2020 届高中毕业班第四次模拟考试试题
理科数学
（答卷时间：120 分钟满分：150 分）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第 1 页至第 2 页．第 IⅡ卷为第
3 页至第 4 页．
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．若 为实数，复数 在复平面上位于第四象限，且 ，则
A． B． C．1 D．2
3．某班级共有 50 人，把某次数学测试成绩制作成直方图如图，若分数在 内为优秀，则任取两人
成绩均为优秀的率为
A． B． C． D．
4．已知椭圆 的焦点为 F，短轴端点为 P，若直线 PF 与圆 相切，则圆 O
的半径为
A． B．1 C． D．2
5．已知二项式 展开式中系数最大的只有第 5 项，则 项的系数为
A．28 B．36 C．56 D．84
{ }2, 1,0,1,2A = − − ( )( ){ }4 1 0|B x x x= − + < A B∩ =
{ }0,1,2,3 { }1,0,1,2− { }0,1,2
a 2z a i= − | | 5z = a =
1± 1−
[ ]80,100
2
175
4
175
1
35
6
175
2 2
14 2
x y+ = 2 2 2: ( 0)O x y R R+ = >
2
2 2
( )1 nx+ 2x6．三个几何体组合的正视图和侧视图均为如右图所示，则下列图中能作为俯视图的个数为
①②③④
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，正方体 中，E．F 分别为棱 、 的中点，下列说法：①直线 BE 与直
线 DF 相交；②直线 BE 与直线 DF 是异面直线；③ ；④直线 BD 与直线 EF 是异面直线．其
中正确的说法的序号为
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
8．如图，点 P 在以 为直径的半圆弧上，点 P 沿着 BA 运动，记 ．将点 P 到 A、B 两点
距离之和表示为 x 的函数 ，则 的图像大致为
A． B． C D．
9．在直角 中， ， ， ， ， ，设 BF 与 CE 交于 G，
则
A． B． C． D．
10．设函数 是奇函 的导函数， ，当 时， ．已知
， ， ，则
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B C 1 1C D
/ /BD EF
2AB = BAP x∠ =
( )f x ( )y f x=
ABC AB AC⊥ | | 3AB = | | 2AC = 2AE EB= AF FC=
cos ,AG AE< >=
10
10
3 10
10
3
5
4
5
( )f x′ ( )( )f x x ∈R ( )1 0f − = 0x > ( ) ( ) 0xf x f x′ − >
2
1(log )4a f= 1.5(3 )b f= 1.5(2 )c f=A． B． C． D．
11．已知 F 为双曲线 的右焦点，点 P 在 C 上，且 轴，M 为 OP 的中
点（O 为坐标原点），且 ，则双曲线 C 的离心率为
A． B． C． D．
12．已知 中，BC 边上的中线 ， ， ，则 的周长为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知 ，则 ____________．
14．函数 在 ）处的切线在 y 轴上的截距为____________．
15．已知 a 与 的等差中项为 ，等比中项为 ，则 ____________．
16．已知 A，B，C 是球 O 的球面上三点， ， ， ，D 为该球面上的动点，若三棱
锥 D-ABC 体积的最大值为 ，则球 O 的表面积为____________．
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（一）必考题（共 60 分）
17．（本小题满分 12 分）
已知等差数列 中， ， ，等比数列 的各项均为正数，且 ，
．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）若 n，求数列 的前 n 项和 ．
18．（本小题满分 12 分）
如图，直三棱柱 中，底面 为等腰直角三角形， ， ，P
是侧棱 上的点．
a c b< < a b c< < b c a< < c a b< <
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > PF x⊥
MF OP⊥
5 1+ 3 1+ 5 1
2
+
3
ABC 3AD = 4BC = 60BAC∠ = ° ABC
46 4+ 4 3 4+ 5 2 4+ 2 13 4+
tan 2θ = sin2θ =
lny x= 1( , 1)e
−
2log a 3log b 5
2 6 a b+ =
2AB = 1AC = 3BC =
3
3
{ }na 1 3 6a a+ = 4 5 16a a+ = { }nb 1 1b =
1 2 3 7b b b+ + =
{ }na { }nb
2logn n nc a b= + { }nc nS
1 1 1ABC A B C− ABC 90ACB∠ = ° 1 2AA AC=
1CC（1）若 ，证明：P 是 的中点；
（2）若 ，求二面角 B-AP-C 的余弦值．
19．（本小题满分 12 分）
2020 年上半年，随着新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球超过 60 个国家或地区宣布进入紧急状态，部分国
家或地区直接宣布“封国”或“封城”，随着国外部分活动进入停摆，全球经济缺乏活力，一些企业开始倒
闭，下表为 2020 年第一季度企业成立年限与倒闭分布情况统计表
企业成立年份 2019 2018 2017 2016 2015
企业成立年限 1 2 3 4 5
倒闭企业数量（万家） 5.23 4.70 3.72 3.12 2.42
倒闭企业所占比例
根据上表，给出两种回归模型：
模型①：建立曲线性回归模型 ，求得回归方程为 ；
模型②：建立线性回归模型 ．
（1）根据所给的统计量，求模型②中 y 关于 x 的回归方程；
（2）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测
2014 年成立的企业中倒闭企业所占比例（结果保留整数）．
回归模型 模型① 模型②
回归方程
5.80 0.66
60APB∠ = ° 1CC
13CP PC=
x
%y 21.8% 19.6% 15.5% 13.0% 10.1%
lny b x a= + 7.2ln 22.9y x= − +
ˆy bx a= +
7.2ln 22.9y x= − + ˆy bx a= +
5
2
1
( )i i
i
y y
=
−∑参考公式： ， ， ．
参 考 数 据 ： ， ， ， ， ，
．
20．（本小题满分 12 分）
设函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在极值，对于任意 ，都有 恒成立，求 的取值范围．
21．（本小题满分 12 分）
已知抛物线 与直线 相交于 A，B 两点，线段 AB 的长为 8．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）过点 的直线 l 与抛物线 C 交于 M．N 两点，点 P 为直线 上的任意一点，设直线
PM，PQ，PN 的斜率分别为 ，且满足 ， 能否为定值？若为定值，求出
的值；若不为定值，请说明理由．
（二）选考题（共 10 分．请考生在第 22．23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一计分．）
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4（坐标系与参数方程）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 （t 为参数），其中 ，在以 O 为极点 x 轴正半
轴为极轴的极坐标系中，曲线 ．
（1）求 的直角坐标方程；
（2）当 时，设 与 相交于 A，B 两点，求 的值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5（不等式选讲）：
已知 ， ， ，函数 ．
1
2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b
x nx
=
=
−
=
−
∑
∑
ˆa y bx= −
( )
( )
2
2 1
2
1
n
i
i
n
i
i
y y
R
y y
=
−
= −
−
∑
∑
5
1
80i
i
y
=
=∑ 5
1
210i i
i
x y
=
=∑ 5
2
1
55i
i
x
=
=∑ 5
2
1
1370.66i
i
y
=
=∑ ln2 0.69≈
ln3 1.10≈
2( ) ln ,f x a x x ax a= + + ∈R
( )f x
( )f x ,( )0x ∈ +∞ ( ) 0f x ≥ a
2: 2 ( 0)C y px p= > 3( )2
py x= −
( )2,0Q 2x = −
1 2 3, ,k k k 1 3 2k k kλ+ = λ λ
1
1 cos: sin
x tC y t
α
α
= +
= 0 α π≤ <
2 : 2sin 2cosC p θ θ= −
2C
3
4
πα = 1C 2C AB
0a > 0b > 0c > ( )f x x a x b c= + + − +（1）当 ， 时，求不等式 的解集；
（2）当 的最小值为 5 时，证明： ．
2020 届高中毕业班第四次模拟考试
理科数学答案提示
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．由 得 ，∴ ，选（D）
2．由 在复平面上位于第四象限知 ，
由 得 ，∴ ，选（C）
3．由直方图知优秀人数为 ，
所以任取两人成绩均为优秀的概率为 ，选（B）
4．取 ，则 PF 的方程为 ，
∴ ，选（B）
5．二项式 展开式中系数最大的项为中间项，所以二项式 展开式中共有 9 项，
∴ ， ，所以 项的系数为 28，选（A）
6．由正视图和侧视图知三个几何体可以是圆柱或底面为正方形的直棱柱，
所以四个图都可能作为俯视图，选（D）
7．∵ ， ，∴ ，即③正确；
由③知 BE 与 DF 共面，所以直线 BE 与直线 DF 相交，即①正确，选（A）
8． ，图象（D）符合 ，选（D）
9．如图，以 A 坐标原点建立坐标系，
2a = 1b = ( ) 7f x c> +
( )f x
2 2 2 2 2 2
10a b a c b c
c b a
+ + ++ + ≥
( )( )4 1 0x x− + < 1 4x− < < { }0,1,2A B∩ =
2z a i= − 0a >
| | 5z = 2 4 5a + = 1a =
( )0.006 0.010 10 50 8+ × × =
2
8
2
50
8 7 4
50 49 175
CP C
×= = =×
( 2,0), (0, 2)F P 2 0x y+ − =
2 1
1 1
R = =
+
( )1 nx+ ( )1 nx+
8n = 2 2 2
3 28gT C x x= = 2x
1 1/ /EF B D 1 1/ /BD B D / /BD EF
cos( ) 2 2 2 2 sin( )sin 4y f x PA P x xB x
π= = + = + = + ( )f x则 ， ，∴ ， ，
所以直线 CE 的方程为 ，直线 BF 的方程为 ，
解 ，得
∴ ， ，
∴ ，选（B）
10．∵ ，
∴ 在 上是增函数，
又 ，所以 ，
所以当 时， ，当 时， ，
∴
∵ ，
∴ ，选（A）
11．如图，设双曲线的左焦点为 ，
则 ， ，∴
∴ ，
( )3,0B ( )0,2C ( )2,0E ( )0,1F
2 0x y+ − = 3 3 0x y+ − =
2 0
3 3 0
x y
x y
+ − =
+ − =
3
2
1
2
x
y
=
=
3 1( , )2 2AG = (3,0)AB =
9
3 102cos , 105 32
AG AB< >= =
×
2
( ) ( ) ( )( ) 0f x xf x f x
x x
′ −′ = >
( )f x
x (0, )+∞
( )1 0f − = ( )1 0f =
( )0,1x ∈ ( ) 0f x < ,( )1x ∈ +∞ ( ) 0f x >
2
1(log ) ( 2) (2) 04a f f f= = − = − <
1.5 1.53 2 1> >
1.5 1.5(3 ) (2 ) 0b f f c= > = >
1F
PF c= 1 2F F c= 1| | 5PF c=
1| | | | ( 5 1) 2PF PF c a− = − =∴ ，选（C）
12． ，
，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
所以 的周长为 ，选（A）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填写在题中的横线上．
13． ．
14． ，所以在 处的切线方程为 ，
令 得 ，即在 y 轴上的截距为 2．
15．依题意得 ， ，
所以 ， 为方程 的两根，
∴ ， 或 ， ，
∴ 或 ，
应填：31 或 17．
16．如图，
2 5 1
25 1
ce a
+= = =
−
2 2 2 2 cos 13 12cosAB AD BD AD BD ADB ADB⋅ ⋅ ∠ = − ∠= + −
2 2 2 2 cos 13 12cosAC AD CD AD CD ADC ADC= + − ⋅ ⋅ ∠ = − ∠
2 2 26AB AC+ =
2 2 2 2 cos 26 16BC AB AC AB AC BAC AB AC= + − ⋅ ⋅ ∠ = − ⋅ =
10AB AC⋅ =
2 2 2( ) 2 26 20 46AB AC AB AC AB AC+ = + + = + =⋅
ABC 46 4B AC BC+ + = +
2
2sin cos 2tansin2 2sin cos 1 tan 5
θ θ θθ θ θ θ= = =+
1y x
′ = 1( , 1)e
− 11 ( ) 1y e x exe
+ = − = −
0x = 2y = − −
2 3
5log log 2 52a b+ = × = 2
2 3(log )(log ) ( 6) 6a b = =
2log a 3log b 2 5 6 0x x− + =
2log 2a = 3log 3b = 2log 3a = 3log 2b =
4 27 31a b+ = + = 8 9 17a b+ = + =由 得 ，
所以 的外接圆的圆心在 AB 的中点 G 上，
所以 平面 ABC，
当 D、O、G 三点共线时，三棱锥 D-ABC 体积的最大，
由 得 ，
设球的半径为 R，则 ，即 ，
所以球 O 的表面积为 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：（1）设公差为 d，公比为 q，
则由 得 ，
∴ ，
由 得 或 （舍去），
∴ ；
（2）
∴ ．
18．解：（1）由直三棱柱 得 平面 ABC，
∴ ， ，∴ ，
又 ，∴ ，
又 ，∴ ，
2 2 2AB AC BC= + 90ACB∠ = °
ABC
OG ⊥
1 1 31 33 2 3DV G= × × × × = 2DG =
2 21 (2 )R R= + − 5
4R =
2 254 4S R
ππ= =
1 3 1
4 5 1
2 2 6
2 7 16
a a a d
a a a d
+ = + =
+ = + = 1
2
1
d
a
=
=
( )1 1 2 2 1na n n= + − × = −
2
1 2 3 1 7b b b q q+ + = + + = 2q = 3q = −
1 11 2 2n nb − −= × =
1
22 1 log 2 3 2n
n n nc a b n n−= + = − + = −
(1 3 2) (3 1)
2 2n
n n n nS
+ − −= =
1 1 1ABC A B C− 1C C ⊥
1C C AC⊥ 1C C BC⊥ AP BP=
60APB∠ = ° AP BP AB= =
90ACB∠ = ° 2AP AB AC= =，即 P 是 的中点；
（2）如图，以 C 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，
设 ，则 ， ， ，
∴ ， ，
设平面 BAP 的法向量为 ，
则由 得
令 得 ， ，
∴ ，
又平面 CAP 的法向量为 ，
∴ ．
所以二面角 的余弦值为 ．
19．解：（1）由 ， ，可得 ，
所以 ，
则 ，
所以模型②中 y 关于 x 的回归方程为 ．
1 1
1 1
2 2PC AC AA CC= = = 1CC
C xyz−
2AC = ( )2,0,0A ( )0,2,0B ( )0,0,3P
( 2,2,0)AB = − ( 2,0,3)AP = −
( ), ,n x y z=
0
0
n AB
n AP
⋅ = ⋅ =
2 2 0
2 3 0
x y
x z
− + =
− + =
3x = 3y = 2z =
( )3,3,2n =
( )0,1,0m =
3 3 22cos , | || | 2222 1
nn m n
m
m
⋅< >= = =
×
B AP C− − 3 22
22
5
1
15i
i
x
=
=∑ 5
1
80i
i
y
=
=∑ 3x = 16y =
5
1
5
2 2
5 210 5 3 16ˆ 355 5 95
i i
i
i
x y xy
b
x x
=
− − × ×= = = −− ×−
∑
∑
ˆ 16 3 3 25a y bx= − = + × =
3 25y x= − +（2）因为 ，
所以模型①的 小于模型②，说明回归方程②刻画的拟合效果更好，
选择模型②，当 时， ，
所以预测 2014 年成立的企业中倒闭企业所占比例为 ．
20．解：（1） ， ，
①当 时， ，
即 ，所以 在 上是增函数；
②当 时，令 ，
则 ，
∴ ， ，
所以 时， ，
时， ，
所以 在 上是减函数，
在 上是增函数；
（2）由 存在极值知 ，
“对于任意 ，都有 恒成立”等价于
“对于任意 ，都有 恒成立”，
设 ， ，
5 5
2 2
1 1
5.80 0.66
( ) ( )i i
i i
y y y y
= =
>
− −∑ ∑
2R
6x = 3 6 25 7y = − × + =
7%
22( ) 2a x ax af x x ax x
+ +′ = + + = 0x >
0a ≥ 22 0x ax a+ + >
( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞
0a < 22 0x ax a+ + =
2 8 ( 8) 0a a a a∆ = − = − >
2
1
8 04
a a ax
− − −= <
2
2
8 04
a a ax
− + −= >
2 80 4
a a ax
− + −< < ( ) 0f x′ <
2 8
4
a a ax
− + −> ( ) 0f x′ >
( )f x
2 8(0, )4
a a a− + −
2 8( , )4
a a a− + − +∞
( )f x 0a <
,( )0x ∈ +∞ ( ) 0f x ≥
,( )0x ∈ +∞ 2
ln 1x x
x a
+ ≤ −
2 2
ln 1) l( nxg x x x
x x
x
+= = + 0x >则 ， ，
设 ， ，
则 ， ，
所以 在 上是减函数，
又 ，所以 时，
， 时， ，
所以 在 上是增函数， 在 上是减函数，
，
∴ ，∴ ．
21．解：（1）把 代入 得
，
∴ ， ，
∴
，
∴ ，所以抛物线 C 的方程为 ；
（2）设直线 l 的方程为 ， ，
， ，
把 代入 得
，
3
2( n) l1 x
x
xg x
− −′ = 0x >
( ) 1 2lnh x x x= − − 0x >
2( ) 1 0h x x
′ = − − < 0x >
( )h x (0, )+∞
( )1 0h = 0 1x< <
( ) 0g x′ > 1x > ( ) 0g x′ <
( )g x ( )0,1 ( )g x (1, )+∞
( ) ( )1 1g x g≤ =
11 a
≤ − –1 0a≤ <
2 2y px= 3( )2
py x= −
21 1 02 23
py yp
− − =
2
3A B
py y+ = 2
A By y p= −
21| | 1 ( ) 43 A B A BAB y y y y= + × + −
2
24 4 84 83 3 3
p pp= × + = =
3p = 2 6y x=
2x my= + m∈R
( )2,P t− ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
2x my= + 2 6y x=
2 6 12 0y my− − =∴ ， ，
∴
，
∴
∴ ，所以 为定值 2．
22．解：（1）由 得 ，
把 ， 代入得
，
即 的直角坐标方程 ；
（2）当 时，曲线 ，（ 为参数），
代入 ，
∴ ， ，
∴ ．
23．解：（1）不等式可化为 ，
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴无解；
当 时， ，∴ ．
不等式的解集为 ．
（2）∵
，
1 2 6y y m+ = 1 2 12y y = −
1 2 1 2
1 3
1 2 1 22 2 4 4
y t y t y t y tk k x x my my
− − − −+ = + = ++ + + +
( )( ) ( )( )
( )( )1 2 2 1
1 2
4 4
4 4
y t my y t my
my my
− + + − += + +
1 2 1 2
2
1 2 1 2
2 (4 )( ) 8
4 ( ) 16 2
my y tm y y t t
m y y m y y
+ − + −= = −+ + +
2
0
2 2 4 2
t t tk
λλ λ −= ⋅ = − = −− −
2λ = λ
2sin 2cosρ θ θ= − 2 2 sin 2 cosρ ρ θ ρ θ= −
cosx ρ θ= siny ρ θ=
2 2 2 2 0x y x y+ + − =
2C 2 2 2 2 0x y x y+ + − =
3
4
πα = 1
21 2:
2
2
x t
C
y t
= −
=
t
2 2 2 2 0x y x y+ + − = 2 3 2 3 0t t− + =
1 2 3 2t t+ = 1 2 3t t =
2
1 2 1 2 1 2| | | | ( ) 4 18 12 6AB t t t t t t= − = + − = − =
2 1 7x x+ + − >
2x ≤ − 2 1 7x x− − − + > –4x <
2 1x− < ≤ 2 1 7x x+ − + >
1x > 2 1 7x x+ + − > 3x >
4{ }3|x x x< − >或
( ) ( )f x x a x b c x a x b= + + − + ≥ + − −
5a b c= + + =∴
．
2 2 2 2 2 2 2 2 2a b a c b c ab ac bc
c b a c b a
+ + ++ + ≥ + +
( ) ( ) ( ) 2( ) 10b c a c a ba b c a b cc b c a b a
= + + + + + ≥ + + =
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