中学2019-2020学年度第二学期高三数学考前测试卷 含答案

2019-2020 学年度第二学期 高三数学考前测试卷 一、填空题 1．已知集合 ， ，则 ______. 2．函数 的最小正周期是______. 3．抛物线 的准线方程是______. 4．已知方程 的一个根是 （其中 ， 是虚数单位），则实数 ______. 5．设 满足约束条件 ，则 的最小值是______. 6．若 是 展开式中 项的系数，则 ______. 7．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖儒。如图，在鳖臑 中， 平面 ，其三视图是三个全等的等腰直角三角形，则异面直线 与 所成的角的余弦值 为______. 8．为抗击此次疫情，我市某医院从 3 名呼吸内科医生、4 名急诊重症科医生和 5 名护士中选派 5 人组成一 个抗击疫情医疗小组，则呼吸内科与急诊重症科医生都至少有一人的选派方法种数是_______. 9．若关于 的方程 的解集为空集，求实数 的取值范围______. 10．已知函数 为定义域 上的奇函数，且在 上是单调递增函数，函数 ， 数列 为等差数列，且公差不为 0，若 ，则 ______. { }2,A x x x R= ≤ ∈ { }4,B x x x Z= ≤ ∈ A B = 3sin 2 cos2y x x= + 2y x= 1 02 x b x − =− 2a i+ a R∈ i b = ,x y 2 3 3 0 2 3 3 0 3 0 x y x y y + − ≤  − + ≥  + ≥ 2z x y= + na ( ) ( )*2 , 2,nx n N n x R+ ∈ ≥ ∈ 2x 2 3 2 3 2 2 2lim ... n nn a a a→∞  + + + =   ABCD AB ⊥ BCD AC BD x 1 1 2 2 4 ax x =− + + − a ( )y f x= R R ( ) ( )3g x f x x= − + { }na ( ) ( ) ( )1 2 9... 27g a g a g a+ + + = 1 2 9...a a a+ + + = 11．已知整数数列 共 5 项，其中 ， ，且对任意 ，都有 ，则符合条件 的数列个数为______. 12 ． 已 知 点 ， 椭 圆 上 两 点 、 满 足 ， 则 的最大值为______. 二、选择题 13．“ ”是“ ”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 14．已知 为抛物线 的焦点， 、 是抛物线上的不同两点，则下列条 件中与“ 、 、 三点共线”等价的是（ ） A． B． C． D． 15．已知曲线 的参数方程为 ，其中参数 ，则曲线 （ ） A．关于 轴对称 B．关于 轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称性 16 ． 已 知 数 列 与 前 项 和 分 别 为 、 ， 且 ， ， ， ，对任意的 ， 恒成立，则 的最小值是（ ） A．1 B． C． D． 三、解答题 17．如图，四棱锥 的底面是边长为 1 的菱形， ， ， 平面 ， 、 分别是 、 的中点. （1）求证：直线 平面 ； （2）求点 到平面 的距离. { }na 1 1a = 5 4a = 1 4i≤ ≤ 1 2i ia a+ − ≤ ( )0,2P 2 2 116 8 x y+ = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )AP PB Rλ λ= ∈  1 1 2 22 3 12 2 3 12x y x y+ − + + − ,2 2x π π ∈ −   ( )sin arcsin x x= F ( )2 2 0y px p= > ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y A F B 2 1 2 4 px x = 2 1 2y y p= − 1 1 2 FA FB p + = 2 1 2 1 2 3 4 px x y y+ = − Γ ( ) 3 2 cos ln 1 x t t t y t t  = − = + + t R∈ Γ x y { }na { }nb n nS nT 0na > 22 n n nS a a= + *n N∈ ( )( )1 1 2 1 2 2 n n n n n n b a a+ + += + + *n N∈ nk T> k 1 2 1 3 1 6 O ABCD− 2OA = 60ABC∠ = ° OA ⊥ ABCD M N OA BC MN  OCD M OCD 18．某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地 进行改造，如图所示，平行四边 形 区域为停车场，其余部分建成绿地，点 在围墙 弧上，点 和点 分别在道路 和道路 上，且 米， ，设 . （1）求停车场面积 关于 的函数关系式，并指出 的取值范围； （2）当 为何值时，停车场面积 最大，并求出最大值.（精确到 0.1 平方米） 19．对于函数 ，若在定义域内存在实数 ，满足 ，则称 为“ 类函数”. （1）已知函数 ，试判断 是否为“ 类函数”？并说明理由； （2）若 为其定义域上的“ 类函数”，求实数 取值范围. 20．已知椭圆 的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭 圆经过点 . （1）求椭圆 的方程； （2）若斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点（点 ， 不在坐标轴上）；证明：直线 ， ， 的斜率依次成等比数列. AOB OMPN P AB M N OA OB 60OA = 60AOB∠ = ° POB θ∠ = S θ θ θ S ( )f x 0x ( ) ( )0 0f x f x− = − ( )f x M ( ) 2cos 3f x x π = −   ( )f x M ( ) ( )2 2log 2 2 x mxf x  −=  − 3 3 x x ≥ < M m ( )2 2 2 2: 1 0x yM a ba b + = > > 22, 2N       M 1 2 − 1l M ,P Q P Q OP PQ OQ （3）设直线 与椭圆 交于 两点，且以线段 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，求 面积的最 大值. 21．已知 是定义在 上的函数，满足：①对任意 ，均有 ；②对任意 ，均有 .数列 满足： ， ， . （1）若函数 ，求实数 的取值范围； （2）若函数 在 上单调递减，求证：对任意正实数 ，均存在 ，使得 时，均 有 ； （3）求证：“函数 在 上单调递增”是“存在 ，使得 ”的充分非必 要条件. 2019-2020 学年度第二学期 高三数学考前测试卷参考答案 一、填空题 1． 2． 3． 4．5 5．－15 6．8 7． 8．611 9． 10．27 11．52 12． 【解析】因为椭圆 上两点 、 在直线 同侧， 所以 . ∵ ，∴ 三点共线. （ i ） 当 直 线 斜 率 不 存 在 时 ， 不 妨 设 ， ， 此 时 ； 2l M ,A B AB C ABC ( )f x [ )0,+∞ [ )0,x∈ +∞ ( ) 0f x > 1 20 x x≤ < ( ) ( )1 2f x f x≠ { }na 1 0a = ( )1 1 n n n a a f a+ = + *n N∈ ( ) ( )2 1 0xf x a x= ⋅ − ≥ a ( )f x [ )0,+∞ M * 0n N∈ 0n n> na M> ( )f x [ )0,+∞ *n N∈ ( ) ( )1 2n nf a f a+ < { }0,1,2 π 1 4y = − 3 3 1 ,02  −   18 2 17+ 2 2 116 8 x y+ = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 3 12 0x y+ − = ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 22 3 12 2 3 12 24 2 3x y x y x x y y+ − + + − = − + − + AP PBλ=  , ,A P B AB ( )0,2 2A ( )0, 2 2B − 1 1 2 22 3 12 2 3 12 24x y x y+ − + + − = （ ii ） 当 直 线 斜 率 存 在 时 ， 设 直 线 方 程 为 ： ， 则 有 得 ，由韦达定理得 ，所以 令 ，原式 当 ，原式 ； 当 ，原式 ，等号当且仅当 时取得. 二、选择题 13．B 14．B 15．C 16．C 三、解答题 17．（1）证明：取 的中点 ，连接 、 ，∵ 、 分别是 、 的中点， ∴ ，且 ， ，且 ， ∴ ，且 ，则 是平行四边形，得 ， ∵ 平面 ， 平面 ，∴直线 平面 ； （2）解：连接 、 ，设点 到平面 的距离为 ， 由（1）得，点 到平面 的距离为 ， 设三棱锥 的体积为 ，则 ， 依题意， ， ∵ ，∴ ，则 . 由 ，得点 到平面 的距离 . AB AB 2y kx= + 2 2 2 116 8 y kx x y = + + = ( )2 22 1 8 8 0k x kx+ + − = 1 2 2 1 2 2 8 2 1 8 2 1 kx x k x x k − + = + − = + ( )1 2 1 2 2 44 2 1y y k x x k + = + + = + ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 2 16 122 3 12 2 3 12 24 2 3 24 2 1 kx y x y x x y y k −+ − + + − = − + − + = + + 4 3k t− = 2 2 4 3224 24 6 1732 14 t t t tt = + = + + ++  +   0t = 24= 0t ≠ 124 32 18 2 1717 6t t = + × ≤ + + + 17 3 4k += OD P PC PM M N OA BC PM AD 1 2PM AD= NC AD 1 2NC AD= PM NC PM NC= PMNC MN PC PC ⊂ OCD MN OCD MN  OCD ON ND M OCD d N OCD d O CDN− V 1 1 3 3CDN OCDV S OA S d= × × = × × 1 3sin2 8CDNS CD CN BCD= × × × ∠ = 1AC AD CD= = = 5OC OD= = 1 1 1952 4 4OCDS CD= × × − = 1 3 1 1923 8 3 4 d× × = × × M OCD 57 19d = 18．（1）在 中利用正弦定理： 化简得 ， . 所以停车场面积 . 所以 . . （2） . 所以，当 时，停车场面积 最大，最大面积约为 1039.2 平方米. 19．（1）由题意，函数 在定义域内存在实数 ，满足 ， 可得 ，即 ，整理得 ，所 以存在 满足 所以函数 是“ 类函数”. （2）由 在 上恒成立，可得 ， 因为 为其定义域上的“ 类函数”， 所以存在实数 使得 ， ①当 时，则 ，所以 ，所以 ，即 ， 因为函数 ， 为单调增函数，所以 ； ②当 时， ，此时 ，不成立； ③当 ，则 ，所以 ，所以 因为函数 为单调减函数，所以 ； OPN△ ( ) 60 sin 60 sin120 sin ON PN θ θ= =°− ° ( )40 3sin 60ON θ= °− 40 3sinPN θ= ( )sin120 2400 3sin sin 60S ON PN θ θ= ⋅ ⋅ ° = °− ( )2400 3sin 60S θ θ= °− ( )0 60θ° < < ° 3 12400 3sin cos sin2 2S θ θ θ = −    23600sin cos 1200 3sinθ θ θ= − ( )1200 3sin 2 30 600 3θ= + ° − 30θ = ° S ( )f x 0x ( ) ( )0 0f x f x− = − 0 02cos 2cos3 3x x π π   − − = − −       0 0cos cos3 3x x π π   − − = − −       03 cos 0x = 0 2x π= ( ) ( )0 0f x f x− = − ( ) 2cos 3f x x π = −   M 2 2 0x mx− > 3x ≥ 3 2m < ( ) ( )2 2log 2 2 x mxf x  −=  − 3 3 x x ≥ < M 0x ( ) ( )0 0f x f x− = − 0 3x ≥ 0 3x− ≤ − ( )2 2 0 02 log 2x mx− = − − 2 0 02 4x mx− = 0 0 1 2 2m x x = − 1 4 2y x x = − 3x ≥ 5 6m ≥ 03 3x− < < 03 3x− < − < 2 2− = 0 3x ≤ − 0 3x− ≥ ( )2 2 0 0log 2 2x mx+ = 0 0 1 2 2m x x = − + ( )1 4 32y x xx = − + ≤ − 5 6m ≥ 综上所述，求实数 取值范围 . 20．（1）根据题意，设椭圆的上下顶点为 ， ，左焦点为 ， 则 是正三角形，所以 ，则椭圆方程为 . 将 代入椭圆方程，可得 ，解得 ， .故椭圆的方程为 . （2）证明：设直线 的方程为 ， ， ， 由 ，消去 ，得 则 ，且 ， ； 故 . 即直线 、 、 的斜率依次成等比数列. （3）由题意，设直线 的方程为 ，联立 ， 消去 得 . 设 ， ，则有 ， ， 因为以线段 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，所以 ， 由 ， ，则 ， 将 ， 代入上式并整理得 ， m 5 3,6 2     ( )1 0,B b ( )2 0,B b− ( )1 ,0F c− 1 2 1B B F△ 2 22b c b a= + = 2 2 2 2 14 x y b b + = 22, 2       2 2 2 1 14 2b b + = 2a = 1b = 2 2 14 x y+ = u 1 2y x m= − + ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 2 2 1 2 14 y x m x y  = − +  + = y ( )2 22 2 1 0x mx m− + − = ( ) ( )2 2 24 8 1 4 2 0m m m= − − = − >△ 1 2 2 0x x m+ = > ( )2 1 2 2 1 0x x m= − > ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 4 2 2 my y x m x m x x m x x m −  = − + − + = − + + =     ( ) 2 1 2 1 2 21 2 1 2 1 2 1 1 14 2 4OP OQ PQ x x m x x my yk k kx x x x − + + = = = = OP PQ OQ v x ky n= + 2 2 14 x y x ky n  + =  = + x ( )2 2 24 2 4 0k y kny n+ + + − = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2 2 4 kny y k −+ = + 2 1 2 2 4 4 ny y k −= + AB ( )2,0C 0CA CB⋅ = ( )1 12,CA x y= − ( )2 22,CB x y= − ( )( )1 2 1 22 2 0x x y y− − + = 1 1x ky n= + 2 2x ky n= + ( ) ( )( ) ( )22 1 2 1 21 2 2 0k y y k n y y n+ + − + + − = 则 ，化简得 ，解得 或 ， 因为直线 不过点 ，所以 ，故 .所以直线 恒过点 . 故 设 ， 则 在 上单调递增，当 时， ， 所以 面积的最大值为 . 21．（1）由 ，即 对一切 恒成立，所以 当 时， 在 上单调递增，所以对任意 ，均有 综上，实数 的取值范围为： ； （2）证明：由函数 在 上单调递减，即对一切 ，均有 所以对一切 ，均有 ，可得： 所以： ，对一切 ， 对任意正实数 ，取 ，当 时， ； （3）非必要性：取 ，在 不为增函数 但 ， ， ， ， ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 4 2 2 2 04 4 k n k n n nk k + − − −+ + − =+ + ( )( )5 6 2 0n n− − = 6 5n = 2n = x ky n= + ( )2,0C 2n ≠ 6 5n = l 6 ,05D     ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 22 2 2 3612 4 4 25 4 361 1 6 2 82552 42 2 5 5 4 4 25 4ABC k k S DC y y y y y y k k k    −−   + −    = − = × − + − = − =   + +  +    2 1 104 4t tk  = < ≤ +   28 36 2525ABCS t t= − + 10, 4t  ∈   1 4t = 8 1 1 1636 2525 16 4 25ABCS = − × + × = ABC 16 25 ( ) 2 1 0xf x a= ⋅ − > 1 2 x a  >    [ )0,x∈ +∞ 1a > 1a > ( )f x [ )0,x∈ +∞ 1 20 x x≤ < ( ) ( )1 2f x f x≠ a 1a > ( )f x [ )0,+∞ [ )0,x∈ +∞ ( ) ( )0f x f≤ *n N∈ ( ) ( )0nf a f≤ ( ) ( )1 1 1 0n n n n a a af a f+ = + ≥ + ( )1 2 1 1 1 0n n n na a a a a a f− −= − + + − + ≥ 2n ≥ M ( ) * 0 0 2n Mf N= + ∈   0n n> ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 111 0 0 0n Mfnna Mf f f + −−−≥ > > = ( ) 1 3 xf x x +=  − [ ] [ ) ( ) 0,1 2, 1,2 x x ∈ +∞ ∈  [ )0,+∞ 1 0a = ( )2 1 1 1 1a a f a = + = ( )3 2 2 1 3 2a a f a = + = ( )2 2f a = ( ) ( )3 2 3 22f a f a= ( ) ( ) ( )1 1 12 2 0n n nf a f a f− −≥ = ( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 1 1 1 1 1 212 0 0 2 2 0n n n n n n a a a af a f f f+ − −  = + ≤ + ≤≤ + + + + ( ) 2 00B f f  = >    2log An B  >    *n N∈ ( ) ( )1 2n nf a f a+