河北省石家庄市2020届高三数学（文）5月阶段性训练试题（Word版附解析）

石家庄市 2020 届高三年级阶段性训练题 数学（文科） （时间 120 分钟，满分 150 分） 一､选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合 ，则集合 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 化简集合 ，按交集的定义，即可求解. 【详解】由题意知 ，故 . 故选：B． 【点睛】本题考查集合间的运算，注意对数函数的定义域，属于基础题. 2.命题 ：“ ”的否定形式 为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据全称命题的否定形式，即可得出结论. 【详解】命题 ：“ ”的否定形式 ， . 故选：A． 【点睛】本题考查命题的否定，要注意量词间的相互转化，属于基础题, 2{ | 1 3}, { | log ( 2)}A x x B x y x= − ≤ ≤ = = − A B = { }| 1 2x x− ≤ < { }| 2 3x x< ≤ { }|1 3x x< ≤ { }| 2x x > B { | 2}B x x= > { | 2 3}A B x x∩ = < ≤ p ( ,0),2 3x xx∀ ∈ −∞ ≥ p¬ 0 0 0 ( ,0),2 3x xx∃ ∈ −∞ < 0 0 0 ( ,0),2 3x xx∃ ∈ −∞ ≤ ( ,0),2 3x xx∀ ∈ −∞ < ( ,0),2 3x xx∀ ∈ −∞ ≤ p ( ,0),2 3x xx∀ ∈ −∞ ≥ 0: ( ,0)p x¬ ∃ ∈ −∞ 0 02 3x x ( ) 2f x ≥ 1( ) ( , 2] [2, )f x x x = + ∈ −∞ − ∪ +∞ ( ) sin [ 1,1]f x x= ∈ − ( ) ( )f x f x− = − ( ) 2 2x xf x −= − R ABC , ,A B C , ,a b c，则 的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据正弦定理边角互化，得到 ，再根据余弦定理求角 ，最后代入三角形面 积公式 求解. 【 详 解 】 根 据 正 弦 定 理 知 化 为 为 ，即 ，故 ，故 ，则 ．因为 ， 的面积 ． 故选:B 【点睛】本题考查正余弦定理，三角形面积解三角形，重点考查转化与化归的思想，属于基 础题型. 6.已知实数 x，y 满足不等式 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据约束条件画出可行域，目标函数 转化为点 与 连线的斜率，从而求 出其最大值. 【详解】根据约束条件 画出可行域， 图中阴影部分为可行域， ( )(sin sin ) (sin sin ), 1, 2a b A B c C B b c+ − = + = = ABC 1 2 3 2 3 2 2 2a b c bc= + + A 1 sin2S bc A= ( )(sin sin ) (sin sin )a b A B c C B+ − = + ( )( ) ( )a b a b c c b+ − = + 2 2 2a b c bc= + + 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −= = − 2 3A π= 3sin 2A = 1, 2b c= = ABC 1 3sin2 2S bc A= = 2 0 2 5 0 1 x y x y y − + ≥  + − ≤  ≥ 3 yz x = + 3 5 4 5 3 4 3 2 3 yz x = + ( ),x y ( )3,0− 2 0 2 5 0 1 x y x y y − + ≥  + − ≤  ≥目标函数 ， 表示可行域中点 与 连线的斜率， 由图可知点 与 连线的斜率最大， 故 的最大值为 ， 故选：C. 【点睛】本题考查线性规划求分式型目标函数的最大值，属于中档题. 7.在平面直角坐标系中，角 的终边经过点 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根 据 三 角 函 数 的 定 义 求 出 ， ， 再 利 用 三 角 函 数 变 换 展开求值. 【 详 解 】 由 题 意 知 ， 则 ． 3 yz x = + ( , )x y ( 3,0)− (1,3)P ( 3,0)− z 3 4 3 πα + ( )1,2P sinα = 2 5 15 10 − 3 5 15 10 − 3 5 15 10 + 2 5 15 10 + sin 3 πα +   cos 3 πα +   sin sin 3 3 π πα α  = + −     2 1sin ,cos3 35 5 π πα α   + = + =       sin sin sin cos cos sin3 3 3 3 3 3 π π π π π πα α α α      = + − = + − +            故选：A 【点睛】本题考查三角函数的定义，三角函数给值求值，重点考查转化与化归的思想，计算 能力，属于基础题型，本题的关键是三角变换 . 8.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图 的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白 圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数分别记为 ，则满足 的概率 为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先由题意抽象出阳数和阴数包含哪些数字，并通过列举的方法列举 的基本事件的 个数，并求对立事件的概率. 【详解】因为阳数：1，3，5，7，9，阴数：2，4，6，8，10，所以从阳数和阴数中各取一数 共有： 种情况． 满足 有 ，共 9 种情况，故 满足 的情况有 16 种，故根据古典概型得满足 的概率为 ． 故选：C 【点睛】本题考查数学文化，古典概型，属于基础题型，本题的关键读懂题意，并转化为典 型的古典概型. 9.某高校组织若干名学生参加自主招生考试（满分 150 分），学生成绩的频率分布直方图如图 2 1 1 3 2 5 15 2 2 105 5 −= × − × = sin sin 3 3 π πα α  = + −     ,a b | | 2a b− ≥ 8 25 9 25 16 25 18 25 1− =a b 5 5 25× = | | 1− =a b (1,2),(3,2),(3,4),(5,4),(5,6),(7,6),(7,8),(9,8),(9,10) | | 2a b− ≥ | | 2a b− ≥ 16 25所示，分组区间为： ，其中 成等 差数列且 ．该高校拟以成绩的中位数作为分数线来确定进人面试阶段学生名单，根据 频率分布直方图进人该校面试的分数线为（ ） A. 117 B. 118 C. 119 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】 由频率和为 1，以及已知条件，求得 的值，再根据中位数左边的矩形面积和为 0.5，计 算中位数. 【详解】由于 ，解得 ， 前三个组的频率之和为 ，第四个组的频率为 0.2，故中位数为 （分）． 故选：C 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，重点考查中位数，频率，属于基础题型. 10.如图，在矩形 中， ，动点 在以点 为圆心且与 相切的圆上， 则 的最大值是（ ） A. B. 5 C. D. [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ]80,90 , 90,100 , 100,110 , 110,120 , 120,130 , 130,140 , 140,150 , ,a b c 2c a= , ,a b c 2 0.052, 2 , 2a b c a c b c a+ + = + = = 0.008, 0.012, 0.016a b c= = = 0.04 0.12 0.16 0.32+ + = 0.18110 10 1190.2 + × = ABCD 2 2AB BC= = M C BD AM BD⋅  1− 3 5− + 3 5+【答案】A 【解析】 【分析】 根据已知先求出圆 的半径，由 ，结合向量数量积运算律， 的最 大值转化为求 的最大值，再由向量的数量积公式，即可求出结论. 【详解】由题意知 ，设 到 的距离为 ， 则有 ， 故 ， 其中 ， 设 的夹角为 ， ， 当且仅当 与 同向时，等号成立； 所以 的最大值为 . 故选：A． 【点睛】本题考查向量的线性关系的几何表示、向量数量积及其最值，考查计算求解能力， 属于中档题. 11.函数 相邻两条对称轴间的距离为 的图象与 轴交点坐标为 ，则下列说法不正确的是（ ） A. 是 的一条对称轴 B. C. 在 上单调递增 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据二倍角公式化简函数 ，由周期求 ，以及根据 求 的 C AM AC CM= +   AM BD⋅  CM BD⋅  | | | | 5AC BD= =  C BD d 1 2 2 5 55 d ×= = ( )AM BD AC CM BD AC BD CM BD⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅         ( ) ( ) 3A AD ADD ABC B AB⋅ = + ⋅ − = −      ,CM BD  θ | | | | cos | | | | 2CM BD CM BD CM BDθ⋅ = ⋅ ⋅ ≤ ⋅ =      CM BD AM BD⋅  1− 2( ) 4cos ( ) 2( 0,0 )2f x x πω ϕ ω ϕ= + − > < < , ( )2 f x π y ( )0,1 5 6x π= ( )f x 1ω = ( )f x ( , )3 6 π π− 6 π=ϕ ( ) ( )2cos 2 2f x xω ϕ= + ω ( )0,1 ϕ的值，求得 ，并根据函数性质，依次判断选项. 【详解】由题意知 ，由周期为 ，知 ； 又因为 ， 即 ， ． 所以 ， 所以 BD 正确 当 时， ，是函数 的对称轴，所以 A 正确； 当 时， 此时当 时，函数单调递增，当 时函数单调递减， 所以 C 不正确. 故选：C 【点睛】本题考查三角恒等变换，根据函数性质求函数的解析式，以及判断三角函数的性质， 属于中档题型，本题的关键是正确求得函数的解析式，并会根据选项判断函数性质. 12.已知函数 对于任意 ，均满足 ，当 时， ，（其中 为自然对数的底数），若存在实数 满足 ，则 的取值 范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件判断函数关于 对称，并根据函数的解析式画出函数的图象，根据对称性可判断 ( ) 2cos 2 3f x x π = +   2( ) 4cos ( ) 2 2cos(2 2 )f x x xω ϕ ω ϕ= + − = + π 1ω = (0) 2cos2 1f ϕ= = 0 0 22 πϕ ϕ π< < <        2 4( ) 2ln2 1,g b e  ∈ −   ( ) 4 ln 2aa b c d b e b b+ + + − = − − 2 1 1be e < ≤ 3( ) ( 0)f x ax ax a= − > 0x = 1x = a = 2 2【解析】 【分析】 求出导函数，则 可得． 【详解】 ，由 ，即 ，解得 . 故答案为 ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线垂直的条件．属于简单题． 14.已知双曲线 ： 的焦点关于一条渐近线的对称点在 轴上，则该双 曲线的离心率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意列方程得双曲线是等轴双曲线，进而可得离心率. 【详解】设焦点坐标是 ， 其中一条渐近线方程是 ，设焦点关于渐近线 的对称点是 ， 则 ，得： ，解得： ， 所以， ， 所以双曲线的离心率是 . 故答案为： . 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，重点考查等轴双曲线的几何性质，属于基础题型. 15.如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ，则 _________；四棱锥 的外接球 的表面积为___________． '(0) '(1) 1f f = − ( )2( ) 3 1f x a x′ = − (0) (1) 1f f′ ′⋅ = − 22 1a = 2 2a = 2 2 C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > y 2 ( ),0F c 0c > by xa = ( )0,n 2 2 n a c b n b c a  = −−  = × acn b bcn a  =  = a b= 2 2 2 22 2cc a b a a = + = ⇒ = 2 2 P ABCD− ABCD 2, 60AB AP PAB PAD= = ∠ = ∠ = ° PAC∠ = P ABCD−【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 由条件可知点 在底面 的射影 是正方形对角线的交点，这样可求得 ，并判 断点 是四棱锥 外接球的球心，根据半径计算外接球的表面积. 【详解】由条件可知 和 是等边三角形，则 ，所以点 在底面 的射影 到点 的距离相等，即 ，因为四边形 是正方形， 所以点 是正方形对角线的交点，所以 . 又因为 ， ，所以 是等腰直角三角形，即 ； 所以 ， 所以点 是四棱锥 外接球的球心， ， 所以四棱锥 的外接球的表面积 . 故答案为： ； 【点睛】本题考查四棱锥外接球表面积，重点考查空间想象能力，逻辑推理，计算能力，属 于中档题型，本题的关键是确定球心的位置. 16.已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线 上的三 个动点，其中 且 若 为 的重心，记 三边 的 中点到抛物线 的准线的距离分别为 且满足 ，则 ____； 所在 45 8π P ABCD O PAC∠ O P ABCD− PAB△ PAD△ PA PB PD= = P ABCD O , ,A B D OA OB OD= = ABCD O 2PC = 2PA AB= = 2 2AC = PAC 45PAC∠ =  2OA OB OC OD OP= = = = = O P ABCD− 2R = P ABCD− 24 8S Rπ π= = 45 8π 2: 8C y x= F 1 1 1 2 2 2 3 3 3( , ), ( , ), ( , )P x y P x y P x y C 1 2 3x x x< < 2 0,y < F 1 2 3PP P 1 2 3PP P 1 2 1 3 2 3, ,PP PP P P C 1 2 3, , ,d d d 1 3 22d d d+ = 2y = 1 3PP直线的方程为____． 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 根据焦半径公式和中位线定理可知 ，代入 已 知 得 到 ， 根 据 重 点 坐 标 公 式 可 知 ，公式结合后可得 ，代入抛物线方程求 ，并求得 的中点坐标 ，并代入斜率公式 化简求值，最后代入点斜式方程 求直线. 【详解】由题意知 ，代入 得 ， 即 ． 由 为 的 重 心 ， 则 有 ， 即 ， 即 ， 所 以 ， 因 此 有 ．故 的中点坐标为 ，所在直线的斜率 ，故 所在直线的方程为 ． 故答案为：-4； 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，三角形重心的性质，以及直线与抛物线的综合应用， 意在考查转化与化归的思想，计算，变形，化简能力，属于中档题型. 三､解答题：共 70 分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22､23 题为选考题，考生根据要求作 答． （一）必考题：共 60 分 17.2019 年末，武汉出现新型冠状病毒（ ）肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区， 4− 2 2 0x y− − = 1 2 1 3 2 3 1 2 32, 2, 22 2 2 x x x x x xd d d + + += + = + = + 1 3 22d d d+ = 2 1 32x x x= + 1 2 3 1 2 32, 03 3 x x x y y y+ + + += = 2 2x = 2y 1 3PP 1 3 1 3,2 2 x x y y+ +     1 3 1 3 y yk x x −= − 1 2 1 3 2 3 1 2 32, 2, 22 2 2 x x x x x xd d d + + += + = + = + 1 3 22d d d+ = ( )1 2 3 1 32 2x x x x x+ + = + 2 1 32x x x= + F 1 2 3PP P 1 2 3 1 2 32, 03 3 x x x y y y+ + + += = 2 22 6x x= − 2 2x = 2 4y = − 1 3 4y y+ = 1 3PP (2,2) 1 3 1 3 1 3 8 2y yk x x y y −= = =− + 1 3PP 2 2 0x y− − = 2 2 0x y− − = 2019 nCoV−传播速度很快．因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，目前没有特异治疗 方法，防控难度很大．武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从 2 月 7 日起举全市之力人户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新 冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏 一人．在排查期间，某社区将本社区的排查工作人员分为 ， 两个小组，排查工作期间社 区随机抽取了 100 户已排查户，进行了对排查工作态度是否满意的电话调查，根据调查结果 统计后，得到如下 的列联表． 是否满意 组别 不满意 满意 合计 组 16 34 50 组 5 45 50 合计 21 79 100 （Ⅰ）分别估计社区居民对 组、 组两个排查组的工作态度满意的概率； （Ⅱ）根据列联表的数据，能否有 99%的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组 别”有关? 附表： 0.100 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 附： 【答案】（Ⅰ）0.68；0.9（Ⅱ）有 99%的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别” 有关． 【解析】 A B 2 2× A B A B ( )2 0P K k≥ 0k 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + +【分析】 （Ⅰ）根据 列联表，分别计算两组对社区工作态度满意的频率即可； （Ⅱ）根据 列联表，利用 公式，直接代入求解，并且和 比较. 【详解】解：（Ⅰ）由样本数据， 组排查对象对社区排查工作态度满意的频率为 ，因此社区居民对 组排查工作态度满意的概率估计值为 0.68． 组排查对象对社区排查工作态度满意的频率为 ，因此社区居民对 组排查工作态 度满意的概率估计值为 0.9． （Ⅱ）假设“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”无关，根据列联表中的数据，得到 因此有 99%的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”有关． 【点睛】本题考查独立性检验，重点考查读懂题意，熟练掌握 的计算公式，属于基础题型. 18.已知等差数列 的前 项和为 且 ． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，将已知条件转化为 的关系，求解即可求出数列 的通项公式； （Ⅱ）由（1）结合已知可得 ，用错位相减法求其和. 【详解】（Ⅰ）设数列 的公差为 ， 由 得： ，所以 ， 2 2× 2 2× 2K 6.635 A 34 0.6850 = A B 45 0.950 = B 2 2 100(16 45 5 34) 50 50 21 79K × − ×= × × × 7.294 6.635≈ > 2K { }na n ,nS 3 6 69, 21a a S+ = = { }na 1( )2 nn n a b = { }nb n na n= 1( 1) 2 2n nT n += − × + { }na d 1,a d { }na 2n nb n= × { }na d 6 21S = ( )1 66 212 a a+ = 1 6 7a a+ =又因为 ，所以 ． 于是 ，故 ． （Ⅱ）设 的前项和为 ，因为 ，所以 ， 依题 ， 则 于 即 故： ． 【点睛】本题考查等差数列的前 项和与通项公式的基本量的计算，以及用错位相减法求数列 的前 项和，考查计算求解能力，属于基础题. 19.如图 1，在 中， 分别是 边上的中点，将 沿 折起到 的位置，使 如图 2． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求点 到平面 的距离． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 【解析】 【分析】 是 3 6 9a a+ = 1d = 1 1a = na n= { }nb nT 1 2 n n n a b  =    2n nb n= × 1 21 2 2 2 2n nT n= × + × + + × 2 3 12 1 2 2 2 2n nT n += × + × + + × 1 2 11 2 1 2 1 2 2n n nT n +− = × + × + × − × 1 12(1 2 ) 2 (1 ) 2 21 2 n n nn n+ +−= − × = − × −− 1( 1) 2 2n nT n += − × + 1( 1) 2 2n nT n += − × + n n Rt ABC 90 , 4, ,C BC AC D E∠ = ° = = ,AC AB ADE DE 1A DE△ 1 1 ,AC A D= 1DE AC⊥ C 1A BE 4 5 5（Ⅰ）要证明线线垂直，需证明线面垂直，易证明 平面 ； （Ⅱ）利用等体积转化 ，求点 到平面 的距离. 【详解】证明：（Ⅰ）在图 1 中， ， 为 边中点，所以 ． 又 所以 ． 在图 2 中 ， 且 则 平面 ． 又因为 平面 所以 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 平面 且 平面 ， 所以平面 平面 且平面 平面 ， 在正 中，过 作 ，垂足为 ， 所以 平面 ． 即为三棱锥 底面上的高， 在 中， ． 在 中， ， ，所以 ． 在梯形 中 ． 设点 到平面 的距离为 ， 因为 ， 所以 ，解得 ． 即点 到平面 的距离为 ． DE ⊥ 1ACD 1 1C A BE A BCEV V− −= C 1A BE ABC D E ,AC AB DE BC∥ AC BC⊥ DE AC⊥ 1DE A D⊥ DE DC⊥ 1A D DC D= DE ⊥ 1ACD 1AC ⊂ 1ACD 1DE AC⊥ DE ⊥ 1ACD DE ⊂ BCDE 1ACD ⊥ BCDE 1ACD ∩ BCDE DC= 1ACD△ 1A 1AO CD⊥ O 1AO ⊥ BCDE 1AO 1A BCE− 1ACD△ 1 3AO = 1A BE 1 2 2A E BE= = 1 2 5A B = 1 15A BES =  BCDE 1 42BCE BCDS S BC CD= = ⋅ =   C 1A BE h 1 1C A BE A BCEV V− −=三棱锥 三棱锥 1 1 1 1 3 3A BE BCES h S AO⋅ = ⋅   4 5 5h = C 1A BE 4 5 5【点睛】本题考查线线，线面垂直关系，以及点到平面的距离，重点考查空间想象能力，转 化能力，属于基础题型. 20.已知点 ，椭圆 ： 的离心率为 和 分别是椭圆 的左焦点和上顶点，且 的面积为 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设过点 的直线 与 相交于 ， 两点，当 时，求直线 的方程． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 或 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由 的面积为 ，得出 关系，再由离心率结合 关系，求解即可得出椭 圆方程； （Ⅱ）设 ，由已知可得 ，设直线 方程为 ， 与椭圆方程联立，得到 的关系式，进而得出 的关系式，建立 的方程，求解 即可得出结论. 【详解】（Ⅰ）设 ，由条件知 ， 所以 的面积为 ，① 由 得 ，从而 ，化简得 ，② ①②联立解得 ， 从而 ，所以椭圆 的方程为 ； ( )2,0A C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 ,2 F B C ABF 3 2 C A l C P Q 1 3OP OQ⋅ =  l 2 2 12 x y+ = 2 2 0x y+ − = 2 2 0x y− − = ABF 3 2 ,b c , ,a b c ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 1 2 1 2 1 3x x y y+ = l ( 2)y k x= − 1 2 1 2,x x x x+ 1 2y y k ( ,0)( 0)F c c− > (0, )B b ABF 1 3(2 )2 2c b+ ⋅ = 2 2 c a = 2 22a c= 2 2 22b c c+ = b c= 1b c= = 2a = C 2 2 12 x y+ =（Ⅱ）当 轴时，不合题意，故设 ， 将 代入 得 ． 由题 得 ， 设 ，则 因为 ， 所以 ， 从而 ， 整理得 ， ， 所以直线 的方程为 或 ． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要掌握根与系数关系设而不求 方法在相交弦中的应用，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题. 21.已知函数 ，其中 为自然对数的底数． （Ⅰ）讨论 单调性； （Ⅱ）当 时，设函数 存在两个零点 ，求证： ． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】 （Ⅰ） ，分 和 两种情况讨论函数的单调性； （Ⅱ）解法一：由题意可知 ，两式相减可得 ，再利用分 l x⊥ : ( 2)l y k x= − ( 2)y k x= − 2 2 12 x y+ = ( )2 2 2 21 2 8 8 2 0k x k x k+ − + − = ( )24 2 4 0k= − > 2 2 2 2k− < < ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 2 2 1 2 1 22 2 8 8 2,1 2 1 2 k kx x x xk k −+ = =+ + 1 3OP OQ⋅ =  ( )( )2 1 2 1 2 1 2 1 22 2x x y y x x k x x+ = + − − ( ) ( )2 2 2 1 2 1 2 11 2 4 3k x x k x x k= + − + + = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 8 2 8 11 2 41 2 1 2 3 k kk k kk k −+ − + =+ + 228 7k = 1 2 2,2 2 2k  = ± ∈ −    l 2 2 0x y+ − = 2 2 0x y− − = ( ) ,xf x e ax a R= + ∈ e ( )f x 3a = − ( ) ( ) ( )g x f x m m R= − ∈ 1 2 1 2, ( )x x x x< 1 2 6x xe e+ > ( ) xf x e a′ = + 0a ≥ 0a < 1 2 1 2 3 3 x x e x m e x m  − =  − = ( )1 2 1 23x xe e x x− = −析法转化为证明要证 ，只需证 ，再通过变形， 构造，证明只需证 即可， ，构造函数 ，利用导数证明 . 解法二：由题意可知 ，再换元令 ，即 ，两式相减得 ，要证 ，即只需证 ， 即证 ，再通过变形，构造得到 ， ， ，利用导数证明 . 【详解】解：（1） ， 当 时， ， 在 上单调递增； 当 时，令 得 ， 在 上单调递减，在 上单调递增； （Ⅱ）解法一：由题意知 ，由 得 ， 两式相减得 ，因为 ，故 ， 要证 ，只需证 ， 两边同除以 得 ， 令 ，故只需证 即可． 令 ， ， 令 ， 当 时， ，故 在 上单调递减， 1 2 6x xe e+ > ( )( ) ( )1 2 1 2 1 23 6x x x xx x e e e e− + < − ( 2) 2 0uu e u− + + < 1 2 0u x x= − < ( ) ( 2) 2uG u u e u= − + + ( ) 0G u < 1 2 1 2 3 3 x x e x m e x m  − =  − = 1 2 1 2 1 2, ,0x xe t e t t t= = < < 1 1 2 2 3ln 3ln t t m t t m = +  = + 1 1 2 2 3ln 0tt t t − = < 1 2 6x xe e+ > 1 2 6t t+ > 1 1 2 2 1 2 3ln 6 t t t t t t − >+ 1 21 12 2 2 1 ln 0 1 t tt tt t  −  − < + 2( 1)( ) ln 1 uG u u u −= − + 1 2 (0,1)tu t = ∈ ( ) 0G u < ( ) xf x e a′ = + 0a ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x ( , )−∞ +∞ 0a < ( ) 0f x′ = ln( )x a= − ( )f x ( ,ln( ))a−∞ − (ln( ) )a− + ∞ ( ) 3xg x e x m= − − ( ) ( )1 2 0 0 g x g x  = = 1 2 1 2 3 3 x x e x m e x m  − =  − = ( )1 2 1 23x xe e x x− = − 1 2x x< ( )1 2 1 23 0x xe e x x− = − < 1 2 6x xe e+ > ( )( ) ( )1 2 1 2 1 23 6x x x xx x e e e e− + < − 23 xe ( )( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1x x x xx x e e− −− + < − 1 2 0u x x= − < ( 2) 2 0uu e u− + + < ( ) ( 2) 2uG u u e u= − + + ( ) ( 1) 1uG u u e′ = − + ( ) ( 1) 1, ( )u uh u u e h u ue′= − + = ( ,0)u∈ −∞ ( ) 0h u′ < ( )h u ( ,0)−∞故 ，故 在 上单调递增，故 ，故原命题得证． 【解法二】由题意知 ，由 得 ， 令 ，即 ，两式相减得 ， 要证 ，即只需证 ，即证 ，即 ，即 ， 令 ，只需证 即可． 令 ， ， 当 时， ，故 在 上单调递增，故 ，因此原不等 式成立． 【点睛】本题考查导数的综合应用 ，重点考查利用导数研究函数的单调性，最值，本题的难 点是根据方程组 转化，变形为可利用的式子，再利用分析法将所证明不等式等 价转化，最后根据换元构造函数，本题属于难题. （二）选考题：共 10 分，请考生从第 22､23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将 答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂､多答， 按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分． [选修 4--4：坐标系与参数方程] 22.在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的 ( ) (0) 0h u h> = ( )G u ( ,0)−∞ ( ) (0) 0G u G< = ( ) 3xg x e x m= − − ( ) ( )1 2 0 0 g x g x  = = 1 2 1 2 3 3 x x e x m e x m  − =  − = 1 2 1 2 1 2, ,0x xe t e t t t= = < < 1 1 2 2 3ln 3ln t t m t t m = +  = + 1 1 2 2 3ln 0tt t t − = < 1 2 6x xe e+ > 1 2 6t t+ > 1 1 2 2 1 2 3ln 6 t t t t t t − >+ ( )1 21 2 1 2 2ln 0t tt t t t −− > 1 1 4 1 2 1 7a b + ≥+ + 5 2 x ( )f x ( )f x（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，将所求的不等式化为 ，利 用基本不等式，即可证明结论. 【详解】（1） 当 时， ；当 时， ； 当 时， ．所以 的最小值为 ． （2）由（1）知 ，即 ， 又因为 ， 所以 ． 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 ． 【点睛】本题考查分类讨论求绝对值不等式的最值，以及利用基本不等式证明不等式，考查 逻辑推理、数学计算能力，属于中档题. 2 5a b+ = 1 1 1[( 1) (2 1)]7 1 2 1a b a b  + + + + + +  3 1, 2, 1( ) 2 1 2 3, 2 ,2 13 1, ,2 x x f x x x x x x x  − − ≤ − = − + + = − + − < > 1 1 1 2 1a b ++ + 1 1 1[( 1) (2 1)]7 1 2 1a b a b  = + + + + + +  1 2 1 127 1 2 1 b a a b + + = + + + +  1 2 1 12 27 1 2 1 b a a b  + +≥ + ⋅  + +  4 7 = 2a b= 5 5,2 4a b= = 1 1 4 1 2 1 7a b + ≥+ +