2020年高考真题-数学（江苏卷）（附答案）

绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位 置。 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式： 柱体的体积 ，其中 是柱体的底面积， 是柱体的高． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上． 1．已知集合 ，则 ▲ ． 2．已知 是虚数单位，则复数 的实部是 ▲ ． 3．已知一组数据 的平均数为 4，则 的值是 ▲ ． 4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是 ▲ ． 5．如图是一个算法流程图，若输出 的值为 ，则输入 的值是 ▲ ． V Sh= S h { 1,0,1,2}, {0,2,3}A B= − = A B = i (1 i)(2 i)z = + − 4,2 ,3 ,5,6a a− a y 2− x 6．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 该双曲线的离心率是 ▲ ． 7．已知 y=f(x)是奇函数，当 x≥0 时， ，则 的值是 ▲ ． 8．已知 = ，则 的值是 ▲ ． 9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形 边长为 2 cm，高为 2 cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ▲ cm. 10．将函数 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最近的对 称轴的方程是 ▲ ． 11．设{an}是公差为 d 的等差数列，{bn}是公比为 q 的等比数列．已知数列{an+bn}的前 n 项和 ，则 d+q 的值是 ▲ ． 12．已知 ，则 的最小值是 ▲ ． 13．在△ABC 中， D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 AP=9， 若 （m 为常数），则 CD 的长度是 ▲ ． 2 2 2 1 05 ( )x y aa − = > 5 2y x= ( ) 2 3f x x= ( )8f − 2sin ( )4 απ + 2 3 sin 2α πsin(3 2 )4y x= ﹢ π 6 2 2 1( )n nS n n n += − + − ∈N 2 2 45 1( , )x y y x y+ = ∈R 2 2x y+ 4 3 =90AB AC BAC= = °， ，∠ ， 3( )2PA mPB m PC= + −   14．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ，A，B 是圆 C： 上的两个动点， 满足 ，则△PAB 面积的最大值是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分） 在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB⊥AC，B1C⊥平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点． （1）求证：EF∥平面 AB1C1； （2）求证：平面 AB1C⊥平面 ABB1． 16．（本小题满分 14 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ． （1）求 的值； （2）在边 BC 上取一点 D，使得 ，求 的值． 17．（本小题满分 14 分） 3( 0)2P ， 2 21( ) 362x y+ − = PA PB= 3, 2, 45a c B= = = ° sinC 4cos 5ADC∠ = − tan DAC∠ 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O 在水平线 MN 上，桥 AB 与 MN 平行， 为铅垂线( 在 AB 上)．经测量，左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离 (米)与 D 到 的距离 a(米)之间满足关系式 ；右侧曲线 BO 上 任一点 F 到 MN 的距离 (米)与 F 到 的距离 b(米)之间满足关系式 . 已知点 B 到 的距离为 40 米． （1）求桥 AB 的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩 CD 和 EF，且 CE 为 80 米，其中 C，E 在 AB 上(不包括端点)．.桥墩 EF 每米造价 k(万元)、桥墩 CD 每米造价 (万元)(k>0)，问 为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价最低？ 18．（本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线 AF1 与椭圆 E 相交于另一点 B． （1）求 的周长； （2）在 x 轴上任取一点 P，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求 的最小 值； OO′ O′ 1h OO′ 2 1 1 40h a= 2h OO′ 3 2 1 6800h b b= − + OO′ OO′ 3 2 k O E′ 2 2 : 14 3 x yE + = 1 2AF F△ OP QP⋅  （3）设点 M 在椭圆 E 上，记 与 的面积分别为 S1，S2，若 ，求点 M 的坐标． 19．（本小题满分 16 分） 已 知 关 于 x 的 函 数 与 在 区 间 D 上 恒 有 ． （1）若 ，求 h(x)的表达式； （2）若 ，求 k 的取值范围； （3）若 求证： ． 20．（本小题满分 16 分） 已知数列 的首项 a1=1，前 n 项和为 Sn．设 λ 与 k 是常数，若对一切正整数 n， 均有 成立，则称此数列为“λ～k”数列． （1）若等差数列 是“λ～1”数列，求 λ 的值； （2）若数列 是“ ”数列，且 ，求数列 的通项公式； （3）对于给定的 λ，是否存在三个不同的数列 为“λ～3”数列，且 ？若存在， 求 λ 的取值范围；若不存在，说明理由． 数学Ⅰ试题参考答案 一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题 5 分,共计 70 分. 1． 2．3 3．2 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11．4 12． 13． 或 0 14． 二、解答题 15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间 OAB△ MAB△ 2 13S S= ( ), ( )y f x y g x= = ( ) ( , )h x kx b k b= + ∈R ( ) ( ) ( )f x h x g x≥ ≥ ( ) ( )2 22 2 ( )f x x x g x x x D= + = − + = ∞−∞ +， ， ， 2 1 ln ,( ) ( ) ( ) (0 )x x g k x h kx k Df x x x= − + = = − = + ∞， ， ， ( )4 2 2 3 4 2( ) 2 ( ) (4 8 ( ) 4 3 0 )2 2f x x x g x x h x t t x t t t= − = − = − − + < ≤， ， ， [ ] , 2, 2D m n= ⊆ −  ， 7n m− ≤ { }( )na n∈ *N 1 11 1 1 k kkn n nS S aλ+ +− = { }na { }na 3 ~23 0na > { }na { }na 0na ≥ {0,2} 1 9 3− 3 2 4− 1 3 12 3 2 π− 5 24x π= − 4 5 18 5 10 5 想象能力和推理论证能力.满分 14 分. 证明：因为 分别是 的中点，所以 . 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （2）因为 平面 ， 平面 , 所以 . 又 , 平面 , 平面 , 所以 平面 . 又因为 平面 ,所以平面 平面 . 16．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等基 础知识，考查运算求解能力.满分 14 分. 解：（1）在 中，因为 ， 由余弦定理 ，得 ， 所以 . 在 中，由正弦定理 ， 得 ， 所以 （2）在 中，因为 ,所以 为钝角， 而 ,所以 为锐角. 故 则 . ,E F 1,AC B C 1EF AB∥ /EF ⊂ 1 1AB C 1AB ⊂ 1 1AB C EF∥ 1 1AB C 1B C ⊥ ABC AB ⊂ ABC 1B C AB⊥ AB AC⊥ 1B C ⊂ 1 1AB C AC ⊂ 1AB C 1 ,B C AC C= AB ⊥ 1AB C AB ⊂ 1ABB 1AB C ⊥ 1ABB ABC△ 3, 2, 45a c B= = = ° 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 9 2 2 3 2 cos45 5b = + − × × ° = 5b = ABC△ sin sin b c B C = 5 2=sin 45 sinC° 5sin .5C = ADC△ 4cos 5ADC∠ = − ADC∠ 180ADC C CAD∠ + ∠ + ∠ = ° C∠ 2 2 5cos 1 sin ,5C C= − = sin 1tan cos 2 CC C = = 因 为 ， 所 以 ， . 从 而 . 17．本小题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识，考查直观想象和数学 建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分 14 分. 解：（1）设 都与 垂直， 是相应垂足. 由条件知，当 时， 则 . 由 得 所以 （米）. （2）以 为原点， 为 轴建立平面直角坐标系 （如图所示）. 设 则 . 因为 所以 . 设 则 所以 记桥墩 和 的总造价为 ， 4cos 5ADC∠ = − 2 3sin 1 cos 5ADC ADC∠ = − ∠ = sin 3tan cos 4 ADCADC ADC ∠∠ = = −∠ 3 1 tan( ) 24 2tan tan(180 ) tan( )= = =3 11 tan tan 111 ( )4 2 ADC CADC ADC C ADC C ADC C − +∠ + ∠∠ = ° − ∠ − ∠ = − ∠ + ∠ − −− ∠ × ∠ − − × 1 1 1 1, , ,AA BB CD EF MN 1 1 1 1, , ,A B D F 40O'B = 3 1 1 40 6 40 160,800BB = − × + × = 1 160AA = 21 160,40 O'A = 80.O'A = 80 40 120AB O'A O'B= + = + = O OO' y xOy 2( , ), (0,40),F x y x∈ 3 2 1 6 ,800y x x= − + 3 2 1160 160 6800EF y x x= − = + − 80,CE = 80O'C x= − 1( 80, ),D x y− 2 1 1 (80 ) ,40y x= − 2 2 1 1 1160 160 (80 ) 4 .40 40CD y x x x= − = − − = − + CD EF ( )f x 则 ， 令 得 所以当 时， 取得最小值. 答：（1）桥 的长度为 120 米； （2）当 为 20 米时，桥墩 和 的总造价最低. 18．本小题主要考查直线方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量 数量积等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分 16 分. 解：（1）椭圆 的长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ， 则 . 所以 的周长为 . （2）椭圆 的右准线为 . 设 ， 则 ， 在 时取等号. 所以 的最小值为 . 3 2 3 2 1 3 1( )= (160 6 ) ( 4 )800 2 40 1 3( 160)(0 40).800 80 f x k x x k x x k x x x + − + − + = − + < < 23 3 3( )= ( 160) ( 20)800 40 800 kf x k x x x x′ − + = − ( )=0f x′ ， 20.x = 20x = ( )f x AB O'E CD EF 2 2 : 14 3 x yE + = 2a 2b 2c 2 2 24, 3, 1a b c= = = 1 2AF F△ 2 2 6a c+ = E 4x = ( ,0), (4, )P x Q y ( ,0), ( 4, )OP x QP x y= = − −  2( 4) ( 2) 4 4,OP QP x x x⋅ = − = − − ≥ −  2x = OP QP⋅  4− （3）因为椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆 上且在第一象限 内， ， 则 . 所以直线 设 ，因为 ，所以点 到直线 距离等于点 到直线 距离的 3 倍. 由此得 ， 则 或 . 由 得 ，此方程无解； 由 得 ，所以 或 . 代入直线 ，对应分别得 或 . 因此点 的坐标为 或 . 19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题 以及逻辑推理能力.满分 16 分. 解:（1）由条件 ，得 ， 取 ，得 ，所以 ． 由 ，得 ，此式对一切 恒成立， 所以 ，则 ，此时 恒成立， 所以 ． （2） . 令 ，则 令 ，得 . 2 2 : 14 3 x yE + = 1 2,F F A E 2 1 2AF F F⊥ 1 2 3( 1,0), (1,0), (1, )2F F A− :3 4 3 0.AB x y− + = ( , )M x y 2 13S S= M AB O AB | 3 4 3| | 3 0 4 0 3|35 5 x y− + × − × += × 3 4 12 0x y− + = 3 4 6 0x y− − = 2 2 3 4 12 0, 14 3 x y x y − + = + = 27 24 32 0x x+ + = 2 2 3 4 6 0, 14 3 x y x y − − = + = 27 12 4 0x x− − = 2x = 2 7x = − :3 4 6 0l x y− − = 0y = 12 7y = − M (2,0) 2 12( , )7 7 − − ( ) ( ) ( )f x h x g x≥ ≥ 2 22 2x x kx b x x+ ≥ + ≥ − + 0x = 0 0b≥ ≥ 0b = 2 2x x kx+ ≥ 2 2 ( ) 0x k x+ − ≥ ( , )x∈ −∞ +∞ 22 0( )k− ≤ 2k = 22 2x x x≥ − + ( ) 2h x x= 1 ln ,( ) ( ) ( ) ( )0,h g x k x xx x− = − − ∈ +∞ ( ) 1 lnu x x x= − − 1( ) 1 ,u' x x = − ( )=0u' x 1x = 所以 .则 恒成立， 所以当且仅当 时， 恒成立． 另一方面， 恒成立，即 恒成立， 也即 恒成立． 因为 ，对称轴为 ， 所以 ，解得 ． 因此，k 的取值范围是 （3）①当 时， 由 ，得 ，整理得 令 则 ． 记 则 恒成立， 所以 在 上是减函数，则 ，即 ． 所以不等式 有解，设解为 ， 因此 ． ②当 时， ． 设 ， 令 ，得 ． min( ) 0(1)u x u= = 1 lnx x− ≥ 0k ≥ ( ) ( )f x g x≥ ( ) ( )f x h x≥ 2 1x x kx k− + ≥ − 2 ( )1 1 + 0x k x k− + + ≥ 0k ≥ 1 02 kx += > 21 4 1) 0( ( )k k+ − + ≤ 1 3k− ≤ ≤ 0 3.k≤ ≤ 1 2t≤ ≤ ( ) ( )g x h x≤ 2 3 4 24 8 4( ) 3 2x t t x t t− ≤ − − + 4 2 2 3 3 2 8( ) 0.( )4 t tx t t x − −− − + ≤ ∗ 3 2 4 2=( ) (3 2 8),t t t t∆ −− − − 6 4 2= 5 3 8t t t∆ − + + 6 4 25 3( ) 1 ),28(t t tt tϕ − + += ≤ ≤ 5 3 2 220 6 2 (3 1)( 3( ) ) 06t t t t t t' tϕ − + = − −