甘肃省兰州市第一中学2020届高三数学（文）冲刺模拟考试（二）试题（Word版附答案）

2020 年高三数学模拟试卷（二） 文科数学 （考试时间：120 分钟 试题满分：150 分） 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合 B＝{x|x﹣1＞0}，则（∁RA）∩B＝（ 　） A．（1，3） B．（1，3] C．[3，+∞） D．（3，+∞） 2．设复数 z 满足（z+2i）•i＝3﹣4i，则复数 在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若非零实数 a，b 满足 ，则下列式子一定正确的是（　　） A．b＞a B．b＜a C．|b|＜|a| D．|b|＞|a| 4．已知 α 为锐角， ，则 ＝（　　） A． B． C．2 D．3 5．已知 f（k）＝k+（﹣1）k，执行如图所示的程序框图， 若输出 k 的值为 4，则判断框内可填入的条件是（　　） A．s＞3？ B．s＞5？ C．s＞15？ D．s＞10？ 6．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，﹣2），N（1，0）． 若动点 M 满足 ，则 的取值范围是（　　） A．[0，2] B．[0，2 ] C．[﹣2，2] D．[﹣2 ，2 ] 7．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长 短的小木棍．如图，是利用算筹表示数 1～9 的一种方法．例如：3 可表示为“≡”，26 可 表示为“＝⊥”．现有 6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用 1～9 这 9 个 2 3a b= 3cos 5 α = tan( )4 2 π α+ 2MA MO = OM ON⋅  z数字表示两位数的个数为（ 　） A．16 B．15 C．14 D．13 8．已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时，f（x）＝x2﹣4x，则不等式 f（x+2）＜ 5 的解集为（　 　） A．（﹣3，7） B．（﹣4，5） C．（﹣7，3） D．（﹣2，6） 9．已知双曲线 C： ，O 为坐标原点，直线 x＝a 与双曲线 C 的两条渐近线交于 A， B 两点，若△OAB 是边长为 2 的等边三角形，则双曲线 C 的方程为（　 　） A． B． C． D． 10．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为 m，再由乙猜想甲刚才想的数字， 把猜出的数字记为 n，且 m，n∈{1，2，3}，若|m﹣n|≤1，则称二人“心有灵犀”，现任意 找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（　 ） A． B． C． D． 11 ． 已 知 函 数 ， 若 方 程 的 解 为 ， 则 ＝（ 　） A． B． C． D． 12．已知函数 f（x）＝kx，g（x）＝2lnx+2e（ ≤x≤e2），若 f（x）与 g（x）的图象上分别存 在点 M，N，使得 M，N 关于直线 y＝e 对称，则实数 k 的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分． 13．已知多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7，则 f(5) =____________. 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 13 x y− = 2 2 13 yx − = 2 2 112 4 x y− = 2 2 14 12 x y− = ( ) sin(2 )6f x x π= − 3( ) 5f x = 1 2 1 2, (0 )x x x x π< < < 1 2sin( )x x− 3 5 − 4 5 − 2 3 − 3 3 − 2 2 4,e e  − −   2 ,2ee  −   2 4 ,2ee  −   2 4[ , )e +∞14．设 m，n 为正数，且 m+n＝2，则 的最小值为＝　 　． 15．设 f（x）是定义在 R 上的函数，其导函数为 f'（x），若 f（x）+f'（x）＞1，f（0）＝ 2020，则不等式 exf（x）＞ex+2019（其中 e 为自然对数的底数）的解集为　 　． 16．已知点 A 是以 BC 为直径的圆 O 上异于 B，C 的动点，P 为平面 ABC 外一点，且平面 PBC ⊥ 平 面 ABC ， BC ＝ 3 ， PB ＝ 2 ， PC ＝ ， 则 三 棱 锥 P ﹣ ABC 外 接 球 的 表 面 积 为　 　． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题学生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分。 17．（本小题 12 分） 如图，在四棱锥 中， 是等边三角形， 侧面 底面 ，其中 ， ， ， . （1） 是 上一点，求证：平面 平面 ； （2）求三棱锥 的体积. 18．（本小题 12 分） 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn， ． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若 ． 19．（本小题 12 分） 根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的 1000 位上网购物者的年龄情况如 图． （1）已知 、 ， 三个年龄段的上网购物者人数成等差数列， 求 ， 的值； （2）该电子商务平台将年龄在 之间的人群定义为 高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了 鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高 消费人群每人发放 50 元的代金券，潜在消费人群每人 发放 100 元的代金券．已经采用分层抽样的方式从参与 1 3 1 2 n m n +++ + E ABCD− ADE∆ ADE ⊥ ABCD / /AB DC 2 4BD DC= = 3AD = 5AB = F EC BDF ⊥ ADE C BDE− 1 1 2 ,3( 1) 03 n na n s ns += + − = *1 1 2 1 2 , , ... 3.n n n n n ab n N b b bs s + + = ∈ + + + (2,2)A 2OF FB FA= −   'l 'l OPQ△ 1S OMN∆ 2S 2 2 1 2 1 1 S S + ( ) 2lnf x x x x= − + ( )f x 2a ≥ x ( ) 21 12 af x x ax < − + −  2020 年高考数学模拟试卷（文科 2） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合 B＝{x|x﹣1＞0}，则（∁RA）∩B＝（C　　） A．（1，3） B．（1，3] C．[3，+∞） D．（3，+∞） 2．设复数 z 满足（z+2i）•i＝3﹣4i，则复数 在复平面内对应的点位于（　B　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若非零实数 a，b 满足 2a＝3b，则下列式子一定正确的是（C　　） A．b＞a B．b＜a C．|b|＜|a| D．|b|＞|a| 4．已知 α 为锐角，cosα＝ ，则 tan（ + ）＝（　D　） A． B． C．2 D．3 5．已知 f（k）＝k+（﹣1）k，执行如图所示的程序框图， 若输出 k 的值为 4，则判断框内可填入的条件是（　D　） B．s＞3？ B．s＞5？ C．s＞15？ D．s＞10？ 6．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，﹣2），N（l，0）．若动点 M 满足 ＝ ， 则 的取值范围是（　D　） A．[0，2] B．[0，2 ] C．[﹣2，2] D．[﹣2 ，2 ] 7．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长 短的小木棍．如图，是利用算筹表示数 1～9 的一种方法．例如：3 可表示为“≡”，26 可 表示为“＝⊥”．现有 6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用 1～9 这 9 数 字表示两位数的个数为（A　　）A．16 B．15 C．14 D．13 8．（5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时，f（x）＝x2﹣4x，则不等式 f （x+2）＜5 的解集为（　C　） A．（﹣3，7） B．（﹣4，5） C．（﹣7，3） D．（﹣2，6） 9．已知双曲线 C： ，O 为坐标原点，直线 x＝a 与双曲线 C 的两条渐近线交于 A， B 两点，若△OAB 是边长为 2 的等边三角形，则双曲线 C 的方程为（A　　） A． ﹣y2＝1 B．x2 ＝1 C． ＝1 D． ＝1 10．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为 m，再由乙猜想甲刚才想的数字， 把猜出的数字记为 n，且 m，n∈{1，2，3}，若|m﹣n|≤1，则称二人“心有灵犀”，现任意 找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（　D　） A． B． C． D． 11．已知函数 f（x）＝sin（2x﹣ ），若方程 f（x）＝ 的解为 x1，x2（0＜x1＜x2＜π），则 sin （x1﹣x2）＝（　B　） A． B． C． D． 12．已知函数 f（x）＝kx，g（x）＝2lnx+2e（ ≤x≤e2），若 f（x）与 g（x）的图象上分别存 在点 M，N，使得 M，N 关于直线 y＝e 对称，则实数 k 的取值范围是（　B　） A．[﹣ ，﹣ ] B．[﹣ ，2e] C．[﹣ ，2e] D．[ ，+∞） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分． 13．已知多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7，则 f(5) = 2677.14．设 m，n 为正数，且 m+n＝2，则 的最小值为＝　 　． 15．设 f（x）是定义在 R 上的函数，其导函数为 f'（x），若 f（x）+f'（x）＞1，f（0）＝ 2020，则不等式 exf（x）＞e x+2019（其中 e 为自然对数的底数）的解集为　 （0，+ ∞） 　． 16．已知点 A 是以 BC 为直径的圆 O 上异于 B，C 的动点，P 为平面 ABC 外一点，且平面 PBC ⊥平面 ABC，BC＝3，PB＝2 ，PC＝ ，则三棱锥 P﹣ABC 外接球的表面积为　10π　 　． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题学生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17．如图，在四棱锥 中， 是等边三角形，侧面 底面 ，其中 ， ， ， . （1） 是 上一点，求证：平面 平面 ； （2）求三棱锥 的体积. 试题解析：（Ⅰ） 在 中， ， ， 又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 平面 平面 平面 （Ⅱ）取 中点 ，由 为等边三角形得 平面 平面 ， 平面 ， E ABCD− ADE∆ ADE ⊥ ABCD / /AB DC 2 4BD DC= = 3AD = 5AB = F EC BDF ⊥ ADE C BDE−  ABD∆ 4BD = 3AD = 5AB = 2 2 2AB AD BD∴ = + BD AD∴ ⊥ ADE ⊥ ABCD ADE  ABCD AD= BD∴ ⊥ ADE BD ⊂ BDF ∴ BDF ⊥ ADE AD H ADE∆ EH AD∴ ⊥  ADE ⊥ ABCD EH∴ ⊥ ABCD 1 3C BDE E BCD BCDV V S EH− − ∆∴ = = 又因为 中， ，在 中， 边上的高 三棱锥 的体积为 . 18．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn， ． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若 ． 【解答】解：（1） 19．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的 1000 位上网购物者的年龄情况如 ADE∆ 3 3 2EH = ABD∆ AB 3 4 12 5 5 ×= = 1 12 1 12(2 5) 3 42 5 2 5BCD ABCD ABDS S S∆ ∆∴ = − = × + × − × × = 1 12 3 3 6 3 3 5 2 5C BDEV −∴ = × × = ∴ C BDE− 6 3 5 1 1 2 ,3( 1) 03 n na n s ns += + − = *1 1 2 1 2 , , ... 3.n n n n n ab n N b b bs s + + = ∈ + + + (2,2)A 2OF FB FA= −  （2）过焦点 F 任作两条相互垂直的直线 l 与 ，直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点，直线 与 抛物线 C 交于 M，N 两点， 的面积记为 ， 的面积记为 ，求证： 为定值. 【解答】解：(1)设 因为点 B 在抛物线 C 上， （2）由题意得直线 l 的斜率存在且不为零，设 ，代入 得 ， 所以 因此 ，同理可得 因此 21．已知函数 . （1）求函数 的单调区间; （2）证明当 时，关于 的不等式 恒成立; 21.【解答】解：（1） ，由 ，得 . 又 ,所以 ，所以 的单调递减区间为 ，函数 的单增区间为 . （2）令 ,所以 ,因为 ,所以 , ( ) 2lnf x x x x= − + ( )f x 2a ≥ x ( ) 21 12 af x x ax < − + −   ( ) ( )21 2 1' 2 1 0x xf x x xx x − + += − + = > ( )' 0f x < 22 1 0x x− − > 0x > 1x > ( )f x ( )1,+∞ ( )f x ( )0,1 ( ) ( ) ( )2 211 1 ln 1 12 2 ag x f x x ax x ax a x   = − − + − = − + − +     ( ) ( ) ( )2 1 11' 1 ax a xg x ax ax x − + − += − + − = 2a ≥ ( ) ( )1 1 ' a x xag x x  − +  = − 'l 'l OPQ△ 1S OMN∆ 2S 2 2 1 2 1 1 S S + 1 1( , )B x y 1 1( ,0), 2 ( ,0) ( 4 , 4)2 2 2 p p pF OF FB FA x p y∴ = − ⇒ = − − + −    1 1 1 14 , 4 0 4, 42 2 p px p y x y= − − + − = ∴ = = 2 24 2 4 2 4p p y x∴ = ⋅ ∴ = ∴ = : 1l x my= + 2 4y x= 2 4 4 0y my− − = 2 2 1 2 1 2 1 24 , 4 | | 16 16 4 1y y m y y y y m m+ = = − ∴ − = + = + 2 1 21 1 | | 1 2 1S 2 y y m= − × = + 22 12 1S m = + 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 14( 1) 4( 1) 4( 1) 44( 1) m S S m m m m + = + = + =+ + ++令 ,得 ,所以当 ,当 时， 因此函 数 在 是增函数，在 是减函数，故函数 的最大值为 ，令 ，因为 ，又因为 在 是减函数，所以当 时， ，即 对于任意正数 总有 ，所以关于 的不等式 恒成立. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 为参数），以坐 标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝ 2cosθ． （1）求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； （2）已知曲线 C3 的极坐标方程为 θ＝α（0＜α＜π，ρ∈R），点 A 是曲线 C3 与 C1 的交点， 点 B 是曲线 C3 与 C2 的交点，A、B 均异于原点 O，且|AB|＝2 ，求实数 α 的值． 【解答】解：（1）由曲线 C1 的参数方程 为参数），得曲线 C1 的普 通方程为 ， 由曲线 C2 的极坐标方程 ρ＝2cosθ，得 C2 的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1； （2）曲线 C1 化为极坐标方程为 ， 设 A（ρ1，α），B（ρ2，α），则 ， ∴ ， 由 知， ， ∵ ，∴ 或 ， ( )' 0g x = 1x a = ( )10, , ' 0x g xa  = >   1 ,x a  ∈ +∞   ( )' 0g x < ( )g x 10,x a  ∈   1 ,x a  ∈ +∞   ( )g x ( )21 1 1 1 1 1ln 1 1 ln2 2g a a aa a a a a        = − × + − × + = −               ( ) 1 ln2h a aa  = −   ( ) 12 ln 2 04h = − < ( )h a ( )0,a∈ +∞ 2a ≥ ( ) 0h a < x ( ) 0g x < x ( ) 21 12 af x x ax < − + −  ∴ 或 [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．已知函数 f（x）＝|x﹣m|﹣|x+2|（m∈R），不等式 f（x﹣2）≥0 的解集为（﹣∞，4]． （1）求 m 的值； （2）若 a＞0，b＞0，c＞3，且 a+2b+c＝2m，求（a+1）（b+1）（c﹣3）的最大值． 【解答】解：（1）∵f（x）＝|x﹣m|﹣|x+2|，∴f（x﹣2）＝|x﹣m﹣2|﹣|x|≥0 的解集为（﹣ ∞，4]， ∴|x﹣m﹣2|≥|x|，解得 m+2＝8，即 m＝6． （2）∵m＝6，∴a+2b+c＝12． 又∵a＞0，b＞0，c＞3， ， 当且仅当 a+1＝2b+2＝c﹣3，结合 a+2b+c＝12 解得 a＝3，b＝1，c＝7 时，等号成立， ∴（a+1）（b+1）（c﹣3）的最大值为 32.