2021届高三第一次调研考试数学试题 含答案详解及评分细则

数学试题 第 1 页，共 17 页 惠州市 2021 届高三第一次调研考试试题 数 学 全卷满分 150 分，时间 120 分钟． 2020.07 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡 上。 2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信 息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷 上无效。 一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题满分 5 分，共 50 分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分。 1．设集合 ，集合 , 则 （ ）. A． B． C． D． 2．复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 =（ ）. A． B． C． D． 3．已知 ，则 （ ）. A． B． C． D． 4．已知向量 ，向量 ，若 ，则实数 （ ）. A． B． C． D． 5．已知正方体 的棱长为 1，则直线 与直线 所成角的余弦值 为（ ）. A． B． C． D． 2{ | 5 6 0}M x x x= − + < { }0N x x= > =NM  { }0x x > { | 3}x x < { | 2}x x < { }2 3x x< < z (1 ) = 1i z i+ ⋅ − + i z 1 i+ 1 i− i i− 2sin 3 α = ( )cos 2α− = 1 9 1 9 − 5 3 5 3 − ( ),3k=a ( )1,4=b ⊥ a b k = 12 12− 4 3 4 3− 1 1 1 1ABCD A B C D− 1DA AC 1 2 − 2 2 1 2 3 2数学试题 第 2 页，共 17 页 6．已知双曲线 的一条渐近线平行于直线 ， 则双曲线的离心率为（ ）. A． B． C． D． 7．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元 466-485 年间。其中记载着 这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同。 已知第一日织布 5 尺，30 日共织布 390 尺，则该女子织布每日增加（ ）尺. A． B． C． D． 8．函数 的部分图象的大致形状是（ ）. A B C D 9．根据中央关于精准脱贫的要求，某市某农业经济部门随机派遣甲、乙等共 4 位专家对 3 个县区进 行调研，每个县区至少派 1 位专家，则甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ）. A． B． C． D． 10．对于函数 ，若在定义域内存在实数 x，满足 ，称 为“局部奇函数”. 若 为定义域 R 上的“局部奇函数”，则实数 m 的取值范围是 （ ）. A． B． C． D． A( ) y xO B( ) O x y C( ) O x y D( ) O x y 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > : 2 5 0l x y+ + = 1 2 6 2 3 2 5 2 7 4 29 16 15 8 31 16 ( ) cosf x x x= ⋅ 6 1 4 1 3 1 2 1 ( )f x ( ) ( )f x f x− = − ( )f x ( ) 1 24 2 3x xf x m m+= − + − 1 3 1 3m− ≤ ≤ + 1 3 2 2m− ≤ ≤ 2 2 2 2m− ≤ ≤ 2 2 1 3m− ≤ ≤ −数学试题 第 3 页，共 17 页 二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题满分 5 分，共 10 分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分。 11．下列选项中正确的是（　　） A．不等式 恒成立． B．存在实数 a，使得不等式 成立． C．若 为正实数，则 ． D．若正实数 x，y 满足 ，则 ． 12．在空间中，已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（ ） A．若 ，且 ， ，则 ． B．若 ，且 ， ，则 ． C．若 与 相交，且 ， ，则 与 相交． D．若 ，且 ， ，则 ． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空3分，第二个空2分。 13．函数 在点 的切线方程为_________． 14．二项式 的展开式中 的系数是_________． 15．若抛物线 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 点到 y 轴的距离是_________． 16．已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2，点 D 为 AB 延长线上一点，BD＝2，连接 CD， 则△BDC 的面积是________，cos∠BDC＝________． 四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 10 分） 已知等差数列 的公差 ，若 ，且 ， ， 成等比数列． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 18．（本小题满分 12 分） 2a b ab+ ≥ 1 2a a + ≤ a b、 2b a a b + ≥ 2 1x y+ = 2 1 8x y + ≥ ,a b ,α β / /a b a α⊥ b β⊥ / /α β α β⊥ / /a α / /b β ba ⊥ a b a α⊥ b β⊥ α β ba ⊥ / /a α / /b β α β⊥ ( ) lnf x x= ( )1,0 ( )72 1x + 3x xy 42 = { }na 0d ≠ 6 11a = 2a 5a 14a { }na 1 1 n n n b a a +⋅= { }nb n nS数学试题 第 4 页，共 17 页 在△ 中，角 的对边分别为 ，且 . （1）求角 的值； （2）若 ，△ 的面积为 ，求△ 的周长． 19．（本小题满分 12 分） 如图， 是边长为 3 的正方形， 平面 ， ， ， 与平面 所成角为 （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值； 20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 （ ）的一个焦点为 ，且该椭圆经过点 . （1）求椭圆 的方程； （2）过点 作直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ，试问在 轴上是否存在定点 使得 直线 与直线 恰关于 轴对称？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由. ABC A B C、 、 a b c、 、 ( )cos 2 cosb A c a B−= B 4a = ABC 3 ABC ABCD ⊥DE ABCD / /AF DE 3DE AF= BE ABCD .60° ⊥AC BDE DBEF −− 2 2 2 2: 1x yC a b + = 0a b> > ( )3,0F 13, 2P     C F l C A B x Q QA QB x Q C E D BA F数学试题 第 5 页，共 17 页 21．（本小题满分 12 分） 已知 6 名某疾病病毒密切接触者中有 1 名感染病毒，其余 5 名健康，需要通过化验血液来确定 感染者。血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康． （1）若从这 6 名密切接触者中随机抽取 3 名，求抽到感染者的概率； （2）血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②平均分组混合化验：先将血液样本平均分 成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性， 则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者。 （i）采取逐一化验，求所需化验次数 的分布列及数学期望； （ii）采取平均分组混合化验（每组血液份数相同），求不同分组方法所需化验次数的数学期望。 你认为选择哪种化验方案更合理？请说明理由。 22．（本小题满分 12 分） 已知函数 . （1）若 ，求 的极值； （2）若 ，求正实数 的取值范围. ξ ( ) ln( )xf x axa = − 0a > ( )f x ( )2ln 1 0x xe x mx e x m+ + − + ≤ m数学试题 第 6 页，共 17 页 惠州市 2021 届高三第一次调研考试 数学参考答案与评分细则 一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题满分 5 分，共 50 分。 1.【解析】由题意可得 ， ，所以 ，故选 A． 2.【解析】 ，故选 C． 3.【解析】 ，故选 A． 4.【解析】由已知得 ，故选 B． 5.【解析】连接 ，则 ，可知 是正三角形， ，故选 C． 6.【解析】 由题知双曲线的一条渐近线方程为 ，则 ， ， ，故选 D． 7.【解析】由题意可知该女子每日织布数呈等差数列，设为 ，首项 ， ，可得 ，解之得 ，故选 B． 8.【解析】由 ，所以 为奇函数，排除 A，C；因为 的大于 0 的零点中，最小值为 ；又因为 ，故选 D． 9.【解析】先从 4 个专家中选 2 个出来，看成 1 个专家有 种选法，再将捆绑后的专家分别派 到 3 个县区，共有 种分法，故总共有 种派法。 其中甲、乙两位专家派遣至同一 县区有 种，其概率为 . 故选 A． 10.【解析】 由“局部奇函数”可得： ，整理可得： ， 考 虑 到 ， 从 而 可 将 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A B C D B D A B { }32 1 1 iz ii − += =+ 9 1)3 2(21sin212cos)2cos( 22 =×−=−==− ααα 120431 −=∴=×+×=⋅ kkba ， 1CB 11 // DACB 1ACB∆ 2 1 3cos,cos 1 =>== πππ f 62 4 =C 63 3 =A 3666 =× 63 3 =A 6 1 36 6 = 2 24 2 2 3 4 2 2 3 0x x x xm m m m− −− ⋅ + − + − ⋅ + − = ( ) ( ) 24 4 2 2 2 2 6 0x x x xm m− −+ − + + − = ( )2 4 4 2 2 2x x x x− −+ = + −数学试题 第 7 页，共 17 页 视为整体，方程转化为： ，利用换元设 （ ），则问题转化为只需让方程 存在大于等于 2 的解 即可，故分一个解和两个解来进行分类讨论。设 ． （1）若方程有一个解，则有相切（切点 大于等于 2）或相交（其中交点在 两侧）， 即 或 ，解得： 或 ． （2）若方程有两解，则 ，解得： ， 综上所述： ，答案 B． 二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题满分 5 分，共 10 分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分。 11 题选项 12 题选项 可得分数 全部正确 BCD AC 5 分 部分正确 B、C、D、BC、BD、CD A、C 3 分 11.【解析】不等式 恒成立的条件是 ， ，故 A 不正确； 当 a 为负数时，不等式 成立．故 B 正确；由基本不等式可知 C 正确； 对于 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号，故 D 正确．故选：BCD． 12.【解析】若 ，且 ，即两平面的法向量平行，则 成立，故 A 正确； 若 ，且 ，则 与 互相平行或相交或异面，故 B 错误； 若 相交，且 ，即两平面的法向量相交，则 相交成立，故 C 正确； 若 ，且 ，则 与 平行或相交，故 D 错误；故选：AC． 2 2x x−+ ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 8 0x x x xm m− −+ − + + − = 2 2x xt −= + 2t ≥ 2 22 2 8 0t mt m− + − = ( ) 2 22 2 8 0g t t mt m= − + − = x m= 2x = 0 2m ∆ =  ≥ ( )2 0g ≤ 2 2m = 1 3 1 3m− ≤ ≤ + ( ) 0 2 0 2 g m ∆ >  ≥  > 2 2 2 2 1 3, 1 3 1 3 2 2 2 m m m m m − < <  ≥ + ≤ − ⇒ + ≤  1 3 2 2m− ≤ ≤ abba 2≥+ 0a ≥ 0b ≥ 21 ≤+ aa 842444)2)(12(12 =⋅+≥++=++=+ y x x y y x x yyxyxyx y x x y =4 2 1=x 4 1=y ba // βα ⊥⊥ ba , βα // βα ⊥ βα //,// ba a b ba, βα ⊥⊥ ba , βα, ba ⊥ βα //,// ba α β数学试题 第 8 页，共 17 页 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，其中 16 题第一个空 3 分，第二个空 2 分。） 13. 14. 280 15. 9 16. 15 2 （3 分）， 10 4 （2 分） 【注：14 题结果写成 不扣分】 13.【解析】 因此切线方程为 . 14.【解析】展开式的第 项为 ，故令 ，即 ， 所以 的系数为 ． 15.【解析】抛物线 的焦点 ，准线为 ，由 M 到焦点的距离为 10，可知 M 到准 线的距离也为 10，故到 M 到的距离是 9. 16.【解析】法 1：依题意作出图形，如图所示，则 sin∠DBC＝sin∠ABC， 由题意知 AB＝AC＝4，BC＝BD＝2，则 sin∠ABC＝ 15 4 ，cos∠ABC＝1 4， 所以 S△BDC＝1 2BC·BD·sin∠DBC＝ 1 2×2×2× 15 4 ＝ 15 2 ， 因为 cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－1 4＝BD2＋BC2－CD2 2BD·BC ＝8－CD2 8 ， 所以 CD＝ 10， 由余弦定理，得 cos∠BDC＝ 4＋10－4 2 × 2 × 10 ＝ 10 4 . 答案： 15 2 ； 10 4 法 2：如图，作 AE 垂直 BC，作 DF 垂直 BC，由勾股及相似比可得面积。 由二倍角公式可得目标角度的余弦值。 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17.（本小题满分 10 分） 【解析】（1）法 1： ， ，① .................................................................1 分 ， ， 成等比数列， ，化简得 ，②..............2 分 又因为 ...............................................3 分【注：无此步骤，本得分点不得分】 且由①②可得， ， ．.....................................4 分【注：只要算出 即可给分】 数列的通项公式是 .......................................................................5 分 法 2： ， ， ， 成等比数列， ， ...................1 分 1−= xy 4 3 7 2C ⋅ ,1)( xxf =′ ,1)1( =′f 1−= xy 1r + 7 1 7 (2 ) 1r r r rT C x − + = ⋅ 7 3r− = 4r = 3x 4 3 7 2 280C = xy 42 = )0,1(F 1−=x 6 11a = 1 5 11a d∴ + = 2a 5a 14a ∴ 2 1 1 1( 4 ) ( )( 13 )a d a d a d+ = + + 2 12d a d= 0d ≠ 1 1a = 2d = 2d = ∴ 2 1na n= − 6 11a = 2a 5a 14a ∴ 2 6 6 6( ) ( 4 )( 8 )a d a d a d− = − + F 2θθ A CB ED数学试题 第 9 页，共 17 页 ，化简得 ， ..................................................2 分 又因为 ...............................................3 分【注：无此步骤，本得分点不得分】 得 ． ...................................................................................................................4 分 数列的通项公式是 ................................................................5 分 （2）由（1）得 ， ....................................7 分 ......................................8 分 ． ............................................................................................9 分 所以 ...............................................................................................................10 分 18.（本小题满分 12 分） 【解析】（1）法 1：由已知 bcosA＝(2c－a)cosB，及正弦定理可得： 2sinCcosB＝sinBcosA＋sinAcos B .............................................................1 分 2sinCcosB＝sin(A＋B)， ..............................................................................2 分 因为 A＋B＝π－C，所以 2sinCcosB＝sinC， ........................................3 分 因为 sinC≠0， ................................................4 分【注：无此步骤，本得分点不得分】 所以 cosB＝1 2. ...............................................................................................5 分 因为 0＜B＜π， .............................................6 分【注：无此步骤，本得分点不得分】 所以 B＝π 3. ..................................................................................7 分 法 2：由已知 bcosA＝(2c－a)cosB，及余弦定理可得： ........................................................................1 分 化简得 ...................................................................................................2 分 余弦定理可得 ...........................................................................................3 分 因为 ≠0，.............................................................4 分【注：无此步骤，本得分点不得分】 ∴ 2(11 ) (11 4 )(11 8 )d d d− = − + 233 66d d= 0d ≠ 2d = ∴ ( )6 6na a n d= + − ( )11 2 6n= + − 2 1na n= − 1 1 1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n n n b a a n n n n+ = = = −− + − + 1 2 1 1 1 1 1 1(1 )2 3 3 5 2 1 2 1n nS b b b n n ∴ = + +…+ = − + − +…+ −− + 1 1(1 )2 2 1n = − + 2 1 n n = + 2 1n nS n = + ( )2 2 2 2 2 2 22 2 b c a a c bb c abc ac + − + −⋅ − ⋅= 2 2 2a c b ac+ − = 2 cosac B ac= ac数学试题 第 10 页，共 17 页 所以 cosB＝1 2. ................................................................................................................5 分 因为 0＜B＜π，......................................................6 分【注：无此步骤，本得分点不得分】 所以 B＝π 3. ........................................................................................................7 分 （2）由 S△ABC＝1 2acsinB ..........................................8 分【注：单独写出此步骤，即可得 1 分】 得 ＝1 2×4×c× ，所以 c＝1. ............................................................9 分 又由余弦定理： ，..........10 分【注：单独写出此步骤，即可得 1 分】 得 ， ...................................................................11 分 故△ABC 的周长为 5＋ 13. ...............................................................12 分 【注：第二问也可过 A 作 BC 边上的高，然后通过勾股定理求得边长，此过程按踩分点给分即可】 19.（本小题满分 12 分） 【解析】（1）证明：因为 平面 ， 面 所以 ..............................................................................1 分 因为 是正方形，所以 ............................2 分 又 , 面 ， 面 .............3 分 【注：此步骤未写全 3 个条件，本得分点不得分】 故 平面 ...............................................................4 分 （2）法 1：【向量法】 因为 两两垂直， 建立空间直角坐标系 如图所示．.................................................................................5 分 因为 平面 ，且 与平面 所成角为 ，即 ，.........6 分 所以 由已知 ，可得 ...........................7 分 则 所以 ...............................8 分 3 3 2 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2 2 14 1 2 4 1 132b = + − × × × = 13=b ⊥DE ABCD AC ⊂ ABCD .ACDE ⊥ ABCD AC BD⊥ DBDDE = DE ⊂ BDE BD ⊂ BDE ⊥AC .BDE DEDCDA ,, xyzD − ED ⊥ ABCD EB ABCD °60 °=∠ 60DBE .3= DB ED 3=AD .6,63 == AFDE ),0,3,0(),0,3,3(),63,0,0(),6,0,3(),0,0,3( CBEFA ).62,0,3(),6,3,0( −=−= EFBF CED BAFx yz数学试题 第 11 页，共 17 页 设平面 的法向量为 ，则 ，即 令 ，则 ...............................9 分 因为 平面 ，所以 为平面 的法向量， .................10 分 所以 .........................................11 分 因为二面角为锐角，所以二面角 的余弦值为 .................................12 分 法 2：【几何法】 如图，G、P 分别为线段 ED、EB 的三等分点， M、N 分别为线段 EB、DB 的中点， MN∩GP=H，连结 FH， AF//NH，且 AF=NH，所以 FH//AN，且 FH= AN 所以 FH⊥面 BDE， 过 F 作 FQ⊥EB 垂足为 Q，连结 HQ 由三垂线定理知，∠FQH 为二面角 的平面角。......................................................6 分 由已知可得 ，所以 ..............................................................................7 分 因为 平面 ，且 与平面 所成角为 ，即 ，.................8 分 △PHQ 为直角三角形，∠QPH=60°， ，所以 ，.......................9 分 由勾股定理得 ，得 ，....................................................................10 分 所以 cos∠FQH .........................................................................................................11 分 所以二面角 的余弦值为 ..............................................................................12 分 20.（本小题满分 12 分） BEF ),,( zyxn =    =⋅ =⋅ 0 0 EFn BFn . 0623 063    =− =+− zx zy 6=z ).6,2,4(=n ⊥AC BDE CA BDE ).0,3,3( −=CA .13 13 2623 6,cos = × =⋅>= CAn CAnCAn DBEF −− .13 13 DBEF −− FH AN= 3 2 2FH = ED ⊥ ABCD EB ABCD °60 °=∠ 60DBE 1 2 4 2HP GP= = 6 4HQ = 2 2 2FQ FH HQ= + 78 4FQ = 6 134 1378 4 = = DBEF −− .13 13 N CED BAF G H MPQ数学试题 第 12 页，共 17 页 【解析】（1）法 1：【待定系数法】 由题意可得 ，............................................................................1 分 又因为点在椭圆上得 ..............................................................2 分 联立解得 ， . ............................................................................3 分 所以椭圆 的方程为 .......................................................................4 分 法 2：【定义法】 设另一个焦点为 ，则△ 为直角三角形， 由勾股定理得 ，............................................................................................1 分 所以 ，即 ，........................................................................................2 分 由 得 .........................................................................................................3 分 所以椭圆 的方程为 .......................................................................................4 分 （2）当直线 为非 轴时，可设直线 的方程为 ，与椭圆 联立， 整理得 . .................................................................................5 分 由 设 ， ，定点 (且 则由韦达定理可得 ， . ....................................................6 分 直线 与直线 恰关于 轴对称，等价于 的斜率互为相反数. 所以 ，即得 . ...................................................7 分 又 ， ，得 ， 222 3 bac −== 14 13 22 =+ ba 2 4a = 2 1b = C 2 2 14 x y+ = ( )1 3,0F − 1F FP 1 1 7124 2F P = + = 12 4a PF PF= + = 2a = 2 2 2b a c= − 2 1b = C 2 2 14 x y+ = l x l x my 3 0+ − = C ( )2 24 m y 2 3my 1 0+ − − = ( ) ( ) ( )2 2 2= 2 3m +4 4 m 1=16 m 0∆ + >+ ( )1 1A x , y ( )2 2B x , y ( )Q t,0 1 2t x ,t x )≠ ≠ 1 2 2 2 3my y 4 m + = + 1 2 2 1y y 4 m −= + QA QB x AQ,BQ 1 2 1 2 y y 0x t x t + =− − ( ) ( )1 2 2 1y x t y x t 0− + − = 1 1x my 3 0+ − = 2 2x my 3 0+ − = 1 1x = 3 my− 2 2x = 3 my−数学试题 第 13 页，共 17 页 所以 ， 整理得 . .............................................................................8 分 从而可得 ， 即 ， .............................................................................9 分 所以当 ，即 时，直线 与直线 恰关于 轴对称成立. ..........10 分 特别地，当直线 为 轴时， 也符合题意. ...................................................11 分 综上，存在 轴上的定点 ，满足直线 与直线 恰关于 轴对称......12 分 21.（本小题满分 12 分） 【解析】（1）6 名密切接触者中随机抽取 3 名共有 种方法，……………1 分 抽取 3 名中有感染者的抽法共有 种方法，……………2 分 所以抽到感染者的概率 …………………………3 分 （2）（i）按逐一化验法， 的可能取值是 1，2，3，4，5， ………………4 分 ， ， ， ， ， 【 表示第 5 次化验呈阳性或前 5 次化验都呈阴性（即不检验可确定第 6 个样本为阳性）】 分布列如下： 1 2 3 4 5 …………………5 分 【注：无列表不给分】 ( ) ( )1 2 2 1y 3 my t y 3 my t 0− − + − − = ( )( )1 2 1 23 t y y 2my y 0− + − = ( ) 2 2 2 3m 13 t 2m 04 m 4 m −− ⋅ − ⋅ =+ + ( )2m 4 3t 0− = 4 3t 3 = 4 3Q ,03       QA QB x l x 4 3Q ,03       x 4 3Q ,03       QA QB x 3 6 20C = 1 2 1 5 10C C⋅ = 2 5 3 6 10 1= = =20 2 CP C ξ ( ) 1 1 1 6 11 = = 6 CP C ξ = ( ) 1 1 5 1 2 6 12 = = 6 C CP A ξ = ( ) 2 1 5 1 3 6 13 = = 6 A CP A ξ = ( ) 3 1 5 1 4 6 14 = = 6 A CP A ξ = ( ) 4 1 5 5 1 5 5 5 6 6 1 1 15 = + = =6 6 3 A C AP A A ξ = + 5ξ = ξ P 1 6 1 6 1 6 1 6 1 3数学试题 第 14 页，共 17 页 所以 ……………………………………6 分 （ii）平均分组混合化验，6 个样本可按 平均分成 2 组，或者按 分成 3 组。 如果按 分 2 组，所需化验次数为 ， 的可能取值是 2，3， ， ，……………7 分 分布列如下： 2 3 …………………………………………………………………8 分 如果按 分 3 组，所需化验次数为 ， 的可能取值是 2，3， ， ，……………9 分 分布列如下： 2 3 …………………………………………………………………10 分 【参考回答 1】： 因为 ， ……………………………………………………………11 分 所以我认为平均分组混合化验法较好，按 或 分组进行化验均可。……12 分 【参考回答 2】： 因为 ， 按 分 2 组比按 分 3 组所需硬件资源及操作程序更少， ………………11 分 所以我认为平均分组混合化验法且按 分 2 组更好。……………………………12 分 【注】第三问属于开放性问题，以上仅为参考答案，能给出理由并作出合理判断就可给分。 请注意后续的开放题考查评分可能涉及满意原则（如回答 1）及加分原则（如回答 2）。 ( ) 1 1 1 1 1 10=1 2 3 4 56 6 6 6 3 3E ξ × + × + × + × + × = ( )3 3， ( )2 2 2，， ( )3 3， η η ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 1=2 = = 3 C C C CP C C C C η × + × ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 3 2 3 2=3 = = 3 C C C C C CP C A C A η × + × η P 1 3 2 3 ( ) 1 2 8=2 +3 =3 3 3E η × × ( )2 2 2，， δ δ ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 3 2 1=2 = = 3 C C C CP C C C C δ × + × ( ) 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 3 2 3 2 2=3 = 1+ 1= 3 C C C CP C C C C η × × × × δ P 1 3 2 3 ( ) 1 2 8=2 +3 =3 3 3E δ × × ( ) ( ) ( )=E E Eξ η δ> ( )2 2 2，， ( )3 3， ( ) ( ) ( )=E E Eξ η δ> ( )3 3， ( )2 2 2，， ( )3 3，数学试题 第 15 页，共 17 页 22. （本小题满分 12 分） 【解析】（1）因为 ，则函数定义域为 ， ，……………1 分 若 ，则 ， 在 单调递减；………………………2 分 若 ，则 ， 单调递增， ………………………3 分 极小 ………………4 分 【注：无列表不得分】 所以当 时， 的极小值为 ，无极大值；…………5 分 （2）法 1： ，则 ， ……………………6 分 由（1）知，当 时， 在 单调递减，在 单调递增， 所以 ，所以 ， ……………………………………………………………………7 分 令 ， ， …………………………8 分 令 ， ， 恒成立，所以 所以 恒成立， ………………………………………………………………………9 分 所以 ； ； ； 则 ………………………………………………………………10 分 在 0a > ( )0 +∞， 1 1( ) x af x a x ax −′ = − = 0 x a< < ( ) 0f x′ < ( )f x (0, )a x a> ( ) 0f x′ > ( )f x ( , )a +∞ x (0, )a a ( , )a +∞ ( )'f x − 0 + ( )f x   x a= ( )f x ( ) 1 2lnf a a= − 2(ln ) 0x x xe mx x m− + + + ≤ ( ) 2 ln 1 x x x e x xm −−≤ + 1a = ( ) lnf x x x= − (0,1) (1, )+∞ ( )min( ) 1 1f x f= = ln 1x x− ≥ ( ) 2 2 ln 1 1 x xx x x x x x e e− ≥+ − + − 2( ) 1 xe xh x x −= + (0, )x∈ +∞ ( )( ) ( ) ( ) 2 22 1 1 2 '( ) 1 x xe ex x x h x x − −+ = + − ( ) ( ) ( )22 1 1 1 1 xx x xe x  − + + = + − ( )g x = ( )1 1x x xe − + + [ )0,x∈ +∞ '( )g x = 1xe x⋅ + 0> min( ) (0)g x g= = ( )0 0 1 0 1=0e − + + ( ) 0g x > '( ) 0h x > (1, )x⇒ ∈ +∞ '( ) 0h x < (0,1)x⇒ ∈ '( )=0h x =1x⇒ min( ) (1)h x h= = 1 2 1 1=1 1 2 e e − + −数学试题 第 16 页，共 17 页 所以 ，当且仅当 时等号成立。 ……………………11 分 所以，正实数 的取值范围为 .……………………………………………………12 分 法 2：由（1）知，当 时， 在 单调递减，在 单调递增， 所以 ，所以 ，……………………………………………6 分 因为 ， 所以 ，所以 ，（*），……………7 分 令 ， ， 则 ， 因为 ，所以 ， ①若 ，则 ， 当 时，则 ，所以 在 单调递增， 当 时，则 ，所以 在 单调递减， 所以 ，………………………………………………………8 分 又因为 ，且 和 都在 处取得最值， 所以当 ，解得 ，所以 ， ………………………9 分 ②若 ，则 ， 当 时， ， 在 单调递减； ( ) 2 2 ln 1 1 x xx x x x x x e e− ≥+ − + − 1 2 e −≥ 1x = m 10, 2 e −     1a = ( ) lnf x x x= − (0,1) (1, )+∞ min( ) (1) 1f x f= = ln 1x x− ≥ ( )2ln 1 0x xe x mx e x m+ + − + ≤ 2(ln ) 0x x xe mx x m− + + + ≤ 2 lnxe mx x m x x + + ≤ − 2 ( ) x mx x mh x e + += (0, )x∈ +∞ ( )2 2 (2 1) ( ) x x x mx mx x m e h x e e + − + +′ = 2 (2 1) 1 xe mx m x m− + − − += ( 1)( 1) x m e x m x− + − −= 1 ( 1) x mm x xm e − − − −  = 0m > 11 1m − < 0 1m< ≤ 11 0m − ≤ 0 1x< < ( ) 0h x′ > ( )h x (0,1) 1x > ( ) 0h x′ < ( )h x (1, )+∞ max 2 1( ) (1)h x e mh += = ( ) 1f x ≥ ( )h x ( )f x 1x = 2 1 1m e + ≤ 1 2 em −≤ 10 2 em −< ≤ 1m > 10 1 1m < − < 10 1x m < < − ( ) 0h x′ < ( )h x 10,1 m  −  数学试题 第 17 页，共 17 页 当 时， ， 在 单调递增； 当 时， ， 在 单调递减， ……………………………10 分 所以 ，与（*）矛盾，不符合题意，舍去. ………………………11 分 综上，正实数 的取值范围为 .………………………………………………12 分 11 1xm − < < ( ) 0h x′ > ( )h x 11 ,1m  −   1x > ( ) 0h x′ < ( )h x (1, )+∞ 2 1(1) 1m eh += > m 10, 2 e −    