北京市昌平区2020届高三高考数学考前适应性试题（Word版附答案）

数学第 1 页，共 6 页 俯视图 侧视图正视图 高三数学高考前适应性测试卷 2020.6.26 本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 个小题，每个小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项 中，选出符合题目要求的一项。 1. 已知集合 ， ，则 A． B. C. D. 2. 复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列函数中有最小值的是 A． B. C. D. 4. 直线 与圆 交于 两点，若 ，则点 到直线 的距离为 A． B. C. D. 5. 已知非零向量 满足 ，则“ ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 某三棱锥的三视图如图所示（图中小正方形的边长为 ），则该三棱锥的体积 为 A． B. C. D. 7. 若函数 在 内恰有 个零点，则 的值不可能为 A． B. C. D. { }R 2A x x= ∈ ≤ { }2R 2 3 0B x x x= ∈ − − < A B = [ ]2,2− ( )1,3− ( ]1,2− [ ]1,2− 3 5i 1 iz += + i 2xy = 1y x= + tany x= lgy x= l 2 2: 1O x y+ = ,A B 2AB = O l 2 1 2 2 1 2 ,a b λa = b 1λ = ± 2 2a = b 1 2 3 4 3 1 2 ( ) cos sinf x x xω= − [ ]0,2π 2 ω 1− 0 1 2数学第 2 页，共 6 页 133 312 122 向上移动一次 1 3 2 3 2 1 向右移动一次 213321 CD A B D1 A1 B1 C1 E 8. 已知平面向量 的夹角为 ，且 ，则 的最小值为 A． B. C. D. 9. 如图，正方体 的棱长为 ，点 在棱 上，且满足 ， 动点 在正方体表面上运动，且 1，则动点 的轨迹的周长为 A． B. C. D. 10、如图，在 的方格中，移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下 移动，每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化. 例如 若想移动成每行的数字相同，则最少需要移动（ ）次 A． B. C. D. 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分。 11. 在 的展开式中，常数项为_________.（用数字作答） 12. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，且一个焦 点在抛物线 的准线上，则该双曲线的方程为________. 13. 已知等差数列 的首项为 ，等比数列 的公比为 ， 是数列 的 ,a b 3 π =1⋅a b +a b 1 2 2 6 1 1 1 1ABCD A B C D− 3 E BC 2BE EC= M ME BD⊥ M 6 2 4 3 4 2 3 3 3 3× 2 3 4 5 6 2 1x x  −   ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 3 3y x= 2 8y x= { }na 2 { }nb 2 nS { }nb数学第 3 页，共 6 页 前 项和，且 ，则 _____， _____. 14. 中国地大物博，大兴安岭的雪花还在飞舞，长江两岸的柳枝已经发芽，海南 岛上盛开着鲜花. 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬. 专家发现: 两岁燕子的飞行速度可以表示为 ，其中 表 示燕子的耗氧量，则燕子静止时耗氧量为______； 若某只两岁的燕子耗氧量为 时的飞行速度为 ，另一只两岁的燕 子耗氧量为 时的飞行速度为 ，两只燕子同时起飞，当 时，一 分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为_____米. 15. 已知函数 ，直线 与 轴和 轴分别交于点 ，直 线 与函数 的图像交于 两点（点 在点 之间），给出下列四个结论： ① 若点 为 轴上一点，则存在符合条件的点 和实数 ，使得 为等边三 角形； ② 记 ，则 ； ③ 记 ，则 的值域为 ； ④ 记 ，则对任意的非零实数 ，都有 成立 （ 表示 中最大的数， 表示 中最小的数）. 其中正确结论的序号是_______. n ( )2 na nb = 4a = 5S = ( )25log /10 qv = 米 秒 q 1q ( )1 /v 米 秒 2q ( )2 /v 米 秒 1 24q q= ( ) 2 1f x x= + : 2l y ax= + x y ,D B l ( )f x ,A C C ,B D E y E a ABE∆ ( ) ACr a DC = ( ){ }1 y y r a∈ = ( ) ABh a BC = ( )h a ( )0,+∞ ( ) { } { } max , min , AB BCg a AB BC = a ( ) ( ) 1g a g a =− { }1 2max ,x x 1 2,x x { }1 2min ,x x 1 2,x x数学第 4 页，共 6 页 D B1 C1A1 A B C 三、解答题共 6 个小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16. (本小题共 14 分) 如图，三棱柱 中， ， 是 的中点， ， . （Ⅰ）证明： ； (Ⅱ) 求直线 与平面 所成角的正弦值. 17. (本小题共 14 分) 2020 年岁末年初，“新冠肺炎”疫情以其汹汹袭来之势席卷了我国的武汉，在这 关键的时刻，在党中央的正确指导下，以巨大的魄力，惊人的壮举，勇敢的付出， 及时阻断了疫情的传播，让这片土地成为了世界上最温暖的家园；通过全国人民 的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得 到了控制.下表统计了 2 月 12 日到 2 月 18 日连续七天全国的治愈人数：（单位： 例） 日期 12 13 14 15 16 17 18 治愈人数 1171 1081 1373 1323 1425 1701 1824 请根据以上信息，回答下列问题： （Ⅰ）记前四天治愈人数的平均数和方差分别为 和 ，后三天治愈人数的平 均数和方差分别为 和 ，判断 与 ， 与 的大小（直接写出结论）； (Ⅱ) 从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多 于 例的概率； (Ⅲ) 设集合 ，从集合 中 任取两个元素，设其中满足 的个数为 ，求 的分布列和数学期望 . 1 1 1ABC A B C− 1AA ABC⊥ 底面 D AB 1 2AA AC CB= = = 2 2AB = 1 1//BC ACD平面 1AA 1ACD 1x 2 1s 2x 2 2s 1x 2x 2 1s 2 2s 200 ( ){ }1, 2 12,13, ,17i i iM x x x i i+= = 表示 月日的治愈人数, M 1i ix x +< X X ( )E X数学第 5 页，共 6 页 18. (本小题共 14 分) 已知 中， . （Ⅰ）求证： 是钝角； （Ⅱ）若 同时满足下列四个条件中的三个： ① ； ② ； ③ ④ . 请指出这三个条件，说明理由，并求出 的值. 19. (本小题共 14 分) 已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 . （Ⅰ）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ）过点 的直线 交椭圆 于不同的两点 ，点 是直线 上任意一 点，求证：直线 的斜率成等差数列. ABC∆ cosc Ab < B ABC∆ 2sin 2A = 2a = 2c = 3sin 2C = b ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 1 2 ( )1,0F C F l C ,M N P 4x = , ,PM PF PN数学第 6 页，共 6 页 20. (本小题共 15 分) 已知函数 . （Ⅰ）当 时， （i）求曲线 在点 处的切线方程； (ii) 求函数 的最小值； （Ⅱ）若曲线 与 轴有且仅有一个公共点，求实数 的取值范围. 21. (本小题共 14 分) 对给定的正整数 ，令 . 对任意的 ， ，定义 与 的距离 . 设 是 的含有至少两个元素的子集，集合 中的最 小值称为 的特征，记作 . （Ⅰ）当 时，直接写出下述集合的特征： , （Ⅱ）当 时，设 且 ，求 中元素个数的最大值； （Ⅲ）当 时，设 且 ，求证： 中的元素个数小于 . ( ) ( ) ( )1 e ln exf x x a x a= − − ≤ ea = ( )y f x= ( )( )1, 1f ( )y f x= ( )y f x= x a n ( ) { }{ }1 2, , , 0,1 , 1,2,3, ,n n ia a a a i nΩ = = ∈ = a ( )1 2, , , nx x x= x ( )1 2, , , n ny y y= ∈Ωy x y ( ) 1 1 2 2, n nd x y x y x y= − + − + + −x y A n Ω ( ){ }, , ,D d A= ≠ ∈x y x y x y A ( )Aχ 3n = ( ) ( ){ }0,0,0 , 1,1,1A = ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0,0 , 0,1,1 , 1,0,1 , 1,1,0B = ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,0,0 , 0,0,1 , 0,1,1 , 1,1,1C = 2020n = 2020A ⊆ Ω ( )=2Aχ A 2020n = 2020A ⊆ Ω ( )=3Aχ A 20202 2021数学第 7 页，共 6 页 昌平区 2020 届高考前适应性测试卷答案 数 学 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C A A D D A B 二、填空题:本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11. 12. 13. ； 14. ； 15. ①②④ 注：第 13、14 题第一空 3 分,第二空 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 分， 其他得 3 分。 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16.（本小题共 14 分） （Ⅰ）证明：连接 交 于点 ，连接 ，则点 是 的中点， 点 是 的中点， // 平面 ， 平面 //平面 ------------------------5 分 （Ⅱ）解： ， 三棱柱 中， 底面 底面 ， 以 为坐标原点，分别以 为 轴，如图建立空间直角坐标系 ， ， ， ， ， 0 15 2 2 13 x y− = 8 62 10 600 1AC 1AC O OD O 1AC  D AB ∴ OD 1BC  OD ⊂ 1ACD 1BC ⊄ 1ACD ∴ 1BC 1ACD  2AC CB= = 2 2AB = ∴ AC CB⊥  1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC ∴ 1AA ⊥ ABC ∴ 1CC CA⊥ 1CC CB⊥ ∴ C 1, ,CA CB CC , ,x y z (0,0,0)C (2,0,0)A 1(2,0,2)A (0,2,0)B (1,1,0)D数学第 8 页，共 6 页 ， ， 设平面 的法向量为 ， 因为 令 ，则 ， 所以平面 的一个法向量为 ， 设直线 与平面 所成角为 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . ------------------------14 分 17.（本小题共 14 分） 解：（Ⅰ） ； ------------------------4 分 （Ⅱ）设事件 “从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数 多于 200 例”.从这七天中任选取连续的两天，共有 6 种选法，其中 13 日和 14 日，16 日和 17 日符合要求 所以 ------------------------8 分 （Ⅲ）由题意可知 所以 的分布列为： 0 1 2 (1,1,0)CD = 1 (2,0,2)CA = 1 (0,0,2)AA = 1ACD ( , , )x y z=n 1 0 0 CD CA  ⋅ = ⋅ =   n n 0 2 2 0 x y x z + =  + = 1x = 1, 1y z= − = − 1ACD (1, 1, 1)= − −n 1AA 1ACD θ sinθ = 1 1 1 cos , AAAA AA ⋅< > = ⋅   nn n 2 3 32 1 1 1 −= = ⋅ + + 1AA 1ACD 3 3 1 2x x< 2 2 1 2s s< A： 2 1( ) 6 3P A = = 0,1,2X = 2 2 2 6 1( 0) 15 CP X C = = = 1 1 2 4 2 6 8( 1) 15 C CP X C = = = 2 4 2 6 6 2( 2) 15 5 CP X C = = = = X X P 1 15 8 15 2 5数学第 9 页，共 6 页 ------------------------14 分 18.（本小题共 14 分） （Ⅰ）证明： （解法 1）由 及余弦定理 可知 即 因为 所以 即 为钝角------------------------5 分 （解法 2）由 及正弦定理 可知 因为 所以 所以 因为 所以 即 为钝角------------------------5 分 1 8 2 4( ) 0 1 215 15 5 3E X = × + × + × = Ab c cos< Abccba cos2222 −+= bc acb b c 2 222 −+< 22222 acbc −+< 0222 A C> 3,3 2,3 πππ +> BCAA bc acbA 2cos 222 −+= b b 22 42 2 2 2 −+= 31+=b 31− 1 ,2 1, c a c  =  = 2a = 1c = 2 2 3b a c= − = C 2 2 14 3 x y+ =数学第 11 页，共 6 页 （Ⅱ）当直线 的斜率不存在时，设 ，当 ， 时， ，又 ， 所以直线 的斜率成等差数列． 当直线 的斜率存在时，设 ． 联立 得 ． 成立， 设 ， ，则 ， ． 设点 ， 则 所以直线 的斜率成等差数列． 综上, 直线 的斜率成等差数列． ------------------------14 分 20.（本小题共 15 分） 解：（Ⅰ）当 时， ， ， （ⅰ） ， 所求切线方程为： ------------------------4 分 （ⅱ） ， 令 ， l ( )4P t， 0(1, )M y 0(1, )N y− ( )00 2 4 1 4 1 3PM PN t yt y tk k − −−+ = + =− − 0 4 1 3PF t tk −= =− , ,PM PF PN l : ( 1)l y k x= − 2 2 ( 1), 3 4 12, y k x x y = −  + = 2 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x k x k+ − + − = 2144( 1) 0k∆ = + > 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 2 1 2 2 8 4 3 kx x k + = + 2 1 2 2 4 12 4 3 kx x k −= + ( )4P t， 3PF tk = 1 2 1 24 4PM PN y t y tk k x x − −+ = +− − ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ( 5 )( ) 8( ) 4 4 4( ) 16 k x t k x t kx x t k x x t k x x x x x x − − − − − + + + += + =− − − + + 2 2 22 2 2 2 2 2 2 4 12 82 ( 5 ) 8( ) 24 ( 1) 24 3 4 3 = 24 12 8 36( 1) 34 164 3 4 3 PF k kk t k t k t k tk k kk k k k k − − + + + ++ += = =− +− ++ + , ,PM PF PN , ,PM PF PN a e= ( ) ( 1) lnxf x x e e x= − − (1) 0f = '( ) x ef x xe x = − '(1) 0f e e= − = 0y = ( )'( ) 0x ef x xe xx = − > ( )( ) '( ) 0x eg x f x xe xx = = − >数学第 12 页，共 6 页 所以 所以当 时， ， 所以 在区间 上单调递增， 又因为 ， 随 的变化如下表： 极小值 所以函数 的最小值为 . ------------------------10 分 （Ⅱ）依题，函数 只有一个零点， ， ① 时， ， ，所以 在 上单调递增，且 ， 所以函数 只有一个零点； ②当 时，令 ， ， 所以 在区间 上单调递增， 若 时，由（Ⅰ）知函数 只有一个零点， ( ) ( )'f x f x∴ 、 x 2'( ) ( 1) x eg x x e x = + + 0x > '( ) 0g x > ( )g x ( )0,+∞ (1) 0g = x (0,1) 1 (1, )+∞ '( )f x − 0 + ( )f x   ( )f x (1) 0f = ( )f x '( ) ( 0)x af x xe xx = − > 0a ≤ ( )0,x∈ +∞ '( ) 0f x > ( )f x ( )0,+∞ (1) 0f = ( )f x 0 a e< ≤ ( ) '( ) ( 0)x ag x f x xe xx = = − > 2'( ) ( 1) ( 0)x ag x x e xx = + + > ( )g x ( )0,+∞ a e= ( )f x数学第 13 页，共 6 页 若 时， ， ， 所以 在区间 上存在一个零点 ，且 ， 随 的变化如下表： 极小值 所以 ， 因为 ， 取 ， ， （用极限说明也给分） ， 所以函数 在区间 和 上各有一个零点， 综上可知： 的取值范围是 . ------------------------15 分 21.（本小题共 14 分） 解：（Ⅰ） ， ， ------------------------3 分 （Ⅱ）当 时，设 且 ，则 中元素个数的最大值为 . 理由如下： （a） 一方面：对任意的 ，令 ( ) ( )'f x f x∴ 、 x 0 a e< < (1) 0g e a= − > ( ) 0 a ea ag e ee e = − < ( )g x ( )0,+∞ 0x 0 ,1ax e  ∈   x 0(0, )x 0x 0( , )x +∞ '( )f x − 0 + ( )f x   0( ) (1) 0f x f< = ( ) ( 1) ln ln lnx x x xf x x e a x xe e a x e a x= − − = − − > − − 1 e ax e −= < ( ) ln + 0 e e a a e e e ea af e e a e e e − −− −> − − = − > (1)=0f ( )f x ( )00, x ( )0 ,x +∞ a ( ] { },0 e−∞  ( ) 3Aχ = ( ) 2Bχ = ( ) 1Cχ = 2020n = 2020A ⊆ Ω ( ) 2Aχ = A 20192 1 2 3 2019 2020( , , ,..., , )a a a a a A= ∈a 1 2 3 2019 2020( ) ( , , ,..., ,1 )f a a a a a= −a数学第 14 页，共 6 页 则 ，故 . 令集合 ，则 ， 且 与 的元素个数相同， 但 中共有 个元素，其中至多一半属于 ，故 中至多有 个元素. （b）另一方面，设 则 中的元素个数为 . 对任意的 ， 易 得 与 奇偶性相同，故 为偶数，由 ，得 ，故 . 注意到 且它们的距离为 ，故此时 满足题意. 综上， 中元素个数的最大值为 . ------------------------8 分 （Ⅲ）当 时，设 且 ，设 . 任意的 ，定义 的领域 （a）对任意的 ， 中恰有 个元素.事实上 （1）若 ，则 ，恰有一种可能； （2）若 ，则 与 恰有一个分量不同，共 2020 种可能； 综上， 中恰有 个元素. （b）对任意的 ， . 事实上，若 不妨设 ，不妨设 ， ， ，则 2020( , ( )) |1 2 | 1 2d f a= − = x y ( , ) 2d ≥x y (0,0,0,0,...,0,0),(1,1,0,0,...,0,0) A∈ 2 A A 20192 2020n = 2020A ⊆ Ω ( ) 3Aχ = 1 2{ , ,..., }mA = x x x i A∈x x 2020( ) { | ( , ) 1}i iN d= ∈Ω ≤x a a x 1 i m≤ ≤ ( )iN x 2021 ( , ) 0id =a x i =a x ( , ) 1id =a x a ix ( )iN x 2021 1 i j m≤ < ≤ ( ) ( )i jN N = ∅x x ( ) ( )i jN N ≠ ∅x x ( ) ( )i jN N∈ a x x 1 2 2020( , ,..., )a a a=a 1 2 2020( , ,..., )i x x x=x 1 2 2020( ', ',..., ')j x x x=x 2020 2020 2020 2020 1 1 1 1 ( , ) | '| (| | | '|) | | | '| 2i j k k k k k k k k k k d x x x a a x x a a x = = = = = − ≤ − + − = − + − ≤∑ ∑ ∑ ∑x x数学第 15 页，共 6 页 这与 ，矛盾. 由（a）和（b）， 中共有 个元素，但 中共 有 个元素，所以 ， . 注意到 是正整数，但 不是正整数，上述等号无法取到. 所以，集合 中的 元素个数 小于 . ------------------------14 分 ( ) 3Aχ = 1 2( ) ( ) ( )mN N N⋅⋅⋅  x x x 2021m 2020 Ω 20202 20202021 2m ≤ 20202 2021m ≤ m 20202 2021 A m 20202 2021