2020年高考真题-数学（文）（全国卷II）（附答案）

2020 年全国统一高考数学试卷(文科)(全国新课标 II) 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 A＝{x|x|1，x∈Z}，则 A∩B＝ A. B.{－3，－2，2，3} C.{－2，0，2} D.{－2，2} 2.(1－i)4＝ A.－4 B.4 C.－4i D.4i 3.如图，将钢琴上的 12 个键依次记为 a1，a2，…a12，设 1≤i≤j≤k≤12。若 k－j＝3 且 j－i＝ 4，则称 ai，aj，ak 为原位大三和弦；若 k－j＝4 且 j－i＝3，则称 ai，aj，ak 为原位小三和弦。 用这 12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 A.5 B.8 C.10 D.15 4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200 份订单的配货，由 于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。已知 该超市某日积压 500 份订单未配货，预计第二天新订单是 1600 份的概率为 0.05，志愿者每人 每天能完成 50 份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单配货的概率不小于 0.95，则至 少需要志愿者 A.10 名 B.18 名 C.24 名 D.32 名 5.已知单位向量 a，b 的夹角为 60°，则下列向量中，与 b 垂直的是 A.a＋2b B.2a＋b C.a－2b D.2a－b 6.记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，若 a5－a3＝12，a6－a4＝24，则 A.2n－1 B.2－21－n C.2－2n－1 D.21－n－1 7.执行右面的程序框图，若输入 k＝0，a＝0，则输出的 k 为 ∅ n n S a = A.2 B.3 C.4 D.5 8.若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2x－y－3＝0 的距离为 A. B. C. D. 9.设 O 为坐标原点，直线 x＝a 与双曲线 C： 的两条渐近线分别交于 D，E 两点。若△ODE 的面积为 8，则 C 的焦距的最小值为 A.4 B.8 C.16 D.32 10.设函数 f(x)＝ ，则 f(x) A.是奇函数，且(0，＋∞)在单调递增 B.是奇函数，且(0，＋∞)在单调递减 C.是偶函数，且(0，＋∞)在单调递增 D.是偶函数，且(0，＋∞)在单调递减 11.己知△ABC 是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上，若球 O 的表面积 为 16π，则 O 到平面 ABC 的距离为 A. B. C.1 D. 12.若 2x－2y0 B.ln(y－x＋1)0 D.ln|x－y| > 3 3 1x x − 9 3 4 3 3 2 3 2 2 3 15.若 x，y 满足约束条件 ，则 z＝x＋2y 的最大值是 。 16.设有下列四个命题： p1；两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内。 p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面。 p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行。 p4：若直线 l 平面 α，直线 m⊥平面 α，则 m⊥l。 则下列命题中所有真命题的序号是 。 ①p1∧p4 ②p1∧p2 ③ p2∨p3 ④ p3∨ p4 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分。 17.(12 分) △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos2( ＋A)＋cosA＝ 。 (1)求 A； (2)b－c＝ a，证明：△ABC 是直角三角形。 18.(12 分) 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种 野生动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽 取 20 个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个 样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 。 (1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物 数量的平均数乘以地块数)； 1 2 1 1 x x y x y y+ ≥ − ≥ − − − ≤    ⊂ ¬ ¬ ¬ 2 π 5 4 3 3 20 20 20 20 20 2 2 1 1 1 1 1 60, 1200, ( ) 80, ( ) 9000, ( )( ) 800 i i i i i i i i i i ix y x x y y x x y y = = = = = = = − = − = − − =∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (2)求样本(xi，yi)i＝1，2，…，20)的相关系数(精确到 0.01)； (3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区 这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由。 附：相关系数： 19.(12 分) 已知椭圆 C1： 的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合。C1 的中心与 C2 的 顶点重合，过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D 两点，且|CD|＝ |AB|。 (1)求 C1 的离心率； (2)若 C1 的四个顶点到 C2 的准线距离之和为 12，求 C1 与 C2 的标准方程。 20.(12 分) 如图已知三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC， B1C1 的中点，P 为 AM 上一点，过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F。 (1)证明：AA1//MN，且平面 A1AMN⊥面 EB1C1F； 1 2 2 1 1 ( )( ) , 2 1.414 ( ) ( ) n i i i n n i i i i x x y y r x x y y = = = − − = ≈ − − ∑ ∑ ∑ 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 4 3 (2)设 O 为△A1B1C1 的中心，若 AO＝AB＝6，AO//面 EB1C1F，且∠MPN＝ ，求四棱锥 B－ EB1C1F 的体积。 21.(12 分) 已知函数 f(x)＝2lnx＋1。 (1)若 f(x)≤2x＋c，求 c 的取值范围； (2)设 a>0，讨论函数 g(x)＝ 的单调性。 (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题 计分。 22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分) 己知 C1，C2 的参数方程分别为 C1： (θ 为参数)，C2： (t 为参数)， (1)将 C1，C2 的参数方程化为普通方程； (2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极 轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程。 23.[选修 4－5：不等式选讲](10 分) f(x)＝|x－a2|＋|x＋2a－1|， (1)当 a＝2 时，求不等式 f(x)≥4 的解集 (2)f(x)≥4，求 a 的取值范围。 3 π ( ) ( )f x a f a x − − 2 2 4cos 4sin x y θ θ = =   1 1 x t t ty t = + = −     答案 1D 2A 3C 4B 5D 6B 7C 8B 9C 10A 11C 12A 13. 14.25 15.8 16.①③④ 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.