北京市延庆区2019-2020高二数学下学期期末考试试题（Word版附答案）

延庆区 2019—2020 学年第二学期期末试卷 高 二 数 学 2020.7 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项. 1．设全集 ，集合 ， ，则集合 （A） （B） （C） （D） 2．焦点在 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为 的抛物线的标准方程是 （A） （B） （C） （D） 3. 已知向量 ， .若 ，则 的值为 （A） （B） （C） （D） 4．设 ，则 （A） （B） （C） （D） 5. 在下列函数中，定义域为实数集的奇函数为 （A） （B） （C） （D） 6. 圆 截 轴所得弦的长度等于 （A） （B） （C） （D） 7．已知两条不同的直线 和两个不同的平面 ，下列四个命题中错误的为 （A）若 ， ，则 （B）若 ， ，则 （C）若 , ∥ 且 ∥ ,则 ∥ （D）若 ， ，则 8. 已知函数 ，则“ 在 上单调递减”是“ ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ( ,1)t=a ⊥a b U = R { | 1}A x x= < { | 2}B x x= < ( ) =U A B ( , )−∞ +∞ [1, )+∞ [1,2) ( ,1) [2, )−∞ +∞ x 3 2 12y x= 2 3y x= 2 6x y= 2 6y x= ( 2,1)=b a 5 2 5 2 2 2 0.212ln 2, ( ) , lg0.22a b c−= = = c b a< < c a b< < a b c< < b a c< < 3y x= cosy x= tany x= xy e= 2 2 4 2 2 0x y x y+ + − + = x 2 2 2 3 4 2 2 ,l m βα, //l α l β⊥ α β⊥ //α β m α⊥ m β⊥ mα β = l α l β l m //α β //m α //m β ( ) sin ( 0)f x xω ω= > ( )f x π π[ , ]6 3 3 4ω≤ ≤（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 9．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象的函数解析式为 （A） （B） （C） （D） 10．已知函数 的定义域为 ，且满足下列三个条件： ①对任意的 ，且 ，都有 ； ② ；③ 是偶函数； 若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系正确的是 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非选择题，共 110 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11．已知复数 ，则 ． 12．双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为 . 13．数列 中， ， ， . 若其前 项和为 ，则 ___ ____. 14．在△ 中， ， ，，则 边上的高等于 . 15．已知函数 ：① 函数 的单调递减区间为 ； ② 若函数 有且只有一个零点，则 ； ③ 若 ，则 ，使得函数 恰有 2 个零点 ， ， 恰有一个零点 ，且 ， . 其中，所有正确结论的序号是_______. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分 14 分） 已知 是公差为 的无穷等差数列，其前 项和为 . 又 ，且 ，是否存 在大于 的正整数 ,使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由. 17.（本小题满分 14 分） z = )0,0(1: 2 2 2 2 >>=− bab y a xM ABC b∃ ∈R 1x 2x 3x ( ) cos(3 )6f x x π= + 2 π sin(3 )6y x π= − + cos(3 )2y x π= + cos(3 )6y x π= − + sin(3 )6y x π= + ( )f x R 1 2, [5,10]x x ∈ 1 2x x≠ 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x − > 3 2 1A 2A 1A 2A C Q 1 1QA PA⊥ 2 2QA PA⊥ 1 2PA A△ 1 2QA A△ 4 10 40× = 5 5 25× = 2 5 y x= ± 5 3 7 2解：存在正整数 ,使得 . (此处未写，结论处有，不扣分) …………2 分 理由如下： 在等差数列 中， …………5 分 又 ， . 所以由 得 …………7 分 所以 . …………10 分 令 ，即 . 整理得 .解得 或 . …………12 分 因为 ，所以 . （未写 k>1 扣一分） …………14 分 所以当 时， . 17. (本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）因为 = ． …3 分 所以函数 的最小正周期 ． …4 分 因为函数 的的单调递减区间为 ， 所以 , …6 分 解得 , …7 分 所以函数 的单调递减区间是 . …8 分 (一个 都没写的扣一分) （Ⅱ）由题意可知，不等式 有解，即 ． …10 分 1kS S= { }na 5 1 1 5 45 5 102S a d a d ×= + = + 5 40S = 1 2, 5 10 40 d a d = −  + = 1k = 1k > 1kS S= ( )f x πT = 8k = 4d = − 1 16.a = 2 1 ( 1) ( 1)16 ( 4) 2 182 2k k k k kS ka d k k k − −= + = + × − = − + 1 16kS S= = 22 18 16k k− + = 22 18 16 0k k− + = 8k = 8k = 8k = 2 2( )=2sin cos 3 cos 3sinf x x x x x+ − sin 2 3 cos2x x+ π=2sin(2 )3x + siny x= π 3π[2 π ,2 π ],2 2k k k+ + ∈Z 32 2 2 ( )2 3 2k x k k Z π π ππ π+ ≤ + ≤ + ∈ 7 ( )12 12k x k k Z π ππ π+ ≤ ≤ + ∈ ( )f x 7[ , ],( )12 12k k k Z π ππ π+ + ∈ k Z∈ ( )f x m≥ max( )m f x≤由（Ⅰ）可知 .当 时, , …11 分 故当 ,即 时, f(x)取得最大值,最大值为 . …13 分 所以 .故实数 的取值范围是 . …14 分 18. （本小题满分 14 分） （Ⅰ）解：记“在抽取的 3 人中至少有 1 位消费者消费超过 2500 元”为事件 A. …1 分 由图可知，去年消费金额在 内的有 8 人，在 内的有 4 人， 消费金额超过 2000 元的“消费达人”共有 8+4=12（人）， 从这 12 人中抽取 3 人，共有 种不同方法， …2 分 其中抽取的 3 人中没有 1 位消费者消费超过 2500 元，共有 种不同方法． 所以， ． …4 分 （Ⅱ）解：方案 1 按分层抽样从消费金额在不超过 1000 元，超过 1000 元且不超过 2000 元， 2000 元以上的消费者中总共抽取 25 位“幸运之星”，则“幸运之星”中的人数分别为 ， ， ， …5 分 按照方案 1 奖励的总金额为 （元）． …6 分 方案 2 设 表示参加一轮翻牌游戏所获得的奖励金，则 的可能取值为 0，30，60，90．…7 分 由题意，每翻牌 1 次，翻到笑脸的概率为 ， …8 分 所以 ， ， ． 所 以 的 分 布 列为： …10 分 数 学 期 望 为 （元）， …12 分 按照方案 2 奖励的总金额为 （元）， …13 分 ( )P A = 8 20 25 7100 + × = 25 35 25 15100 + × = 12 25 3100 × = η η η 0 30 60 90 π( )=2sin(2 )3f x x + 0, 2x π ∈   42 ,3 3 3x π π π + ∈   2 3 2x π π+ = 12x π= 2 2m ≤ m ( ,2]−∞ (2000,2500] (2500,3000] 3 12C 3 8C 3 8 3 12 14 411 =1 55 55 C C − − = 1 7 100 15 200 3 300 4600ξ = × + × + × = 1 1 1 3 1 3 CP C = = 0 3 0 3 2 1 8( 0) ( ) ( )3 3 27P Cη = = = 1 2 1 3 2 1 4( 30) ( ) ( )3 3 9P Cη = = = 2 1 2 3 2 1 2( 60) ( ) ( )3 3 9P Cη = = = 3 0 3 3 2 1 1( 90) ( ) ( )3 3 27P Cη = = = 8 4 2 10 30 60 90 3027 9 9 27Eη = × + × + × + × = 2 (28 60 2 12 3) 30 5520ξ = + × + × × = η P 8 27 4 9 2 9 1 27因为由 ，所以施行方案 1 投资较少． …14 分 19. (本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）选择①，连结 ， 因为 平面 ， 所以 ， ……………..1 分 因为 ， ，所以 .….2 分 因为 ， ，所以 ，所以 . …3 分 因为 ，所以 ， 所以四边形 是直角梯形. …….4 分 选择②，连结 ， 因为 平面 ， 所以 ， ……………..1 分 因为 ， ，所以 .….2 分 因为 ， ，所以 ，所以 . …3 分 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ， 所以四边形 是直角梯形. …….4 分 （Ⅱ）在平面 内过 作 ,则 平面 ，由（Ⅰ）知 ， 所以以 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系 ,….5 分 则 ， ， ， ， . 则 , ， …….6 分 设平面 的一个法向量 ，则 即 …7 分 令 ，则 ， ，，则 ． …8 分 设直线 与平面 所成的角为 ， 所以 . …9 分 PA ⊥ ABCD CD BC⊥ ABCD PA ⊥ ABCD ABCD ABCD ABCD CD BC⊥ PCD α 1 2 ξ ξ< AC PA AC⊥ 2PA = 3PC = 2 2 2 5AC PC PA= − = 2AB = 1BC = 2 2 2AC AB BC= + AB BC⊥ / /AB CD AC PA AC⊥ 2PA = 3PC = 2 2 2 5AC PC PA= − = 2AB = 1BC = 2 2 2AC AB BC= + AB BC⊥ / /CD PAB CD ⊂ PAB  ABCD AB= / /AB CD PAC C / /CF PA CF ⊥ C ,CD CB,CF , ,x y z C xyz− (0 0 0)C ，， (1 0 0)D ，， (0 1 0)B ，， (2 1 0)A ，， (2 1 2)P ，， ( 2,0, 2)PB = − − (1,0,0)CD = (2,1,2)CP = PCD = ( )n x y z ， ， 0 0 n CD n CP  ⋅ = ⋅ = ， ，     0 2 2 0 x x y z =  + + = 1z = 2y = − 0x = = (0 - 2 1)n ， ， PB 0 ( 2) 0 ( 2) 1 ( 2) 10sin cos , 102 2 5 PB nα × − + × − + × −= < > = = ×  所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . （Ⅲ）设 ，则 ．…10 分 所以 ， …11 分 若 平面 ，则 ， …12 分 即 ，所以 ． …13 分 因为 ，所以，线段 上不存在点 使得直线 平面 ． …14 分 20. (本小题满分 15 分） （ Ⅰ ） 因 为 ， 定 义 域 R ， 所 以 . ……2 分 令 ，解得 ，令 ，解得 …… 3 分 所 以 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 ， 单 调 递 减 区 间 为 ……4 分 （ Ⅱ ） 令 ， ……5 分 PCDPB 10 10 (0 1)PE =PB λ λ< < ( 2 0 2) ( 2 0 2 )PE = PBλ λ λ λ= − − = − −，， ，，  (2 2 1 2 2 )E λ λ− −，， ( 2 ,0,2 2 )AE λ λ= − − / /AE PCD 0AE n⋅ =  ( 2 ) 0 0 ( 2) (2 2 ) 1 0λ λ− × + × − + − × = 1λ = 1 (0,1)∉ PB E / /AE PCD 1( ) ex xf x −= 2'( ) ex xf x −= '( ) 0f x > 2x < '( ) 0f x < 2x > ( )f x ( ,2)−∞ (2, )+∞ 2 21 1 1( ) ( ) 2 +1 2 1( 0) 2 e 2x xg x f x x x x x x −= + − = + − + )(xh ( 0)−∞, ( ) (0) 0h x h< = 1 2 a > 1ln 0 2 x a