2020 届高三综合训练（四）数学试卷
第 I 卷（选择题共 60 分）
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知 是虚数单位，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算法则，即可求解.
【详解】 .
故选：C．
【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.
2.若集合 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简集合 ，按照交集定义，即可求解.
【详解】易知 ， ，
所以 ．
故选：A．
【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.
3.2019 年 12 月，湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例．2020 年 1 月 12 日，世界卫生组织正式将造成此
次肺炎疫情的病毒命名为“2019 新型冠状病毒”．2020 年 2 月 11 日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺
炎命名为 COVID-19（新冠肺炎）｡新冠肺炎患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征｡“某人表现为发热､
干咳､浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的（ ）．
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
i 1 (1 )ii
⋅ + =
i i− 1 i− 1 i+
1 1(1 ) 1 1i ii i
⋅ + = + = −
{ | 1 }A x y x= = − 2{ | 2 0}B x x x= − − ≤ A B∩ =
[ 1,1]− 1,2]- [1,2] ( ]1,1−
,A B
{ | 1 } { | 1}A x y x x x= = − = ≤ { | 1 2}B x x= − ≤ ≤
{ | 1 1}A B x x∩ = − ≤ ≤C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分必要的定义，即可得出结论.
【详解】表现为发热、干咳、浑身乏力者不一定是感染新型冠状病毒，
或者只是普通感冒等；而新型冠状病毒感染者早期症状表现为发热、
干咳浑身乏力等外部表征．因而“某人表现为发热、干咳、浑身乏力”
是“该人患得新型冠状病毒”的必要不充分条件．
故选：A．
【点睛】本题考查必要不充分条件的判定，属于基础题.
4.已知 ， ，其中 ， 是互相垂直的单位向量，则 （ ）
A. B. C. 28 D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出 ，用 ， 表示 ，再根据 计算可得；
【详解】解： ， ，且 ， 是互相垂直的单位向量
，
故选：
【点睛】本题考查向量的数量积的运算律，向量模的计算，属于基础题.
5.已知 ，则 （ ）
A. B. C. -3 D. 3
【答案】A
【解析】
3a i j= + 2b i= i j 3a b− =
2 7 2 6
i j⋅ i j 3a b− ( )2
3 3a b a b− = −
3a i j= +
2b i= i j
3 3 3 2 3 5a b i j i j i∴ − = + − × = − 0i j⋅ =
( )2 2 2
3 3 3 25 10 3 28 2 7a b a b j i j i∴ − = − = + − ⋅ = =
A
tan 212
πα + = − tan 3
πα + =
1
3
− 1
3【分析】
由题意可知 ，由题意结合两角和的正切公式可得 的值.
【详解】 ，故选 A.
【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算
求解能力.
6.函数 的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数值恒大于 0,排除 ,根据函数不是偶函数,排除 ,根据 趋近于正无穷时,函数值趋近于 0,排除 ,
故选: .
【详解】因为 ,所以 不正确;
函数 不是偶函数,图象不关于 轴对称,所以 不正确;
当 时, , 当 趋近于正无穷时, 和 都趋近于正无穷,但是 增大的速度大于
3 12 4tan tan
π π πα α + = + + 3tan
πα +
3 12 4tan tan
π π πα α + = + +
112 4
31 12 4
tan tan
tan tan
π πα
π πα
+ + = = − − +
( ) 2
1x
xf x
e
=
−
A C x D
B
( ) 2
1x
xf x
e
=
− 0> A
( ) 2
1x
xf x
e
=
− y C
0x >
2
( ) 01x
xf x e
= >− x 2x e 1x − e 1x −增大的速度,所以 趋近于 0,故 不正确.
故选:B
【点睛】本题考查了利用函数性质识别函数的图象,考查了偶函数图象的对称性,考查了极限思想,根据函数
的性质排除选项是解题关键.
7. 是一款具有社交属性的健身 ，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装
备购买等一站式运动解决方案. 可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程.不仅如此，它还
可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划.小吴根据 记录的 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月
跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论不正确的是（ ）
A. 月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数
B. 月跑步里程最大值出现在 10 月
C. 月跑步里程逐月增加
D. 1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小
【答案】C
【解析】
【分析】
根据折线图的信息，逐项判断，即可求出结论.
【详解】由所给折线图可知：
月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数，故选项 A 正确；
月跑步里程最大值出现在 10 月，故选项 B 正确；
月跑步里程并不是逐月递增，故选项 C 错误；
1 月至 5 月的月跑步里程相对 6 月至 11 月，波动性更小，故选项 D 正确．
故选：C．
【点睛】本题考查折线图数据分析，考查数形结合，属于基础题.
2x ( ) 2
1x
xf x e
= − D
Keep APP
Keep
Keep8.如图， 是正方体 的棱 的中点，下列命题中假命题是（ ）
A. 过 点有且只有一条直线与直线 、 都相交
B. 过 点有且只有一条直线与直线 、 都垂直
C. 过 点有且只有一个平面与直线 、 都相交
D. 过 点有且只有一个平面与直线 、 都平行
【答案】C
【解析】
【分析】
由点 不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过点 有且只有一条直线与直线 、 都相交，A
正确；
只有过点 的直线 同时与直线 、 都垂直，B 正确；
过 点有无数个平面与直线 、 都相交，C 不正确；
只有过 点平行于上下底面的平面与直线 、 都平行，D 正确
【详解】解：直线 与 是两条互相垂直的异面直线，点 不在这两异面直线中的任何一条上，如图
所示：
M 1 1 1 1ABCD A B C D− 1DD
M AB 1 1B C
M AB 1 1B C
M AB 1 1B C
M AB 1 1B C
M M AB 1 1B C
M 1DD AB 1 1B C
M AB 1 1B C
M AB 1 1B C
AB 1 1B C M取 的中点 ，则 ，且 ，设 与 交于 ，则点 、 、 、 、 共面，
直线 必与 直线相交于某点 ，且交点是唯一的.
所以，过 点有且只有一条直线 与直线 、 都相交；故 A 正确.
因为 平面 ，而 ，所以 与 、 都垂直，由过平面外一点有且只有一条直
线与这个平面垂直，可知过 点有且只有一条直线与直线 、 都垂直，此垂线就是棱 ，故 B
正确.
过直线 有无数个平面与直线 、 都相交，而点 在直线 上，故 C 不正确.
过 点有且只有一个平面与直线 、 都平行，此平面就是过 点与正方体的上下底都平行的平面，
故 D 正确.
故选：C
【点睛】此题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的思想，属于
基础题.
9.已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正弦函数的单调性，结合在区间 上单调递增，建立不等式关系，即可求解．
【详解】函数 在区间 上单调递增，
当 时， ，
当 时， ，
由于函数 在区间 上单调递增，
1C C N //MN AB MN AB= BN 1 1B C H A B M N H
HM AB O
M HO AB 1 1B C
1DD ⊥ ABCD 1 1//BC B C 1DD AB 1 1B C
M AB 1 1B C 1DD
OH AB 1 1B C M OH
M AB 1 1B C M
( )πsin 03y xω ω = + >
π π,6 3
−
ω
10, 2
1 ,12
1 2,3 3
2 ,23
,6 3
π π −
( ) sin( )( 0)3f x x
πω ω= + > π π,6 3
−
6 3x
π π− < <
6 3 3 3 3x
πω π π πω πω− + < + < +
0x =
3 3x
π πω + =
( )sin 03y x
πω ω = + > ,6 3
π π − 所以， ，解得 ，
，所以， ，因此， 的取值范围是 .
故选：A．
【点睛】本题考查了正弦函数的图象及性质、单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，
属于中等题．
10.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， 为双曲线 的右支上一
点，且 ， 与 轴交于点 ，若 是 的平分线，则双曲线 的离心率 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用角平分线及 得到三角形相似，进而得到 ，再根据角平分线定理也可得到 ，列方
程即可求出离心率．
【详解】如图：
由题意得： ，所以 ，
又 ，所以 ，
又 是 的平分线，所以 ，
所以 ，所以 ，
6 3 2
3 3 2
πω π π
πω π π
− + ≥ −
+ ≤
1
2
ω ≤
0ω >
10 2
ω< ≤ ω 10, 2
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 1 2( ,0), ( ,0)F c F c− A C
1 2AF c= 1AF y B 2F B 2 1AF F∠ C e =
5 1− 1 5
2
+ 3 5
2
+
5
1 2AF c= AB AB
1 1 2AF F F= 1 2 1 2F AF F F A∠ = ∠
1 2F B F B= 1 2 2 1BF F BF F∠ = ∠
2F B 2 1AF F∠ 1 2 2BF F AF B∠ = ∠
2 2 1~BAF AF F
2
2 1 2| |AF AB F F= ⋅即 ，所以 ，
由角平分线定理知， ，则 ，
所以 ，所以 ，
故 ．
故选：C．
【点睛】本题关键是利用角平分线定理得到 ，考查了学生计算能力，分析能力，是中档
题．
11.已知大于 1 的三个实数 满足 ，则 的大小关系不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令 ，则 为 的零点，根据判别式可得 ，就 和 分类讨论
后可得 的大小关系.
【详解】令 ，则 为 的零点且该函数图象的对称轴为 ，
故 ，
因为 ，故 ，所以 即 .
又 ，
若 ，则 ，故 即 .
若 ，则 ，所以 或者 ，
即 或 .
故选：D.
【点睛】本题考查二次函数的零点，注意先根据方程的形式构建二次函数，再利用零点存在定理来讨论，
2(2 2 ) | | 2c a AB c− = ⋅
22( )| | c aAB c
−=
2
1 1 2
| | AFAB
BF F F
= 1 1 2
2
1 1| |
BF F F
AB AF
+ = +
2
1 1 2 2
| | AFAB
AF F F AF
= +
22 2 2 ( ) 2( )| | 22 2 2 2
c a c c a c aAB cc a c c a c
− − −= ⋅ = =− + −
2 2 2 3 53 0 3 1 0 2c ac a e e e
+− + = ⇒ − + = ⇒ =
2
1 1 2
| | AFAB
BF F F
=
, ,a b c 2(lg ) 2lg lg lg lg 0a a b b c− + = , ,a b c
a b c= = a b c> > b c a> > b a c> >
( ) 2 2 lg lg lgf x x x b b c= − + lg a ( )f x b c≥ b c= b c>
, ,a b c
( ) 2 2 lg lg lgf x x x b b c= − + lg a ( )f x lgx b=
24lg 4lg lg 0b b c∆ = − ≥
1, 1b c> > lg 0,lg 0b c> > lg lgb c≥ b c≥
( ) ( ) ( ) ( )2 2lg lg lg lg lg lg lg , lg lg lg lg lg lg lgf b b c b b c b f c c b c c c b= − = − = − = −
b c= ( ) ( )lg lg 0f b f c= = lg lg lga b c= = b c=
b c> ( ) ( )lg 0, lg 0f b f c< < lg lga c< lg lgb a<
a c b< < a b c> >注意合理分类，本题为中档题.
12.若关于 的方程 恰有 4 个不相等实根，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意首先将所给的方程进行恒等变形，然后换元之后将其转化为二次函数根的分布的问题，最后求解关
于实数 a 的不等式组即可确定实数 a 的取值范围.
【详解】由题可转化为 ，
令 ，则 ，则函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
当 时， ，做出函数 的图象如图所示，
结合题意可知：要使原方程恰有 4 个不相等的实数根，则 ，
且关于 的方程 在 有两个不相等的实数根，
即 在 有两个不同的零点，则
x ( )2
2
ln2 ln a xx x x
= − a
2
2, e
e
− −∞ 2
1 2,8
e
e
− − 2
2 ,0e
e−
1 ,08
−
( ) ( )22 ln ln 0x x a x x x= − >
lnt x x= ' ln 1t x= + 10, e
1,e
+∞
1x e
= 1t e
= − lnt x x=
1 ,0t e
∈ −
t 22 0t t a+ − = 1 ,0t e
∈ −
( ) 22g t t t a= + − 1 ,0e
− ∴ ，解得 ，表示为区间形式即 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数零点个数问题等知识，意在考查学生的转化
能力和计算求解能力.
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填写在答题卡相应位置上.
13.在 的展开式中 项的系数为__________．
【答案】1120
【解析】
【分析】
求出二项展开式的通项，令 的指数为 2，求出项数，即可求解.
【详解】展开式的通项为 ，
令 ，得 ，
所以展开式中含 项的系数为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查二项展开式定理，熟记展开式通项是解题的关键，属于基础题.
14.已知数列 为公差不为零的等差数列，其前 项和为 ，且 ， ， 成等比数列， ，则
__________．
【答案】4
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为 ，解方程 和 即得 ，即得解.
【详解】设等差数列的公差为 ，由题得 和 .
( )
2
2
0 0
1 1 12 0
1 1 12 04 4 4
g a
g ae e e
g a
= − >
− = × − − >
− = × − − 1t < 1t =
( ) 0
0 0 0
0
0 0
ln 1 ln 1
xx e x xg x x x
− −= = − = 1k
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1F 2F ( , )M a b− ( , )N a b 2F 1F
3 3 3
C
A B C AB 2 2 12: 7O x y+ = AOB
2 2
14 3
x y+ = 12 , 37
2 1MNF F b 2 1MNF F ,a c , ,a b c
l y kx m= + 2 2 12: 7O x y+ = ,k m
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2,x x | |AB k
1 2 3 | |2 7AOBS AB= × ×△【详解】（1）由题意，得 ，且 ，
∴ ，又 ，解得 ， ．
∴椭圆 的方程为 ．
（2）如图，设 ， ，
当圆 的切线 的斜率存在时，设 的方程为： ，
切点为 ，连结 ，则 ．
因为 与圆 相切，
所以 ，所以 ．
联立 ，整理得 ．
所以 ， ．
又
．
3b = 2 2 3 3 32
a c+ ⋅ =
3a c+ = 2 2 3a c− = 2a = 1c =
C
2 2
14 3
x y+ =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
O l l y kx m= +
H OH OH AB⊥
l 2 2 12: 7O x y+ =
2
| | 12
71
md
k
= =
+
( )2
2 12 1
7
k
m
+
=
2 2
14 3
y kx m
x y
= + + =
( )2 2 23 4 8 4 12 0k x kmx m+ + + − =
2 2 2 264 16( 3)(4 3)k m m k∆ = − − +
2
2 2 48(16 9)48(4 3) 07
kk m
+= − + = >
1 2 2
8
4 3
kmx x k
+ = − +
2
1 2 2
4 12
4 3
mx x k
−= +
( )22
1 2 1 2| | 1 4AB k x x x x= + ⋅ + −
( )( )
( )
2 2 2 2
2
22
64 4 4 12 4 3
1
4 3
k m m k
k
k
− − +
= + ⋅
+
( )
( )
2 2
2
22
48 3 4
1
4 3
k m
k
k
+ −
= + ⋅
+
( )( )
( )
2 2
22
1 9 164 3
7 4 3
k k
k
+ +
=
+
2
4 2
4 3 1 16 24 97
k
k k
= + + +①若 时，
．
因为 ，
当且仅当 时，“ ”成立．
所以
即 ．
②当 时， ，所以 ．
又 ，
所以 ．
当圆 的切线斜率不存在时，则 的方程为 或 ．
此时 ， 的坐标分别为 ， 或 ， ．此时
．
综上， 面积 取值范围为 ．的
0k ≠
2
2
4 3 1| | 1 97 16 24
AB
k k
= +
+ +
2
2
916 24 2 16 9 24 48k k
+ + ≥ × + =
3
2k = ± =
2
2
1 10 9 4816 24k k
∴ < ≤
+ +
2
2
4 3 4 3 1 4 3 11 1 79 487 7 716 24k k
< + ≤ + =
+ +
4 3 | | 7
7
AB< ≤
0k = 4 3| |
7
AB = 4 3 | | 7
7
AB≤ ≤
2 3| |
7
OH =
1 2 3 12| | | | | | , 32 72 7AOBS AB OH AB = ⋅ = ∈ △
O AB 12
7x = 12
7x = −
A B
12 12,7 7
12 12,7 7
−
12 12,7 7
−
12 12,7 7
− −
12
7MBBS =△
AOB
12 , 37
【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与圆以及直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系设而
不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题
计分，做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分 10 分.
选修 4-4：坐标系与参数方程
22.在平面直角坐标系 中，直线 经过点 ，其倾斜角为 ，设曲线 的参数方程为
（ 为参数），以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
.
（1）求曲线 的普通方程和极坐标方程；
（2）若直线 与曲线 有公共点，求 的取值范围.
【 答 案 】（ 1 ） 的 普 通 方 程 为 ： ； 的 极 坐 标 方 程 为 ：
；（2） .
【解析】
【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.
（2）利用点到直线的距离公式即 的应用即可求出结果.
【详解】(1)显然参数 由 得 ，代入 ,并整理得
，将 代入 得
，即 ,
xOy l ( 2 3,0)P − α S
1
4 1
x k
ky k
= − =
k O x C
4sinρ θ=
S
l C α
S 2 2 4 0(0 4)x y x x+ − = < ≤ S
4cos 0,0 2
πρ θ ρ θ = > ≤ ≤ 0, 3
πα ∈
d r≤
1
4k ≥ 1x k=
1 (0 4)k xx
= < ≤ 4 1ky k
−=
2 2 4 0(0 4,0 2)x y x x y+ − = < ≤ ≤ ≤ 2 2 2 , cosx y xρ ρ θ+ = = 2 2 4 0x y x+ − =
2 4 cos 0ρ ρ θ− = 4cos 0,0 2
πρ θ ρ θ = > ≤ ≤ 故曲线 S 的普通方程为 ，
极坐标方程为 ;
（2）曲线 C 的直角坐标方程化为 ，则曲线 C 是以（0，2）为圆心，半径为 2 的圆,
当 时,直线 与曲线 没有公共点，
当 时设直线的方程为 ，圆心（0，2）到直线的距离为
,由 ，得 ，所以 即 的取值
范围为
【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，普通方程和极坐标方程的互化，考查直线和圆的位置关系，
点到直线的距离公式，属于中档题.
选修 4-5：不等式选讲
23.已知函数 ．
（1）求函数 的最大值 ；
（2）已知 ， ， ，求 的最大值．
【答案】（1）6；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）化简函数的解析式，画出函数图象，然后求解函数的最大值即可．
（2）化简表达式，通过转化，结合基本不等式求解最大值即可．
【详解】解：（1）因为
所以
函数图象如下所示：
2 2 4 0(0 4,0 2)x y x x y+ − = < ≤ ≤ ≤
4cos 0,0 2
πρ θ ρ θ = > ≤ ≤
2 2( 2) 4x y+ − =
2
πα = : 2 3l x = − C
2
πα ≠ ( 2 3)( tan )y k x k α= + =
2 2
| 0 2 2 3 | | 2 3 2 |
1 1
k k kd
k k
× − + −= =
+ + 2
| 2 3 2 | 2
1
kd
k
−= ≤
+ 0 3k≤ ≤ 0 3
πα≤ ≤ α
0, 3
π
( ) 2 2 3 1f x x x= + − −
( )f x M
0a > 0b > 4a b M+ = 2
2 2 1
a b
a b
++ +
6
5
( ) 2 2 3 1f x x x= + − −
( )
7, 2,
5 1, 2 1,
7, 1.
x x
f x x x
x x
− < −
= + − ≤ 1y >
( )2 1 2 1 2 1 4 1 44 4 2 410 10 10 5
x y y x
x y x y x y
+ + = + = + + ≥ + =
2 5x y= = 3a = 3
4b =
2
2 2 1
a b
a b
++ +
4 62 5 5
− =
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