2020年高考真题-数学（理）（全国卷II）（附答案）

2020 年全国统一高考数学试卷(理科)(全国新课标 II) 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则 (A∪B)＝ A.{－2，3} B.{－2，2，3} C.{－2，－1，0，3} D.{－2，－10，2，3} 2.若 α 为第四象限角，则 A.cos2α>0 B.cos2α0 D.sin2α 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 9 3 4 3 3 2 3 2 ＝ 是描述其性质的重要指标。下列周期为 5 的 0－1 序列中，满 足 C(k)≤ (k＝1，2，3，4)的序列是 A.11010. B.11011 C.10001 D.11001 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知单位向量 a，b 的夹角为 45°，ka－b 与 a 垂直，则 k＝ 。 14.4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名学生，则不同的安排方法有 种。 15.设复数 z1，z2 满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝ ＋i，则|z1－z2|＝ 。 16.设有下列四个命题： p1；两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内。 p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面。 p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行。 p4：若直线 l 平面 α，直线 m⊥平面 α，则 m⊥l。 则下列命题中所有真命题的序号是 。 ①p1∧p4 ②p1∧p2 ③ p2∨p3 ④ p3∨ p4 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分。 17.(12 分) △ABC 中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC (1)求 A； (2)若 BC＝3，求△ABC 周长的最大值。 18.(12 分) 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种 野生动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽 1 1 ( 1,2, , 1) m i i k i a a k mm + = = ⋅⋅⋅ −∑ 1 5 3 ⊂ ¬ ¬ ¬ 取 20 个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个 样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 (1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物 数量的平均数乘以地块数)； (2)求样本(xi，yi)i＝1，2，…，20)的相关系数(精确到 0.01)； (3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区 这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由。 附：相关系数： 19.(12 分) 已知椭圆 C1： 的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合。C1 的中心与 C2 的 顶点重合，过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D 两点，且|CD|＝ |AB|。 (1)求 C1 的离心率； (2)设 M 是 C1 与 C2 的公共点。若|MF|＝5，求 C1 与 C2 的标准方程。 20.(12 分) 如图已知三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC， B1C1 的中点，P 为 AM 上一点，过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F。 20 20 20 20 20 2 2 1 1 1 1 1 60, 1200, ( ) 80, ( ) 9000, ( )( ) 800 i i i i i i i i i i ix y x x y y x x y y = = = = = = = − = − = − − =∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 1 2 2 1 1 ( )( ) , 2 1.414 ( ) ( ) n i i i n n i i i i x x y y r x x y y = = = − − = ≈ − − ∑ ∑ ∑ 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 4 3 (1)证明：AA1//MN，且平面 A1AMN⊥面 EB1C1F； (2)设 O 为△A1B1C1 的中心，若 AO//面 EB1C1F，且 AO＝AB，求直线 B1E 与平面 A1AMN 所 成角的正弦值。 21.(12 分) 已知函数 f(x)＝sin2xsin2x。 (1)讨论 f(x)在(0，π)上的单调性； (2)证明：|f(x)|≤ ； (3)证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ 。 (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题 计分。 22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分) 3 3 8 3 4 n n 己知 C1，C2 的参数方程分别为 C1： (θ 为参数)，C2： (t 为参数)， (1)将 C1，C2 的参数方程化为普通方程； (2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极 轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程。 23.[选修 4－5：不等式选讲](10 分) f(x)＝|x－a2|＋|x＋2a－1|， (1)当 a＝2 时，求不等式 f(x)≥4 的解集 (2)f(x)≥4，求 a 的取值范围。 2 2 4cos 4sin x y θ θ = =   1 1 x t t ty t = + = −     答案 1A 2D 3B 4C 5B 6C 7A 8B 9D 10C 11A 12C 13. 14.36 15.2 16.①③④ 17. 18. 19. 20. 3 21. 22. 23.