( ) log ( ) 0
j
H Y p Y p Y
=
= − ⋅ ⋅ =∑
2
2 1 2 1 2 2 2
1
( ) log ( log log ) 0i i
i
H X p p p p p p
=
= − = − ⋅ + >∑
( ) ( )H X H Y>
3 2: 4C y x= C A B
| |AB =
16
3
2: 4C y x= (1, 0)F : 1l x = −
AA l′ ⊥ BB l′ ⊥ AB H
3ABk = 60θ = 30A HA′∠ =
| | | |AA AF′ = | | | |BB BF′ =
| | 2 | |AH AA′= F AH
| | 2MF = | | | | 4HF AF= =
1| | | | | |2BB BF HB′ = = 3 | | 4BF = 4| | 3BF =
4 16| | | | | | 4 3 3AB AF BF= + = + =
{2 1}n − {3 2}n − { }na { }na n
答案：
解析：
∵ ， ，∴数列 与 的公共项是 的非
负整数倍加 ，即 ，也就是首项为 ，公差为 的等差数列，∴
，∴ 的前 项和为 .
15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示， 为圆孔及轮廓圆弧
所在圆的圆心， 是圆弧 与直线 的切点， 是圆弧 与直线 的切点，
四 边 形 为 矩 形 ， ， 垂 足 为 ， ， ，
， ， 到直线 和 的距离均为 ，圆孔半径为 ，则图
中阴影部分的面积为 .
答案：
解析：
过 作 交 于 ，交 于 ，过 作 交 于 ，
设 ，由已知可得 ， ，∴ ，
∴ ，∴ ， ， ，
∴ ， ，
又∵ ，∴ ，解得 .
∴扇形 面积 ， ，
设圆孔的半径为 ，则半圆孔的面积为 ,则 ，∴阴影部分面积为
，
23 2n n−
2 1 2( 1) 1n n− = − + 3 2 3( 1) 1n n− = − + {2 1}n − {3 2}n − 6
1 6 1( )k k N+ ∈ 1 6
1 6( 1) 6 5na n n= + − = − { }na n 2(1 6 5) 3 22
n n n n
+ − = −
O
AB A AB AG B AB BC
DEFG BC DG⊥ C 3tan 5ODC∠ = / /BH DG
12EF cm= 2DE cm= A DE EF 7cm 1cm
2cm
5 42
π +
A AM EF⊥ DG M BH P O ON DG⊥ DG N
OB OA R= = 5AM = 7DM = 5MG =
45AGM∠ = ° OA AH R= = 2OH R= 2
2MN OP R AP= = =
25 2ON R= − 27 2DN R= − 21
2 2S r
ππ′ = =
3tan 5ODC∠ =
25 32
527 2
R
R
−
=
−
2 2R =
AOB 2
1
135 (2 2) 3360S π π= ⋅ ⋅ = 1 2 2 2 2 42AOHS∆ = × × =
r S′ 21
2 2S r
ππ′ = =
1
5 42AOHS S S S π∆ ′= + − = +
∴面积为 .
16.已知直四棱柱 的棱长均为 ， ，以 为球心， 为半
径的球面与侧面 的交线长为 .
答案：
解析：
在直四棱柱 中，取 中点为 ， 中点为 ， 中点为 ，由
题意易知 ，又 ，则 面 ，在面 内取一点
，使 ，且 ，∴ ，又 ， ，
∴以 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线是以 为圆心，以 为半径的
圆弧 ，由题意易得 ，故该交线长为 .
17.在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题
中，若问题中的三角形存在，求 的值，若问题中的三角形不存在，说明理由.
问 题 ： 是 否 存 在 ， 它 的 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 且
25( 4)2 cmπ +
1 1 1 1ABCD ABCD− 2 60BAD∠ = ° 1D 5
1 1BCC B
2
2
π
1 1 1 1ABCD ABCD− 1 1BC O 1BB F 1CC E
1 1 1DO BC⊥ 1 1BB DO⊥ 1DO⊥ 1 1BBCC 1 1BBCC
P 1//OP BB 2O P = 2 2
1 1 5D P D O OP= + = 1 5DE = 1 5DF =
1D 5 1 1BCC B O 2
FPE
2FOE
π∠ = 222 2
π π× =
3ac= sin 3c A = 3c b=
c
ABC∆ A B C a b c
， ？
答案：
见解析
解析：
①选条件 ，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ，
，又 ，即 ，∴ ，
∴ ，得 ，
② 选 条 件 ， ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵
，∴ ，∴ ，又
，∴ ，
③选条件 ，∵ ，∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，
得 ，不成立.所以三角形 不存在.
18.已知公比大于 的等比数列 满足 ， .
（1）求 的通项公式;
（2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 .
答案：
见解析
解析：
（1）设公比为 ，∴ ， ，解得 或 （舍），
∴ .
（2）由（1）可得 ，∴ ， ，…， ， ，
∴当 时， ；当 时， ；
sin 3sinA B=
6C
π=
3ac= 3ac= 3c a
= sin 3sinA B= 3a b= 1bc =
6c
π= 2 2 2 2 cosa b c ab C+ − = 2 2 2 2
2
1 33 2 3 32b b b bb
+ − = ⋅ ⋅ = 2
2
1 0b b
− =
1b= 3, 1a c= =
sin 3c A = sin 3c A = sin 3a C = sin 36a
π = 6a =
sin 3sinA B= 3a b= 2 3b=
2 2 2 32 cos 36 12 2 6 2 3 122c a b ab C= + − = + − ⋅ ⋅ ⋅ = 2 3c =
3c b= 3c b= sin 3sinA B= 3a b=
2 2 2 2 cosa b c ab C+ − = 2 2 23 3 2 3 cos 6b b b b b
π+ − = ⋅ ⋅
2 23b b= ABC
1 { }na 2 4 20a a+ = 3 8a =
{ }na
mb { }na *(0, ]( )m m N∈ { }mb 100 100S
q 3
3 20a a qq
+ = 3 8a = 2q = 1
2q =
3
3 2n n
na a q −= =
2n
na = 1 2a = 2 4a = 6 64a = 7 128a =
2m < 0mb = 4 2m> ≥ 1mb =
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
当 时， .
∴ .
19..为加强环境保护，治理空气污染，环境检测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了
天空气中的 和 浓度（单位： ），得下表：
（1）估计事件“该市一天空气中 浓度不超过 ，且 浓度不超过 ”的概率.
（2）根据所给数据，完成下面的 列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 的把握认为该市一天空气中 浓度与
浓度有关？
附： ，
答案：
见解析
解析：
（1）由表格可得 浓度不超过 且 浓度不超过 的天数
有 天.
8 4m> ≥ 2mb = 16 8m> ≥ 3mb =
32 16m> ≥ 4mb = 64 32m> ≥ 5mb =
100 64m≥ ≥ 6mb =
100 1 2 100 0 2 1 4 2 8 3 16 4 32 5 37 6 480S b b b= + + + = + × + × + × + × + × + × =
100 2.5PM 2SO 3/g mµ
2.5PM 75 2SO 150
2 2×
99% 2.5PM 2SO
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
2.5PM 75 2SO 150
32 6 18 8 64+ + + =
∴概率为 .
（2）
（3） .
∴有 的把握认为 的浓度与 浓度有关.
20.如图，四棱锥 的底面为正方形， 底面 ，，设平面 与平面
的交线为 .
（1）证明： 平面 .
（2）已知 ， 为 上的点，求 与平面 所成角的正弦值的最大值.
答案：
见解析
解析：
（1）平面 平面 ， 平面 ，∴ ，∵ 平面 ，∴
，∵正方形 ，∴ ，又 ，∴ 平面 ，∴
平面 .
（ 2 ） 以 为 原 点 ， ， 为 ， ， 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则
， ， ， ，设平面 的法向量为 ，点
坐标为 ，∴ ，即 ，令 ，得 ，∴ ，∵
，∴ ，
64 0.64100
=
2 2
2 ( ) 100 (64 10 16 10) 7.484 6.635( )( )( )( ) 80 20 74 26
n ad bcK a b c d a c b d
− × × − ×= = ≈ >+ + + + × × ×
99% 2.5PM 2SO
P ABCD− PD⊥ ABCD PAD
PBC l
l ⊥ PDC
1PD AD= = Q l PB QCD
PAD∩ PBC l= / /BC APD / /BC l PD⊥ ABCD
PD BC⊥ ABCD BC DC⊥ PD DC D∩ = BC ⊥ PDC l ⊥
PDC
O DA DC DP x y z
(0, 0, 0)D (0,1,0)C (0,0,1)D (1,1,0)B QDC ( , , )n x y z=
Q ( , 0,1)t
0
0
DC n
DQ n
⋅ = ⋅ =
0
0
y
tx z
=
+ = 1x = z t=− (1,0, )n t= −
(1,1, 1)PB= −
2 2
| | |1 | |1 |sin | cos , |
| | | | 1 3 3 3
n PB t tn PB
n PB t t
θ ⋅ + += 〈 〉 = = =
⋅ + ⋅ +
得 ，令 ，得 ，有
，得 ，∴ 的最大值为 ，∴ 与平面 所成角
的正弦最大值为 .
21.已知椭圆 过点 ，点 为其左顶点，且 的斜率为
.
（1）求 的方程；
（2）点 为椭圆上任意一点，求 的面积的最大值.
答案：
见解析
解答：
（ 1 ） 根 据 题 意 ， 把 点 代 入 椭 圆 得 到 ① ， 设 ， 又
，∴ ，代入①式，求得 ，∴椭圆 的方程为 .
（2）由题意，可知 的直线方程为 ，设直线 与椭圆相切
于 点 ， ， 联 立 方 程 组 得 ，
，得 ，由题意可知 时， 面积最大，
直线 与直线 距离 ， ，∴
.
22.已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.
2
2
1 2sin 3 3
t t
t
θ + += +
2
2
1 2
3 3
t ty t
+ += +
2(3 1) 2 (3 1) 0y t t y− − + − =
24 4(3 1) 0y∆ = − − ≥ 20 3y≤ ≤ sinθ 6
3 PB QCD
6
3
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > (2,3)M A AM
1
2
C
N AMN∆
(2,3)M 2 2
4 9 1a b
+ = ( ,0)A a−
3 1
2 2AMk a
= =+ 4a = 2 12b = C
2 2
116 12
x y+ =
AM 2 4 0x y− + = 2 0x y m− + =
N 2 2
2 0
116 12
m
x
x y
y+
− + =
=
2 216 12 3 48 0y my m− + − =
2 2144 64(3 48) 0m m∆ = − − = 8m = ± 8m = − AMN∆
2 4 0x y− + = 2 8 0x y− − =
2 2
| 4 ( 8) | 12 5
51 ( 2)
d
− −= =
+ − | | 3 5AM =
1 12 53 5 182 5AMNS∆ = × × =
1( ) ln lnxf x ae x a−= − +
a e= ( )y f x= (1, (1))f
（2）若 ，求 的取值范围.
答案：
见解析
解析：
（ 1 ） 当 时 ， ， ∵ ， ∴ ， 又
， 则 在 点 处 的 切 线 方 程 为 ， 即
，令 ，则 ，令 ，则 ，故该切线与两坐标轴围成
的三角形的面积为
.
（ 2 ） ∵ ， 即 ， ∴ ，
∴ ， ∴ ， 故 ， 令 ， 则 上 式 转 化 为
，又 ，∴ 在 单调递增，由 可知总有
， 则 ， 令 ， 则 ， ∴ 当 时 ，
， 此 时 单 调 递 增 ， 当 时 ， ， 此 时 单 调 递 减 ， ∴
，∴ .
( ) 1f x ≥ a
a e= ( ) ln 1xf x e x= − + 1( ) xf x e x
′ = − (1) 1f e′ = −
(1) 1f e= + ( )f x (1, (1))f ( 1) ( 1)( 1)y e e x− + = − −
( 1) 2y e x= − + 0x = 2y = 0y = 2
1x e
= − −
1 2 222 1 1S e e
= × × =− −
( ) 1f x ≥ 1 ln ln 1( 0, 0)xae x a a x− − + ≥ > > 1 1 lnx xae a
− ≥ +
lnx e exe a a
≥ lnx ex exxe a a
≥
ln
ln
ex
x aaxxe ee
⋅≥ ( ) xg x xe=
( ) (ln )exg x g a
≥ (*) ( ) ( 1)xg x e x′ = + ( )g x (0, )+∞ (*)
ln exx a
≥ x
exa e
≥ ( ) x
exh x e
= (1 )( ) x x
e ex e xh x e e
− −′ = = (0,1)x ∈
( ) 0h x′ > ( )h x (1, )x ∈ +∞ ( ) 0h x′ < ( )h x max( ) (1) 1h x h= = 1a ≥
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