河南省洛阳市2019-2020高二数学（理）下学期期末检测试题（Word版附答案）

洛阳市 2019——2020 学年高二质量检测 数学试卷（理） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分.第 I 卷 1 至 2 页，第 I 卷 3 至 4 页. 考试时间 120 分钟. 第 I 卷（选择题，共 60 分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.考试结束，将答题卡交回. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.已知 a 是实数， 是实数，则 的值为（ ） A. B. C.0 D. 2.已知命题 ， ，下列 形式正确的是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ， D. ， 3.设某大学的女生体重 y（单位：kg）与身高 x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据 ，用最小二乘法建立的回归方程为 ，则下列结论中不正确的是 （ ） A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心 C.若该大学某女生身高增加 lcm，则其体重约增加 0.85kg. D.若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重必为 58.79kg 4.已知向量 ， ，且 .若 x，y 满足不等式 ，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 1 a i i + − cos 3 aπ 1 2 1 2 − 3 2 :p x∀ ∈R 2 1 0x x− + ≥ p¬ 0:p x¬ ∃ ∈R 2 0 0 1 0x x− + ≥ 0:p x¬ ∃ ∈R 2 0 0 1 0x x− + < :p x¬ ∀ ∈R 2 1 0x x− + < :p x¬ ∀ ∈R 2 1 0x x− + ≤ ( )( ), 1,2,3, ,i ix y i n= ⋅⋅⋅  0.85 85.71y x= − ( ),x y ( ),3a x z= + ( )2,b y z= − a b⊥  0 0 1 x y x y ≥  ≥  + ≤ z [ ]0,2 [ ]2,3− [ ]2,3 [ ]0,35.以双曲线 的右焦点 F 为圆心，a 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切， 则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C.2 D.3 6. 的展开式中常数项为（ ） A.30 B.15 C.－15 D.30 7.已知 ， ， ，则 的最大值为（ ） A. B. C.4 D.8 8.设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则函数 没有极值点 的概率是（ ） A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 9.若 ，则 （ ） A. B. C. D. 10.回文数是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 2，11，242，6776，83238 等设 n 位回文数的个数 为 （n 为正整数），如 11 是 2 位回文数，则（ ） A. B. C. D. 11.已知函数 满足 ，当 时， ，若 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 12.已知点 P 在抛物线 上，过点 P 作抛物线 的切线 ， ，切点分别为 M，N， 若 ，且 ，则 C 的准线方程为（ ） ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 2 3 619 3 x x  −   0a > 0b > 8ab = 2 2log loga b⋅ 3 2 9 4 η ( )21,N σ ( )1 0.2P η < − = ( ) 3 2 21 3 x xf x x η= + += ( )13 0 ( ) 3f x x f x dx= + ∫ ( )1 0 f x dx =∫ 1 8 − 1 8 1 4 − 1 4 na 2 10a = 3 10a = 4 90a = 5 90a = ( )f x ( ) ( )f x f x− = 0x > ( ) ln 1 x xf x e += ( )1.32a f= ( )0.64b f= 1 2 2log 3c f  =     c a b< < c b a< < b c a< < a b o< < ( )2: 0C y mx m= ≠ 2 2x y= 1l 2l ( )1,1G 0GP GM GN+ + =   A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.曲线 在 处的切线方程为________. 14.我国古代数学名著《九章算术》记载：“勾股各自乘，并之，为弦实”，用符号表示为 ，把 a，b，c 叫做勾股数，下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24， 25；9，40，41，以此类推，可猜测第 5 组勾股数为 x，y，z（ ），则 y=_______. 15.在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫 苗的效果，现随机抽取 100 只小鼠进行试验，得到如下列联表： 感染 未感染 总计 服用 10 40 50 未服用 20 30 50 总计 30 70 100 参考公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参照附表，在犯错误的概率最多不超过________（填百分比）前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病 毒感染的效果” 16.已知函数 ，下面四个结论：①函数 在其定义域上为增函数；②对于任意的 ，都有 ；③ 有且仅有两个零点；④若 在点 处的切线也是 的 切线，则 必是 的零点，其中所有正确的结论序号是________. 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17，（本小题满分 10 分） 已知 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 . （1）求角 C； 1 4x = − 1 4x = 2 2x = 2 2x = − lny x x= ( )1,0 ( )2 2 2 *, ,a b c a b c+ = ∈N x y z< < ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ( )2P K k> ( ) 1 1 x xf x e x += − − ( )f x 0a < ( ) 1f a > − ( )f x xy e= ( )0 0 , xx e lny x= 0x ( )f x ABC△ ( )( ) ( )sin sin 3 sina c A C a b B+ − = −（2）若 ， 的面积为 ，求 c. 18.（本小题满分 12 分） 已知数列 的前 n 项和为 ， ，若数列 是公比为 2 的等比数列. （1）求数列 的通项公式； （2） ，求数列 的前 n 项和 . 19.（本小题满分 12 分） 在四棱锥 中，底面 是矩形，平面 平面 ， ，M 是 的中点， ， . （1）求证： ； （2）若 ，求二面角 的余弦值. 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆上，斜率为 k 的直线 1 过点 且与椭圆交于 C，D 两点. （1）求椭圆的方程； （2）设 ， 分别为直线 ， 的斜率，当 k 变动时， 是否为定值？说明理由. 21.（本小题满分 12 分） 某制造企业根据长期检测结果，发现生产产品的一项质量指标值服从正态分布 ，并把质量指标值 在 内的产品称为优等品，质量指标值在 内的产品称为一等品，其余范围内 的产品作为废品处理.优等品与一等品统称为正品，现从该企业生产的产品中随机抽取 1000 件，测得产品质 量指标值的样本数据统计如下图： 4a = ABC△ 4 3 3 { }na nS 1 1a = { }1nS + { }na ( ) *1 1 1 ,1 n n n n ab na S + + + = ∈− N { }nb nT S ABCD− ABCD ABCD ⊥ SBC SB SC= BC 1AB = 2BC = AM SD⊥ 2SM = B SA D− − ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 3 3 ( )0, 2A − ( )0,1E 1k 2k AC AD 1k 2k ( )2,N µ σ ( ),µ σ µ σ− + ( ), 2µ σ µ σ+ +（1）根据频率分布直方图，求样本平均数 ； （2）根据大量的产品检测数据，得出样本数据的方差的近似值为 100，用样本平均数 作为 的近似值， 用样本标准差 s 作为 的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；参考数据：若随机变量 服从正态分 布 ，则 ， ， . （3）假如企业包装时要求把 3 件优等品 件一等品装在同一个箱子甲，质检员每次从箱子中随机取出 3 件 产品进行检验，记取出 3 件产品中优等品的件数为 X，求 X 的分布列以及数学期望. 22，（本小题满分 12 分） 已知曲线 在 处的切线方程为 . （1）求 a 和 b 的值； （2）若 时， ，求实数 m 的取值范围. 洛阳市 2019——2020 学年高二质量检测 数学试卷参考答案（理） 一、选择题 1-5 ABDDA 6-10 BBCAC 11-12 DA 二、填空题 13. 14.60 15.5% 16.②③④ 三、解答题 17.（1）∵ ， 由正弦定理得 ，…………………………………………………………………………2 分 x x µ σ ξ ( )2,N µ σ ( ) 0.6827P µ σ ξ µ σ− < ≤ + ≈ ( )2 2 0.9545P µ σ ξ µ σ− < ≤ + ≈ ( )3 3 0.9973P µ σ ξ µ σ− < ≤ + ≈ ( ) xf x xe ax b= − + 0x = 1y x= − + 0x > ( ) lnf x x x m≥ − + 1y x= − ( )( ) ( )sin sin 3 sina c A B a b B+ − = − ( )2 2 3a c a b b− = −即 ，………………………………………………………………………………………3 分 由余弦定理得 .…………………………………………………………4 分 ∵ ，∴ .……………………………………………………………………………………5 分 （2）∵ ， 面积为 ， ∴ ，即 ，………………………………………………………………6 分 ∴ .………………………………………………………………………………………………………7 分 由余弦定理得 ，……………………………9 分 ∴ .……………………………………………………………………………………………………10 分 18.（1）∵ ，∴ .………………………………………………………………………1 分 ∵数列 是公比为 2 的等比数列， ∴ ，…………………………………………………………………………………………2 分 ∴ .……………………………………………………………………………………………………3 分 当 时， ， ∴ .……………………………………………………………………5 分 显然 适合上式，∴ .…………………………………………………………………6 分 （2）由（1）知 ， ，…………………………………………………………………8 分 ∴ ，…………………………………10 分 ∴ 2 2 2 3a b c ab+ − = 2 2 2 3 3cos 2 2 2 a b c abC ab ab + −= = = 0 C π< < 6C π= 4a = ABC△ 4 3 3 1 4 3sin2 3ab C = 1 1 4 342 2 3b× × = 4 3 3b = 2 2 2 16 4 3 3 162 cos 16 2 43 3 2 3c a b ab C= + − = + − × × × = 4 3 3c = 1 1a = 1 11 1 2S a+ = + = { }1nS + 11 2 2 2n n nS −+ = ⋅ = 2 1n nS = − 2n ≥ 1 1 2 1n nS − − = − ( )1 1 1 2 1 2 1 2n n n n n na S S − − −= − = − − − = 1 1a = ( )1 *2n na n−= ∈N 1 2n na + = 1 1 2 1n nS + + = − ( ) ( )( ) ( )*1 11 1 1 2 1 1 1 2 1 2 12 1 2 1 n n n n nn n n n ab na S + ++ + + = = = − ∈− − −− − N 1 2n nT b b b= + + +.…………………………………………………………………………………………………12 分 19.（1）∵ ，M 是 的中点， ∴ .……………………………………………………………………………………………………1 分 ∵平面 平面 ，∴ 平面 .…………………………………………………………2 分 ∵ 平面 ，∴ .…………………………………………………………………………3 分 ∵ 是矩形，M 是 的中点， ， ， ∴ ，∴ 平面 .…………………………………………………………………………4 分 ∵ 平面 ，∴ .……………………………………………………………………………5 分 （2）由（1）知 平面 .……………………………………………………………………………6 分 过点 M 作 ，交 于 N，则 ， ， 两两垂直.以 M 为坐标原点，以 ， ， 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间坐标系 ，…………………………………………7 分 则 ， ， ， ， . ， ， .………………………………………………………………………………………………8 分 设平面 的法向量为 ， 则 ，∴ ，可得 .…………………………………………9 分 设平面 的法向量为 ， 则 ，∴ ，可得 .…………………………………………10 分 ∴ ，…………………………………………………………………11 分 故二面角 的余弦值为 .………………………………………………………………………12 分 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n+      = − + − + + −     − − − − − −      1 11 2 1n+= − − SB SC= BC SM BC⊥ ABCD ⊥ SBC SM ⊥ ABCD AB ⊂ ABCD SM AM⊥ ABCD BC 1AB = 2BC = AM MD⊥ AM ⊥ SMD SD ⊂ SMD AM SD⊥ SM ⊥ ABCD MN AB∥ AD MN MC MS MN MC MS O xyz− ( )0,0,0M ( )0, 1,0B − ( )1,1,0D ( )0,0, 2S ( )1, 1,0A − ( )0, 1, 2SB = − − ( )0,2,0AD = ( )1,1, 2AS = − BAS ( )1 1 1, ,n x y z= 0 0 n SB n AS ⋅ =  ⋅ =     1 1 1 1 1 2 0 2 0 y z x y z − − = − + + = ( )0, 2,1n = − DAS ( )2 2 2, ,n x y z= 0 0 m AD m AS ⋅ = ⋅   =     2 2 2 2 2 0 2 0 y x y z =− + + = ( )2,0,1m = 1 1cos , | | | | 33 3 n mn m n m ⋅< >= = =⋅ ⋅      B SA D− − 1 3 −20.（1）设椭圆的半焦距为 c. ∵椭圆的离心率为 ，点 在椭圆上， ∴ .………………………………………………………………………………………………3 分 解得 ， ， .…………………………………………………………………………………4 分 ∴椭圆的方程为 .……………………………………………………………………………………5 分 （2）当 k 变动时， 为定值－2.……………………………………………………………………………6 分 证明如下：设直线 l 的方程为 . 由 得 .………………………………………………………………7 分 设 ， ，则 ， .……………………………………8 分 因为 ，所以 ， ，……………………………………………………………9 分 所以 ……………………………………………………………10 分 3 3 ( )0, 2A − 2 2 2 3 3 2 c a b a b c  =  =  + =  6a = 2b = 2c = 2 2 16 4 x y+ = 1 2k k 1y kx= + 2 2 16 4 1 x y y kx + = = +   ( )2 23 2 6 9 0k x kx+ + − = ( )1 1,C x y ( )2 2,D x y 1 2 2 6 3 2 kx x k + = − + 1 2 2 9 3 2x x k = − + ( )0, 2A − 1 1 1 2yk x += 2 2 2 2yk x += ( )( )1 21 2 1 2 1 2 1 2 3 32 2 kx kxy yk k x x x x + ++ += ⋅ =.……………………………………………12 分 21.解：（1）由频率分布直方图可知， .…………………………………………………………2 分 （2）由题意可知，样本方差 ，故 ，………………………………………………3 分 所以质量指标值 ，……………………………………………………………………………4 分 该厂生产的产品为正品的概率 .……………………………………………………………………………5 分 （3）X 的可能取值为 0，1，2，3，则 ， ， ， .………………………………………………………9 分 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望 .……………………………………………………12 分 22.解：（1）∵ ， ∴ .………………………………………………………………………………………1 分 由曲线 在 处的切线方程为 得 ( )2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 63 93 9 3 2 29 3 2 kkk x x k x x kkx x k  ⋅ − + + + + + = = + = − − + 46 56 56 66 66 760.010 10 0.020 10 0.045 102 2 2x + + += × × + × × + × × 76 86 86 960.020 10 0.005 10 702 2 + ++ × × + × × = 2 100s = 2 10sσ ≈ = ( )270,10Y N ( ) ( ) ( )60 90 60 70 70 90P P Y P Y P Y= < < = < < + < < ( )1 0.6827 0.9545 0.81862 = + = ( ) 0 3 3 5 3 8 50 28 C CP X C = = = ( ) 1 2 3 5 3 8 151 28 C CP X C = = = ( ) 2 1 3 5 3 8 152 56 C CP X C = = = ( ) 3 0 3 5 3 8 13 56 C CP X C = = = 5 28 15 28 15 56 1 56 ( ) 5 15 15 1 90 1 2 328 28 56 56 8E X = × + × + × + × = ( ) xf x xe ax b= − + ( ) ( )1 xf x x e a′ = + − ( ) xf x xe ax b= − + 0x = 1y x= − +.……………………………………………………………………………………………3 分 解得 ， .………………………………………………………………………………………………4 分 （2）∵ 时， ， ∴ ， 恒成立.………………………………………………………………………5 分 令 ， ，则 .………………………………………………………6 分 .…………………………………………………………………7 分 令 ， ，则 ， 所以 在 上单调递增.………………………………………………………………………………8 分 ∵ ， ， ∴ 存在唯一的零点 ， ， ∴ ，从而 .………………………………………………………………………………9 分 ∵ 时， ， ∴当 时， ，当 时， ， ∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增，……………………………………………10 分 ∴ ，…………………………………………………11 分 ∴ 即为 ， ∴实数 m 的取值范围是 .………………………………………………………………………………12 分 ( ) ( ) 0 1 0 1 1 f b f a = = ′ = − = − 2a = 1b = 0x > ( ) lnf x x x m≥ − + ln 1xm xe x x≤ − − + 0x > ( ) ln 1xg x xe x x= − − + 0x > ( )minm g x≤ ( ) ( ) ( )( )1 111 1 x x x xe g x x e x x + −′ = + − − = ( ) 1xh x xe= − 0x > ( ) ( )1 0xh x x e= + > ( )h x ( )0,+∞ 1 1 1 02 2h e  = − ( )h x 0 1 ,12x  ∈   ( )0 0h x = 0 0 1xx e = 0 0ln 0x x+ = 0x > 1 0x + > ( )00x x∈ ， ( ) 0g x′ < ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x ( )00 x， ( )0 ,x +∞ ( ) ( ) 0 0 0 0 0min ln 1 1 0 1 2xg x g x x e x x= = − − + = − + = ( )minm g x≤ 2m ≤ ( ],2−∞