重庆市2019-2020学年下学期高二（期末）联合检测试卷数学试题 含答案

2020 年春高二（下）联合检测试卷 数学 数学测试卷共 4 页．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．复数 的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 3．在研究某地区高中学生体重与身高间的相关关系的过程中，不会使用到的统计方法是（ ） A．随机抽样 B．散点图 C．回归分析 D．独立性检验 4．命题“ ”的否定为（ ） A． B． C． D． 5．已知函数 的导函数为 ，若 ，则 （ ） A．4 B．2 C．1 D． 6．设随机变量 X 服从正态分布 ，若 ，则 （ ） A．0.35 B．0.6 C．0.7 D．0.85 7．从 3 位男生、4 位女生中选 3 人参加义工活动，要求男女生都要有，则不同的选法种数为（ ） A．24 B．30 C．36 D．40 1{2,3,5,7}, 12A B x x  = = 2, 2 0x R x∀ ∈ + < 2, 2 0x R x∃ ∈ +  2, 2 0x R x∃ ∈ +  2, 2 0x R x∀ ∈ +  ( ) sinf x a x b= + ( )f x′ 13f π ′ =   a = 1 2 ( )21, ( 0)N σ σ > ( 0) 0.15P X < = (0 2)P X =  8． 的展开式中 的系数为（ ） A． B． C．120 D．200 9．甲、乙、丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为 ，且每人是否通过测试相 互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为（ ） A． B． C． D． 10．己知曲线 在点 处的切线经过坐标原点，则 （ ） A． B． C． D． 11．已知函数 ，则函数 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 12．已知 是定义在 R 上的偶函数 的导函数，当 时， ，且 ，若 ，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．复数 的虚部为________． 14．已知具有相关关系的两个变量 x，y 的一组观测数据如下表所示，若据此利用最小二乘估计得到回归方 程 ，则 _______． 3 4 5 6 2.5 4 4.5 15．某旅馆有三人间、两人问、单人间各一间可入住，现有三个成人带两个小孩前来投宿，若小孩不单独 入住一个房间（必须有成人陪同），且三间房都要安排给他们入住，则不同的安排方法有______种． 6．每次同时抛掷质地均匀的硬币 4 枚，抛 n 次 ，各次结果相互独立，记出现至少有 1 枚硬 币面朝上的次数为 X，若 ，则 n 的最小值为________． 5(2 1)( 2)x x− + 3x 80− 20− 1 1 2, ,3 2 3 1 9 1 2 7 8 8 9 ( ) ( ln ) xf x x a x e= + ( )1,e a = e− 2− 1− 2e − 3( ) ( 0)f x ax bx c bc= + + < ( )y f x= ( )f x′ ( )f x 0x < ( ) 2 ( )xf x f x′ < (1) 0f = 3 0.3 0,0log 3, 0.5 , log 0.2a b c°= = = ( ) ( ) ( )f a f b f c> > ( ) ( ) ( )f b f a f c> > ( ) ( ) ( )f c f a f b> > ( ) ( ) ( )f c f b f a> > ( 1)z i i= − − ˆ 0.7 0.35y x= + m = x y m ( )*2,n n N∈ 5EX > 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10 分） 已知二项式 的展开式中各项二项式系数的和为 256，其中实数 a 为常数． （1）求 n 的值； （2）若展开式中二项式系数最大的项的系数为 70，求 a 的值． 18．（12 分） （1）已知 ，解关于 z 的方程 ； （2）已知 是关于 x 的方程 在复数集内的一个根，求实数 a，b 的值． 19．（12 分） 已知函数 ． （1）求 在点 处的切线； （2）求 在区间 上的最大值和最小值． 20．（12 分） 新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫 苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长．我国某院士领 衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验．相关试验数据统计如下： 没有感染新冠病毒 感染新冠病毒 总计 没有注射重组新冠疫苗 10 x A 注射重组新冠疫苗 20 y B 总计 30 30 60 已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为 ． （1）根据以上试验数据判断，能否有 99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？ （2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕 猴的概率． 附： 2 nax x  −   z C∈ ( 3 ) 1 3z i z i− ⋅ = + 3 2i+ 22 0x ax b+ + = 3 2( ) 1f x x x x= − − + ( )f x (0, (0))f ( )f x [0,2] 5 12 2 2 ( ) ,( )( )( )( ) n ad bcK n a b c da b a c c d b d −= = + + ++ + + + 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 21．（12 分） 某学校组织教职工运动会，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目．比赛规则如下：两人 对垒，开局前抽签决定由谁先发球（机会均等），此后均由每个球的赢球者发下一个球．对于每一个球，若 发球者赢此球，发球者得 1 分，对手得 0 分；若对手赢得此球，发球者得 0 分，对手得 2 分；有一人得 6 分及以上或是两人分差达 3 分时比赛均结束，得分高者获胜．己知在选手甲和乙的对垒中，甲发球时甲赢 得此球的概率是 0.6，乙发球时甲赢得此球的概率是 0.5，各球结果相互独立． （1）假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求三次发球后比赛结束的概率； （2）在某局 3∶3 平后，接下来由甲发球，两人又打了 X 个球后比赛结束，求 X 的分布列及数学期望． 22．（12 分） 已知函数 ． （1）若函数 在 内单调，求 a 的取值范围； （2）若函数 存在两个极值点 ，求 的取值范围． 2020 年春高二（下）联合检测试卷 数学参考答案 一、选择题 1～6 DBDBBC 7～12 BCDCDB 第 8 题 提 示 ： ， 这 两 项 展 开 后 均 有 ， 系 数 为 ． 第 9 题提示：所求事件的对立事件为“三人均未通过测试”，概率为 ，故至少一人通过测试的 概率为 ． 第 10 题 提 示 ： ， ∴ ， 由 题 知 ， 故 ． 第 11 题提示： ，显然若 存在极值点，极值点必有两个，且互为相反数，故 A、C 都 ( )2P K k k 2( ) ln 2 ,f x x a x x a R= − − ∈ ( )f x (0, )+∞ ( )f x 1 2,x x ( ) ( )1 2 1 2 f x f x x x + 5 5 5(2 1)( 2) 2 ( 2) ( 2)x x x x x− + = + − + 3x 3 3 2 2 5 52 2 2 120C C⋅ − = 2 1 1 1 3 2 3 9 × × = 1 81 9 9 − = ( ) 1 ln xaf x x a x ex  ′ = + + +   (1) ( 2)f a e′ = + 0 (2 )1 0 e a e − = +− 1a = − 2( ) 3f x ax b′ = + ( )f x 是错的；对于选项 B、D：由图象的单调性知 ， ，则 ，即函数图象与 y 轴的交点应在正半 轴上，选项 B 是错的，选项 D 是可能的． 第 12 题 提 示 ： 当 时 ， ， 即 ，令 ，则 在 上单调递增，又 为偶函数，∴ 也是偶函数， 故 在 上单调递减，又 ，故当 时 ， 当 时 ， ， ， ，故 ， 即 ，故 ，又 ， ∴ ，故选 B． 二、填空题 13． 14．3 15．18 16．6 第 15 题提示：由题分析知，三个大人必各住一个房间，两个小孩可以同住三人间或三人间、两人间各一人， 所以不同的安排方法有 种． 第 16 题提示：抛一次硬币，至少有 1 枚硬币正面朝上的概率为 ，由题知 ，则 ，即 ，所以正整数 n 的最小值为 6． 三、解答题 17．（10 分） 解析：（1）由题知，二项式系数和 ，故 ； 5 分 （2）二项式系数分别为 ，根据其单调性知其中 最大， 8 分 即为展开式中第 5 项，∴ ，即 ． 10 分 18．（12 分） 解析：（1）设 ，则 ，即 ， 2 分 0a > 0b < 0c > 0x < 2 2 4 ( ) 2 ( )( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 0 0x f x xf xxf x f x x f x xf x x ′ −′ ′< ⇒ − > ⇒ > 2 ( ) 0f x x ′  >   2 ( )( ) f xg x x = ( )g x ( ,0)−∞ ( )f x ( )g x ( )g x (0, )+∞ ( ) ( )1 1 0g f= = ( )1,1x ∈ − ( ) 0g x > ( , 1) (1, )x ∈ −∞ − ∪ +∞ ( ) 0g x < 0.5 2log 3 log 3 ( 2, 1)a = = − ∈ − − 0.3 0.3 10.5 (0,1)2b = = ∈ 0.5 2log 0.2 log 5 (2,3)c = = ∈ ( ) 0 ( ) ( )g b g a g c> > > 2 2 2 ( ) ( ) ( )0f b f a f c b a c > > > ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0f b f a f c> < < 2 20 1a c < < 2 2( ) ( ) ( )af a f c f cc > > 1− ( )3 2 3 21 18A A× + = 41 151 2 16  − =   15~ ,16X B n    15 516EX n= > 16 3n > 0 1 2 2 256n n n n n nC C C C+ + + + = = 8n = 0 1 2 8 8 8 8 8, , , ,C C C C 4 8C 4 4 4 8 2 ( ) 70C a− = 1 2a = ± z a bi= + ( 3 )( ) 1 3a bi i a bi i+ − − = + 2 2 3 3 1 3a b b ai i+ − − = + ∴ ，解得 ，∴ 或 ； 6 分 （2）由题知方程在复数集内另一根为 ，故 ， 即 ． 12 分 19．（12 分） 解析；（1） ，又 ，所以切线方程为 ， 即 ； 4 分 （2）由（1）知 或 ，∴ 在 上单减，在 上单增， 8 分 又 ，∴ 在 上的最大值为 3，最小值为 0． 12 分 20．（12 分） 解析：（1）由题知 ，即 ，∴ ， ， ， 2 分 ∴ ， 故有 99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效； 6 分 （2）由题知试验样本中已感染新冠病毒的猕猴有 30 只，其中注射了重组新冠疫苗的猕猴有 5 只，则 ． 12 分 21．（12 分） 解析：（1）因为由赢球者发下一个球，故不会出现一方连续两次得 2 分的情况，所以三次发球能结束比赛 必是两人分差达 3 分：①若第一个球甲赢，则甲得 1 分，故后两个球只能都是甲赢，这种情况的概率为 ；②若第一个球乙赢，则乙得 2 分，且由乙发第二个球，此球，若乙赢则比赛结束， 不符合题意；若甲赢，两人 2∶2，第三个球结束分差不可能达 3 分，也不符合题意； 故所求概率为 0.216． 6 分 （2）分析接下来的比赛过程中甲、乙的得分情况： 2 2 3 1 3 3 a b b a  + − = − = 1 0 3 a b = −  = 或 1z = − 1 3i− + 3 2i− 3 2 3 2 62 (3 2 )(3 2 ) 132 a i i b i i − = + + − =  = + − = 12, 26a b= − = 2( ) 3 2 1, (0) 1f x x x f′ ′= − − = − ( )0 1f = 1 1 ( 0)y x− = − ⋅ − 1x y+ = ( ) 0 1f x x′ > ⇒ > 1 3x < − ( )f x [0,1] [1,2] (0) 1, (1) 0, (2) 3f f f= = = ( )f x [0,2] 20 5 60 12 y+ = 5y = 25x = 35A = 25B = 2 2 60 (10 5 25 20) 108 10.82835 25 30 30 7K × × − ×= = >× × × 2 1 3 5 25 5 3 30 13 203 C C CP C += = 0.6 0.6 0.6 0.216× × = 故 X 的所有可能取值为 2，3，4， 7 分 ， ， ， X 的分布列为 X 2 3 4 P 0.2 0.656 0.144 11 分 ． 12 分 22．（12 分） 解析：（1） ，由题知 恒成立， 即 恒成立，而 ，∴ ； 4 分 （2）由题知 在 内有两个不等实根 ，则 ， 且 ，不妨假设 ，则 ， 5 分 ∴ ， 9 分 令 ， ( 2) 0.4 0.5 0.2P X = = × = ( 3) 0.6 (0.6 0.6 0.4 1) 0.4 0.5 1 0.656P X = = × × + × + × × = ( 4) 0.6 0.6 0.4 1 0.144P X = = × × × = 2 0.2 3 0.656 4 0.144 2.944EX = × + × + × = 2 2 2 2( ) 2 2 , 0a x x af x x xx x − −′ = − − = > ( ) 0f x′ ≥ 22 2a x x− 2 2 1 1 12 2 2 2 2 2x x x − = − − −    1 2a − 22 2 0x x a− − = (0, )+∞ 1 2,x x 1 02 a− < < 1 2 1 21, 2 ax x x x+ = = − 1 2x x< 1 10 2x< < ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ln ln ln ln2 2 3f x f x x x x xx a x a ax x x x x x      + = − − + − − = − − +           ( ) ( )1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 ln ln3 2 2 ln 2 ln 3 2 1 ln 2 ln 1 3x xx x x x x x x x x xx x  = − + + = + − = − + − −   1( ) (1 )ln ln(1 ) 0 2g x x x x x x = − + − < − > ( ) 0g x′ > ( )g x 1 1ln , 02 2g x  = →   ( )g x → −∞ 1( ) ,ln 2g x  ∈ −∞   ( ) ( )1 2 1 2 ( , 3 2ln2)f x f x x x + ∈ −∞ − −