2020 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（海南）
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求的）
1.设集合 A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则 =（ ）
A. {1，3，5，7} B. {2，3} C. {2，3，5} D. {1，2，3，5，7，8}
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合交集的运算可直接得到结果.
【详解】因为 A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，
所以
故选：C
【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.
2. =（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接计算出答案即可.
【详解】
故选：B
【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.
3.在 中，D 是 AB 边上的中点，则 =（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
A B
{ }2,3,5A B =
(1 2 )(2 )i i+ +
4 5i+ 5i -5i 2 3i+
2(1 2 )(2 ) 2 4 2 5i i i i i i+ + = + + + =
ABC CB
→
2CD CA+ 2CD CA− 2CD CA− 2CD CA+ 根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成
一个球(球心记为 O)，地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角，点 A 处的水平面是指过点
A 且与 OA 垂直的平面.在点 A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 A 处的纬度为北纬 40°，则
晷针与点 A 处的水平面所成角为（ ）
A. 20° B. 40°
C. 50° D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】
画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定
有关截线的关系，根据点 处的纬度，计算出晷针与点 处的水平面所成角.
【详解】画出截面图如下图所示，其中 是赤道所在平面的截线； 是点 处的水平面的截线，依题意可
知 ； 是晷针所在直线. 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知 、根据线面垂直的定义可得 ..
由于 ，所以 ，
由于 ，
( )2 2 2CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA−= + = + = + − =
A A
CD l A
OA l⊥ AB m
//m CD AB m⊥
40 , //AOC m CD∠ = ° 40OAG AOC∠ = ∠ = °
90OAG GAE BAE GAE∠ + ∠ = ∠ + ∠ = °所以 ，也即晷针与点 处的水平面所成角为 .
故选：B
【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于
中档题.
5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生
喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A. 62% B. 56%
C. 46% D. 42%
【答案】C
【解析】
【分析】
记“该中学学生喜欢足球”为事件 ，“该中学学生喜欢游泳”为事件 ，则“该中学学生喜欢足球或游
泳”为事件 ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ，然后根据积事件的概率公式
可得结果.
【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件 ，“该中学学生喜欢游泳”为事件 ，则“该中学学生喜欢
足球或游泳”为事件 ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ，
则 ， ， ，
所以
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 .
故选：C.
【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.
6.要安排 3 名学生到 2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同
40BAE OAG∠ = ∠ = ° A 40BAE∠ = °
A B
A B+ A B⋅
( )P A B⋅ = ( ) ( ) ( )P A P B P A B+ − +
A B
A B+ A B⋅
( ) 0.6P A = ( ) 0.82P B = ( ) 0.96P A B+ =
( )P A B⋅ = ( ) ( ) ( )P A P B P A B+ − + 0.6 0.82 0.96 0.46= + − =
46%的安排方法共有（ ）
A. 2 种 B. 3 种 C. 6 种 D. 8 种
【答案】C
【解析】
【分析】
首先将 3 名学生分成两个组，然后将 2 组学生安排到 2 个村即可.
【详解】第一步，将 3 名学生分成两个组，有 种分法
第二步，将 2 组学生安排到 2 个村，有 种安排方法
所以，不同的安排方法共有 种
故选：C
【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.
7.已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出 的定义域，然后求出 的单调递增区间即可.
【详解】由 得 或
所以 的定义域为
因为 在 上单调递增
所以 在 上单调递增
所以
故选：D
【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.
8.若定义在 的奇函数 f(x)在 单调递减，且 f(2)=0，则满足 的 x 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
1 2
3 2 3C C =
2
2 2A =
3 2 6× =
2( ) lg( 4 5)f x x x= − − ( , )a +∞ a
(2, )+∞ [2, )+∞ (5, )+∞ [5, )+∞
( )f x 2( ) lg( 4 5)f x x x= − −
2 4 5 0x x− − > 5x > 1x < −
( )f x ( ), 1 (5, )−∞ − ∪ +∞
2 4 5y x x= − − (5, )+∞
2( ) lg( 4 5)f x x x= − − (5, )+∞
5a ≥
R ( ,0)−∞ ( 1 0)xf x − ≥
[ )1,1] [3,− +∞ 3, 1] [ ,[ 0 1]− −
[ 1,0] [1, )− ∪ +∞ [ 1,0] [1,3]− ∪【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分
类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分）
9.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续 11 天复工复产指数折线图，下
列说法正确的是（ ）
A. 这 11 天复工指数和复产指数均逐日增加;
B. 这 11 天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;
C. 第 3 天至第 11 天复工复产指数均超过 80%;
( )f x
R ( )f x ( ,0)−∞ (2) 0f =
( )f x (0, )+∞ ( 2) 0f − = (0) 0f =
( , 2) (0,2)x∈ −∞ − ∪ ( ) 0f x > ( 2,0) (2, )x∈ − +∞ ( ) 0f x <
( 1 0)xf x − ≥
0
2 1 0 1 2
x
x x
≤ − ≤ − ≤ − 或 0x =
1 0x− ≤ ≤ 1 3x≤ ≤
( 1 0)xf x − ≥ x [ 1,0] [1,3]− ∪D. 第 9 天至第 11 天复产指数增量大于复工指数的增量;
【答案】CD
【解析】
【分析】
注意到折线图中有递减部分，可判定 A 错误；注意考查第 1 天和第 11 天的复工复产指数的差的大小，可判
定 B 错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定 CD 正确.
【详解】由图可知，第 1 天到第 2 天复工指数减少，第 7 天到第 8 天复工指数减少，第 10 天到第 11 复工
指数减少，第 8 天到第 9 天复产指数减少，故 A 错误；
由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第 11 天的复产指标与复工指标的差，所以这 11 天期间，
复产指数增量小于复工指数的增量，故 B 错误;
由图可知，第 3 天至第 11 天复工复产指数均超过 80%，故 C 正确;
由图可知，第 9 天至第 11 天复产指数增量大于复工指数的增量，故 D 正确;
【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数
增量的理解与观测，属中档题.
10.已知曲线 .（ ）
A. 若 m>n>0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上
B. 若 m=n>0，则 C 圆，其半径为
C. 若 mn0，则 C 是两条直线
【答案】ACD
【解析】
【分析】
结合选项进行逐项分析求解， 时表示椭圆， 时表示圆， 时表示双曲线，
时表示两条直线.
【详解】对于 A，若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故 A 正确；
是
2 2: 1C mx ny+ =
n
my xn
= ± −
0m n> > 0m n= > 0mn <
0, 0m n= >
0m n> > 2 2 1mx ny+ =
2 2
11 1
x y
m n
+ =
0m n> > 1 1
m n
<
C y对于 B，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故 B 不正确；
对于 C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故 C 正确；
对于 D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故 D 正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算
的核心素养.
11.下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)= （ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
首先利用周期确定 的值，然后确定 的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 2 1x y n
+ =
C n
n
0mn < 2 2 1mx ny+ =
2 2
11 1
x y
m n
+ =
C
2 2 0mx ny+ = my xn
= ± −
0, 0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 1y n
=
ny n
= ± C x
πsin( 3x + ） πsin( 2 )3 x− πcos(2 6x + ） 5πcos( 2 )6 x−
ω ϕ【详解】由函数图像可知： ，则 ，所以不选 A,
当 时， ，
解得： ，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
【点睛】已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求
待定系数 ω 和 φ，常用如下两种方法：
(1)由 ω＝ 即可求出 ω；确定 φ 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，则
令 ωx0＋φ＝0(或 ωx0＋φ＝π)，即可求出 φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 ω 和 φ，若
对 A，ω 的符号或对 φ 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
12.已知 a>0，b>0，且 a+b=1，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据 ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于 A， ，
当且仅当 时，等号成立，故 A 正确；
2
2 3 6 2
T π ππ= − = 2 2 2T
π πω π= = =
2
53 6
2 12x
ππ π+
= = 1y = − ∴ ( )5 32 212 2 k k Z
π πϕ π× + = + ∈
( )22 3k kϕ π π= + ∈Z
2sin 2 2 sin 2 cos 2 sin 23 6 2 6 3y x k x x x
π π π ππ π = + + = + + = + = −
5cos 2 cos( 2 )6 6x x
π π + = − −
2
T
π
2 2 1
2a b+ ≥ 12 2
a b− >
2 2log log 2a b+ ≥ − 2a b+ ≤
1a b+ =
( )22 2 2 21 2 2 1a b a a a a+ = + − = − +
21
2
1 12 2 2a
+
≥−=
1
2a b= =对于 B， ，所以 ，故 B 正确；
对于 C， ，
当且仅当 时，等号成立，故 C 不正确；
对于 D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故 D 正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学
运算的核心素养.
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，M、N 分别为 BB1、AB 的中点，则三棱锥 A-NMD1 的体积为
____________
【答案】
【解析】
【分析】
利用 计算即可.
【详解】
因为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，M、N 分别为 BB1、AB 的中点
所以
故答案为：
【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.
14.斜率为 的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则 =________．
2 1 1a b a− = − > − 1 12 2 2
a b− −> =
2
2 2 2 2 2
1log log log log log 22 4
a ba b ab
+ + = ≤ = = −
1
2a b= =
( )2
1 2 1 2a b ab a b+ = + ≤ + + =
2a b+ ≤ 1
2a b= =
1
3
1 1A NMD D AMNV V− −=
1 1
1 1 11 1 23 2 3A NMD D AMNV V− −= = × × × × =
1
3
3 AB【答案】
【解析】
【分析】
先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去 y 并整理得到
关于 x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
【详解】∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点 F 坐标为 ，
又∵直线 AB 过焦点 F 且斜率为 ，∴直线 AB 的方程为：
代入抛物线方程消去 y 并化简得 ，
解法一：解得
所以
解法二：
设 ，则 ,
过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示.
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.
15.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前 n 项和为________．
【答案】
16
3
2 4y x= (1,0)F
3 3( 1)y x= −
23 10 3 0x x− + =
1 2
1 , 33x x= =
2
1 2
1 16| | 1 | | 1 3 | 3 |3 3AB k x x= + − = + ⋅ − =
100 36 64 0∆ = − = >
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2
10
3x x+ =
,A B 1x = − ,C D
1 2| | | | | | | | | | 1 1AB AF BF AC BD x x= + = + = + + + 1 2
16+2= 3x x= +
16
3
23 2n n−【解析】
【分析】
首先判断出数列 与 项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，
利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列 是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列，
数列 是以 1 首项，以 3 为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以 1 为首项，以 6 为公差的等差数列，
所以 的前 项和为 ，
故答案为： .
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等
差数列求和公式，属于简单题目.
16.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆
心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BC⊥DG，垂
足为 C，tan∠ODC= ， ，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径
为 1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【答案】
【解析】
【分析】
利用 求出圆弧 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形 的面积，求出直角
的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.
{ }2 1n − { }3 2n −
{ }2 1n −
{ }3 2n −
{ }na
{ }na n 2( 1)1 6 3 22
n nn n n
−⋅ + ⋅ = −
23 2n n−
3
5 //BH DG
54 2
π+
3tan 5ODC∠ = AB AOB
OAH△【详解】设 ，由题意 ， ，所以 ，
因为 ,所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 与圆弧 相切于 点，所以 ，
即 为等腰直角三角形；
在直角 中， ， ，
因为 ，所以 ，
解得 ；
等腰直角 的面积为 ；
扇形 的面积 ，
所以阴影部分的面积为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，
体现了五育并举的育人方针.
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
= =OB OA r 7AM AN= = 12EF = 5NF =
5AP = 45AGP °∠ =
//BH DG 45AHO °∠ =
AG AB A OA AG⊥
OAH△
OQD△ 25 2OQ r= − 27 2DQ r= −
3tan 5
OQODC DQ
∠ = = 3 2 5 221 252 2r r− = −
2 2r =
OAH△ 1
1 2 2 2 2 42S = × × =
AOB ( )2
2
1 3 2 2 32 4S
π π= × × =
1 2
1 542 2S S
ππ+ − = +
54 2
π+17.在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角
形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到 a,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长
度，由余弦定理得到 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.
解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得 的值，得到角 的值，然后根据选择的条
件进行分析判断和求解.
【详解】解法一：
由 可得： ，
不妨设 ，
则： ，即 .
选择条件①的解析：
据此可得： ， ，此时 .
选择条件②的解析：
据此可得： ，
则： ，此时： ，则： .
选择条件③的解析：
可得 ， ，
与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在.
解法二：∵ ,
3ac = sin 3c A = 3=c b
c
ABC , ,A B C , ,a b c sin 3sinA B= 6C
π=
c
tanA , ,A B C
sin 3sinA B= 3a
b
=
( )3 , 0a m b m m= = >
2 2 2 2 2 232 cos 3 2 3 2c a b ab C m m m m m= + − = + − × × × = c m=
23 3 3ac m m m= × = = 1m∴ = 1c m= =
2 2 2 2 2 2
2
3 1cos 2 2 2
b c a m m mA bc m
+ − + −= = = −
21 3sin 1 2 2A = − − =
3sin 32c A m= × = 2 3c m= =
1c m
b m
= = c b=
3=c b
( )3 , ,6sinA sinB C B A C
π π= = = − +∴ ,
，
∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,
若选①， ,∵ ,∴ ,∴c=1;
若选②， ,则 , ;
若选③,与条件 矛盾.
【点睛】在处理三角形中 边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的
一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式
的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
18.已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 .
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得数列 的通项公式，然后结合等比数列前 n 项和公式求解其前 n 项和即可.
【详解】(1) 设等比数列 的公比为 q(q>1)，则 ，
整理可得： ，
，
数列的通项公式为： .
(2)由于： ，故：
的
( )3sin 3sin 6sinA A C A
π = + = +
( ) 3 13sin 3 · 3 ·2 2sinA A C sinA cosA= + = +
3sinA cosA= − 3tanA = − 2
3A
π=
6B C
π= =
3ac = 3 3a b c= = 23 3c =
3csinA = 3 32
c = 2 3c =
3=c b
1 { }na 2 4 320, 8a a a+ = =
{ }na
1
1 2 2 3 1( 1)n
n na a a a a a−
+− +…+ −
2n
na = 2 38 2( 1)5 5
n
n
+
− −
( ){ }1
11 n
n na a−
+−
{ }na
3
2 4 1 1
2
3 1
20
8
a a a q a q
a a q
+ = + =
= =
22 5 2 0q q− + =
11, 2, 2q q a> = =
12 2 2n n
na −= ⋅ =
( ) ( ) ( )1
1 2 11 1 11 2 21 1 2n nn n nn
n na a − −+ +−
+ = − × × = −−.
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数
列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.
19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 天空气中的
和 浓度（单位： ），得下表：
（1）估计事件“该市一天空气中 浓度不超过 ，且 浓度不超过 ”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的 列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 的把握认为该市一天空气中 浓度与 浓度有关？
1
1 2 2 3 1( 1)n
n na a a a a a−
+− +…+ −
3 5 7 9 1 2 12 2 2 2 ( 1) 2n n− += − + − +…+ − ⋅
( )
( )
3 2
2 3
2
2 1 2 8 2( 1)5 51 2
n
n
n
+
− − = = − −
− −
100
PM2.5 2SO 3μg/m
PM2.5 75 2SO 150
2 2×
99% PM2.5 2SO附： ，
【答案】（1） ；（2）答案见解析；（3）有.
【解析】
【分析】
（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；
（2）根据表格中数据可得 列联表；
（3）计算出 ，结合临界值表可得结论.
【详解】（1）由表格可知，该市 100 天中，空气中的 浓度不超过 75，且 浓度不超过 150 的天
数有 天，
所以该市一天中，空气中的 浓度不超过 75，且 浓度不超过 150 的概率为 ；
（2）由所给数据，可得 列联表为：
合计
64 16 80
10 10 20
合计 74 26 100
（3）根据 列联表中的数据可得
，
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
0.64
2 2×
2K
2.5PM 2SO
32 6 18 8 64+ + + =
2.5PM 2SO 64 0.64100
=
2 2×
2SO
2.5PM
[ ]0,150 ( ]150,475
[ ]0,75
( ]75,115
2 2×
2 2
2 ( ) 100 (64 10 16 10)
( )( )( )( ) 80 20 74 26
n ad bcK a b c d a c b d
− × × − ×= =+ + + + × × ×
3600 7.4844 6.635481
= ≈ >因为根据临界值表可知，有 的把握认为该市一天空气中 浓度与 浓度有关.
【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善 列联表，考查了独立性检验，属于中档题.
20.如图，四棱锥 P−ABCD 的底面为正方形，PD⊥底面 ABCD．设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 ．
（1）证明： ⊥平面 PDC；
（2）已知 PD=AD=1，Q 为 上的点，QB= ，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得 ，利用线面垂直的判定定理证得 平面 ，
从而得到 平面 ；
（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点 ，之后求得平面
的法向量以及向量 的坐标，求得 ，即可得到直线 与平面 所成角的正弦值.
【详解】（1）证明：
在正方形 中， ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
因为在四棱锥 中，底面 是正方形，所以
且 平面 ，所以
因
所以 平面 ；
为
99% 2.5PM 2SO
2 2×
l
l
l 2
6
3
//AD l AD ⊥ PDC
l ⊥ PDC
( ,0,1)Q m QCD
PB cos ,n PB< > PB QCD
ABCD //AD BC
AD ⊄ PBC BC ⊂ PBC
//AD PBC
AD ⊂ PAD PAD PBC l=
//AD l
P ABCD− ABCD , ,AD DC l DC⊥ ∴ ⊥
PD ⊥ ABCD , ,AD PD l PD⊥ ∴ ⊥
CD PD D=
l ⊥ PDC（2）如图建立空间直角坐标系 ，
因为 ，则有 ，
设 ，则有 ，
因为 QB= ，所以有
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ，则
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与
平面所成角的正弦值等于
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定
和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.
21.已知椭圆 C： 过点 M（2，3）,点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为 ，
（1）求 C 方程；
（2）点 N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.
的
D xyz−
1PD AD= = (0,0,0), (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1), (1,1,0)D C A P B
( ,0,1)Q m (0,1,0), ( ,0,1), (1,1, 1)DC DQ m PB= = = −
2 2 2 2( 1) (0 1) (1 0) 2 1m m− + − + − = ⇒ =
QCD ( , , )n x y z=
0
0
DC n
DQ n
⋅ =
⋅ =
0
0
y
x z
=
+ =
1x = 1z = − QCD (1,0, 1)n = −
2 2 2 2 2 2
1 0 1 2 6cos , .32 31 0 ( 1) 1 1 1
n PBn PB
n PB
⋅ + +< >= = = =
×+ + − ⋅ + +
6| cos , | 3n PB< > =
PB QCD 6
3
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1
2【答案】（1） ；（2）12.
【解析】
【分析】
(1)由题意分别求得 a,b 的值即可确定椭圆方程；
(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点 N 的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定
点 N 到直线 AM 的距离即可求得三角形面积的最大值.
【详解】(1)由题意可知直线 AM 的方程为： ，即 .
当 y=0 时，解得 ，所以 a=4，
椭圆 过点 M(2，3)，可得 ，
解得 b2=12.
所以 C 的方程： .
(2)设与直线 AM 平行的直线方程为： ，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与 AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为 N，此时△AMN 的面积取得最
大值.
联立直线方程 与椭圆方程 ，
可得： ，
化简可得： ，
2 2
116 12
x y+ =
13 ( 2)2y x− = − 2 4− = −x y
4x = −
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > 2
4 9 116 b
+ =
2 2
116 12
x y+ =
2x y m− =
2x y m− = 2 2
116 12
x y+ =
( )2 23 2 4 48m y y+ + =
2 216 12 3 48 0y my m+ + − =所以 ，即 m2=64，解得 m=±8，
与 AM 距离比较远的直线方程： ，
直线 AM 方程为： ，
点 N 到直线 AM 的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得： ，
由两点之间距离公式可得 .
所以△AMN 的面积的最大值： .
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三
角形的面积等问题．
22.已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 f（x）≥1，求 a 的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐
标，最后根据三角形面积公式得结果；
（2）解法一：利用导数研究，得到函数 得导函数 的单调递增，当 a=1 时由 得
,符合题意；当 a>1 时，可证 ，从而 存在零点 ，使得
，得到 ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式
可以证得 恒成立；当 时，研究 .即可得到不符合题意.综合可得 a 的取值范围.
解法二：利用指数对数的运算可将 ,
令 ,上述不等式等价于 ,注意到 的单调性，进一步等价转化为
( )2 2144 4 16 3 48 0m m∆ = − × − =
2 8x y− =
2 4− = −x y
8 4 12 5
51 4
d
+= =
+
2 2| | (2 4) 3 3 5AM = + + =
1 12 53 5 182 5
× × =
1( ) e ln lnxf x a x a−= − +
a e=
2
1e − [1, )+∞
( )f x ( )’f x ( )’ 1 0f =
( ) ( )1 1minf x f= = 1( ) (1) 0f fa
′ ′ < ( )'f x 0 0x >
0 1
0
0
1( ) 0xf x ae x
−′ = − = min( )f x
( ) 1x ≥ 0 1a< < ( )f 1
( ) 11 1lna x lnxf x e lna x e lnx+ −≥ + + − ≥ +转化为
( ) xg x e x= + ( ) ( )1g lna x g lnx+ − ≥ ( )g x，令 ,利用导数求得 ，进而根据不等式恒成立的意义得到关于 a
的对数不等式，解得 a 的取值范围.
【详解】（1） ， ， .
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 ,即 ,
切线与坐标轴交点坐标分别为 ,
∴所求三角形面积为 ;
（2）解法一： ,
，且 .
设 ,则
∴g(x)在 上单调递增，即 在 上单调递增，
当 时， ,∴ ,∴ 成立.
当 时， ， ， ,
∴存在唯一 ，使得 ，且当 时 ，当 时
， ， ，
因此
>1
∴ ∴ 恒成立；
当 时， ∴ 不是恒成立.
综上所述，实数 a 的取值范围是[1,+∞).
,
1lna lnx x≥ − + ( ) 1h x lnx x= − + ( )maxh x
( ) ln 1xf x e x= − +
1( ) xf x e x
′∴ = − (1) 1k f e′∴ = = −
(1) 1f e= +
1 ( 1)( 1)y e e x− − = − − ( )1 2y e x= − +
∴ 2(0,2),( ,0)1e
−
−
1 2 22 | |=2 1 1e e
−× × − −
1( ) ln lnxf x ae x a−= − +
1 1( ) xf x ae x
−′∴ = − 0a >
( ) ( )g x f x= ′ 1
2
1( ) 0,xg x ae x
−′ = + >
(0, )+∞ ( )f x′ (0, )+∞
1a = ( ) 01f ′ = ( ) ( )1 1minf x f= = ( ) 1f x ≥
1a > 1 1a
< 1 1
1ae
− 0 1
0
0
1( ) 0xf x ae x
−′ = − =
0(0, )x x∈ ( ) 0f x′ < 0( , )x x∈ +∞
( ) 0f x′ > 0 1
0
1xae x
−∴ =
0 0ln 1 lna x x∴ + − = −
0 1
min 0 0( ) ( ) ln lnxf x f x ae x a−= = − +
0 0
0 0
1 1ln 1 ln 2ln 1 2 2ln 1a x a a x ax x
= + + − + ≥ − + ⋅ = +
( ) 1,f x > ( ) 1f x ≥
0 1a< < (1) ln 1,f a a a= + < < (1) 1, ( ) 1f f x< ≥解法二： 等价于
,
令 ,上述不等式等价于 ,
显然 为单调增函数，∴又等价于 ，即 ，
令 ,则
在 上 h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上 h’(x)
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