2020届普通高等学校招生全国统一考试（山师附中模拟卷）（打靶卷）数学试题（Word版附答案）

2020 年普通高等学校招生全国统一考试(山师附中模拟卷) 数 学 学 科 本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无 效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知集合 M={x｜x2－2x＜0}，N={－2，－1，0，1，2}，则 M∩N= A． B．{1} C．{0，1} D．{－1，0，1} 2．已知复数 z 满足 z(1+2i)=i，则复数 在复平面内对应点所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知向量 a=(m，－2)，b=(2，1)，则“m＜1”是“a，b 夹角为钝角”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．甲、乙、丙 3 人站到共有 6 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的 位置，则不同的站法总数是 A．90 B．120 C．210 D．216 ∅ z5．已知定义在 R 上的函数 ，a=f( )，b=－f( )，c=f(1n3)，则 a，b，c 的大小关系为 A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b 6．对 n 个不同的实数 a1，a2，…，an 可得 n!个不同的排列，每个排列为一行 写 成 一 个 n!行的数阵．对第 i 行 ai1，ai2，…，ain，记 bi=－ai1+2ai2－3ai3+…+(－ 1) nnain ， i=1，2，3…，n!． 例如用 1，2，3 可得数阵如右，对于此数阵中每一列各数之和都是 12，所 以 bl+b2+…b6=－12+2×12－3×12=－24．那么，在用 1，2，3，4，5 形成的数阵中，b1+b2+…b120 等于 A．－3600 B．－1800 C．－1080 D．－720 7．已知△ABC 中，A=60°，AB=6，AC=4，O 为△ABC 所在平面上一点，且满足 OA=OB=OC．设 ，则 的值为 A．2 B．1 C． D． 8．在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB⊥BC，AB=BC=BB1=1，M 是 AC 的中点，则三棱锥 B1－ABM 的外接球的表面积为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．Keep 是一款具有社交属性的健身 APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指 导、装备购买等一站式运动解决方案．Keep 可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程。 不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划。小明根据 Keep 记录的 2019 年 1 月 至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图。根据该折线图， 下列结论正确的是 ( ) 2 xf x x=  3log 5 3 1log 2 AO AB ACλ µ= + λ µ+ 11 18 7 11 3 2 π 2π 5 4 π 9 8 πA．月跑步里程最小值出现在 2 月 B．月跑步里程逐月增加 C．月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数 D．1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小 10．已知函数 ，下列结论正确的是 A．函数图像关于 对称 B．函数在 上单调递增 C．若 ，则 D．函数 f(x)的最小值为－2 11．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 棱长为 2，如图，M 为 CC1 上的动点，AM⊥平面 α．下面说法正 确的是 A．直线 AB 与平面 α 所成角的正弦值范围为 ( ) sin cos sin cosf x x x x x= + + − 4x π= ,4 4 π π −   1 2( ) ( ) 4f x f x+ = 1 2 ( )2 kx x k Z π+ = ∈ 3 2[ , ]3 2B．点 M 与点 C1 重合时，平面 α 截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C．点 M 为 CC1 的中点时，若平面 α 经过点 B，则平面 α 截正方体所得截面图形是等腰梯形 D．己知 N 为 DD1 中点，当 AM+MN 的和最小时，M 为 CC1 的中点 12．函数 f(x)=ex+asinx，x∈(－π，+∞)，下列说法正确的是 A．当 a=1 时，f(x)在(0，f(0))处的切线方程为 2x－y+1=0 B．当 a=1 时，f(x)存在唯一极小值点 x0 且－1＜f(x0)＜0 C．对任意 a＞0，f(x)在(－π，+∞)上均存在零点 D．存在 a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13． 的展开式中的常数项为____________________．(用数字作答) 14．一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的 1 个绿球和 3 个红球．甲、乙两人从箱中轮流摸 球，每次摸取一个球，规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将 此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是 ______________． 15．己知 a，b 为正实数，直线 y=x－a 与曲线 y=ln(x+b)相切于点(x 0，y0)，则 的最小值是 _______________． 6 2 1(2 )x x − 1 1 a b +16．已知双曲线 ，F1，F2 是双曲线的左右两个焦点，P 在双曲线上且在第一象限，圆 M 是△F1PF2 的内切圆．则 M 的横坐标为_________，若 F1 到圆 M 上点的最大距离为 ，则△F1PF2 的面积为___________． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2an－1(n∈N+) (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 ，数列{bn}的前 n 项和 Tn，且 Tn≥m 对任意 n∈N+恒成立，求 m 范围． 18．(12 分) 平面四边形 ABCD 中，边 BC 上有一点 E，∠ADC=120°，AD=3，sin ∠ ECD= ，DE= ，CE= (1)求 AE 的长： (2)己知∠ABC=60°求△ABE 面积的最大值． 19．(12 分) 在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点 E 是 BC 的中点．将△ABD 沿 BD 折起， 使 AB⊥AC，连接 AE，AC，DE，得到三棱锥 A－BCD． (1)求证：平面 ABD⊥平面 BCD 2 2 18 yx − = 4 3 1 n n n n ab S S + = ⋅ 2 3 3 3 3 4(2)若 AD=1，二面角 C－AB－D 的余弦值为 ，求二面角 B－AD－E 的正弦值． 20．(12 分) 从 2019 年底开始，非洲东部的肯尼亚等国家爆发出了一场严重的蝗虫灾情．目前，蝗虫已抵达乌干 达和坦桑尼亚，并向西亚和南亚等地区蔓延．蝗虫危害大，主要危害禾本科植物，能对农作物造成 严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数 y 和平均温度 x 有关，现收集了以往某地的 7 组数据，得到下面 的散点图及一些统计量的值． 平均温度 x／℃ 21 23 25 27 29 32 35 平均产 卵数 y／ 个 7 11 21 24 66 11 5 325 7 7 x y z 1 ( )( ) n i i i x x z z = − −∑ 2 1 ( ) n i i x x = −∑27.429 81.286 3.612 40.182 147.714 表中 zi=lnyi， (1)根据散点图判断，y=a+bx 与 y=cedx(其中 e=2.718…为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵 数 y 关于平均温度 x 的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)并由判断结果及表中数据，求 出 y 关于 x 的回归方程．(结果精确到小数点后第三位) (2)根据以往统计，该地每年平均温度达到 28℃以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情 况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到 28℃以上的概率为 p(0＜p＜1)． (i)记该地今后 n(n≥3，n∈N*)年中，恰好需要 2 次人工防治的概率为 f(p)，求 f(p)取得最大值时相应 的概率 p0． (ii)根据(i)中的结论，当 f(p)取最大值时，记该地今后 6 年中，需要人工防治的次数为 X，求 X 的数 学期望和方差。 附：对于一组数据(x1，z1)，(x2，z2)，…(x7，z7)，其回归直线 z=a+bx 的斜率和截距的最小二乘法估 计分别为： ， ． 21．(12 分) 已知椭圆 E： (a＞b＞0)经过点(－1， )，且焦距为 2． (1)求椭圆 E 的方程； (2)设 A 为椭圆 E 的左顶点，过点 F2 的直线 l 交椭圆 E 于 P，Q 两点，记直线 AP、AQ 的斜率分别 7 1 1 7 i i z z = = ∑ 7 1 7 2 1 ( )( ) ( ) i i i i i x x z z b x x = = − − = − ∑ ∑ a z bx= − 2 2 2 2 1x y a b + = 3 2为 k1，k2，若 ，求直线 l 的方程． 22．(12 分) 已知函数 f(x)=alnx，a∈R． (1)若曲线 y=f(x)与曲线 g(x)= 在公共点处有共同的切线，求实数 a 的值； (2)在(1)的条件下，试问函数 是否有零点．若有，求出该零点；若没有，请 说明理由。 1 2 1 2k k+ = − x 1 ( ) ( ) 12 xxeF x xf x − = − +数学考前模拟测试题答案及详解 1.答案：B 2. 答案：D 注意复数的共轭，复数的加减乘除，模，共轭的运算，几何意义，实部，虚部，虚数单位这些概念 要熟。 3.答案：B 若 ，则 ， 4. 答案：C 5.答案：D 函数定义域为 R，在 y 轴右侧增，又是奇函数，所以在实数集上为增函数。 6. 答案：C 注意题目条件中给的提示，把每一列算出来，然后带入计算公式。共有 120 行，120 除以 5 等于 24， 所以每一列都有 24 个 1，24 个 2，24 个 3，24 个 4，24 个 5，所以每一列的和都是 360。 7. 答案：C 用平面向量的坐标形式算，以 A 为定点，AB 所在直线为 x 轴建系。计算两条边中垂线的交点得 O 夹角为钝角ba, 0 54 22,cos 2 < ⋅+ −=⋅>=< m m ba baba .1= 20 p n < < ' ( ) 0f p < 2 1pn < < max 2( ) ( )f p f n = 0 2p n = 1(6, )3X B 4( ) 2, ( ) (1 ) 3E X np D X np p= = = − = 2 2 2 1c a b= − = 2 2 1 9 14a b + = 2, 3a b= = E 2 2 14 3 x y+ = ( 2,0)A − 2 (1,0)F l 1 2 0k k+ = l k l ( 1)y k x= −联立 得 设 ，则 所以 所以直线 的方程为： 22. 【解析】 （1）函数 的定义域为 ， 。 设曲线 与曲线 的公共点为 ，由于在公共点处有共同的切线，所以 ，解得 。 由 可得 。 联立 解得 。 （2）函数 是否有零点，转化为函数 与函数 2 2 ( 1) 14 3 y k x x y = − + = 2 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x k x k+ − + − = 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 2 2 1 2 1 22 2 8 4 12,4 3 4 3 k kx x x xk k −+ = =+ + 1 2 1 2 1 22 2 y yk k x x + = ++ + 1 2 1 2 ( 1) ( 1) 2 2 k x k x x x − −= ++ + 1 2 3 3(1 1 )2 2k x x = − + −+ + 1 2 1 2 3( 4)[2 ]( 2)( 2) x xk x x + += − + + 2 2 2 2 2 2 83( 4)4 3[2 ]4 12 82 44 3 4 3 k kk k k k k ++= − − + × ++ + 2 2 2 1 1(2 )kk k k += − = − 1 1 2k ∴− = − 2k∴ = l 2 2 0x y− − = ( ) lnf x a x= ( )0,+∞ ( ) ( )' ' 1, 2 af x g xx x = = ( )y f x= ( )g x x= ( )0 0,x y 0 0 1 2 a x x = 2 0 4 , 0x a a= > ( ) ( )0 0f x g x= 0 0lna x x= 2 0 0 0 4 , ln , x a a x x  = = 2 ea = ( ) ( ) 1 12 xxeF x xf x − = − + ( ) ( ) ln2 eH x xf x x x= =在 上 是 否 有 交 点 。 ， 可 得 ， 令 ， 解 得 ， 此 时 函 数 单 调 递 增 ； 令 ，解得 ，此时函数 单调递减。 所以当 时，函数 取得极小值即最小值， 。 可得 ，令 ，解得 ，此时函数 单调递增；令 ，解得 ，此时函数 单调递减。所以当 时，函数 取得 极大值即最大值， 。 所以 F（x）没有零点。 ( ) 1 12 xxeG x − = − ( )0,x∈ +∞ ( ) ( ) ln2 eH x xf x x x= = ( ) ( )' ln 1 ln2 2 2 e e eH x x x= + = + ( )' 0H x > 1x e > ( )H x ( )' 0H x < 10 x e < < ( )H x 1x e = ( )H x 1 1 2H e   = −   ( ) 1 12 xxeG x − = − ( ) ( )' 11 12 xG x x e −= − ( )' 0G x > 0 1x< < ( )G x ( )' 0G x < 1x > ( )G x 1x = ( )G x ( ) 11 2G = −