北京市东城区2019-2020高二数学下学期期末统一检测试题（Word版附答案）

东城区 2019—2020 学年度第二学期期末统一检测 高二数学 2020．7 本试卷共 4 页，共 100 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题 卡上，在试卷上作答无试效。考结束后，将答题卡一并交回。 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项 中，选出符合题目要求的一项。 (1) 展开式中各项系数之和为 （2）已知函数 y＝f（x）在 处的导数为 1，则 （3）若变量 x，y 之间是线性相关关系，则由以下数据表得到的回归直线 必过定点 （A) (2，6) (B) (3，8) (C) (4，9) （D） （5，10） （4）3 位老师和 4 名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同 的排法种数为 （5）已知随机变量 X 服从二项分布，即 X～B（n，p），且 E（X）＝2， D（X）＝1．6，则二项分布的参数 n，p 的值为 61(3 )x x − 6 6( )2 ( )3A B 6 D)1( )4C （ 0x x= 0 0 0 ( ) ( )lim 2x f x x f x x∆ → + ∆ − =∆ 21 (A) 0 (B) (C) 1 (D)2 7 4 3 4 3 4 3 7 4 3 4 3 1 5 (A) (B) (C) (D) A A A A A A A+ 1 1 (A) 4, (B) 6,2 1 1 (C) 8, (D) 10 5 3 ,4 n p n p n p n p = = = = = = = =（6）设两个正态分布 和 的密度曲线如图 所示，则有 （7）某小组有 5 名男生、3 名女生，从中任选 3 名同学参加活动，若 X 表 示选出女生的人数，则 （8）若从 1，2，3，…， 9 这 9 个整数中同时取 3 个不同的数，其和为奇 数，则不同的取法共有 （A）36 种 （B）40 种 （C）44 种 （D） 48 种 (9)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 ，且函数 的图 象如图所示，则下列结论中一定成立的是 2 1 1 1( , )( 0)N µ σ σ > 2 2 2 2( , )( 0)N µ σ σ > 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , A B C D µ µ σ σ µ µ σ σ µ µ σ σ µ µ σ σ > > > < < > < < ( 2)P X ≥ = 1 15 2 (A) (B) (C) 7 56 7 5(D) 7 ( )f x′ (1 ) ( )y x f x′= −(A)f(x)有极大值 f(－2) （B） f（x）有极小值 f（－2） (C)f(x)有极大值 f(1) (D)f(x)有极小值 f(1) （10）某企业拟建造一个容器（不计厚度，长度单位：米），该容器的底 部为圆柱形，高为 1，底面半径为 r，上部为半径为 r 的半球形，按照设计要求 容器的体积为 立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆 柱形部分每平方米建造费用为 3 万元，半球形部分每平方米建造费用为 4 万 元，则该容器的建造费用最小时，半径 r 的值为 第二部分（非选择题共 60 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。 （11）在 的展开式中， 的系数为________（用数字作答） （12）给出下列三个结论： ①若 ，则 ②若 ，则 ； ③若 ，则 ． 其中正确结论的序号是________ 28 3 π 3 3 )2 (A) 1 (B) 2 (C) 4 D（ 52( )2 x x − 3x y x= 1 2 y x ′ = xy e−= xy e′ −= cosy x= siny x′ = −（13）盒子中有 4 个白球和 3 个红球，现从盒子中依次不放回地抽取 2 个 球，那么在第一次抽出白球的条件下，第二次抽出红球的概率是________ （14）某年级举办线上小型音乐会，由 6 个节目组成，演出顺序有如下要 求：节目甲必须排在前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐 会节目演出顺序的编排方案共有________种． （用数字作答） （15）已知函数 ，若 f（m）＝g（n）成立，则 n －m 的最小值为________ 三、解答题共 5 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过 程。 （16） （本小题 8 分） 已知函数 (Ⅰ)求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (Ⅱ)求 f(x)的单调区间． (17) （本小题 8 分） 为了迎接冬奥会，某中学推广冰上运动，从全校学生中随机抽取了 100 人， 统计是否爱好冰上运动，得到如下的列表： 参考附表： 参考公式： ，其中 n＝a＋b＋c＋d (I) 补全 2x2 联表； 3 1( ) , ( ) ln2 2 x xf x e g x−= = + 21( ) 2 3ln2f x x x x= − − 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + +（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过 0．05 的前提下认为“爱好冰上运动与性 别有关"？请说明理由． (18)(本小题 8 分) 2020 年 5 月 1 日起，《北京市垃圾分类管理条例》正式实施，某社区随机 对 200 种垃圾辨识度进行了随机调查，经分类整理得到下表： 辨识率是指：一类垃圾中辨识准确度高的数量与该类垃圾的种类数的比 值． （Ⅰ）从社区调查的 200 种垃圾中随机选取一种，求这种垃圾辨识度高的 概率； （Ⅱ）从可回收物中有放回的抽取三种垃圾，记 X 为其中辨识度高的垃圾 种数，求 X 的分布列和数学期望． （19） （本小题 8 分） 已知函数 ． (Ⅰ)求 f(x)的极值； （Ⅱ）若函数 在定义域内有三个零点，求实数 a 的取值范 围． (20)(本小题 8 分) 设集合 ，若 X 是 的子集，把 X 中所有数的和称为 X 的“容量”（规定空集的容量为 0），若 X 的容量为奇（偶）数，则称 X 为 的奇（偶）子集． （Ⅰ）当 n＝3 时，写出 的所有奇子集； （Ⅱ）求证：当 n≥3 时， 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容 量之和； （Ⅲ）当 n≥3 时，求 的所有奇子集的容量之和． 2( ) xf x x e= ⋅ ( )y f x ax= − { , 1, ,2 1}nS n n n= + − nS nS nS nS nS东城区 2019－2020 学年度第二学期期末教学统一检测 高二数学参考答案及评分标准 2020．7 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） （1）A （2）B （3）B （4）D （5）D （6）C （7）C （8）B （9）A （10）C 二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） （11） （12）①③ （13） （14） （15） 注：（12）题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得4分，不选或错选得0 分，其他得2分。 三、解答题（共 5 小题，共 40 分） （16）（共 8 分） 解：由题意可知函数 的定义域为 ． （Ⅰ）因为 ， 所以 ， ………1 分 ． ………2 分 因为 ， ………3 分 所以曲线 在点 处的切线方程为 ．………4 分 （Ⅱ） 的定义域为 ． ………5 分 因为 ， 由 ，得 ， ． ………6 分 因为函数 的定义域为 ， 当 变化时， ， 的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 ………7 分 所以， 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ． ………8 分 5 8 − 1 2 42 1 ln 2− + ( )f x (0, )+∞ 21( ) 2 3ln2f x x x x= − − 3'( ) 2f x x x = − − '(1) 4f = − 3(1) 2f = − ( )y f x= (1, (1))f 8 2 5 0x y+ − = ( )f x (0, )+∞ 23 2 3 ( 1)( 3)'( ) 2 x x x xf x x x x x − − + −= − − = = '( ) 0f x = 1 1x = − 2 3x = ( )f x (0, )+∞ x '( )f x ( )f x x (0,3) 3 (3, )+∞ '( )f x − 0 + ( )f x   ( )f x (3, )+∞ ( )f x (0,3)（17）（共 8 分） 解：（Ⅰ） 爱好 不爱好 共计 男生 女生 共计 共需要填 6 个空，对 2 个空 ……1 分 对 4 个空 ………2 分 全对 ………4 分 （Ⅱ）由题可知， ，经过计算， ，………7 分 参照附表，所以在犯错误的概率不超过 的前提下， 可以认为“爱好冰上运动与性别有关”． ………8 分 （18）（共 8 分） 解：（Ⅰ）由题意可知，样本中垃圾种类一共 种， 辨识度高的垃圾种数是： ．………1 分 所求概率为 ． ………3 分 （Ⅱ） 的可能取值为 ． ………4 分 依题意可知， ． ， ， ， ． ………6 分 所以 的分布列为 ………7 分 ． ………………8 分 0.05 10 20 30 40 30 70 50 50 100 2 2 ( )= ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d − + + + + 4.762k ≈ 200 70 0.9 60 0.6 30 0.9 40 0.6 150+ + + =× × × × 150 0.75200 = X 0,1,2,3 (3,0.6)X B∼ 0 3 3( 0) (1 0.6) 0.064P X C == = − 1 2 3( 1) 0.6(1 0.6) 0.288P X C == = − 2 2 3( 2) 0.6 (1 0.6) 0.432P X C == = − 3 3 3( 3) 0.6 0.216P X C == = X X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 ( ) 3 0.6 1.8E X = × =（19）（共 8 分） 解：由题意可知函数 的定义域为 ． （Ⅰ）因为 ， 所以 ． ………1 分 由 ，得 ， ． ………2 分 当 变化时， ， 的变化情况如下表： 单调递增 单调递减 单调递增 ………3 分 因此，当 时， 有极大值，并且极大值为 ； 当 时， 有极小值，并且极小值为 ． ………4 分（全对给 1 分） （Ⅱ）因为 ， 所以 ． 所以 为一个零点． 所以“函数 在定义域内有三个零点”可以转化为 “方程 有两个非零实根”． ………5 分 令 ，则 ， 所以，当 时， ， 在 上单调递减； 当 时， ， 在 上单调递增． 当 时， 有最小值 ． ………6 分 若方程 有两个非零实根，则 ，即 ． 又 ， ， 恒成立，不存在零点，………7 分 所以 ． 综上， ． ( )f x R 2( ) exf x x= 2 2'( ) 2 e e e ( 2 ) e ( 2)x x x xf x x x x x x x= ⋅ + ⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ '( ) 0f x = 1 2x = − 2 0x = x '( )f x ( )f x x ( , 2)−∞ − 2− ( 2,0)− 0 (0, )+∞ '( )f x + 0 − 0 + ( )f x 2 4 e 0 2x = − ( )f x 2 4( 2) ef − = 0x = ( )f x (0) 0f = ( )y f x ax= − 2 ( )e ex xaxy xx x a− = −= ⋅ 0x = 2exx ay x= − exa x= ⋅ ( ) exh x x= '( ) e e ( 1) ex x xh x xx = + = + ⋅ 1x < − '( ) 0h x < ( )h x ( , 1)−∞ − 1x > − '( ) 0h x > ( )h x ( 1, )− +∞ 1x = − ( )h x 1( 1) eh − = − exa x= ⋅ 1( 1) eh − = − 1 0e a− < < a< 1 ea > − 0a ≥ ( , 1)x∈ −∞ − e 0xx a⋅ − < 0a i i nS 12 −n i i nS 22 −n 2 3( 1 2 1) 2 (3 1) 2n nn n n n n− −+ + + + − × = − ×