甘肃省兰州市第一中学2020届高三数学（理）冲刺模拟考试（一）试题（Word版附答案）

2020 年高考数学模拟试卷（1） 理科数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1．设集合 ， ，则 AB 的子集个数为( ) A．2 B．4 C．8 D．16 2．已知复数 满足 ，则 的虚部为( ) A． B． C． D．1 3．如图是某学校高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩 y 关于测试序号 x 的函数 图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论： ①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好； ②二班成绩不够稳定，波动程度较大； ③三班成绩虽然多次低于年级平均水平，但在稳步提升. 其中错误的结论的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4．我们可从这个商标 中抽象出一个如图靠背而坐的两条优美的曲线，下列函数中大致可“完美” 局部表达这对曲线的函数是（ ） A． B． { || | 2}A x N x= ∈  2{ | 1 }B y y x= = − z (4 ) 1i z i+ = + z i− i 1− sin6( ) 2 2x x xf x −= − cos( ) 2 2x x xf x −= −C． D． 5．已知正项等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列，则该数列公比 为( ) A． B． C．2 D．4 6．已知函数 （e为自然对数的底数），若 ， ， ，则( ) A． B． C． D． 7．设 tanα= ，cos(π+β)= - （β∈（0，π）），则 tan(2α-β)的值为( ) A． B． C． D． 8. 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M、N 分别为 AC，A1B 的中点，则下列说法错误的是( ) A.MN∥平面 ADD1A1 B. MN⊥AB C.直线 MN 与平面 ABCD 所成角为 45° D.异面直线 MN 与 DD1 所成角为 60° 9．2019 年 8 月，甘肃省第四届中学生运动会在金昌市举行，某项目比赛期间需要安排 3 名志愿者 完成 5 项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种( ) A．150 B．60 C．90 D．120 10．已知线段 AB=4，E，F 是 AB 垂直平分线上的两个动点，且 ，则 的最小值 　　 A． B． C．0 D．3 11．已知点 为双曲线 右支上一点，点 ， 分别为双曲线的左右焦点，点 sin6( ) | 2 2 |x x xf x −= − cos6( ) | 2 2 |x x xf x −= − { }na 3 5 4a a = 4a 6 1a + 7a q 1 4 1 2 ( ) x xf x e e−= − 0.50.7a −= 0.5log 0.7b = 0.7log 5c = ( ) ( ) ( )f c f b f a< < ( ) ( ) ( )f a f b f c< < ( ) ( ) ( )f c f a f b< < ( ) ( ) ( )f b f a f c< < 1 2 4 5 7 24 − 5 24 − 5 24 7 24 | | 2EF = AE BF   ( ) 5− 3− P 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1F 2F是△ 的内心，若恒有 成立，则双曲线的离心率取值范围是( ) A． B． C． D． 12．如图，网格纸上小正方形的边长为 2，粗实线及粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何 体的外接球的表面积为( ) A.30π B. 41π C. 50π D. 64π 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．(1+x+x2)(x- )6 的展开式中的常数项为 . 14．在数列{an}中，a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N+)，则 S2020= . 15．设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F，准线为 l，点 A 为抛物线 C 上一点，以 F 为圆心，FA 为 半径的圆交 l 于 B、D 两点，若∠BFD=120°,∆ABD 的面积为 ，则 p= . 16．黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义 在[0,1]上，其定义为： ，若函 数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)+f(2-x)=0，当 x[0,1]时，f(x)=R(x)，则 ______. 三、 解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题 为必做题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。) （一）必考题：共 60 分。 I 1 2PF F 1 2 1 2 2 2IPF IPF IF FS S S−    (1, 2) (1, 2] [ 2, )+∞ ( 2, )+∞ 1 x 3 ( ) [ ] 1 , , 0, 0,1 0,1 q qx p qp p pR x x   =  =     = 当 都是正整数， 是不可以再约分的真分数 当 或者 上的无理数 10 3 3 10f f   + =      17. （本小题 12 分） 如图，三棱锥 E1-EBC 中，∠EBC=90°，A、D 分别为 EB、EC 的中点，2AE1=EB=2BC=4，E1A⊥ AD，平面 AE1D⊥ABCD. （1）证明：EE1⊥BC； （2）求 BC 与平面 BDE1 所成角的正弦值. 18．（本小题 12 分） 函数 f(x)＝Ａsin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0，0 2 2 2 2 2| | 6OG = 1 xe在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 为参数， ．在以坐标原 点 为 极 点 、 x 轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 ． （1）若点 A(2,0)在直线 l 上，求直线 l 的极坐标方程； （2）已知 a>1，若点 P 在直线 l 上，点 Q 在曲线 C 上，且|PQ|的最小值为 ，求 a 的值． 23．（本小题 10 分）【选修 4 — 5：不等式选讲】 （1）解不等式 2x-1 +x+2≥3； （2）设 a，b，c>0 且不全相等，若 abc=1，证明：a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)>6． 2020 年高考数学模拟试卷（1） 参考答案（理科） 一、选择题: 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A D C B D D A A C B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. - 5 14. 9 15. 16. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1 2 ( 33 2 x a t t y a t  = +  = − )a R∈ 2 2 23 cos2 4 sin 3ρ θ ρ θ+ = 6 2 2 2 7 30 −17．（本小题 12 分） 【解析】（1） ，平面 平面 平面 平面 ， 平面 , E1A⊥底面 ABCD 又 底面 , , , , ， 平面 ， 平面 , 平面 平面 , …………5 分 （2）由（1）可知，E1A⊥底面 ABCD， , 底面 , 以 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意可知， ， ， ， ， 即 ， 设平面 的法向量为 ， ，即 ， ， 取 ，则 . 则 , BC 与平面 BDE1 所成角的正弦值为 . …………12 分  1E A AD⊥ 1AE D ⊥ ABCD 1AE D  ABCD AD= 1E A ⊂ 1AE D ∴  BC ⊂ ABCD ∴ 1E A BC⊥  90EBC∠ =  BC BE∴ ⊥  1E A BE A= 1E A ⊂ 1BEE BE ⊂ 1BEE ∴ BC ⊥ 1BEE 1EE ⊂ 1BEE ∴ 1EE BC⊥ 1EE BC⊥  BE ⊂ ABCD 1E A BE∴ ⊥ 1, ,AE AD AE , ,x y z ( )2,0,0B − ( )2,2,0C − ( )0,1,0D ( )1 0,0,2E ( )1 2,0,2BE = ( )1 0, 1,2DE = − 1E BD ( , , )m x y z= 1 1 2 2 0 2 0 m BE x z m DE y z  ⋅ = + = ⋅ = − + =   x z= − 2y z= 1z = ( )1,2,1m = − ( )2 2 2 4 6cos 31 2 1 2 BC m = = − + + ×  ， ∴ 6 318.【解析】（1）由函数 的部分图象可得 , ,即 ,则 ，又函数图像过点 ， 则 ， 即 ，又 ，即 ，（ 每个值 1 分） 即 ，则 …………4 分 由 ， ，得 ， ， 所以函数 的单调增区间为 ………6 分（少 扣 1 分） （2）由 ，得 ，因为 ，所以 ， 所以 ， ， 又 ，由正弦定理得 ①． ……………8 分 又 ，由余弦定理，得 ， 即 ②． 由①②解得 ， ． ……………10 分 ( ) sin( )( 0, 0,0 )f x A x Aω ϕ ω ϕ π= + > > < < 2A = 5 2 8 8 T π π= − T π= 2 2T πω = = ,28 π     2 28 2k π πϕ π× + = + 2 ,4k k Z πϕ π= + ∈ 0 ϕ π< < 4 πϕ = , ,A ω ϕ ( ) 2sin(2 )4f x x π= + ( ) 2sin[2( ) ] 2cos28 4g x x x π π= + + = πππ kxk 222 ≤≤− Zk ∈ πππ kxk ≤≤− 2 Zk ∈ )(xg Zkkk ∈    − ,,2 πππ Zk ∈ 1)( −=Cg 2 12cos −=C 20 π 2 2 0x − > ( ) ln 2 2 0f x x x′∴ = + − > ( )f x∴ (0,1) (1, )+∞ ( )f x 1x = ( ) 21f = − 3a = 2( ) ln 3f x x x x x= + − ( ) ln 2 2f x x x′∴ = + − ( )f x′ (0, )+∞ (1) ln1 2 2 0f ′ = + − = ∴ ( , )0 1x∈ ( ) 0f x′ < ( , )1x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x∴ ( , )0 1 (1, )+∞ ( )f x 1x = ( ) 21f = − 21 1( ) lne ex xf x x x x ax+ = + − + 2 1ln 0exx x x ax+ − + = 1ln exa x x x = + + 1( ) ln exg x x x x = + + 2 2 2 2 1 1 e e 1 ( e 1)( 1)( ) 1 e e e x x x x x x x x x x x xg x x x x x + + − − − +′ = + − = =由 得 . 令 ，当 时， ， 在 单调递增， ， ， 存在 ，使得 ………7 分 且当 时， ，即 ， 当 时， ，即 …8 分 ， ， 当 时， ；当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增………9 分 在 处取得最小值 ………10 分 ， ，即 ， ，即 ………11 分 当 时，函数 无零点， 当 时， ， 函数 至少有 个零点， 故 的取值范围是 ………12 分 ( ) 0g x′ = e 1xx = ( ) exh x x= 0x > ( ) ( )e 01 xh x x′ = + > ( ) exh x x∴ = ( , )0 +∞ 1 e( ) 12 2h = ∴ 0 1( , )12x ∈ 0 0e 1xx = 0(0, )x x∈ ( ) 1h x < e 1 0xx − < 0( , )x x∈ +∞ ( ) 1h x > e 1 0xx − > 1 0x + > 2e 0xx > ∴ 0(0, )x x∈ ( ) 0g x′ < 0( , )x x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x∴ 0(0, )x 0( , )x +∞ ( )g x∴ 0x x= 00 0 0 0 1( ) ln exg x x x x = + + 0 0e 1xx = 0 0ln( e ) ln1 0xx∴ = = 0 0ln 0x x+ = 00 0 0 1 1ln 0 1e 1xx x x ∴ + + = + = 0( ) 1g x = ∴ 1a < 1( ) exy f x= + 1a ≥ 1( ) ln eag a a a aa = + + > ∴ 1( ) exy f x= + 1 a [1, )+∞22．(本小题 10 分)【选修 4—4：坐标系与参数方程】 【解析】（1）直线 的参数方程为 为参数， ．点 在直线 上， 所以把点 代入直线的参数方程，解得 ． 所以 ，转换为极坐标方程为 ． …………5 分 （2）曲线 的极坐标方程为 ． 转换为直角坐标方程为： ． 转换为参数方程为 为参数）， 直线 的参数方程为 为）参数转换为直角坐标方程为 ， 整理得： ， 所以： ， 所以当 时， ， 解得： ． …………10 分 23. (本小题 10 分）【选修 4 — 5：不等式选讲】 【解析】（1）原不等式等价于 l 1 2 ( 33 2 x a t t y a t  = +  = − )a R∈ (2,0)A l (2,0)A 1a = 11 2 33 2 x t y t  = +  = − 3 2 3 0x y+ − = C 2 2 23 cos2 4 sin 3ρ θ ρ θ+ = 2 2 13 yx + = cos ( 3sin x y θ θ θ = = l 1 2 ( 33 2 x a t t y a t  = +  = − 3 3y a x a − = −− 3 2 3 0x y a+ − = 2 | sin( ) 2 3 || 3cos 3sin 2 3 | 4| | 2( 3) 1 6 aaPQ πθθ θ + −+ −= = + sin( ) 14 πθ + = 6 2 3 6| | 2 2min a PQ − = = 2a = 或 或 ， 解得： 或 或 ， 故原不等式的解集是 ； …………5 分 （2）证明： ， ， ， ， 同理 ， ， 又 a，b， 且不全相等， 故上述三式至少有 1 个不取“ ”， 故 ． …………10 分 ( ) ( )2x 1 x 2 2 3 x− − + ≥ ≤ − −  ( ) ( ) 12 2 2 1 2 3 x x x  − < abc 1= ( )2 2a b c 2abc 2∴ + ≥ = ( )2 2b c a 2abc 2+ ≥ = ( )2 2c a b 2abc 2+ ≥ = c 0> = ( ) ( ) ( )2 2 2a b c b c a c a b+ + + + + 2 2 2 2 2 2a b a c b c b a c a c b= + + + + + ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2a b c b c a c a b 6= + + + + + >