2020 年高三数学模拟试卷（一）
文科数学
（考试时间：120 分钟 试题满分：150 分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
1．设集合 ， ，则 AB 的子集个数为( )
A．2 B．4 C．8 D．16
2．已知复数 满足 ，则 的虚部为( )
A． B． C． D．1
3．如图是某学校高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩 y 关于测试序号 x 的函数
图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：
①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；
②二班成绩不够稳定，波动程度较大；
③三班成绩虽然多次低于年级平均水平，但在稳步提升.
其中错误的结论的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4．我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是( )
A． B．
{ || | 2}A x N x= ∈
2{ | 1 }B y y x= = −
z (4 ) 1i z i+ = + z
i− i 1−
( ) 2
1
1
f x
x
=
−
( ) 2
1
1
f x
x
=
+C． D．
5．已知正项等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列，则该数列公比 为( )
A． B． C．2 D．4
6．已知函数 （e 为自然对数的底数），若 ， ， ，则( )
A． B．
C． D．
7．设 tanα= ，cos(π+β)= - （β∈（0，π）），则 tan(2α-β)的值为( )
A． B． C． D．
8. 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M、N 分别为 AC，A1B 的中点，则下列说法错误的是( )
A.MN∥平面 ADD1A1
B. MN⊥AB
C.直线 MN 与平面 ABCD 所成角为 45°
D.异面直线 MN 与 DD1 所成角为 60°
9．过三点 ， ， 的圆截直线 所得弦长的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知线段 AB=4，E，F 是 AB 垂直平分线上的两个动点，且 ，则 的最小值
A． B． C．0 D．3
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 为坐标原点. 是双曲线
在
( ) 1
1f x x
= −
( ) 1
1
f x
x
=
−
{ }na 3 5 4a a = 4a 6 1a + 7a q
1
4
1
2
( ) x xf x e e−= − 0.50.7a −= 0.5log 0.7b = 0.7log 5c =
( ) ( ) ( )f b f a f c< < ( ) ( ) ( )f c f b f a< <
( ) ( ) ( )f c f a f b< < ( ) ( ) ( )f a f b f c< <
1
2
4
5
7
24
− 5
24
− 5
24
7
24
(1,3)A (4,2)B (1, 7)C − 2 0x ay+ + =
2 3 4 3 13 2 13
| | 2EF = AE BF⋅ ( )
5− 3−
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > 1 2, ,F F O P第一象限上的点，直线 分别交双曲线 左、右支于另一点 .若 , 且
，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，网格纸上小正方形的边长为 2，粗实线及粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何
体的外接球的表面积为( )
A.30π
B. 41π
C. 30π
D. 64π
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．命题“ ”为假命题，则实数 的取值范围是____________．
14．在数列{an}中，a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N+)，则 S2020= .
15．设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F，准线为 l，点 A 为抛物线 C 上一点，以 F 为圆心，FA 为
半径的圆交 l 于 B、D 两点，若∠BFD=120°,∆ABD 的面积为 ，则 p= .
16．黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义
在[0,1]上，其定义为： ，若函
数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)+f(2-x)=0，当 x[0,1]时，f(x)=R(x)，则
______.
三、 解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题
为必做题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。)
7
2,PO PF C ,M N 1 22PF PF=
2 60MF N∠ = C
2 3 7
3
32
0 0 0, sin cos 2x R a x x∃ ∈ + ≥ a
3
( )
[ ]
1 , ,
0, 0,1 0,1
q qx p qp p pR x
x
= =
=
当 都是正整数， 是不可以再约分的真分数
当 或者 上的无理数
10 3
3 10f f + = （一）必考题：共 60 分。
17. （本小题 12 分）
共享单车又称为小黄车，近年来逐渐走进了人们的生活，也成为减少空气污染，缓解城市交通
压力的一种重要手段．为调查某地区居民对共享单车的使用情况，从该地区居民中按年龄用随
机抽样的方式随机抽取了 人进行问卷调查，得到这 人对共享单车的评价得分统计填入茎
叶图，如下所示（满分 分）：
（1）找出居民问卷得分的众数和中位数；
（2）请计算这 位居民问卷的平均得分；
（3）若在成绩为 分的居民中随机抽取 人，求恰有 人成绩超过 分的概率．
18．（本小题 12 分）
函数 f(x)＝Ａsin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0，0 2
2
2 2
2| |
6OG =
( ) ( 1)lnf x x x= −
( )f x
e ( ) ex xf x x a≥ + (0, )+∞ a在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 为参数， ．在以坐标原
点 为 极 点 、 x 轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为
．
（1）若点 A(2,0)在直线 l 上，求直线 l 的极坐标方程；
（2）已知 a>1，若点 P 在直线 l 上，点 Q 在曲线 C 上，且|PQ|的最小值为 ，求 a 的值．
23．（本小题 10 分）【选修 4 — 5：不等式选讲】
（1）解不等式|2x-1|+|x+2|≥3；
（2）设 a，b，c>0 且不全相等，若 abc=1，证明：a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)>6．
2020 届高三冲刺模拟试题解析（1）
数学（文科）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．设集合 ， ，则 AB 的子集个数为( )
1
2 (
33 2
x a t
t
y a t
= +
= −
)a R∈
2 2 23 cos2 4 sin 3ρ θ ρ θ+ =
6
2
{ || | 2}A x N x= ∈
2{ | 1 }B y y x= = −A．2 B．4 C．8 D．16
【解答】 ，1， ， ， ， ，
的子集个数为 个．故选： ．
2．已知复数 满足 ，则 的虚部为( )
A． B． C． D．1
【解答】 ， ， ， 复数 的虚部为 ．故选 ．
3．如图是某学校高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩 y 关于测试序号 x 的函数
图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：
①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；
②二班成绩不够稳定，波动程度较大；
③三班成绩虽然多次低于年级平均水平，但在稳步提升
其中错误的结论的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】由图可知，一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好，故①正确；二班的成
绩有时高于年级整体成绩，有时低于年级整体成绩，特别是第六次成绩远低于年级整体成绩，可
知二班成绩不稳定，波动程度较大，故②正确；三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，只有
第六次高于年级整体成绩，但在稳步提升，故③正确。∴错误结论的个数为 0，故选 A.
4．我们从这个商标 中抽象出一个图像如图，其对应的函数可能是( )
A． B．
C． D．
【解析】由图像得函数的定义域为 ，排除 B,C.由 排除 A.故选：D.
{ | 2 2} {0A x N x= ∈ − = 2} { | 1}B y y= {0A B∴ = 1}
A B∴
22 4= B
z (4 ) 1i z i+ = + z
i− i 1−
(4 ) 1i z i+ = +
14 1iz ii
+∴ + = = − 3z i∴ = − − ∴ z 1− C
( ) 2
1
1
f x
x
=
−
( ) 2
1
1
f x
x
=
+
( ) 1
1f x x
= −
( ) 1
1
f x
x
=
−
{ }1x x ≠ ± 1( ) 02f >5．已知正项等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列，则该数列公比 为( )
A． B． C．2 D．4
【解答】解：正项等比数列 中， ，可得 ， ，即 ，
， ， 成等差数列，可得 ，即 ，解得 ，故选：
．
6．已知函数 （e 为自然对数的底数），若 ， ， ，则( )
A． B．
C． D．
【解析】因为 ， ， ，∴
又 在 R 上是单调递减函数，故 . 故选:D.
7．设 tanα= ，cos(π+β)= - （β∈（0，π）），则 tan(2α-β)的值为( )
A． B． C． D．
【解析】 ， ， ， ，
， ， ， ，故选：
D.
8. 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M、N 分别为 AC，A1B 的中点，则下列说法错误的是( )
A.MN∥平面 ADD1A1
1tan 2
α = 2
2tan 4tan2 1 tan 3
αα α= =− ( ) 4cos cos5
π β β+ = − = − ( )( 0,β π∈
4cos 5
β∴ = 3sin 5
β = 3tan 4
β = ( )
4 3
tan2 tan 73 4tan 2 4 31 tan2 tan 241 3 4
α βα β α β
−−− = = =+ + ×
{ }na 3 5 4a a = 4a 6 1a + 7a q
1
4
1
2
{ }na 3 5 4a a = 0q > 2
4 3 5 4a a a= = 4 2a =
4a 6 1a + 7a 4 7 62 2a a a+ = + 3 22 2 4 2q q+ = + 2q =
C
( ) x xf x e e−= − 0.50.7a −= 0.5log 0.7b = 0.7log 5c =
( ) ( ) ( )f b f a f c< < ( ) ( ) ( )f c f b f a< <
( ) ( ) ( )f c f a f b< < ( ) ( ) ( )f a f b f c< <
0.50.7 1a −= > 0 1b< < 0c < a b c> >
( )f x ( ) ( ) ( )f a f b f c< <
1
2
4
5
7
24
− 5
24
− 5
24
7
24B. MN⊥AB
C.直线 MN 与平面 ABCD 所成角为 45°
D.异面直线 MN 与 DD1 所成角为 60°
【 解 析 】 如 图 ， 连 结 ， ， 由 M ， N 分 别 为 ， 的 中 点 知
， 选项 A、B、C 均正确；而 为异面直线 与 所成
角，应为 45°.
故选 D.
9．过三点 ， ， 的圆截直线 所得弦长的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】设圆心坐标 P 为（a,-2），则 r2＝ ，解得 a=1，所以 P
（1，-2）.又直线过定点 Q（-2，0），当直线 PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知
弦长 ∴直线 被圆截得的弦长为 ．故选：B．
10．已知线段 AB=4，E，F 是 AB 垂直平分线上的两个动点，且 ，则 的最小值( )
A． B． C．0 D．3
【解答】以 所在直线为 轴， 的中垂线为 轴，建立如图所示坐标系；
则 ， ，设 则 ； ， ；
； 当 时， 的最小值为 ；故选： ．
方法二：
BD 1AD AC 1A B
1//MN A D 1 1A DD∠ MN 1DD
(1,3)A (4,2)B (1, 7)C − 2 0x ay+ + =
2 3 4 3 13 2 13
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 3 2 4 2 2a a− + + = − + +
2 2l=2 r -PQ =2 25-13=4 3 2 0x ay+ + = 4 3
| | 2EF = AE BF⋅
5− 3−
AB X AB Y
( 2,0)A − (2,0)B (0, )E y (0, 2)F y − ∴ (2, )AE y= ( 2, 2)BF y= − −
∴ 24 ( 2) ( 1) 5AE BF y y y= − + − = − −
∴ 1y = AE BF
5− A
24 4 4 ( ) 52
AE BF AC CE BC CF CE CF
CE CF
CE CF CE CF
= + +
+
= − − = − − ≥ − − = −
（ ）（ ）=- 4+11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 为坐标原点. 是双曲
线在第一象限上的点，直线 分别交双曲线 左、右支于另一点 .若 , 且
，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意， ， ，
又 , 由 余 弦 定 理 可 得 ， 解 得 ：
，得 ， ，综上所述，选 B.
12．如图，网格纸上小正方形的边长为 2，粗实线及粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何
体的外接球的表面积为( )
A.30π
B. 41π
C. 30π
D. 64π
【解析】根据三视图得出，该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥 ，
正方体的棱长为 ， 、 为棱的中点，
根据几何体判断：球心应该在过 、 的平行于底面的中截面上，
设球心到截面 的距离为 ，则到 的距离为 ，
∴ ， ，
解得出： ， ，
该多面体外接球的表面积为： ，选 B。
7
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > 1 2, ,F F O P
2,PO PF C ,M N 1 22PF PF=
2 60MF N∠ = C
2 3 7
3
32
aPFPFPFPF 2,2 2121 =−= aPFaPF 2,4 21 ==∴
°=∠∴°=∠ 60,60 212 PFFNMF
°⋅⋅−+= 60cos2424164 222 aaaac ac 3= 3==∴
a
ce
ABCDO −
4 A D
A D
BCO x AD x−4
222 )22(+= xR 222 )4(2 xR −+=
2
3=x 4
418)2
3( 22 =+=R
ππ 414 2 =R二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．命题“ ”为假命题，则实数 的取值范围是____________．
【解析】依据含一个量词命题的否定可知 恒成立是真命题,故
,解之得 ,应填答案 ．
14．在数列{an}中，a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N+)，,则 S2020= .
【解析】∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴周期 T=6，则 S2020=9.
15．设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F，准线为 l，点 A 为抛物线 C 上一点，以 F 为圆心，FA 为
半径的圆交 l 于 B、D 两点，若∠BFD=120°,∆ABD 的面积为 ，则 p= .
【解析】∵ ， ，
∴ ，又∵ ，
∴ ， ，
∴ 到准线 的距离 ，
∴ ， 解得 .
16．黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义
在 上，其定义为：
，若函数 是定义
在 上的奇函数，且 ，当 时， ，则
0 0 0, sin cos 2x R a x x∃ ∈ + ≥ a
2cossin, 1ln 1 0x x
+ − > ( ) 0f x′ >
( )f x∴ ( , )0 1 (1, )+∞
( ) ( 1)lnf x x x= − 1( ) ln 1f x x x
′ = + −
1( ) ( ) ln 1h x f x x x
′= = + − 0x > 2 2
1 1 1( ) 0xh x x x x
+′ = + = > ( )h x∴ (0, )+∞
1( ) ln1 1 01 1h = + − = ∴ ( , )0 1x∈ ( ) 0h x < ( , )1x∈ +∞ ( ) 0h x >
( )f x∴ ( , )0 1 (1, )+∞
e ( ) ex xf x x a≥ + ( ) ex
xa f x≤ −
( ) e x
xg x = 1( ) e x
xg x −′ = 0 1x< < ( ) 0g x′ > 1x > ( ) 0g x′ <
( ) ex
xg x∴ = ( , )0 1 (1, )+∞
( )f x ( , )0 1 (1, )+∞ ( ) ex
xy f x∴ = − ( , )0 1
(1, )+∞
( ) ex
xy f x= − 1x = 1
e−
1
ea ≤∴ − a 1( , ]e−∞ −
1
2 (
33 2
x a t
t
y a t
= +
= −
)a R∈
2 2 23 cos2 4 sin 3ρ θ ρ θ+ =（1）若点 A(2,0)在直线 l 上，求直线 l 的极坐标方程；
（2）已知 a>1，若点 P 在直线 l 上，点 Q 在曲线 C 上，且|PQ|的最小值为 ，求 a 的值．
解：（1）直线 的参数方程为 为参数， ．点 在直线 上，
所以把点 代入直线的参数方程，解得 ．
所以 ，转换为极坐标方程为 ．
（2）曲线 的极坐标方程为 ．转换为直角坐标方程为： ．
转换为参数方程为 为参数），
直线 的参数方程为 为）参数转换为直角坐标方程为 ，
整理得： ，
所以： ，
所以当 时， ， 解得： ．
23． (10 分)（1）解不等式|2x-1|+|x+2|≥3；
（2）设 a，b，c>0 且不全相等，若 abc=1，证明：a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)>6．
解：（1）原不等式等价于
6
2
l
1
2 (
33 2
x a t
t
y a t
= +
= −
)a R∈ (2,0)A l
(2,0)A 1a =
11 2
33 2
x t
y t
= +
= −
3 2 3 0x y+ − =
C 2 2 23 cos2 4 sin 3ρ θ ρ θ+ = 2
2 13
yx + =
cos
(
3sin
x
y
θ
θ
θ
= =
l
1
2 (
33 2
x a t
t
y a t
= +
= −
3 3y a
x a
− = −−
3 2 3 0x y a+ − =
2
| sin( ) 2 3 || 3cos 3sin 2 3 | 4| | 2( 3) 1
6 aaPQ
πθθ θ + −+ −= =
+
sin( ) 14
πθ + = 6 2 3 6| | 2 2min
a
PQ
−
= = 2a = 或 或 ，
解得： 或 或 ，故原不等式的解集是 ；
（2）证明： ， ， ， ，
同理 ， ，
又 a，b， 且不全相等， 故上述三式至少有 1 个不取“ ”，
故
．
( ) ( )2x 1 x 2
2
3
x− − + ≥
≤
−
−
( ) ( )
12 2
2 1 2 3
x
x x
− < abc 1= ( )2 2a b c 2abc 2∴ + ≥ =
( )2 2b c a 2abc 2+ ≥ = ( )2 2c a b 2abc 2+ ≥ =
c 0> =
( ) ( ) ( )2 2 2a b c b c a c a b+ + + + + 2 2 2 2 2 2a b a c b c b a c a c b= + + + + +
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2a b c b c a c a b 6= + + + + + >
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