巴蜀中学 2020 届高考适应性月考卷（十）
文科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分 150 分，考试用时 120 分钟．
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）．
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列 的前 n 项和为 ， ，则 （ ）
A．25 B．45 C．60 D．90
3．已知双曲线 的一条渐近线是 ，则双曲线 C 的离心率是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
4．渝康码是腾讯和支付宝与重庆市政府合作推出的重庆电子健康码，用户申请使用渝康码，凭此码出入小
区，学校，医院，商业，公共交通，办公楼宇，交通卡口等．如图，健康人员的渝康码是黑白相间的．已
知某个重庆市民的渝康码是边长为 15cm 的正方形，利用随机模拟的方法向该渝康码内投入 900 个点，其中
落入黑色部分的点的个数为 480 个，则该渝康码的黑色部分的面积约为（ ） ．
A．105 B．115 C．120 D．135
U R= { }2 4 3 0A x x x= − + { 1,0,1,2,3}B = − A B =
{ }1,0− { }1,2 { }0,1,2 { }1,2,3
{ }na nS 5 5a = 9S =
2
2
2: 1yC x b
− = 3y x=
3
2cm
5．已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线 的焦点为 F，抛物线上一点 到焦点的距离为 3，则 b 的值为
（ ）
A． B．2 C． D．4
7．已知平面 ， ， ， ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．一个算法的程序框图如图所示，则该程序输出的结果是（ ）
A．5 B．1 C． D．
9．已知在矩形 ABCD 中， ，E 为 AB 的中点，沿着 DE 将 翻折到 ，使平面
平面 EBCD，则 PC 的长为（ ）
A． B． C．4 D．6
10．如图，重庆欢乐谷的摩天轮被称为“重庆之眼”，其旋转半径为 50 米，最高点距离地面 120 米，开启
后按逆时针方向旋转，旋转一周大约 18 分钟．将摩天轮看成圆面，在该平面内，以过摩天轮的圆心且垂直
于地平面的直线为 y 轴，该直线与地平面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，某人在最低点的位置坐
上摩天轮的座舱，摩天轮开始启动，并记该时刻为 ，则此人距离地面的高度 与摩天轮运行时间 t
（单位：分钟）的函数关系式为（ ）
1ln 3a = lg3b =
1
22c =
a b c< < a c b< < b c a< < b a c< <
2: 2 ( 0)C y px p= > (2, )( 0)M b b >
2 2 2
α β⊥ lα β = m α⊂ n β⊂ m n⊥ m l⊥
1
5
1
7
2 4AB BC= = ADE△ PDE△
PDE ⊥
2 3 2 2
0t = ( )f t
A． B．
C． D．
11．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的
重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容．其定理陈述
如下：如果函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，则在区间 内至少存在一个
点 ，使得 ， 称为函数 在闭区间 上的中值点，
则函数 在区间 上的“中值点”的个数为（ ）
参考数据： ， ， ．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知平面向量 ， ， ， ，满足： ， ，且 ，若
， ，其中 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）．
13．已知复数 ，其中 i 为虚数单位，则 z 的共轭复数 ________．
14．已知甲、乙两个盒子，其中甲盒中有大小完全相同的红、黄、白三个球，乙盒中有大小完全相同的红、
黄两个球，现从两个盒子中各取一个球，则两个小球颜色不同的概率为________．
15．已知函数 为一个奇函数，则 在 上的最大值为________．
( ) 50sin 20( 0)9f t t t
π= + ( ) 50sin 70( 0)9 2f t t t
π π = − +
( ) 50sin 20( 0)9 2f t t t
π π = − + ( ) 50sin 70( 0)9f t t t
π π = − +
( )y f x= [ , ]a b ( , )a b ( , )a b
0 ( , )x a b∈ ( )0( ) ( ) ( )f b f a f x b a′− = − 0x x= ( )y f x= [ , ]a b
( ) sin 3 cosf x x x= + [0, ]π
2 1.41≈ 3 1.73≈ 3.14π ≈
OA OB OP OQ | | 2OA = | | 1OB = ( ) 0OB OB OA⋅ − =
OP tOA= (1 )OQ t OB= − 0 1t | |PQ
2
7
3
7
14
7
21
7
2
2z i
= − z =
3 2( ) ( 1) 3f x x a x ax= + − − ( )f x [ 2,3]−
16．已知数列 中 ，当 时， ，记 ，则 ________；
数列 前 n 项和 ________．（第一空 2 分，第二空 3 分）
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
17．（本小题满分 12 分）
的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，A 是锐角，且 ．
（1）求角 A；
（2）若 D 为 AC 边上一点， ， ，且 的面积为 ，求 ．
18．（本小题满分 12 分）
如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 平 面 PDC ， 四 边 形 ABCD 是 一 个 直 角 梯 形 ， ，
， ．
（1）求证：CD⊥平面 PBD；
（2）若 ，且 ，求三棱锥 的侧面积．
19．（本小题满分 12 分）
新型冠状病毒肺炎是一种传染性极强的肺炎临床上，核酸检测是新冠肺炎患者确诊的重要依据、是最关键
的一环．为什么要做核酸检测呢？简单来说，核酸类似病毒的“指纹”、身份证，找到核酸，就等于确定了
病毒的身份与性质．核酸是生物的最基本组成物质和生物学研究的基础物质．病毒是一种个体微小，结构
简单的非细胞生物，病毒中也有核酸，且只含一种核酸（DNA 或 RNA），所以，检测到核酸，也就等于揪住
了病毒的尾巴．新型冠状病毒感染者，经过治疗，如果核酸检测第一种为阴性，就说明病毒已经消失或者
已不再具备造成感染的能级、数量．某生物制药公司生产了两种不同规格型号的新冠病毒核酸检测试剂
盒．检测单个样本得知核酸检测结果所需的时间记为 X（单位：分钟）．现两种试剂盒检测的样本各有 20 个，
统计检测所需时间，得到如图的茎叶图．
{ }na 1 1a = − 2n
1
1
2
3,
,n
n
n
aa a n
n−
−
= + 为奇数
为偶数
2 6n nb a= + 1n
n
b
b
+ =
{ }nb nS =
ABC△ sin 2 cosb A a B c+ =
2BC BD= 5AB = ABD△ 5 3
2 sinC
P ABCD− BP ⊥ AD BC∥
90ABC∠ = ° 1
2AD AB BC= =
AB BP PA= = 16 2P ABCDV − = P ABD−
（1）试通过平均数比较两种试剂盒哪一种检测更快捷；
（2）在改变了试剂盒的生产工艺后，组织了 2000 名志愿者参加了核酸检测，记录检测时间，得到如下统
计数据：
总计
改进工艺 400 600 1000
原工艺 800 200 1000
总计 1200 800 2000
判断是否有 99.5%的把握认为核酸检测时间与试剂盒生产工艺有关？
附： ，其中 ．
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
20．（本小题满分 12 分）
已知函数 ， ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，若 ，求证： ．
21．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 的焦距为 4，短轴长为 4．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）已知点 ，过点 P 作相互垂直的两条直线分别交椭圆于另一点 A，B，求点 P 到 AB 距离的最
大值．
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目
30X 30X <
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
( )2
0P K k
0k
( ) ( )a xf x x e a R= ∈ ( ) ( ) ln ( )g x f x f x= −
0a = ( )y g x= (1, (1))g
1a = ( )0 1g x = 0
1 3
2 5x< <
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > >
(2, 2)P
的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计
分．
22．（本小题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 ，直线 l 的
参数方程为 （t 为参数），直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N 两点．
（1）写出曲线 C 和直线 l 的普通方程；
（2）若点 ，求 的值．
23．（本小题满分 10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
已知函数 ．
（1）若不等式 的解集包含 ，求 a 的取值范围；
（2）若 的值域为 A，且 ，证明： ．
巴蜀中学 2020 届高考适应性月考卷（十）
文科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B A C A C B D A B B D
【解析】
1． ， ，故选 D．
2． ，故选 B．
3．依题意 ，故选 A．
4．设该渝康码的黑色部分的面积为 x，则 ，故选 C．
5． ， ， ，所以 ，故选 A．
6．由焦半径公式 ， ， ，∴ ， ，故选 C．
: 4cosC ρ θ=
3 2
1
x t
y t
= +
= − +
(3, 1)P − | | | |PM PN⋅
( ) | 2 1| | 2 1|f x x x= + − −
( ) | 4 |f x ax + [1,2]
( )f x ,a b A∈ | 4 | | 2 2 |ab a b+ +
[1,3]A = {1,2,3}A B =
( )1 9
9 5
9 9 452
a aS a
+= = =
3b =
480 120225 900
x x= ⇒ =
1ln ln3 03
= − < 0 lg3 1< <
1
22 1> a b c< <
2 32
pMF = + = 2p = 2 4y x= 2 8b = 2 2b =
7． 不能推出 ，由面面垂直的性质定理可知 ，故选 B．
8．第一次进入循环体： ，是， ， ， ；第二次进入循环体： ，是， ，
， ；第三次进入循环体： ，是， ， ， ；第四次 7 进入循环体：
，否，输出 ，故选 D．
9．当平面 平面 EBCD 时，∵ ，平面 平面 ，∴ 平面 PDE，
，∵ ， ，∴ 平面 PEC， ，所以 ，故选
A．
10．由已知 ， ， ， ，
当 时， ， ， ，故选 B．
11．由 ，知 ．由拉格朗日中值定理：
令 ， 即 ，
，由 ，结合余弦函数图象易知方程在区间 内有 2 解，故在 2 区间
上的“中值点”有 2 个，故选 B．
12．由 ，得到 与 的夹角 ，进而 ， ，且 与
的 夹 角 ， ． 当 时 ，
，故选 D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）．
题号 13 14 15 16
答案 18 2，
【解析】
13． ， ．
m n⊥ m l⊥ m l m n⊥ ⇒ ⊥
1i = 2i = 1T = 15 53P = = 2i = 3i =
2T = 5 15P = = 3i = 4i = 3T = 1
7P =
4i = 1
7P =
PDE ⊥ CE DE⊥ PDE EBCD DE= CE ⊥
CE DP⊥ DP PE⊥ PE EC E= DP ⊥ DP PC⊥ 2 3PC =
( ) sin( ) ( 0, 0)f t A t B Aω ϕ ω= + + > > 20 50
120 70
A B A
A B B
− + = =⇒ + = =
18T = 2
18 9
π πω = =
0t = sin 1ϕ = −
2
πϕ = − ( ) 50sin 70( 0)9 2f t t t
π π = − +
( ) sin 3 cos 2sin 3f x x x x
π = + = + ( ) 2cos 3f x x
π ′ = +
( )0
( ) ( )f b f af x b a
−′ = − 0 0
( ) (0) 2 3 32cos cos3 0 3
f fx x
π π π
π π π
− + = = − ⇒ + = − −
0 (0, )x π∈ 3 11, 2π
− ∈ − − (0, )π [0, ]π
( ) 0OB OB OA⋅ − = OA OB 60θ = ° | | 2OP t= | 1OQ t= −∣ OP OQ
60θ = ° 2 2 2| | 4 (1 ) 2 (1 ) 7 4 1PQ t t t t t t= + − − ⋅ − = − + 2
7t =
min
21| | 7m OP OQ= − =
4 2
5 5 i− 2
3
22 4n+ −
2 4 2
2 5 5z ii
= = +−
4 2
5 5z i= −
14．甲盒中的三个球记为 R，Y，W，乙盒中的两个球记为 r，y，则共有 ， ， ， ，
， ，6 种情况，则 ．
15 ． ， ， ， ， ， ∴
．
16 ． ， 则 ， 则 数 列 是 首 项 为
，公比 的等比数列， ．
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
17．（本小题满分 12 分）
解：（1）由正弦定理： ， （1 分）
所以 ，因为 ，即有 ， （3
分）
，因为 A 是锐角， ，
所以 ，所以 ． （6 分）
（2）如图，因为 ， ，所以 ，解得 ， （8
分）
在 中，由余弦定理 ，解得 ，从而 ． （10
分）
在 中，由正弦定理 ． （12 分）
( , )R r ( , )R y ( , )Y r ( , )Y y
( , )W r ( , )W y 4 2( ) 6 3P A = =
1 0a − = 3( ) 3f x x x= − 2( ) 3 3 3( 1)( 1)f x x x x′ = − = + − ( 1) 2f − = (3) 18f =
max( ) 18f x =
( )21 2 2 2 1
2 2 2
2 3 66 2 6 26 6 6
nn n n
n n n n
ab a a
b a a a
+ + + ⋅ + ++ ⋅ += = = =+ + + 1 2 6 4b a= + = { }nb
1 4b = 2q = ( ) 24 1 2
2 41 2
n
n
nS +
−
= = −−
sin sin 2 sin cos sin sin( )B A A B C A B+ = = +
sin sin 2 sin cos sin cos cos sinB A A B A B A B+ = + sin 0B > sin 2 cosA A=
2sin cos cosA A A⇒ = cos 0A >
12sin 1 sin 2A A= ⇒ =
6A
π=
5AB =
6A
π= 1 5 3sin2 2ABDS AB AD A= ⋅ ⋅ ⋅ =△ 2 3AD =
ABD△
225 12cos 6 2 5 2 3
BDπ + −=
× × 7BD = 2 7BC =
ABC△
15 5 72sinsin sin 282 7
AB BC CC A
×
= ⇒ = =
18．（本小题满分 12 分）
（1）证明：如图，设 E 是 BC 的中点，连接 DE，设 ，则 ，
因为 ， ，易得 ，且 ，所以 ．
又 ，由勾股定理得 ， （3 分）
因为 平面 PDC， 平面 PDC，所以 ． （5 分）
又因为 BD，BP 相交，所以 平面 PBD． （6 分）
（2）解：设 ，由（1）可得 ，
因为 平面 PDC，所以 ．
∵ ，∴ ，
在等腰三角形 PBD 中，设 O 是 BD 的中点，
∴ ，由（1）知： 平面 PBD，所以 ．
从而 平面 ABCD，且 ， （8 分）
由（1）中数据得 ， （9 分）
1
2AD AB BC a= = = BE EC a= =
AD BC∥ 90ABC∠ = ° DE a= DE BC⊥ 2BD DC a= =
2BC a= CD BD⊥
BP ⊥ CD ⊂ BP CD⊥
CD ⊥
AB BP a= = 2BD a=
BP ⊥ BP PD⊥
BP a= 2 2PD BD BP a= − =
PO BD⊥ CD ⊥ CD PO⊥
PO ⊥ 1 2
2 2PO BD a= =
2( 2 ) 3
2 2ABCD
a a a aS
+ ⋅= =梯形
所以 ． （10分）
因为 和 为边长为 4 的等边三角形， 是一个等腰直角三角形，
所以 ． （12
分）
19．（本小题满分 12 分）
解：（1）第一种更快， （1 分）
第一种的平均时间为
， （3
分）
第二种的平均时间为
， （5
分）
因为 ，所以第一种试剂盒检测更快捷． （6 分）
（2）由题可知
， ， ， ， ， ， ， ，
， （8分）
所以 检验的估计值为 ， （10分）
由于 ， （11 分）
所以有 99．5%的把握认为核酸检测时间与试剂盒生产工艺有关． （12 分）
20．（本小题满分 12 分）
（1）解：当 时， ， ，
∴ ，又 ，
∴曲线 在点 处的切线方程为 ． （4分）
（2）证明：当 时，令 ，则 ，
由 ，则 ．
21 1 3 2 16 2 43 3 2 2P ABCD ABCD
aV S PO a a− = = × × =⋅ ⇒ =梯形
PAB△ PAD△ PBD△
4 3 4 3 8 8 3 8PAB PAD PBDS S S S= + + = + + = +侧 △ △ △
1
15 3 18 19 21 22 3 23 24 2 30 2 31 33 35 43 46 48 26.820X
× + + + + × + + × + × + + + + + += =
2
18 2 19 3 23 24 25 2 26 27 34 35 2 36 38 40 41 49 2 3020X
× + × + + + × + + + + × + + + + + ×= =
1 2X X<
400a = 600b = 800c = 200d = 1000a b+ = 1200a c+ = 1000c d+ = 800b d+ =
2000n a b c d= + + + =
2K
2
2 2000 (400 200 600 800) 333.3331000 1000 1200 800K
× × − ×= ≈× × ×
333.333 7.879>
0a = ( ) xg x e x= − ( ) 1xg x e′ = −
(1) 1g e′ = − (1) 1g e= −
( )y g x= (1, (1))g ( 1)y e x= −
1a = ( ) xt f x xe= = ( ) lng x t t= −
0t > 0x >
令 ，则 ．
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
∴ ，当且仅当 时取等号， （8 分）
所以 ．
当且仅当 时，
∵ ，∴ 在 上递增．
又 ， ，
∴ ，又 在 上递增，
∴ ． （12 分）
21．（本小题满分 12 分）
解：（1）由题意得， ， ，
所以方程为 ． （4 分）
（2）设 ， ，
若直线 AB 的斜率不存在，则设直线 ，
又∵ ，∴ 或 ，∴ 时舍去，此时距离为 ． （5 分）
若直线 AB 的斜率存在，设该直线为 ，代入椭圆方程得 ，
， ． （6 分）
( ) lnh t t t= − 1 1( ) 1 th t t t
−′ = − =
(0,1)t ∈ ( ) 0h t′ < ( )h t
(1, )t ∈ +∞ ( ) 0h t′ > ( )h t
min min( ) ( ) (1) 1g x h t h= = = 1t =
( )0 1g x =
( ) 0
0 0 1xt f x x e= = =
( ) ( 1) 0( 0)xf x x e x′ = + > > ( )f x (0, )+∞
1
21 1 12 2 4
ef e = =
( )0
1 3
2 5f f x f <
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