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2020 届高三高考模拟考试
数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分为 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应
的位置上，用 2B 铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上做答无效。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目
指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然
后再写上新的答案；不准使用涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁和平整。
一、选择题（每题 5 分，12 题，共 60 分）
1．已知全集 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则
A． B．3 C．4 D．5
3．已知 x，y 的取值如下表：
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
根据上表可得回归方程为푦 = 0.95푥 + 푎，则푎＝（ ）
A．3.25 B．2.6 C．2.2 D．0
4．若双曲线 的右顶点 到一条渐近线的距离为 ，则双曲线的离
心率为（ ）
A． B． C．3 D．
5．已知点 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
{ }1,2,3,4,5U = { }2,3,4A = { }3,5B =
B A⊆ {3}A B = {2,4,5}A B = {1,5}UC A =
z ( )3 3i z i+ = − (z = )
13
2 2
2 2: 1 ( 0, 0)x yC a ba b
− = > > A 2 2
3 a
2 2
3
1
3 2 2
( )cos10 ,sin10A ° ° ( )cos100 ,sin100B ° ° AB =
1 2 3 26．如图，正方体 中，下列结论不正确的是（ ）．
A． B． C． D．
7．已知一个圆柱的侧面积等于表面积的 ，且其轴截面的周长是 16，则该圆柱的体积是（ ）
A． B． C． D．
8．一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为 ，则该几何体的
外接球的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．81π D．100π
9．关于函数 ，有下列命题：
① 的最小正周期为 ；②函数 的图象关于 对称；③ 在区间 上单调递
增；④将函数 的图象向左平移 个单位长度后所得到的图象与函数 的图象重合．
其中正确的命题是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①③ D．①②④
10．已知函数 是偶函数，当 时， ，则曲线 在 处的切线方程
为（ ）
A． B． C． D．
11．点 M 是 所在平面内的一点，且满足 ，则 与 面积比（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 有两个零点，则 a 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题 5 分，4 题，共 20 分）
13．已知函数 ，则 _____________
14．已知实数 满足约束条件 ，则 的取值范围为___.
1 1 1 1ABCD A B C D−
1 1 1C D B C⊥ 1BD AC⊥ 1 1BD B C 1 60ACB∠ = °
2
3
54π 36π 27π 16π
20 5
( ) cos2 2 3sin cosf x x x x= −
( )f x π ( )f x
3x
π= ( )f x 2 ,3 6
π π − −
( )f x 5
12
π
2sin 2y x=
( )f x 0x > ( ) ln 1f x x x= + ( )y f x= 1x = −
y x= − 2y x= − + y x= 2y x= −
ABC 5 3AM AB AC= + ABM ABC
1
5
2
5
3
5
4
5
( ) ln ( R)f x x a x a a= − + ∈
( , )e +∞ ( )2 ,e +∞ ( )2 3,e e ( )2 2,2e e
2 , 0( )
( 2), 0
x xf x
f x x
>= + ≤
( 1)f − =
,x y
2
1 0
2 4 0
x
x y
x y
≤
− + ≥
+ − ≥
3z x y= +15．设直线 与圆 C：x2+y2-2ay-2=0 相交于 A，B 两点，若 ，则圆 C 的面积为______
16．如图所示，三个全等的三角形 、 、 拼成一个等边三角形
，且 为等边三角形， ，设 ，则 ______
三、解答题（70 分）
17．如图，四棱锥 中， 底面 ABCD，且底面 ABCD 为平行四边形，若 ，
， .
（1）求证： ；
（2）若 与底面 ABCD 所成的角为 ，求点 D 到平面 PBC 的距离.
18．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 两组，
每组 100 只，其中 组小鼠给服甲离子溶液， 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、
摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别
得到如下直方图：
记 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 ”，根据直方图得到 的估计值为 .
（1）求乙离子残留百分比直方图中 的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
19．已知数列 满足 ， ， .
（1）求证： 为等比数列；
（2）求 的通项公式.
2y x a= + 2 3AB =
ABF BCD CAE
ABC DEF 2EF AE= ACE θ∠ = sin 2θ =
P ABCD− PD ⊥ 60DAB∠ = °
2AB = 1AD =
PA BD⊥
PC 45
,A B
A B
C 5.5 ( )P C 0.70
,a b
{ }na 1 1a = 2
1
2a = 1 22n n na a a+ ++ =
{ }1n na a+ −
{ }na20．已知曲线 上的点到点 的距离比到直线 的距离小 ， 为坐标原点.
（1）过点 且倾斜角为 的直线与曲线 交于 、 两点，求 的面积；
（2）设 为曲线 上任意一点，点 ，是否存在垂直于 轴的直线 ，使得 被以 为直径的圆
截得的弦长恒为定值？若存在，求出 的方程和定值；若不存在，说明理由.
21．已知函数 .
（1）设 是 的极值点，求 ，并求 的单调区间；
（2）当 时，证明 .
22．已知直线 ： 与曲线 ： ，以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为
极轴建立极坐标系.
（1）求直线 和曲线 的极坐标方程；
（2）将直线 绕极点 逆时针方向旋转 得到的直线 ，这两条直线与曲线 分别交于异于极点的
， 两点，求 的面积.
23．设函数 ， .
（1）解不等式 ；
（2）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
C ( )1,0F : 2 0l x + = 1 O
F 45 C M N MON△
P C ( )2,0N x l l PN
l
( ) ( )1 ln 1xf x e x a−= − + +
1x = ( )f x a ( )f x
3a ≤ ( ) 1f x > −
l 3 0x y− = C ( )22 3 9x y+ − = O x
l C
l O 30° 'l C
P Q OPQ∆
( )x x= ( ) 2 1g x x= −
( ) ( ) 2f x g x+ ≤
( ) ( )2 2f x g x ax+ > − x∈R a 2020 届高三文科模拟考数学试卷答案
1．D【详解】由题知集合 与集合 互相没有包含关系，故 A 错误；又 ，故 B 错
误； ，故 C 错误； ，故 D 正确，
2．D【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
3．B【详解】푥＝1
4(0 + 1 + 3 + 4)＝2，푦＝1
4(2.2 + 4.3 + 4.8 + 6.7)＝4.5，把样本点中心(2，4.5)代入
回归方程得4.5＝0.95 × 2 + 푎，∴푎 = 2.6．
4．C【详解】设双曲线的右顶点为 ,一条渐近线方程为 ,即 ,由题意可得
,则 ,由 可得 所以 .
5．B【详解】 点 ， ，
，
6．C【解析】 与 是两条异面直线．所以不可能平行,选 C.
7．D 解：设圆柱的底面半径为 ，高为 ，∵圆柱的侧面积等于表面积的 ，且其轴截面的周长是
16，∴ ，解得 ，∴圆柱的体积为 ，
8．C 解：根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体，如图所示：该
四棱锥的底面是长方形，长为 6，宽为 5，四棱锥的高即为
所以 ，解得 ．
设四棱锥的外接球的半径为 r，所以 ，解得 ，
所以 ，
9．A【详解】
A B { }2,3,4,5A B∪ =
{ }3A B∩ = { }1,5UC A =
( )3 3i z i+ = − ( )3 3 3 3 3 4iz i i ii
−= − = − − − = − −
( ) ( )2 24 3 5z = − + − =
( ),0a by xa
= 0bx ay− =
2 2
2 2
3
ab ab aca b
= =
+
2 2
3b c= 2 2 2=c a b+ 1
3a c= 3ce a
= =
(cos10 ,sin10 )A ° ° (cos100 ,sin100 )B ° °
2 2| | (cos10 cos100 ) (sin10 sin100 )AB∴ = °− ° + °− °
2 2 2 210 2cos10 cos100 100 10 2sin10 sin100 100cos cos sin sin= °− ° °+ °+ °− ° °+ °
2 2(cos10 cos100 sin10 sin100 )= − °⋅ ° + °⋅ ° 2 2cos(10 100 )= − ° − ° 2 2cos90= − ° 2=
1BD 1B C
R h 2
3
( )22 23
2 4 16
Rh R h R
h R
π π = × +
+ =
2
4
R
h
=
=
2 16V R hπ π= =
PD
1 5 6 20 53V h= × × × = 2 5h =
( ) ( )22 2 22 5 6 2 5r = + + 9
2r =
294 812S π π = × = 球
( ) cos2 2 3sin cos cos2 3sin 2 2cos(2 )3f x x x x x x x
π= − = − = +所以 的最小正周期为 ，①正确；当 时， ，所以②正确；
当 时， ，此时 为增函数，所以③正确；
将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数解析式为
，所以④不正确；
10．A【详解】因为 ， ， ， ，
，所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
11．C【详解】如图，由 5 = +3 得
2 =2 +3 -3 ，即 2( - )=3( - )，即 2 =3
，故 = ，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为 3∶5，故
S△ABM∶S△ABC=3∶5.所以选 C.
12．B【详解】 ，当 时， ，∴ 在 上单调递增，
不合题意，当 时， 时， ； 时， ，∴ 在 上单调递减，
在 上单调递增，∴ ，依题意得 ，∴ ，取
， ，则 ， ，且 ，
，令 ，
则 ，∴ 在 上单调递增，∴ ，∴ ，
∴在 及 上各有一个零点，故 a 的取值范围是 ，
13．2【详解】函数 ，则 .
14． 【详解】画出 表示的可行域,如图:
解得 将 变形为 平移直线
由图可知当直线 经过点 时,直线在 轴
( )f x 2
2
π π=
3x
π= ( ) 2cos 23f
π = π = −
2 ,3 6x
π π ∈ − −
[ ]2 ,03x
π+ ∈ −π ( )f x
( )f x 5
12
π
52cos[2( ) ] 2cos(2 ) 2sin(2 )12 3 6 3y x x x
π π 7π π= + + = + = −
0x < ( ) ( ) ln( ) 1f x f x x x= − = − − + ( ) 11f − = ( ) ln( ) 1f x x′ = − − −
( 1) 1f ′ − = − ( )y f x= 1x = − ( )1 1y x− = − + y x= −
AM AB AC
AM AD AC AM AM AD AC AM DM
MC DM 3 DC5
( ) 1 ( 0)a x af x xx x
−′ = − = > 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞
0a > 0 x a< < ( ) 0f x′ < x a> ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )a
( , )a +∞ min( ) ( ) 2 lnf x f a a a a= = − 2 ln 0a a a− < 2a e>
1x e= 2
2x a= 1x a< 2x a> ( )1 ( ) 0f x f e e= = >
( ) ( )2 2
2 2 ln ( 2ln 1)f x f a a a a a a a a= = − + = − + ( ) 2ln 1g a a a= − +
2( ) 1 0g a a
′ = − > ( )g a ( )2 ,e +∞ ( )2 2( ) 3 0g a g e e> = − > ( )2 0f x >
( , )e a 2( ,e )a ( )2 ,e +∞
2 , 0( )
( 2), 0
x xf x
f x x
>= + ≤
( ) 1( 1) 1 2 2f f− = = =
[5,9]
2
1 0
2 4 0
x
x y
x y
≤
− + ≥
+ − ≥
( )1,2 , (2,3)A B 3z x y= + 3y x z= − +
3y x z= − + 3y x z= − + ( )1,2A y上的截距最小, 有最小值为 ,当直线 经过点 时,直线在 y 轴上的截距最
大,z 有最大值为 所以 的取值范围是 .
15． 【解析】因为圆心坐标与半径分别为 ，所以圆心到直线的距离
，则 ，解之得 ，所以圆的面积 ，
16． 【详解】设 ，则 ，由 ，由于三角形 、 、
全等，∴ ， ， ，又∵ 为等边三角形，∴ ，
在 中，由正弦定理可得： ，即 ，
，化简得 ，∴
，
17．（1）证明见解析；（2） 【详解】（1）∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
又 ，∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴ .
（2）设点 到平面 的距离 ，由（1）知 ，∴ ，
∵ 平面 ，∴ 是 与底面 所成的角，
∴ ，∴ ，∴ .
∵ ， ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，又 ，∴ ，解
z 3 2 5z = + = 3y x z= − + ( )2,3B
3 2 3 9z = × + = 3z x y= + [5,9]
4π 2(0, ), 2C a r a= +
2
2 2
a a ad
−= = 2 2( ) 3 2
2
a a+ = + 2 2a = 2 (2 2) 4S rπ π π= = + =
7 3
26
( )0AE k k= > 2EF k= ACE θ∠ = ABF BCD
CAE FAB θ∠ = CD k= 2DE k= ABC 3CAE
π θ∠ = −
CAE sin sin
AE CE
ACE CAE
=∠ ∠
3
sin sin 3
k k
πθ θ
= −
3 13sin cos sin2 2
θ θ θ= − 3tan 7
θ =
2 2 2
322sin cos 2tan 7 37sin 2 3sin cos tan 1 26149
θ θ θθ θ θ θ
×
= = = =+ + +
2 21
7
1AD = 2AB = 60DAB∠ = °
2 2 2 2 cos60BD AB AD AB AD= + − ⋅ ° 3BD = 2 2 2AD BD AB+ = AD BD⊥
PD ⊥ ABCD BD ⊂ ABCD PD BD⊥
AD PD D= BD ⊥ PAD PA ⊂ PAD BD PA⊥
D PBC h BC BD⊥ 1 3
2 2BCDS BC BD= × × =△
PD ⊥ ABCD PCD∠ PC ABCD
45PCD∠ = ° 2PD PC= = 1 3 323 2 3P BCDV − = × × =
2 2 2PC CD= = 2 2 = 7PB PD DB= + 1BC = 2 2 2BC PB PC+ = PB BC⊥
1 7
2 2BCPS BC PB= ⋅ =△
1 7 7
3 2 6D BCP
hV h− = × × = P BCD D BCFV V− −= 7 3
6 3
h =得 .
18．(1) ， ；(2) ， .
【详解】(1)由题得 ，解得 ，由 ，解
得 .
(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为
，
乙离子残留百分比的平均值为
19．（1）证明见解析（2）
解：（1）由 ，得 ，即
又 ，∴ ∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列
（2）由（1）知
∴ ，
累加得
又 ，∴
又 也符合上式，∴
20．（1） ；（2）直线 存在，其方程为 ，定值为 .
【详解】（1）依题意得，曲线 上的点到点 的距离与到直线 的距离相等，
所以曲线 的方程为： .过点 且倾斜角为 的直线方程为 ，
设 ， ，联立 ，得 ，
2 21
7h =
0.35a = 0.10b = 4.05 6
0.20 0.15 0.70a + + = 0.35a = 0.05 0.15 1 ( ) 1 0.70b P C+ + = − = −
0.10b =
0.15 2 0.20 3 0.30 4 0.20 5 0.10 6 0.05 7 4.05× + × + × + × + × + × =
0.05 3 0.10 4 0.15 5 0.35 6 0.20 7 0.15 8 6× + × + × + × + × + × =
2 2 1
3 3 2
n
na = − −
1 22n n na a a+ ++ = ( ) ( )2 1 12 n n n na a a a+ + +− = − − ( )2 1 1
1
2n n n na a a a+ + +− = − −
2 1
1
2a a− = − 2 1
1
1
2
n n
n n
a a
a a
+ +
+
− = −− { }1n na a+ − 1
2
− 1
2
−
1
1
1 1 1
2 2 2
n n
n na a
−
+
− = − ⋅ − = −
1 2
1 1 2 2 1
1 1 1, , , ( 2)2 2 2
n n
n n n na a a a a a n
− −
− − −
− = − − = − − = − ≥
2 2 1
1
1 1
1 1 1 1 1 2 12 2
12 2 2 2 3 3 21 2
n
n n n
na a
− −
− − − − = − + − + + − + − = = − − − − −
1 1a = 1 2 1 2 2 11 ( 2)3 3 2 3 3 2
n n
na n = − − − = − − ≥
1 1a = 2 2 1
3 3 2
n
na = − −
2 2 l 1x = 2
C ( )1,0F : 1l x = −
C 2 4y x= F 45 1y x= −
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
2 4
1
y x
y x
=
= −
2 4 4 0y y− − =则 ， ，则 ；
（2）假设满足条件的直线 存在，其方程为 ，设点 ，则以 为直径的圆的方程为
，将直线 代入，得 ，
则 ，设直线 与以 为直径的圆的交点为
、 ，则 ， ，
于是有 ，
当 ，即 时， 为定值.
故满足条件的直线 存在，其方程为 .
21．（1） ， 的单调递减区间为 ，增区间为 ；（2）证明见解析.
【详解】（1） ，由 是 的极值点知， ，即 ，所以
.于是 ，定义域为 ，且 ，
函数 在 上单调递增，且 ，因此当 时， ；当
时， ，所以 的单调递减区间为 ，增区间为 .
（2）当 ， 时， ，从而 ，则
，
令 ， ，则 在 单调递增，
且 ， ，故存在唯一的实数 ，使得 .
当 时， ， 递减；当 时， ， 递增．
从而当 时， 取最小值.由 得 ，则 ，
，故 ，
由 知， ，故 ，即当 时， 成立.
1 2 4y y+ = 1 2 4y y⋅ = − ( )2
1 2 1 2 1 2
1 1 4 2 22 2MANS y y y y y y= − = + − =△
l x a= ( )0 0,P x y PN
( )( ) ( )0 02 0x x x y y y− − + − = x a= ( )( )2
0 02 0y y y a a x− + − − =
( )( ) ( ) ( )2
0 0 04 2 4 1 2 0y a a x a x a a∆ = − − − = − + − > l PN
( )3,A a y ( )4,B a y 3 4 0y y y+ = ( )( )3 4 02y y a a x⋅ = − −
( ) ( ) ( ) ( )3 4 0 04 1 2 2 1 2AB y y a x a a a x a a= − = − + − = − + −
1 0a − = 1a = 2AB =
l 1x =
0a = ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞
( ) 1 1xf x e x a
−′ = − + 1x = ( )f x ( )1 0f ′ = 11 01 a
− =+
0a = ( ) 1 ln 1xf x e x−= − + ( )0, ∞+ ( ) 1 1xf x e x
−′ = −
( ) 1 1xf x e x
−′ = − ( )0, ∞+ ( )1 0f ′ = ( )0,1x∈ ( ) 0f x′ <
( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞
3a ≤ x a> − 0 3x a x< + ≤ + ( ) ( )ln ln 3x a x+ ≤ +
( ) ( ) ( )1 11 ln 2 ln 3 2x xf x e x a e x− −+ = − + + ≥ − + +
( ) ( )1 ln 3 2xg x e x−= − + + ( )3,x∈ − +∞ ( ) 1 1
3
xg x e x
−′ = − +
( )3,− +∞
( ) 2
1 11 02g e
′ − = − < ( ) 1 10 0g e e
′ = − > ( )0 1,0x ∈ − ( )0 0g x′ =
( )03,x x∈ − ( ) 0g x′ < ( )g x ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x
0x x= ( )g x ( )0 0g x′ = 0 1
0
1 03
xe x
− − =+
0 1
0
1
3
xe x
− = +
( )0 01 ln 3x x− = − + ( ) ( ) ( ) ( )
0
2
1 0
0 0 0min
0 0
21ln 3 2 1 23 3
x xg x g x e x xx x
− += = − + + = + − + =+ +
( )0 1,0x ∈ − ( )2
0
0
2 03
x
x
+ >+
( ) ( ) ( )01 0f x g x g x+ ≥ ≥ > 3a ≤ ( ) 1f x > −22．（1）直线 ： ，曲线 ： ；（2）
【详解】（1） 则直线 的方程为： ，∴极坐标方程为： ；
曲线 的方程： ，即 ，∴极坐标方程为： .
（2）将直线 绕极点 逆时针方向旋转 得到的直线 ，则 极坐标方程为： ，
设 ， ，则 ， ，
所以 的面积 .
23．（1） （2）
解：（1） 当 时， ，即 ，即 ，
即 ，即 当 时， ，即 ，即 当 时， ，即
，即 综上所述，不等式的解集为
（2） 当 时， ，即
所以 ，得 当 时， ，即 ，所以 ，即
当 时， ，即 ， 即可，即
综上所述， ，即 的取值范围为
l ( )
6 R
πθ ρ= ∈ C 6sinρ θ= 9 3
4S =
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= l 3
3y x= ( )
6 R
πθ ρ= ∈
C ( )22 3 9x y+ − = 2 2 6 0x y y+ − = 6sinρ θ=
l O 30° 'l 'l 2 3
πθ =
1OP ρ= 2OQ ρ= 1 6sin 36
πρ = = 2 6sin 3 33OQ
πρ= = =
OPQ∆
1 2
1 1 1 9 3sin 3 3 32 6 2 2 4S
πρ ρ= = × × × =
1 13 xx
− ≤ ≤
[ ]4,4−
( ) ( )
13 1, 2
12 1 1 ,0 2
1 3 , 0
x x
f x g x x x x x
x x
− ≥
+ = + − = − <
( )
4 0
1 4 1 02
a
a
− ≥ − + >
4a ≤ 10 2x< < 1 2ax> − 3 0ax − < 1 32 a ≤ 6a ≤
0x ≤ 1 4 2x ax− > − ( )4 3 0a x+ − < 4 0a+ ≥ 4a ≥ −
4 4a− ≤ ≤ a [ ]4,4−
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