2020届高三下期适应性考试数学试题卷（理科） 含答案

秘密★启用前 【考试时间：6 月 29 日 15:00~17:00】 高 2020 级高三下期适应性考试 数学试题卷（理科） 注意事项： l．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后， 再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题：本题 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 求． 1．已知复数 为纯虚数，则实数 a 的值为（ ） A．1 B． C．0 D． 2．已知集合 ，则 A 的真子集共有（ ）个 A．3 B．4 C．6 D．7 3．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把 500 名使用血清的人与另外 500 名未用血清的人一 年中的感冒记录作比较，提出假设 ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用 列联表计算得 ，查临界值表知 ．则下列结论中，正确结论的是（ ） A．有 95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”； B．若某人未使用该血清，则他在一年中有 95%的可能性感冒； C．这种血清预防感冒的有效率为 95%； D．这种血清预防感冒的有效率为 5%； 4．若双曲线 的渐近线和圆 相切，则该双曲线的离心率为 （ ） A．2 B． C． D． 5．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的 (1 )(1 )z i ai= + + 1− 1± { }2 2,A x x x Z= < ∈∣ 0H 2 2× 2 3.918x ≈ ( )2 3.841 0.05xP ≥ ≈ 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 4 3 0x y y+ − + = 3 2 3 3 2 3 数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了 1850 年，由于光度计在天体光度测量的应用， 英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度 满足 ，其中星等为 的星的亮度为 ．已知“心宿二”的星等是1.00， “天津四”的星等是 1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍．（当 较小时， ） A．1.27 B．1.26 C．1.23 D．1.22 6．向量 满足 ， 与 的夹角为 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．如右图所示的程序框图中，若输入的 ，则输出的 （ ） A．24 B．25 C．50 D．51 8．设数列 的前 n 项之和为 ，条件 数列 为等差数列；条件 为关于 n 的二次函数．则 p 是 q 的（ ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 9．设函数 ，下列说法中正确的是（ ） A． 的单调递增区间为 B． 图像的对称中心为 C． 图像的对称中心为 ( )1 2 2 12.5 lg lgm m E E− = − km ( 1,2)kE k = | |x 210 1 2.3 2.7x x x≈ + + ,a b | | 1a = a b 3 π | |a b−  [1, )+∞ [0, )+∞ 1 ,2  +∞  3 ,2  +∞   4, 2m t= = y = { }na nS :p { }na : nq S ( ) 1 x x ef x e = − ( )f x ( ,0) (0, )−∞ ∪ +∞ ( )f x 10, 2  −   ( )f x 1 ,02  −   D． 的值域为 10．抛物线 的焦点为 F，O 为坐标原点，点 P 在抛物线上，向量 与 的夹角为 ，过 P 作 抛物线准线的垂线，垂足为 H，线段 和抛物线交于点 Q，则 （ ） A．1 B．2 C．3 D． 11．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平．他在著作 《数书九章》中叙述了已知三角形的三条边长 ，求三角形面积的方法．其求法是：“以小斜幂并大斜 幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若 把以上这段文字写成公式，即为 ．已知 的三条边长为 ，其 面积为 12，且 ，则 周长的最小值为（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 12．定义在 上的函数 的导函数为 ，且 ，则对任意 、 ，下 列不等式中一定成立的有（ ） ① ② ③ ④ A．①②③ B．②④ C．②③ D．③ 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知锐角 满足 ，则 ______ 14．将序号分别为 1，2，3，4，5，6 的 6 张参观券全部分给 5 个人，每人至少 1 张，如果获得 2 张参观券 的人的参观券序号为相邻的数字，那么不同的分法有______种． 15．已知四面体 满足： ， ，则四面体 外接球的 表面积为_______ ( )f x ( 1,0)− 2y x= FP OF 60° HF | | | | HF FQ = 2 3 , ,a b c 22 2 2 2 21 4 2 a c bS a c   + −= −      ABC , ,a b c 2 2 2 14a c b+ − = ABC (0, )+∞ ( )f x ( )f x′ ( )( ) f xf x x ′ < 1x 2 (0, )x ∈ +∞ ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x x f x f x+ < + ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 1 2 1 2 x xf x f x f x f xx x + < + ( )1 12 2 (1)x xf f< ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x x f x f x< α 1tan 4 2 π α − =   sinα = ABCD 1AB BC CD DA AC= = = = = 2BD = ABCD 16．已知等比数列 的公比为 q，且 ， ，则 q 的取值范围为______；能使不等式 成立的最大正整数 ______ 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17~21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（12 分）已知 ，记 的内角 的对边分别为 ． （1）求 的取值范围； （2）当 ， ，且 取（1）中的最大值时，求 的面积． 18．（12 分）如图 1，四边形 是等腰梯形， ， ， ，A 为 的中点．将 沿 折起，点 分别是棱 的中点，如图 2． （1）证明： 平面 ； （2）若 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值． 19．（12 分）在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二 月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从 2 月 7 日到 2 月 13 日一周 的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如下折线图： （1）根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，从均值与方差的角度比较甲乙两地新增确诊人数的统计结论 { }na 10 1a< < 2020 1a = 1 2 1 2 1 1 1 0m m a a aa a a     − + − + + − ≤          m = ( ) cos sin 3cos2 2 2 x x xf x  = +   ABC , ,A B C , ,a b c ( )f B 4a = 4 3 3b = ( )f B ABC PBCD / /BC PD 2PB BC CD= = = 4PD = PD ABP AB ,M N ,PD PC PC ⊥ ABNM 6PC = ABNM PAD （不用计算数据）； （2）治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的 A 项目或乙地区的 B 项目投入研 发资金．经过评估，对于 A 项目，每投资十万元，一年后利润是 1.38 万元、1.18 万元、1.14 万元的概率分 别为 ；对于 B 项目，利润与产品价格的调整有关，已知 B 项目产品价格在一年内进行 2 次独立的价 格调研，每次调研后，产品价格下调的概率都是 ，记 B 项目一年内产品价格的下调次数为 ， 每投资十万元， 取 0、1、2 时，一年后相应利润是 1.4 万元、1.25 万元、0.6 万元．记对 A 项目投资十万 元，一年后利润的随机变量为 ，记对 B 项目投资十万元，一年后利润的随机变量为 ． （i）求 的概率分布列和数学期 ； （ii）如果你是投资决策者，将做出怎样的决策？请写出决策理由． 20．（12 分）已知 分别为椭圆 的左、右焦点，B 为椭圆 C 短轴的端点，若 的面积为 ，且 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）若动直线 与椭圆 C 交于 ，M 为线段 的中点，且 M 在曲线 上，设 O 为坐标原点．求 的范围． 21．（12 分）已知函数 ，（ ，e 是自然对数的底数）． （1）若 ，讨论函数 在 R 上的零点个数； （2）设 ，点 是曲线 上的一个定点，实数 ， 为 的导函数．试比较 与 的大小，并证明你的结论． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系 中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 1 1 1, ,6 2 3 (0 1)p p< < ξ ξ 1 ξ 2 ξ 1 2,ξ ξ ( ) ( )1 2,E Eξ ξ 1 2,F F 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1 2BF F 2 1 2 1cos 3F BF∠ = :l y kx m= + ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y PQ 2 22 13 x y+ = sin sin OPQ POM ∠ ∠ 2( ) xf x ae x bx= + − 0,a b R> ∈ a b= ( )y f x= 2b = ( , )m n ( )y f x= 0x m> ( )f x′ ( )f x ( )0f x ( )0 02 x mf x m n′ +  − +   xOy 1C ，曲线 的极坐标方程为 ．曲线 与曲线 交于 两点． （1）若 ，求 的值． （2）若 ，求 的大小． 23．选修 4-5：不等式选讲（10 分） 设不等式 的解集是 M，且 ． （1）试比较 与 的大小； （2）设 表示数集 A 中的最大数， ，证明： ． 高 2020 级高三下期适应性考试 数学参考答案（理科） 一、选择题：A D A A B D C D B C C A 10．解：由抛物线定义知 ，结合 知 为等边三角形． 故 和准线夹角 ，作 准线，垂足为 E，则 ，故 11．解：由已知 周长 取等条件 ，故周长的最小值为 16 12．解：由已知 单调递减，故 ，展开即为②； 由于 ，故 ，故③正确； 由于 同理 ，相加得 ，故①正确； 2 cosaρ θ= 2C 2 sin cos ρ θ θ= + 1C 2C ,M N 2a = | |MN 4 2 2a = − MON∠ | 2 1| 1x − < ,a b M∈ 1ab + a b+ max A 2 21max , a bh ab ab  +=     2h ≥ PH PF= 60HPF °∠ = HPF HF 30θ °= QE ⊥ QF QE= | | | | 1sin sin30 | | | | 2 QE QF QH QH θ °= = = = | | | | | | 2 | | | | 3| | | | | | HF HQ QF QF QF FQ QF QF + += = = 2 2 21 1412 254 2a c ac   = − ⇒ =      ABC 2 2 14 2 2 14 16l a c b a c a c ac ac= + + = + + + − ≥ + − = 5, 6a c b= = = ( )( ) f xg x x = ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0x x g x g x− − ( )12 (1)xg g< ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 xx x x g x x g x f x x f xx x + > ⇒ + < ⇒ + 20 5p< < 1 2E Eξ ξ= 2 9p = 1 2E Eξ ξ> 2 15 p< < 20 5p< < 2 5p = 2 15 p< < 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 4 1 1cos 32 3 3 a c cF BF a ca a −∠ = = ⇒ = ⇒ = 2 22b c= 1 2 1 2 22F BF cb bc= × = = 2 2 13 2 x y+ = （2）联立 ． ．且 ， ； 设 ， （6 分） 依题意， ，即 化简得： ；所以 在 中 因为 ，所以 ， 所以 的范围为 21．解：（1）若 ，则 所以： ，易知 因为 ．所以 在 R 上单调道增， 所以： 单调递减 单调递增， ， 所以函数 在 R 上的零点个数为 0 （4 分） ( )2 2 2 2 2 3 2 6 3 6 02 3 6 y kx m k x kmx mx y = + ⇒ + + + − = + = ( )2 2 2 224 3 2 0 3 2A k m k m⇒ = + − > ⇒ + > 1 2 2 6 3 2 kmx x k −+ = + 2 1 2 2 3 6 3 2 mx x k −= + ( )0 0,M x y 1 2 0 02 2 3 2,2 3 2 3 2 x x km mx yk k + −= = =+ + 2 20 0 2 13 x y+ = 2 2 2 2 2 3 2 13 3 2 3 2 km m k k −   + =   + +    2 23 2 2k m+ = 2 2 2 2 2 3 1 9 4 3 1, | |2 4 2 k k mOMm m mm + − − ⇒ = =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 1 2 2 22 24 3 2 2 2 1 | | 1 1 3 2 k m m PQ k x x k mk + − + = + − = + = + OPM 2 2 2 2 2 5 sin | | 4 | | 3 1 3 2 sin | | | | 2 1 2 2 1 OPQ OM OM m POM PM PQ m m ∠ −= = = = −∠ + + 2 23 2 2k m+ = 2 1m ≥ 2 5 3 2 3 6 62 , ,2 2 1 3 2 3 2m    − ∈ =  +     sin sin OPQ POM ∠ ∠ 6 6,3 2      a b= 2( ) xf x ae x ax= + − ( ) 2xf x ae x a′ = + − (0) 0f ′ = 0a > ( ) 2xy f x ae x a′= = + − ( ,0), ( ) 0 ( )x f x y f x′∈ −∞ < ⇒ = (0, ), ( ) 0 ( )x f x y f x′∈ +∞ > ⇒ = min( ) (0) 0f x f a= = > ( )y f x= （2） 证明： ，则 所以 原不等式等价于 ，等价于 （7 分） 不设设 ，原不等式等价于 两边同除以 得到 ，即 令 ，则 令 对 恒成立， 在 单调递增，因为 所以 对 恒成立，所以 （12 分） 22．解（1）由 ，得 ， 由 ，得 ， 即 的直角坐标方程为 ． 当 时直线 经过 的圆心，所以 （4 分） ( ) ( )0 0 02 x mf x f x m n′ + > − +   2( ) 2xf x ae x x= + − ( ) 2 2xf x ae x′ = + − 0 0 2 0 22 x mx mf ae x m + ′ +  = + + −   ( ) ( ) ( )00 0 0 0 02 2 f x nx m x mf x f x m n fx m ′−+ +   > − + ⇔ >   −    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 2 2 1 0 00 0 0 0 0 0 0 2 2( ) 2 x x ma e e x m x m a e ef x n f x f m x mx m x m x m x m − + − − + −− −= = = + + −− − − − ( )0 0 2 0 x m x ma e e a ex m −− > ×− ( )0 0 2 0 x m x ma e e a ex m +− > ×− 0 , 0t x m t= − > ( ) 2 t m t me e et −∞ −− > me ( ) 2 1t te et − > ( ) 21 t te te− > 2( ) 1 t tg t e te= − − 2 2 2( ) 1 12 2 t t t t t tg t e e e e′   = − + = − −      2 21 1( ) 1 ( ) 02 2 2 t tth t e h t e′= − − ⇒ = − ≥ ( ) 0g t > 0t > ( )g t 0t > (0) 0g = ( ) 0g t > 0t > ( ) ( )0 0 02 x mf x f x m n + > − +   2 cosaρ θ= 2 2 2( )x a y a− + = 2 sin cos ρ θ θ= + (sin cos ) 2ρ θ θ+ = 2C 2x y+ = 2a = 2C 1C | | 2 4MN a= = （2）由 得 ， 结合图形可知 或者 （10 分） 解法二：利用圆心角是圆周角的两倍，转化为求圆心到直线的距离类比给分 23．解：由 得 解得 ． ． （Ⅰ）由 得 ， 所以 ，故 （4 分） （Ⅱ）由 ，得 ， ，故 ．当且仅当 时等号成立． （10 分） 2 cos 2 cos sin aρ θ ρ θ θ = = + 1 2 2cos (cos sin ) 44 2 2 θ θ θ ++ = = − 1 1 2 2(cos2 1) sin 22 2 4 θ θ +⇒ + + = 2 2 1sin 2 sin 22 4 4 4 2 π πθ θ   ⇒ + = ⇒ + =       12 4 6 π πθ + = 2 52 4 6 π πθ + = 2 1 3MON πθ θ∠ = − = | 2 1|x − 1 2 1 1x− < − < 0 1x< < { 0 1}M x x∴ = < 1ab a b+ > + 2 21max , a bh ab ab  +=     2 21 , a bh h ab ab +≥ ≥ 2 2 2 2 2 1 2a b a bh abab ab + +≥ ⋅ = ≥ 2h ≥ a b=