唐山市 2019—2020 学年度高三 4 月六校联考
文科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案
写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合，再求交集即可.
【详解】 ，
故选：B
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.
2.若 （ 是虚数单位），则 （ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
{ }| 1 1M x Z x= ∈ − ≤ ≤ ( ){ }2 0|N x Z x x= ∈ − ≤ M N =
{ }1,2− { }0,1 { }1,0,1−
{ }1,0,1,2-
{ } { }| 1,0,1 11M x Z x = −= ∈ − ≤ ≤ ( ){ } { }2 0| 0,1,2N x Z x x= =∈ − ≤
M N = { }0,1
3 4
1
iz izi
+= +− i | |z =
3
2
5
2结合复数的四则运算,计算 z，结合复数模长计算公式，计算，即可．
【详解】 ,化简,得到 ,因此 ,故选 C.
【点睛】考查了复数的四则运算，考查了复数的模长计算公式，难度中等．
3.已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 与 的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平方运算可求得 ，利用 求得结果.
【详解】由题意可知： ，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
4.已知数列 是公比不为 1 的等比数列， 为其前 n 项和，满足 ，且 成
等差数列，则 （ ）
A. B. 6 C. 7 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为 ，且 不为 1，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可
得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得答案．
【详解】数列 是公比 不为 l 的等比数列，满足 ，即
且 成等差数列，得 ，即 ，
( ) 3 41 1
ii z i
+− = −
32 2z i= − +
2
2 3 52 2 2z = + =
a b 2a = | | 1b = 2b a+ = a b
2
2
2
3
2
8
2
4
1
2a b⋅ = cos , a ba b
a b
⋅< >=
2 2 22 3 2 4b a b a b a a b+ = + ⋅ + = + ⋅ = 1
2a b⋅ =
1 2cos , 42 2
a ba b
a b
⋅∴ < >= = =
D
{ }na nS 2 2a = 1 4 716 9 2a a a， ，
3S =
5
q q
{ }na q 2 2a = 1 2a q = ，
1 4 716 9 2a a a， ， 4 1 718 16 2a a a= + 3 6
1 1 19 8a q a a q= +解得 ，
则 ．
故选 C．
【点睛】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思
想和运算能力，属于基础题．
5.若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本道题结合指数,对数运算性质,结合 1 和对数单调性进行判断,即可.
【详解】 ,
,故 ,故选 D.
【点睛】本道题考查了指数、对数比较大小，可以结合 1 以及对数性质进行比较，难度中
等．
6.如图 1 为某省 2019 年 1~4 月快递义务量统计图，图 2 是该省 2019 年 1~4 月快递业务收入统
计图，下列对统计图理解错误的是( )
A. 2019 年 1~4 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件
B. 2019 年 1~4 月的业务量同比增长率超过 50%，在 3 月最高
12 1q a= =，
3
3
1 2S 71 2
−= =−
1
29
4a = 83log 3b =
1
32
3c =
a b c
c b a< < a b c< < b a c< < c a b< <
9 3
4 2a = =
3
3
3 2
2 2 22log 3 log 3 log 2 log 2 2 1b a= = > = = >
1
32 13c = 2F A两点，且 ， ，则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出
关系，求出离心率.
【详解】
设 ，则
由椭圆的定义，可以得到
,
在 中，有 ，解得
在 中，有
整理得 ，
故选 C 项.
【点睛】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，
构造出 关系，得到离心率.属于中档题.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.某单位有 360 名职工，现采用系统抽样方法，抽取 20 人做问卷调查，将 360 人按 1，
2，…，360 随机编号，则抽取的 20 人中，编号落入区间 的人数为__________．
【答案】6
【解析】
B 1 2 0AF AF⋅ =
2 22AF F B= E
2
3
3
4
5
3
7
4
2 22AF F B=
,a c
2 22AF F B=
2BF x= 2 2AF x=
1 12 2 , 2AF a x BF a x= − = −
1 2 0AF AF⋅ =
1 2AF AF∴ ⊥
1Rt AF B ( ) ( ) ( )2 2 22 2 3 2a x x a x− + = −
3
ax =
2 1
2 4,3 3
a aAF AF∴ = =
1 2Rt AF F△ ( )2 2
24 2 23 3
a a c + =
2
2
5= 9
c
a
5
3
ce a
∴ = =
,a c
[181,288]【分析】
首先计算出样本间隔为 18，在区间 中共有 108 人，然后进行计算即可．
【详解】样本间隔为 ，
在区间 内共有 人， ，
即在区间 内的抽取人数为 6 人，故答案为 6.
【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键，属于基础题.
14.已知圆 及直线 ，当直线 被圆 截得的弦长
最短时，直线 的方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题得直线 l 过定点 P（2，2），当直线 l 垂直于过点 P 的圆 C 的半径时，l 被截得的弦长最短，
利用垂直关系得直线 l 的斜率即可求解方程
【详解】由 l： 得 a（x 2）+y 2=0
∴不论 a 取何值，直线 l 恒过点 P（2,2）
∵
∴点 P（2,2）在圆 C 内
故当直线 l 垂直 CP 时，直线 l 被圆 C 截得的弦长最短，此时 ,故直线 的方
程为
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程及圆的几何性质，考查学生分析解决
问题的能力，属于中档题．
15.如图，矩形 中， 为 的中点，将 沿直线 翻折成 ，连结
， 为 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是_______.
①存在某个位置，使得 ；
②翻折过程中， 的长是定值；
③若 ，则 ；
[ ]181,288
360 20 18÷ =
]181[ 288， 288 181 1 108− + = 108 18 6÷ =
]181[ 288，
2 2:( 3) ( 1) 3C x y− + − = : 2 2 0l ax y a+ − − = l C
l
0x y− =
: 2 2 0l ax y a+ − − = - -
2 21 1 2 3+ = <
1, 1CP lk k= − ∴ = l
0x y− =
ABCD M BC ABM∆ AM 1AB M∆
1B D N 1B D
CN AB⊥
CN
AB BM= 1AM B D⊥④若 ，当三棱锥 的体积最大时，三棱锥 的外接球的表面
积是 .
【答案】②④
【解析】
【分析】
对于①，取 AD 中点 E，连接 EC 交 MD 与 F，可得到 EN⊥NF，又 EN⊥CN，且三线 NE，NF，NC
共面共点，不可能，
对于②，可得由∠NEC＝∠MAB1（定值），NE AB1（定值），AM＝EC（定值），由余弦定理可
得 NC 是定值．
对于③，取 AM 中点 O，连接 B1O，DO，易得 AM⊥面 ODB1，即可得 OD⊥AM，从而 AD＝MD，显
然不成立．
对于④：当平面 B1AM⊥平面 AMD 时，三棱锥 B1﹣AMD 的体积最大，可得球半径为 1，表面积是
4π．
【详解】对于①：如图 1，取 AD 中点 E，连接 EC 交 MD 与 F，则 NE∥AB1，NF∥MB1，
如果 CN⊥AB1，可得到 EN⊥NF，又 EN⊥CN，且三线 NE，NF，NC 共面共点，不可能，故①
错．
对于②：如图 1，可得由∠NEC＝∠MAB1（定值），NE AB1（定值），AM＝EC（定值），
由余弦定理可得 NC2＝NE2+EC2﹣2NE•EC•cos∠NEC，所以 NC 是定值，故②正确．
对于③：如图 2，取 AM 中点 O，连接 B1O，DO，易得 AM⊥面 ODB1，即可得 OD⊥AM，从而 AD＝
1AB BM= = 1B AMD− 1B AMD−
4π
1
2
=
1
2
=MD，显然不成立，可得③不正确．
对于④：当平面 B1AM⊥平面 AMD 时，三棱锥 B1﹣AMD 的体积最大，易得 AD 中点 H 就是三棱锥
B1﹣AMD 的外接球的球心，球半径为 1，表面积是 4π．故④正确．
故答案为②④．
【点睛】本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和
推理论证能力，考查了反证法的应用，属于中档题.
16.在 中，角 的对边分别为 ， ， ，且 为锐角，则
面积的最大值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由 ， ，利用正弦定理求得 .，再由余弦定理可得 ，
利用基本不等式可得 ，从而利用三角形面积公式可得结果.
【详解】因为 ，又 ，
所以 ，又 为锐角，可得 .
因为 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
即 ，
即当 时， 面积的最大值为 . 故答案为 .
【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题. 对余弦定理
一定要熟记两种形式：（1） ；（2） ，同时还
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 4c = 4 2 sina A= C
ABC∆
4 4 2+
4c = 4 2sina A=
4C
π= 2 216 2a b ab= + −
( )16 8 2 2
2 2
ab ≤ = +
−
4c = 4 2sin sin
c a
C A
= =
2sin 2C = C 4C
π=
( )2 2 2 216 2 cos 2 2 2a b ab C a b ab ab= + − = + − ≥ −
( )16 8 2 2
2 2
ab ≤ = +
−
( )8 2 2a b= = +
1 2sin 4 4 22 4ABCS ab C ab∆ = = ≤ +
( )8 2 2a b= = + ABC∆ 4 4 2+ 4 4 2+
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
2 2 2
cos 2
b c aA bc
+ −=要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先设等差数列 的首项为 ，公差为 ，根据题意列出方程组，求出首项与公差，
即可得出结果；
（2）由裂项相消法，直接求解，即可得出结果．
【详解】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，因为 ， ，
则： ，解得 ，
所以 ．
（2）由于 ，
所以 ．
则 ．
【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，以及求数列的和，熟记等差数列的通项公式与求
和公式，以及裂项相消法求数列的和即可，属于基础题型．
30 ,45 ,60o o o
{ }na n nS 2 4S = 5 25S =
{ }na
1 2
1
n
n n
b a a+ +
= { }nb n nT
2 1na n= −
6 9
n
n +
{ }na 1a d
{ }na 1a d 2 4S = 5 25S =
1
1
2 4
5 45 252
a d
a d
+ = ⋅+ ⋅ =
1 2
1
a
d
=
=
1 2( 1) 2 1na n n= + − = −
2 1na n= −
( )( )1 2
1 1 1 1 1
2 1 2 3 2 2 1 2 3n
n n
b a a n n n n+ +
= = = − + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 5 5 7 2 1 2 3 2 3 2 3 6 9n
nT n n n n
= − + − +…+ − = − = + + + + 18.如图，四边形 为正方形， 平面 ， ，点 ， 分别为
， 的中点．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）求点 到平面 的距离．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）取 的中点 ，连接 、 ，由已知结合三角形中位线定理可得
且 ，得四边形 为平行四边形，从而可得 ，再由线面平
行的判定可得 平面 ；（Ⅱ）利用等积法可得： ，代入棱锥体积公
式可得点 到平面 的距离．
试题解析：（Ⅰ）证明：取点 是 的中点，连接 ， ，则 ，且
，
∵ 且 ，
∴ 且 ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，∴ 平面 ．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 平面 ，所以点 到平面 的距离与 到平面 的
距离是相等的，故转化为求点 到平面 的距离，设为 ．
利用等体积法： ，即 ， ，
∵ ， ，∴ ，∴ ．
ABCD PD ⊥ ABCD 2PD DC= = E F
AD PC
/ /DF PBE
F PBE
6
3
PB G EG FG
/ /DE FG DE FG= DEGF / /DF EG
/ /DF PBE D PBE P BDEV V=﹣ ﹣
F PBE
G PB EG FG / /FG BC
1
2FG BC=
/ /DE BC 1
2DE BC=
/ /DE FG DE FG=
DEGF
/ /DF EG / /DF PBE
/ /DF PBE D PBE F PBE
D PBE d
D PBE P BDEV V− −= 1 1
3 3PBE BDES d S PD∆ ∆⋅ = ⋅ 1 12BDES DE AB∆ = × × =
5PE BE= = 2 3PB = 6PBES∆ = 6
3d =点睛：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法
求多面体的体积，是中档题；在证明线面平行的过程中，常见的方法有：1、构造三角形的中
位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行；在该题中利用的是构造平行四边形.求点到面
的距离主要是利用等体积法.
19.近年来，共享单车在我国各城市迅猛发展，为人们的出行提供了便利，但也给城市的交通
管理带来了一些困难，为掌握共享单车在 省的发展情况，某调查机构从该省抽取了 5 个城
市，并统计了共享单车的 指标 和 指标 ，数据如下表所示：
城市 1 城市 2 城市 3 城市 4 城市 5
指标 2 4 5 6 8
指标 3 4 4 4 5
（1）试求 与 间的相关系数 ，并说明 与 是否具有较强的线性相关关系（若
，则认为 与 具有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系）.
（2）建立 关于 的回归方程，并预测当 指标为 7 时， 指标的估计值.
（3）若某城市的共享单车 指标 在区间 的右侧，则认为该城市共享单车数
量过多，对城市的交通管理有较大的影响交通管理部门将进行治理，直至 指标 在区间
内现已知 省某城市共享单车的 指标为 13，则该城市的交通管理部门是否
需要进行治理？试说明理由.
参考公式：回归直线 中斜率和截距的最小二乘估计分别为
C
A x B y
A
B
y x r y x
| | 0.75r ≥ y x
y x A B
A x ( 3 , 3 )x s x s− +
A x
( 3 , 3 )x s x s− + C A
y bx a= +，， 相关系数
参考数据： ， ， .
【答案】（1） ， 与 具有较强的线性相关关系；（2） ， 指标的估
计值为 4.6；（3）城市的交通管理部门需要进行治理，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出 ，求出相关系数公式中的各个量，即可得出结论；
（2）利用（1）中的数据求出 ，求出线性回归方程，即可求出 时， 的值；
（3）分别求出 的值，13 与 对比，即可得出结论.
【详解】（1）由题得 ，
所以 ， ，
则 .
因为 ，所以 与 具有较强的线性相关关系.
（2）由（1）得 ， ，
所以线性回归方程为 .
当 时， ，
即当 指标为 7 时， 指标的估计值为 4.6.
（3）由题得 ，
因为 ，所以该城市的交通管理部门需要进行治理.
【点睛】本题考查两个变量间的相关性判断、线性回归直线方程及应用，考查计算求解能力，
属于基础题.
( )( )
( )
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
=
−
∑
∑
a y bx= −
( )( )
( ) ( )
1
2 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
= =
− −
=
− −
∑
∑ ∑
( )5 2
1
1 25 i
i
s x x
=
= − =∑ 0.3 0.55≈ 0.9 0.95≈
0.95r ≈ y x 0.3 2.5y x= + B
,x y
,b a 7x = y
3 , 3x s x s− + 3x s+
2 4 5 6 8 55x
+ + + += = 3 4 4 4 5 45y
+ + + += =
( )( )5
1
6i i
i
x x y y
=
− − =∑ ( )5 2
1
20i
i
x x
=
− =∑ ( )5 2
1
2i
i
y y
=
− =∑
6 0.9 0.95
2 5 2
r = = ≈
×
0.75r > y x
6 0.320b = = 4 0.3 5 2.5a = − × =
0.3 2.5y x= +
7x = 0.3 7 2.5 4.6y = × + =
A B
( 3 , 3 ) ( 1,11)x s x s− + = −
13 11>20.已知椭圆： 的四个顶点围成的四边形的面积为 ，原点到直
线 的距离为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知定点 ，是否存在过 的直线 ，使 与椭圆 交于 ， 两点，且以
为直径的圆过椭圆 的左顶点？若存在，求出 的方程：若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在，且方程为 或 .
【解析】
【分析】
（1）依题意列出关于 a,b,c 的方程组，求得 a,b,进而可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭
圆得到 ，要使以 为直径的圆过椭圆 的左顶点 ，
则 ，结合韦达定理可得到参数值.
【详解】（1）直线 的一般方程为 .
依题意 ，解得 ，故椭圆 的方程式为 .
（2）假若存在这样的直线 ，
当斜率不存在时，以 为直径的圆显然不经过椭圆 的左顶点，
所以可设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 .
由 ，得 .
由 ，得 .
记 ， 的坐标分别为 ， ，
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 2 15
1x y
a b
+ = 30
4
C
(0,2)P P l l C A B | |AB
C l
2 2
15 3
x y+ = 2 5 25y x= + 8 5 25y x= +
( )2 23 5 20 5 0k x kx+ + + = AB C ( )5,0D −
0DA DB⋅ =
1x y
a b
+ = 0bx ay ab+ − =
2 2
2 2 2
2 2 15
30
4
ab
ab
a b
a b c
=
=
+
= +
5
3
a
b
=
=
C
2 2
15 3
x y+ =
l
AB C
l k l 2y kx= +
2 2
2
3 5 15
y kx
x y
= +
+ =
( )2 23 5 20 5 0k x kx+ + + =
( )2 2400 20 3 5 0k k∆ = − + > 5 5, ,5 5k
∈ −∞ − ∪ +∞
A B ( )1 1,x y ( )2 2,x y则 ， ，
而 .
要使以 为直径的圆过椭圆 的左顶点 ，则 ，
即 ，
所以 ，
整理解得 或 ，
所以存在过 的直线 ，使 与椭圆 交于 ， 两点，且以 为直径的圆过椭圆 的左
顶点，直线 的方程为 或 .
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程
是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，
最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，
尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
21.已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，试判断 的零点个数.
【答案】（1）当 时， 在 上是增函数，
当 ， 在 上是增函数，在 上是减函数，在 上是增函数，
当 时， 在 上是增函数，在 上是减函数，在 上是增函数；
（2）1
【解析】
【分析】
（1）对 求导后对 进行分类讨论，找到 和 的区间，即为 的
1 2 2
20
3 5
kx x k
+ = − + 1 2 2
5
3 5x x k
= +
( )( )1 2 1 22 2y y kx kx= + + ( )2
1 2 1 22 4k x x k x x= + + +
AB C ( )5,0D − 0DA DB⋅ =
( )( )1 2 1 25 5y y x x+ + + ( ) ( )( )2
1 2 1 21 2 5 9k x x k x x= + + + + + 0=
( ) ( )2
2 2
5 201 2 5 93 5 3 5
kk kk k
+ − + ++ + 0=
2 5
5k = 8 5
5k =
P l l C A B AB C
l 2 5 25y x= + 8 5 25y x= +
( ) ( )21 ln ( 0)2
af x x x x a= − − + >
( )f x
1 a e< < ( )f x
1a = ( )f x ( )0, ∞+
0 1a< < ( )f x ( )0,1 11, a
1 ,a
+∞
1a > ( )f x 10, a
1 ,1a
( )1,+∞
( )f x a ( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ < ( )f x单调区间.
（2）由（1）可知 时， 有极大值 和极小值 ，研究他们的正负，并
且找到令 的点，根据零点存在定理，找出零点个数.
【详解】（1）函数 的定义域为 ， ，令
，则 ， ，
（i）若 ，则 恒成立，所以 在 上是增函数，
（ii）若 ，则 ，
当 时， ， 是增函数，
当 时， ， 是减函数，
当 时， ， 是增函数，
（iii）若 ，则 ，
当 时， ， 是增函数，
当 时， ， 是减函数，
当 时， ， 是增函数，
综上所述：当 时， 在 上是增函数，
当 ， 在 上是增函数，在 上是减函数，在 上是增函数，
当 时， 在 上是增函数，在 上是减函数，在 上是增函数；
（2）当 时，
1 a e< < ( )f x 1f a
( )1f
( ) 0f x >
( )f x ( )0,+∞ ( ) ( ) ( )( )1 111 1 x axf x a x x x
− −= − − + =′
( ) 0f x′ = 1 1x = 2
1x a
=
1a = ( ) 0f x′ ≥ ( )f x ( )0,+∞
0 1a< < 1 1a
>
( )0,1x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x
11,x a
∈
( ) 0f x′ < ( )f x
1 ,x a
∈ +∞
( ) 0f x′ > ( )f x
1a > 10 1a
< <
10,x a
∈
( ) 0f x′ > ( )f x
1 ,1x a
∈
( ) 0f x′ < ( )f x
( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
1a = ( )f x ( )0,+∞
0 1a< < ( )f x ( )0,1 11, a
1 ,a
+∞
1a > ( )f x 10, a
1 ,1a
( )1,+∞
1 a e<
( )g a ( )1,e
( ) ( ) e 1e 2 02 2eg a g< = − − <
( ) ( )2 1 14 4 1 4 ln4 9 4 ln4 ln4 02 2 2
af = − − + > × − + = + >
( )0 1,4x ∈ ( )0 0f x =
1 a e< < ( )f x
x C
4cosρ θ= l
13 2
3
2
x t
y t
= +
=
t l C M
N
C l
( )3,0P 1 1
PM PN
−
2 2( 2) 4x y− + = 3 3 3 0x y− − = 1
3【分析】
（1）根据 ， 将曲线 极坐标方程化为直角坐标方程，利用消元法化
直线 参数方程为普通方程；
（2）先化直线 的参数方程为标准式，再代入曲线 方程，最后根据参数几何意义求解．
【详解】解：（1） 曲线 ， ，
曲线 的直角坐标方程为 ，
即 ，
直线 的参数方程为： （ 为参数），
直线 的普通方程为：
（2） 直线 的参数方程为： （ 为参数），
代入 ，得 ，
，
．
【点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程、参数方程化普通方程以及直线参数方程，考
查基本分析求解能力，属于中档题．
23.已知函数
（Ⅰ）若 ，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若 ，判断 与 的大小关系并证明.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ，证明见解析.
【解析】
的
2 2 2x yρ = + cosx ρ θ= C
l
l C
: 4cosC ρ θ= 2 4 cosρ ρ θ∴ =
∴ C 2 2 4x y x+ =
2 2( 2) 4x y− + =
l
13 2
3
2
x t
y t
= +
=
t
∴ l 3 3 3 0x y− − =
l
13 2
3
2
x t
y t
= +
=
t
2 2 4x y x+ = 2 3 0t t+ − =
1 2 1t t∴ + = − 1 2 3t t = −
∴ 2 1 2 1
1 2 1 2 1 2
| | | | | |1 1 1
| | | | | || | | | 3
1 1 t t t t
tPM P t t t t tN
−− += − = = =
( ) 1 2f x x a a x= − − + −
( )1 3f < a
2 ,3a x R≥ ∈ ( )f x 1
2 4,3 3
−
( ) 1f x ≥【分析】
（Ⅰ）通过讨论 a 的范围，去掉绝对值，解不等式，确定 的范围即可；
（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质判断即可．
【详解】（I）因为 ，所以 .
① 当 时，得 ，解得 ，所以 ;
② 当 时，得 ，解得 ，所以 ;
③ 当 时，得 ，解得 ，所以 ;
综上所述，实数 的取值范围是
（II） ，因为 ,
所以
【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的证明，是一道中档题．
a
( )1 3f < 1 2 3a a+ − <
0a ≤ ( )1 2 3a a− + − < 2
3a > − 2 03 a− < ≤
10 2a< < ( )1 2 3a a+ − < 2a > − 10 2a< <
1
2a ≥ ( )1 2 3a a− − < 4
3a < 1 4
2 3a≤ <
a 2 4,3 3
−
( ) 1f x ≥ 2 ,3a x R≥ ∈
( ) 1 2f x x a a x= − − + − ( ) ( )1 2 1 3 3 1 1x a a x a a≥ − − − − = − = − ≥
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