文科数学试卷
一．选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分．
1．集合 ，集合 ，则 =
A． B． C． D．
2．下列函数中，既是奇函数，又在 上单调递增的是
A． B． C． D．
3．1748 年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式
，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根
据此公式可知， 表示的复数所对应的点在复平面中位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．过点 的直线 被圆 所截得的弦长最短时，直线 的斜率为
A．1 B． C． D．
5．下列说法中，错误的是
A．若命题 ， ，则命题
B．“ ”是“ ”的必要不充分条件
C．“若 ，则 ， 中至少有一个不小于 2”的逆否命题是真命题
D．函数 的图象关于 对称
6．已知各项均为正数的等差数列 的公差为 2，等比数列 的公比为 ，则
A． B．
C． D．
{ | ( 1)( 2) 0}A x x x= − + < { | lg 0}B x x= ≤ A B ( )2 1,− ( ]0 1, ( )0 1, ( ]2 1,− 0, 2 π 2 sinxy x= − 12 2 x xy = − siny x x= − cosy x x= − cos sinixe x i x= + 2ie (0,1) l 2 2( 1) 4x y− + = l 1− 2 2− :p x R∀ ∈ 2 0x 2 0 0: , 0p x R x¬ ∃ ∈ < 1sin 2x = 5 6x π= 4a b+ a b 2sin(2 )3y x π= + 3x π= { }na { }nb 2− 1 4n na ab b − − = 1 4n na ab b − − = − 1 4n n a a b b − = 1 4n n a a b b − = −
7．函数 的图象大致是
A． B． C． D．
8．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 的值为
A. 768 B. 384 C. 192 D. 96
9．等差数列 的前 项和为 ，若公差 ， ，则
A. . B． C． D．
10．过抛物线 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 O 是坐标原点，若
，则△AOB 的面积为
A. B. C. D．
11．函数 ，正确的命题是
A．值域为 B．在 是增函数
C． 有两个不同的零点 D．过点 的切线有两条
12．如图，在三棱锥 中， 、 、 两两垂直，且 , ， ．设
是底面
内一点，定义 ， ， ，其中 、 、 分别是三棱锥 、三
棱锥 、三棱锥
的体积．若 ， ， ，且 恒成立，则正实数 的最小值
2( ) ( ) xf x x x e= − +
{ }na n nS 1 1a = 1 2n na S+ = + 9a
{ }na n nS 0d > 8 5 9 5( )( ) 0S S S S− − < 7 0a = 7 8a a= 7 8a a> 7 8a a< 2 4y x= 3AF = 2 2 2 3 2 2 2 2 ( ) lnf x x x= P ABC− PA PB PC 3PA = 2PB = 1PC = M ABC ( ) (f M m= n )p m n p M PAB− M PBC− M PCA− 1( ) (2f M = x )y 1 8a x y + a
为
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．已知函数 ，则 __________
14．已知双曲线 ： 的左右焦点分别是 ，过 的直线 与 的左右两支分
别交于 两点，且 ，则 =_____________
15．已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，则 的
值为__________
16．已知函数 ，若 只有一个极值点，则实数 的取值范围是
__________
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17 ．（ 12 分 ） 的 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 已 知 ，
．
（1）证明： 为等腰三角形；
（2）点 在边 上， ， ，求 ．
18．(12 分）已知某班的 50 名学生进行不记名问卷调查，内容为本周使用手机的时间长，如
表：
时间长（小时）
女生人数 4 11 3 2 0
男生人数 3 17 6 3 1
（1）求这 50 名学生本周使用手机的平均时间长；
1
2
3 5,( 1)
( ) 1,( 1)
x x
f x log x x
+ 0 2
πα< < 1C 2C A B α OB OA ( ) | 1| | |f x x x a= − + − 2x = a 2( )f x x m+ m
文科数学参考答案
一、选择题（每题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B B A D C A B D C B A
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
13． 14．4 15．
16．
三、解答题（第 17 题 10 分，18-22 题每题 12 分，共 70 分）
17．
【解答】（本题满分为 12 分）
解：（1） ， 分
由正弦定理 ，可得： ，整理可得 ，
，
， 为等腰三角形，得证 分
（2）设 ，则 ，
由余弦定理可得： ， ， 分
，
，解得： ，
． 分
5
2
− 3
5
( ],e−∞
( )sin 2 sin( ) 2 sina b A b A C b B+ = + = 1…
∴
sin sin
a b
A B
= 2( ) 2a a b b+ = ( 2 )( ) 0a b a b+ − =
2 0a b+ >
a b∴ = ABC∆ 6…
BD x= 2AD x=
24 17 25cos
2 2 17
xCDA
x
+ −∠ =
× ×
2 17 25cos
2 17
xCDB
x
+ −∠ =
× × 10…
CDA CDBπ∠ = − ∠
∴
2 24 17 25 17 25
2 2 17 2 17
x x
x x
+ − + −= −
× × × × 2x =
6AB∴ = 12…
18【解答】（本题满分为 12 分）
.（1） ，
所以，这 50 名学生本周使用手机的平均时间长为 9 小时． …3 分
（2）时间长为 的有 7 人，记为 、 、 、 、 、 、 ，其中女生记为 、
、 、 ，从这 7 名学生中随机抽取两名的基本事件有： ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，
共 21 个．…5 分
设事件 表示恰有一位女生符合要求的事件有： ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， 共 12
个．…6 分
所以恰有一个女生的概率为 ．…7 分
（3）
不依赖手机 依赖手机 总计
女生 15 5 20
男生 20 10 30
总计 35 15 50
…9 分
，…11 分
不能在犯错概率不超过 0.15 的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系．…12 分
1 (2.5 7 7.5 28 12.5 9 17.5 5 22.5 1) 950
× + × + × + × + × =
[0,5) A B C D E F G A
B C D { },A B { },A C { },A D
{ },A E { },A F { },A G { },B C { },B D { },B E { },B F { },B G { },C D
{ },C E { },C F { },C G { },D E { },D F { },D G { },E F { },E G { },F G
M { },A E { },A F { },A G { },B E
{ },B F { },B G { },C E { },C F { },C G { },D E { },D F { },D G
2 4( ) 21 7P M
1= =
2
2 50(15 10 5 20) 0.397 2.07215 35 20 30K
× − ×= ≈ >
2 2
1 2
5( 3 , )( 3 , ) 3 4PF PF x y x y x y⋅ = − − − − − = + − = −
2
2 14
x y+ =
2 2
2
2
7
4
14
x y
x y
+ =
+ =
2
2
11
3 3
4 2
xx
y y
= = ⇒ = =
3(1, )2P
0x = l 2y kx= + 1 1( , )A x y
2 2( , )B x y
2
2
2 2 2 21 4( 2) 4 (1 4 ) 16 12 04
2
x y x kx k x kx
y kx
+ = ⇒ + + = ⇒ + + + =
= +
1 2 2
12
1 4x x k
= + 1 2 2
16
1 4
kx x k
+ = − +
2 2(16 ) 4 (1 4 ) 12 0k k∆ = − ⋅ + ⋅ >
， ，得 ．①．．．．．．7 分
又 为锐角 ，
∴ ．．．．．．8 分
又
∴
∴ ．②．．．．．．10 分
综①②可知 ，∴ 的取值范围是 ．．．．．．．12 分
21.【解答】（本题满分为 12 分）
（1） 的定义域为 （1 分）
， （2 分）
当 时， ； 时， ，
函数 在 上单调递减；在 上单调递增． （4 分）
（2）当 时， ，
由题意， 在 ， 上恒成立
①若 ，当 时，显然有 恒成立；不符题意．
②若 ，记 ，则 ． （7 分）
显然 在 ， 单调递增，
当 时，当 （3）时， （1） （4）
， 时， （1） （8 分）
2 216 3(1 4 ) 0k k− + > 24 3 0k − > 2 3
4k >
AOB∠ cos 0 0AOB OA OB⇔ ∠ > ⇔ ⋅ >
1 2 1 2 0OA OB x x y y⋅ = + >
2
1 2 1 2 1 2 1 2( 2)( 2) 2 ( ) 4y y kx kx k x x k x x= + + = + + +
1 2 1 2x x y y+ 2
1 2 1 2(1 ) 2 ( ) 4k x x k x x= + + + +
2
2 2
12 16(1 ) 2 ( ) 41 4 1 4
kk kk k
= + ⋅ + ⋅ − ++ +
2
2 2
12(1 ) 2 16 41 4 1 4
k k k
k k
+ ⋅= − ++ +
2
2
4(4 ) 01 4
k
k
−= >+
21 44 k− < < 23 44 k< < k 3 3( 2, ) ( ,2)2 2 − − ( )f x (0, )+∞ ……………… 2 ( 1)( )( ) , 0 xx e axf x ax − −′ = < ……………… ∴ (0,1)x∈ ( ) 0f x′ < (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ >
∴ ( )f x (0,1) (1, )+∞ ………………
1a = − 1( ) ( ) ( 1)x xf x bx b e x b x e lnxx
+ − − − = − −
( 1) 0xb x e lnx− − [1 )+∞
0b 1x ( 1) 0xb x e lnx− − ………………
0b > ( ) ( 1) xh x b x e lnx= − − 1( ) xh x bxe x
′ = − ………………
( )h x′ [1 )+∞
1b e 1x ( )h x h′ ′ 1 0be= −
[1x∴ ∈ )+∞ ( )h x h 0= ………………
当 （6）， （1） （7）0，
（8）
存在 ，使 ． （9 分）
当 时， ， ， 时， ，
在 上单调递减；在 ， 上单调递增 （10 分）
当 时， （1） ，不全题意 （11 分）
综上所述，所求 的取值范围是
22. [参数方程]（本题满分为 10 分）
解：（Ⅰ）因为 ， ， ，
的极坐标方程为 ，…2 分
的普通方程为 ，即 ，对应极坐标方程为 .…4
分
（Ⅱ）曲线 的极坐标方程为 （ ， ）
设 ， ，则 ， ，…5 分
所以
，…8 分
又 ， ，
所以当 ，即 时， 取得最大值 .…10 分
23.[不等式选讲] （本题满分为 10 分）
10 b e
< < h′ 1be= − < 11( ) 1 0bh e b eb ′ = − > − >
∴ 0 1x > ( ) 0h x′ = ………………
0(1, )x x∈ ( ) 0h x′ < 0(x x∈ )+∞ ( ) 0h x′ >
( )h x∴ 0(1, )x 0(x )+∞ ………………
∴ 0(1, )x x∈ ( )h x h< 0= ……………… b 1[ , )e +∞ ……………… cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 2 2x y ρ+ = 1C 3 cos sin 4 0ρ θ ρ θ+ − = 2C ( )22 1 1x y+ − = 2 2 2 0x y y+ − = 2sinρ θ= 3C θ α= 0ρ > 0 2
πα< < ( )1,A ρ α ( )2 ,B ρ α 1 4 3 cos sin ρ α α = + 2 2sinρ α= 2 1 OB OA ρ ρ= = ( )1 2sin 3 cos sin4 α α α× + ( )1 3sin 2 cos2 14 α α= − + 1 2sin 2 14 6 πα = − + 0 2 πα< < 526 6 6 π π πα− < − < 2 6 2 π πα − = 3 πα = OB OA 3 4
解：（Ⅰ）由函数 的图象关于直线 对称，则 恒成立，
令 得 （4），即 ，
等价于 ，或 ，或 ；
解得 ，
此时 ，
满足 ，即 ；…5 分
（Ⅱ）不等式 的解集非空，等价于存在 使得 成立，
即 ，设 ，
由（Ⅰ）知， ，…7 分
当 时， ，其开口向下，对称轴方程为 ，
；…10 分
( ) | 1| | |f x x x a= − + − 2x = ( ) (4 )f x f x= −
0x = (0)f f= | | 2 | 4 |a a= + −
0
2 4
a
a a
− = + −
0 4
2 4
a
a a
<
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