2020 年高考桂林贺州崇左市联合调研考试
数学（理科）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上．
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 是虚数单位，复数 在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
求出复数 在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论.
【详解】复数 在复平面上对应的点的坐标为 ，该点位于第四象限.
故选：D.
【点睛】本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题.
2.已知随机变量 服从正态分布 ， ， （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正态分布密度曲线 对称性可得出 ，进而可得出结果.
【详解】 ，所以， .
故选：B.
【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.
的
i 1z i= −
z
1z i= − ( )1, 1−
X ( )1,4N ( )2 0.3P X > = ( )0P X < =
0.2 0.3 0.7 0.8
( ) ( )0 2P X P X< = >
( )1,4X N ( ) ( )0 2 0.3P X P X< = > =3.已知集合 ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出集合 ，计算出 和 ，即可得出结论.
【 详 解 】 ， ， ，
.
故选：C.
【点睛】本题考查交集和并集的计算，考查计算能力，属于基础题.
4.已知 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果.
【 详 解 】 ，
.
故选：A.
【点睛】本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础
{ }1A x x= < { }1xB x e= <
{ }1A B x x∩ = < { }A B x x e∪ = <
{ }1A B x x∪ = < { }0 1A B x x∩ = < <
B A B A B
{ }1A x x= > + m n m n mn− > + >C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由不等式的性质及换底公式即可得解.
【详解】解：因为 ， ，则 ，且 ，
所以 ， ，
又 ,
即 ,则 ，
即 ，
故选：D.
【点睛】本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题.
10.过抛物线 C：y2＝4x 的焦点 F，且斜率为 的直线交 C 于点 M(M 在 x 轴的上方)，l 为 C
的准线，点 N 在 l 上且 MN⊥l，则 M 到直线 NF 的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
联立方程解得 M(3， )，根据 MN⊥l 得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF 是边长为 4 的等边三
角形，计算距离得到答案.
【详解】依题意得 F(1,0)，则直线 FM 的方程是 y＝ (x－1)．由 得 x＝ 或 x＝
3.
由 M 在 x 轴的上方得 M(3， )，由 MN⊥l 得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4
又∠NMF 等于直线 FM 的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF 是边长为 4 的等边三角形
点 M 到直线 NF 的距离为
m n mn m n+ > > − m n m n mn+ > − >
ln 2m = lg 2n = m n> ( ), 0,1m n∈
m n mn+ > m n m n+ > −
2 2 2 2
1 1 1 1 10log 10 log log log 2 1lg 2 ln 2 en m e
− = − = − = > =
1m n
mn
− > m n mn− >
m n m n mn+ > − >
3
5 2 2 2 3 3 3
2 3
3 2
3 1
4
y x
y x
= − =
1
3
2 3
34 2 32
× =故选：C
【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.
11.在一个数列中，如果 ，都有 （ 为常数），那么这个数列叫做等积
数列， 叫做这个数列的公积.已知数列 是等积数列，且 ， ，公积为 ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
计算出 的值，推导出 ，再由 ，结合数列的周期性可求
得数列 的前 项和.
【 详 解 】 由 题 意 可 知 ， 则 对 任 意 的 ， ， 则 ，
，
由 ，得 ， ， ，
，因此，
.
故选：B.
【点睛】本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考
查推理能力与计算能力，属于中等题.
12.已知函数 ， ，若对任意的 总有
恒成立，记 的最小值为 ，则 最大值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
*n N∀ ∈ 1 2n n na a a k+ + = k
k { }na 1 1a = 2 2a = 8
1 2 2020a a a+ +⋅⋅⋅+ =
4711 4712 4713 4715
3a ( )3n na a n N ∗
+ = ∈ 2020 3 673 1= × +
{ }na 2020
1 2 8n n na a a+ + = n ∗∈N 0na ≠ 1 2 3 8a a a =
3
1 2
8 4a a a
∴ = =
1 2 8n n na a a+ + = 1 2 3 8n n na a a+ + + = 1 2 1 2 3n n n n n na a a a a a+ + + + +∴ = 3n na a+∴ =
2020 3 673 1= × +
( )1 2 2020 1 2 3 1673 673 7 1 4712a a a a a a a+ +⋅⋅⋅+ = + + + = × + =
( ) lnf x x= ( ) ( )2 3g x m x n= + + ( )0,x∈ +∞
( ) ( )f x g x≤ ( )2 3m n+ ( ),f m n ( ),f m n
1
e 2
1
e
1
e【分析】
对任意的 总有 恒成立，因为 ，对
恒成立，可得 ，令 ，可得 ，结合已知，
即可求得答案.
【详解】 对任意的 总有 恒成立
，对 恒成立，
令 ，
可得
令 ，得
当 ，
当
， ，
故
令 ，得
当 时，
当 ，
当 时，
故选：C.
( )0,x∈ +∞ ( ) ( )f x g x≤ ln (2 3)x m x n≤ + + ( )0,x∈ +∞
2 3 0m + > ln (2 3)y x m x n= − + − 1 (2 3)y mx
′ = − +
( )0,x∈ +∞ ( ) ( )f x g x≤
∴ ln (2 3)x m x n≤ + + ( )0,x∈ +∞
∴ 2 3 0m + >
ln (2 3)y x m x n= − + −
1 (2 3)y mx
′ = − +
0y′ = 1
2 3x m
= +
1
2 3x m
> + 0y′ <
10 2 3x m
< < + 0y′ >
∴ 1
2 3x m
= + max
1ln 1 02 3y nm
= − − ≤+
12 3 nm e− −+ ≥
1(2 3) ( , )n
nm n f m ne ++ ≥ =
1
1( , ) n
nf m n e +
−′ =
1
1 0n
n
e +
− = 1n =
∴ 1n > ( , ) 0f m n′ <
1n < ( , ) 0f m n′ >
∴ 1n = max 2
1( , )f m n e
=【点睛】本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解
法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题
考生都必须作答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：
13.已知向量 , ,若 ,则 ______．
【答案】1
【解析】
【分析】
先分别计算出 和 ,利用向量的模的运算求出 和 ,根据等式即可求出 的
值.
【详解】解：因为 , ,
则 ,
,
因为 ,所以 ,
解得： .
故答案为： .
【点睛】本题考查向量的加法和减法,考查向量模的运算,属于基础题.
14.某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 人、高二 人、高三
人中，抽取 人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为 ，那么高三被抽取的人数为
_______．
【答案】
【解析】
由分层抽样的知识可得 ，即 ，所以高三被抽取的人数为
，应填答案 ．
( )2, 6a = − ( )3,b m= a b a b+ = − m =
a b+ a b− a b+ a b− m
( )2, 6a = − ( )3,b m=
( ) ( )2 25, 6 25 6 12 61a b m m m m + = − = + − = − +
( ) ( )2 21, 6 1 6 12 37a b m m m m − = − − − = + − − = + +
a b a b+ = − 2 212 61 12 37m m m m− + = + +
1m =
1
2400 2000 n
90 36
24
2400 90 362400 2000 n
× =+ + 1600n =
1600 90 242400 2000 1600
× =+ + 2415.点 在双曲线 （ ， ）的右支上，其左、右焦点分别为 、 ，直
线 与以坐标原点 为圆心、 为半径的圆相切于点 ，线段 的垂直平分线恰好过点
，则该双曲线的离心率为________.
【答案】
【解析】
【分析】
画出图形，由条件可得 ， ， ，设线段 的中点为
，则 ，然后求出 ，然后利用双曲线的定义即可建立出方程求解.
【详解】
由线段 的垂直平分线恰好过点 可得
因为直线 与以坐标原点 为圆心、 为半径的圆相切于点
所以 ，
设线段 的中点为 ，则
在直角三角形 中可得
所以
由双曲线的定义可得：
即 ，即 ，即 ，
P
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b > 1F 2F
1PF O a A 1PF
2F
5
3
2 1 2 2PF F F c= = OA a= 1 90F AO∠ = ° 1PF
M 2 2MF a= 1 4PF b=
1PF 2F 2 1 2 2PF F F c= =
1PF O a A
OA a= 1 90F AO∠ = °
1PF M 2 2MF a=
2PMF 2 24 4 2PM c a b= − =
1 4PF b=
1 2 2PF PF a− =
4 2 2b c a− = 2b a c= + ( )224b a c= +即 ，解得
所以离心率为
故答案为：
【点睛】本题考查的是双曲线的定义及三角形中的计算，考查了离心率的求法，属于中档题.
16.某校 名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级
别从小到大共 种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏
分组有两种方式，可以 人一组或者 人一组.如果 人一组，则必须角色相同；如果 人一组，
则 人角色相同或者 人为级别连续的 个不同角色.已知这 名学生扮演的角色有 名士兵
和 名司令，其余角色各 人，现在新加入 名学生，将这 名学生分成 组进行游戏，则新
加入的学生可以扮演的角色的种数为________.
【答案】
【解析】
分析】
对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，分析各种情况下 个学生所扮演的角色的分组，
综合可得出结论.
【详解】依题意， 名学生分成 组，则一定 个 人组和 个 人组.
①若新加入的学生是士兵，则可以将这 个人分组如下； 名士兵；士兵、排长、连长各 名；
营长、团长、旅长各 名；师长、军长、司令各 名； 名司令.所以新加入的学生可以是士兵，
由对称性可知也可以是司令；
②若新加入的学生是排长，则可以将这 个人分组如下： 名士兵；连长、营长、团长各 名；
旅长、师长、军长各 名； 名司令； 名排长.所以新加入的学生可以是排长，由对称性可知
也可以是军长；
③若新加入的学生是连长，则可以将这 个人分组如下： 名士兵；士兵、排长、连长各 名；
连长、营长、团长各 名；旅长、师长、军长各 名； 名司令.所以新加入的学生可以是连长，
由对称性可知也可以是师长；
④若新加入的学生是营长，则可以将这 个人分组如下： 名士兵；排长、连长、营长各 名；
营长、团长、旅长各 名；师长、军长、司令各 名； 名司令.所以新加入的学生可以是营长，
由对称性可知也可以是旅长；
⑤若新加入的学生是团长，则可以将这 个人分组如下： 名士兵；排长、连长、营长各 名；
【
是
( )2 2 2 24 2c a a ac c− = + + 3
5a c=
5
3
c
a
=
5
3
13
9
2 3 2 3
3 3 3 13 3
3 1 1 14 5
9
14
14 5 4 3 1 2
14 3 1
1 1 2
14 3 1
1 3 2
14 2 1
1 1 3
14 3 1
1 1 2
14 3 1旅长、师长、军长各 名； 名司令； 名团长.所以新加入的学生可以是团长.
综上所述，新加入学生可以扮演 种角色.
故答案为： .
【点睛】本题考查分类计数原理的应用，解答的关键就是对新加入的学生所扮演的角色进行
分类讨论，属于中等题.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮
旋转的弧度数 与烧开一壶水所用时间 的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到
了散点图（如图）.
1.47 20.6 0.78 2.35 0.81 -19.3 16.2
表中 ， .
（1）根据散点图判断， 与 哪一个更适宜作烧开一壶水时间 关于开关
旋钮旋转的弧度数 的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立 关于 的回归方程；
（3）若旋转的弧度数 与单位时间内煤气输出量 成正比，那么 为多少时烧开一壶水最省
1 3 2
9
9
x y
x y w ( )10 2
1
i
i
x x
=
−∑ ( )10 2
1
i
i
w w
=
−∑ ( )( )10
1
i i
i
x x y y
=
− −∑ ( )( )10
1i
i iw y yw
=
− −∑
2
1
i
ix
ω = 10
1
1
10 i
i
ω ω
=
= ∑
y a bx= +
2
dy c x
= + y
x
y x
x t x煤气？
附：对于一组数据 ，…， ，其回归直线 的斜率和截
距的最小二乘估计分别为 ， .
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）根据散点图的特征判断.
（2）根据表中数据，代入公式 求得 ，再代入 ，求得
，写出回归方程.
（3）设 ，则煤气用量 ，利用基本不等式求解.
【详解】（1） 更适宜作烧开一壶水时间 关于开关旋钮旋转的弧度数 的回归方
程类型.
（2）由公式可得 ，
，
所以所求回归方程为 .
（3）设 ，则煤气用量
，
( )1 1,u v ( )2 2,u v ( )3 3,u v ( ),n nu v v uβ α= +
( )( )
( )
1
2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
v v u u
u u
β =
=
− −
=
−
∑
∑
ˆˆ v uα β= −
2
dy c x
= +
2
20ˆ 5y x
= + 2x =
( )( )
( )
10
1
10 2
1
ˆ =
=
− −
=
−
∑
∑
i i
i
i
i
w w y y
d
w w
ˆd ˆˆc y dw= −
ˆc
( )0t kx k= >
2
20 205 5 kS yt kx kxx x
= = + = +
2
dy c x
= + y x
( )( )
( )
10
1
10 2
1
16.2ˆ 200.81
i i
i
i
i
w w y y
d
w w
=
=
− −
= = =
−
∑
∑
ˆˆ 20.6 20 0.78 5c y dw= − = − × =
2
20ˆ 5y x
= +
( )0t kx k= >
2
20 20 205 5 2 5 20k kS yt kx kx kx kx x x
= = + = + ≥ ⋅ = 当且仅当 时取“＝”，即 时，煤气用量最小.
【点睛】本题主要考查回归分析，基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档
题.
18. 中的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ， .
（1）求 ；
（2）若 ，点 为边 上一点，且 ，求 的面积.
【答案】（1） （2）10
【解析】
【分析】
（1）由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得 ，再根据二倍角的余弦公式计算
即可；
（2）由已知可得 ，利用余弦定理解出 ，由已知计算出 与 ，再根据三角
形的面积公式求出结果即可.
【详解】（1） ，
，
在 中，由正弦定理得， ，
又 ，
，
，
（2） ， ，
，
由余弦定理得， ，
则 ，
205 kkx x
= 2x =
ABC A B C a b c 5 4b c= 2B C=
cos B
5c = D BC 6BD = ADC
3
5
2 5cos 5C =
cos B
4 5b = a CD sinC
2B C=
∴ sin sin 2 2sin cosB C C C= =
ABC
sin
sin
B b
C c
=
5 4b c=
∴ sin 2 5cos 2sin 2 5
B bC C c
= = =
∴ 2 3cos cos2 2cos 1 5B C C= = − =
5c = 5 4b c=
∴ 4 5b =
2 2 2 2 cosb a c ac B= + −
2 380 25 2 5 5a a= + − ⋅ ⋅ ×化简得， ，
解得 或 （负值舍去），
， ，
， ，
，
的面积 .
【点睛】本题考查了三角形面积公式以及正弦定理、余弦定理的应用，考查了二倍角公式的
应用，考查了运算能力，属于基础题.
19.底面 为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若
， .
（1）求证： ；
（2）求二面角 的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）先由线面垂直的判定定理证明 平面 ，再证明线线垂直即可；
（2）建立空间直角坐标系，求平面 的一个法向量与平面 的一个法向量，再利用
向量数量积运算即可.
【详解】（1）证明：连接 ，由 平行且相等，可知四边形 为平行四边形，
所以 .
2 6 55 0a a− − =
11a = 5a = −
6BD = ∴ 5CD =
2 5cos 5C = ( )0,C π∈
∴ 2 5sin 1 cos 5C C= − =
∴ ADC
1 1 5sin 5 4 5 102 2 5S DC AC C= ⋅ ⋅ = × × × =
ABCD
4DA DH DB= = = 3AE CG= =
EG DF⊥
A HF C− −
15sin 4
θ =
EG ⊥ BDHF
AFH CFH
AC ,AE CG AEGC
/ /EG AC由题意易知 ， ，所以 ， ，
因为 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
（2）设 ， ，由已知可得：平面 平面 ，
所以 ，同理可得： ，所以四边形 为平行四边形，
所以 为 的中点， 为 的中点，所以 平行且相等，从而 平面 ，
又 ，所以 ， ， 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系 ，
， ，由平面几何知识，得 .
则 ， ， ， ，
所以 ， ， .
设平面 的法向量为 ，由 ，可得 ，
令 ，则 ， ，所以 .同理，平面 的一个法向量为
.
设平面 与平面 所成角为 ，
则 ，所以 .
【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法，重点考查了空间向量的
应用，属中档题.
20.已知椭圆 ： （ ），与 轴负半轴交于 ，离心率 .
（1）求椭圆 的方程；
AC BD⊥ AC BF⊥ EG BD⊥ EG BF⊥
BD BF B= EG ⊥ BDHF
DF ⊂ BDHF EG DF⊥
AC BD O= EG HF P= / /ADHE BCGF
//EH FG / /EF HG EFGH
P EG O AC ,OP AE OP ⊥ ABCD
OA OB⊥ OA OB OP O xyz−
3OP = 4DH = 2BF =
( )2 3,0,0A ( )2 3,0,0C − ( )0,2,2F ( )0, 2,4H −
( )2 3,2,2AF = − ( )2 3,2,2CF = ( )0,4, 2HF = −
AFH ( ), ,n x y z= 0
0
AF n
HF n
⋅ =
⋅ =
2 3 2 2 0
4 2 0
x y z
y z
− + + = − =
1y = 2z = 3x = ( )3,1,2n = CFH
( )3,1,2m = −
AFH CFH θ
3 1 4 1cos 48 8
m n
m n
θ ⋅ − + += = =
15sin 4
θ =
C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > x ( 2,0)A − 1
2e =
C（2）设直线 ： 与椭圆 交于 ， 两点，连接 ， 并延
长交直线 于 ， 两点，已知 ，求证：直线 恒
过定点，并求出定点坐标.
【答案】（1） （2）证明见解析；定点坐标为
【解析】
【分析】
（1）由条件直接算出即可
（2）由 得 ， ，
，由 可得 ，同理 ，然后由
推出 即可
【详解】（1）由题有 ， .∴ ，∴ .
∴椭圆方程为 .
（2）由 得
， .又
∴ ，
同理
l y kx m= + C ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y AM AN
4x = ( )3 3,E x y ( )4 4,F x y
1 2 3 4
1 1 1 1
y y y y
+ = + MN
2 2
14 3
x y+ = (1,0)
2 2
,
1.4 3
y kx m
x y
= + + =
( )2 2 23 4 8 4 12 0k x kmx m+ + + − = 1 2 2
8
3 4
kmx x k
−+ = +
2
1 2 2
4 12
3 4
mx x k
−= + AM AEk k= 1
3
1
6
2
yy x
= +
2
4
2
6
2
yy x
= +
1 2 3 4
1 1 1 1
y y y y
+ = + m k= −
2a = 1
2
ce a
= = 1c = 2 2 2 3b a c= − =
2 2
14 3
x y+ =
2 2
,
1.4 3
y kx m
x y
= + + =
( )2 2 23 4 8 4 12 0k x kmx m+ + + − =
( )( )2 2 2 2 2 264 4 3 4 4 12 0 4 3k m k m m k∆ = − + − > ⇒ < +
1 2 2
8
3 4
kmx x k
−+ = +
2
1 2 2
4 12
3 4
mx x k
−= + AM AEk k=
31 1
3
1 1
00 6
2 4 2 2
yy yyx x
−− = ⇒ =+ + +
2
4
2
6
2
yy x
= +又
∴
∴
∴
∴
∴
∴ ，此时满足
∴
∴直线 恒过定点
【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而
不求”“整体带入”等解法.
21.设函数 .
（1）若 恒成立，求整数 的最大值；
（2）求证： .
【答案】（1）整数 的最大值为 ；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（ 1 ） 将 不 等 式 变 形 为 ， 构 造 函 数
，利用导数研究函数 的单调性并确定其最值，从而
得到正整数 的最大值；
1 2 3 4
1 1 1 1
y y y y
+ = +
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2( )
6 6 6
y y x x x y x y y y
y y y y y y
+ + + + + += + =
1 2 1 2 2 14( )y y x y x y+ = +
1 2 1 2 2 14( ) ( ) ( )kx m kx m x kx m x kx m+ + + = + + +
1 2 1 2(4 )( ) 2 8 0k m x x kx x m− + − + =
2
2 2 2
8 (4 12) 24( )(4 ) 2 8 0 03 4 3 4 3 4
km m k mk m k mk k k
− − +− − + = ⇒ =+ + +
m k= − 2 24 3m k< +
( 1)y kx m k x= + = −
MN (1,0)
( ) ( ) ( )1 ln 1 0xf x xx
+ += >
( )
1
kf x x
> + k
( ) ( ) ( ) 2 31 1 2 1 2 3 1 1 nn n e −+ × ⋅ + × + × + >
k 3
( )
1
kf x x
> +
( ) ( ) ( )1 1 ln 1x x xk x
+ + + +<
( ) ( ) ( ) ( )1 1 ln 1x x xh x x
+ + + += ( )y h x=
k（2）根据（1）的结论得到 ，利用不等式
的基本性质可证得结论.
【详解】（1）由 得 ，
令 ， ，
令 ， 对 恒成立，
所以，函数 在 上单调递增，
， ， ， ，
故存在 使得 ，即 ，
从而当 时，有 ， ，所以，函数 在 上单
调递增；
当 时，有 ， ，所以，函数 在 上单调递减.
所以，
，
，因此，整数 的最大值为 ；
（2）由（1）知 恒成立， ，
令 则 ，
， ， ，
，
上述等式全部相加得
( ) ( )
3 1 1ln 1 1 2 2 31 1n n n n n n
+ + > − = − − + +
( ) ( )
1
1 ln 1xf k
xx x
+ >= +
+ ( ) ( ) ( )1 1 ln 1x x xk x
+ + + +<
( ) ( ) ( ) ( )1 1 ln 1x x xh x x
+ + + += ( ) ( )
2
1 ln 1x xh x x
− − +′ =
( ) ( )1 ln 1g x x x= − − + ( ) 11 01g x x
′∴ = − >+ 0x∀ >
( )y g x= ( )0, ∞+
( )0 1 0g = −
( )0 2,3x ∈ ( )0 0g x = ( )0 01 ln 1x x− = +
0x x> ( ) ( )0 0g x g x> = ( ) 0h x′ > ( )y h x= ( )0 ,x +∞
0x x< ( ) ( )0 0g x g x< = ( ) 0h x′ < ( )y h x= ( )00, x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0 0 0 0 0 0
0 0min
0 0
1 1 ln 1 1 1 1 1 3,4x x x x x xh x h x xx x
+ + + + + + += = = = ∈− +
3k∴ ≤ k 3
( )1 ln 1 3
1
x
x x
+ + > +
( ) 3 3 3ln 1 1 2 21 1
xx x x x
∴ + > − = − > −+ +
( ) ( )1x n n n N ∗= + ∈ ( ) ( )
3 1 1ln 1 1 2 2 31 1n n n n n n
+ + > − = − − + +
( ) 1ln 1 1 2 2 3 1 2
∴ + × > − −
( ) 1 1ln 1 2 3 2 3 2 3
+ × > − −
( ) 1 1ln 1 1 2 3 1n n n n
+ + > − − + ，
所以， ，
因此，
【点睛】本题考查导数在函数单调性、最值中的应用，以及放缩法证明不等式的技巧，属于
难题．
请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答
时请写清题号．
选修 4-4：坐标系与参数方程
22.
已知曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以直角坐标系的原点 为极点，
轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）若过点 的直线 与 交于 ， 两点，与 交于 ， 两点，求
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】
试题分析：（ 1）利用平方法消去参数，即可得到 的普通方程，两边同乘以 利用
即 可 得 的 直 角 坐 标 方 程 ； （ 2 ） 设 直 线 的 参 数 方 程 为
（ 为参数），代入 ，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义以
及三角函数的有界性可得结果.
试题解析：（1）曲线 的普通方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 ；
( ) ( ) ( ) 1ln 1 1 2 ln 1 2 3 ln 1 1 2 3 1 2 31n n n nn
+ × + + × + + + + > − − > − +
( )( ) ( )( )ln 1 1 2 1 2 3 1 1 2 3n n n + × + × + + > −
( ) ( ) ( ) 2 31 1 2 1 2 3 1 1 nn n e −+ × ⋅ + × + × + >
1C 2 cos
sin
x
y
θ
θ
= =
， θ O x
2C 2sin 4cosρ θ θ=
1C 2C
(1 0)F ， l 1C A B 2C M N
FA FB
FM FN
10 8
，
1C ρ
cos , sinx yρ θ ρ θ= = 2C l
1x tcos
y tsin
α
α
= +
= t
2
2 12
x y+ =
1C
2
2 12
x y+ = 2C 2 4y x=（2）设直线 的参数方程为 （ 为参数）
又直线 与曲线 ： 存在两个交点，因此 .
联立直线 与曲线 ： 可得 则
联立直线 与曲线 ： 可得 ，则
即
选修 4-5：不等式选讲
23.已知 ， .
（1）解不等式 ；
（2）若方程 有三个解，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）对 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果;
（2） .作出函数 的图象, 当直线 与函数 的图象
有三个公共点时，方程 有三个解，由图可得结果.
【详解】（1）不等式 ，即 .
当 时，即化为 ，得 ，
此时不等式的解集为 ，
当 时，即化为 ，解得 ，
为
l
1x tcos
y tsin
α
α
= +
= t
l 2C 2 4y x= sin 0α ≠
l 1C
2
2 12
x y+ = ( )2 21 sin 2 cos 1 0t tα α+ + − =
1 2 2
1
1 sinFA FB t t α⋅ = = +
l 2C 2 4y x= 2 2sin 4 cos 4 0t tα α− − = 1 2 2
4
sinFM FN t t α⋅ = =
22
2
2 2
1
1 sin 1 1 11 sin 0,4 14 1 sin 4 81sin sin
FA FB
FM FN
αα
α
α α
⋅ += = ⋅ = ⋅ ∈ ⋅ + +
( ) | 1| 1f x x= − + ( ) ( ), 3
12 3 , 3
f x xF x x x
≤= − >
( ) 2 3f x x≤ +
( )F x a= a
1[ , )3
− +∞ (1,3)
x
( )
2 1
1 3
12 3 3
x x
F x x x
x x
−
，
， ，
，
( )F x y a= ( )y F x=
( )F x a=
( ) 2 3f x x≤ + 1 1 2 3x x− + ≤ +
1x ≥ 1 1 2 3x x− + ≤ + 3x ≥ −
1x ≥
1x < ( )1 1 2 3x x− − + ≤ + 1
3x ≥ −此时不等式的解集为 .
综上，不等式 的解集为 .
（2）
即 .
作出函数 的图象如图所示，
当直线 与函数 的图象有三个公共点时，方程 有三个解，所以
.
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
1 13 x− ≤ <
( ) 2 3f x x≤ + 1
3
− + ∞ ，
( ) 1 1 3
12 3 3
x xF x
x x
，
， ，
− + ≤= − >
( )
2 1
1 3
12 3 3
x x
F x x x
x x
−
，
， ，
，
( )F x
y a= ( )y F x= ( )F x a=
1 3a< <
a ( )1 3，
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