高考真题-三年（2018-2020）物理分项汇编--专题21 电学计算题（解析版）

专题 21 电学计算题 1．（2020·新课标Ⅰ卷）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O 为圆心，半径为 R 的圆，AB 为 圆的直径，如图所示。质量为 m，电荷量为 q（q>0）的带电粒子在纸面内自 A 点先后以不同的速度进入电 场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的 C 点以速率 v0 穿出电场， AC 与 AB 的夹角 θ=60°。运动中粒子仅受电场力作用。 （1）求电场强度的大小； （2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？ （3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为 mv0，该粒子进入电场时的速度应为多大？ 【答案】(1) ；(2) ；(3)0 或 【解析】（1）由题意知在 A 点速度为零的粒子会沿着电场线方向运动，由于 q>0，故电场线由 A 指向 C， 根据几何关系可知： 所以根据动能定理有： 解得： ； （2）根据题意可知要使粒子动能增量最大则沿电场线方向移动距离最多，做 AC 垂线并且与圆相切，切点 为 D，即粒子要从 D 点射出时沿电场线方向移动距离最多，粒子在电场中做类平抛运动，根据几何关系有 而电场力提供加速度有 2 0 2 mvE qR = 0 1 2 4 vv = 0 2 3 2 vv = ACx R= 2 0 1 02ACqEx mv= - 2 0 2 mvE qR = 1sin 60x R v t= = 21cos60 2y R R at= + = qE ma= 联立各式解得粒子进入电场时的速度： ； （3）因为粒子在电场中做类平抛运动，粒子穿过电场前后动量变化量大小为 mv0，即在电场方向上速度变 化为 v0 ，过 C 点做 AC 垂线会与圆周交于 B 点，故由题意可知粒子会从 C 点或 B 点射出。当从 B 点射出时 由几何关系有 电场力提供加速度有 联立解得 ；当粒子从 C 点射出时初速度为 0。 2．（2020·新课标Ⅱ卷）如图，在0≤x≤h， 区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强 度 B 的大小可调，方向不变。一质量为 m，电荷量为 q（q>0）的粒子以速度 v0 从磁场区域左侧沿 x 轴进入 磁场，不计重力。 （1）若粒子经磁场偏转后穿过 y 轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度 的最小值 Bm； （2）如果磁感应强度大小为 ，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向 与 x 轴正方向的夹角及该点到 x 轴的距离。 0 1 2 4 vv = 2 23BCx R v t= = 2 2 1 2ACx R at= = qE ma= 0 2 3 2 vv = y−∞ < < +∞ m 2 B 【答案】（1）磁场方向垂直于纸面向里； ；（2） ； 【解析】（1）由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里。设 粒子进入磁场中做圆周运动的半径为 R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有 ① 由此可得 ② 粒子穿过 y 轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在 y 轴正半轴上，半径应满足 ③ 由题意，当磁感应强度大小为 Bm 时，粒子的运动半径最大，由此得 ④ （2）若磁感应强度大小为 ，粒子做圆周运动的圆心仍在 y 轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径 为 ⑤ 粒子会穿过图中 P 点离开磁场，运动轨迹如图所示。设粒子在 P 点的运动方向与 x 轴正方向的夹角为 α， 由几何关系 ⑥ 即 ⑦ 由几何关系可得，P 点与 x 轴的距离为 ⑧ 联立⑦⑧式得 ⑨ 3．（2020·新课标Ⅲ卷）如图，一边长为l0 的正方形金属框 abcd 固定在水平面内，空间存在方向垂直于水 平面、磁感应强度大小为 B 的匀强磁场。一长度大于 的均匀导体棒以速率 v 自左向右在金属框上匀速 滑过，滑动过程中导体棒始终与 ac 垂直且中点位于 ac 上，导体棒与金属框接触良好。已知导体棒单位长度 的电阻为 r，金属框电阻可忽略。将导体棒与 a 点之间的距离记为 x，求导体棒所受安培力的大小随 x （ ）变化的关系式。 0 m = mvB qh π 6 α = (2 3)y h= − 2 0 0 vqv B m R = 0mvR qB = R h≤ 0 m = mvB qh m 2 B 2R h′ = 1sin 2 2 h h α = = π 6 α = 2 (1 cos )y h α= − (2 3)y h= − 02l 00 2x l≤ ≤ 【答案】 【解析】当导体棒与金属框接触的两点间棒的长度为 l 时，由法第电磁感应定律可知导体棒上感应电动势的 大小为 由欧姆定律可知流过导体棒的感应电流为 式中 R 为这一段导体棒的电阻。按题意有 此时导体棒所受安培力大小为 由题设和几何关系有 联立各式得 4．（2020·江苏卷）空间存在两个垂直于 平面的匀强磁场，y 轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为 、 。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点 O 沿 x 轴正向射入磁场，速度均为 v。甲第 1 次、第 2 次经过 y 轴的位置分别为 P、Q，其轨迹如图所示。甲经过 Q 时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为 ( ) 2 0 2 0 0 0 2 2, 0 2 2 22 , 22 B v x x lr F B v l x l x lr         =    − 0）。质量为m，电荷量为q（q>0）的 粒子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度v0平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。 （1）求粒子第一次穿过 G 时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小； （2）若粒子恰好从 G 的下方距离 G 也为 h 的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】（1）PG、QG 间场强大小相等，均为 E，粒子在 PG 间所受电场力 F 的方向竖直向下，设粒子 的加速度大小为 a，有 ① F=qE=ma② 2 2 2 4q U m B d = π tan302 rs r= + ° st v = 2 π 3( )4 2 3 Bdt U = + ϕ ϕ 0 mdhl v qϕ= 02 mdhv qϕ 2E d ϕ= 设粒子第一次到达 G 时动能为 Ek，由动能定理有 ③ 设粒子第一次到达 G 时所用的时间为 t，粒子在水平方向的位移为 l，则有 ④ l=v0t⑤ 联立①②③④⑤式解得 ⑥ ⑦ （2）设粒子穿过 G 一次就从电场的右侧飞出，则金属板的长度最短，由对称性知，此时金属板的长度 L 为 ⑧ 13．（2019·新课标全国Ⅲ卷）空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点。从O点沿水平 方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B。A不带电，B的电荷量为q（q>0）。A从O点发射 时的速度大小为v0，到达P点所用时间为t；B从O点到达P点所用时间为 。重力加速度为g，求 （1）电场强度的大小； （2）B 运动到 P 点时的动能。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）设电场强度的大小为 E，小球 B 运动的加速度为 a。根据牛顿定律、运动学公式和题给条 件，有 mg+qE=ma① ② 解得 ③ （2）设 B 从 O 点发射时的速度为 v1，到达 P 点时的动能为 Ek，O、P 两点的高度差为 h，根据动能定 理有 ④ 且有 ⑤ 2 k 0 1 2qEh E mv= − 21 2h at= 2 k 0 1 2= 2E mv qhd ϕ+ 0 mdhl v qϕ= 0=2 2 mdhL l v qϕ= 2 t 3mgE q = 2 2 2 k 0=2 ( )E m v g t+ 2 21 1( )2 2 2 ta gt= 3mgE q = 2 k 1 1 2E mv mgh qEh− = + 1 02 tv v t= ⑥ 联立③④⑤⑥式得 ⑦ 14．（2019·北京卷）如图所示，垂直于纸面的匀强磁场磁感应强度为B。纸面内有一正方形均匀金属线框abcd， 其边长为L，总电阻为R，ad边与磁场边界平行。从ad边刚进入磁场直至bc边刚要进入的过程中，线框在 向左的拉力作用下以速度v匀速运动，求： （1）感应电动势的大小 E； （2）拉力做功的功率 P； （3）ab 边产生的焦耳热 Q。 【答案】（1）BLv （2） （3） 【解析】（1）由法拉第电磁感应定律可得，感应电动势 E=BLv （2）线圈中的感应电流 拉力大小等于安培力大小 F=BIL 拉力的功率 （3）线圈 ab 边电阻 时间 ab 边产生的焦耳热 15．（2019·北京卷）电容器作为储能器件，在生产生活中有广泛的应用。对给定电容值为C的电容器充电， 无论采用何种充电方式，其两极间的电势差u随电荷量q的变化图像都相同。 （1）请在图 1 中画出上述 u–q 图像。类比直线运动中由 v–t 图像求位移的方法，求两极间电压为 U 时 电容器所储存的电能 Ep。 21 2h gt= 2 2 2 k 0=2 ( )E m v g t+ 2 2 2B L v R 2 3 4 B L v R EI R = 2 2 2B L vP Fv R = = 4ab RR = Lt v = 2 3 2 4ab B L vQ I R t R = = （2）在如图 2 所示的充电电路中，R 表示电阻，E 表示电源（忽略内阻）。通过改变电路中元件的参数 对同一电容器进行两次充电，对应的 q–t 曲线如图 3 中①②所示。 a．①②两条曲线不同是______（选填 E 或 R）的改变造成的； b．电容器有时需要快速充电，有时需要均匀充电。依据 a 中的结论，说明实现这两种充电方式的途径。 （3）设想使用理想的“恒流源”替换（2）中电源对电容器充电，可实现电容器电荷量随时间均匀增加。 请思考使用“恒流源”和（2）中电源对电容器的充电过程，填写下表（选填“增大”、“减小”或“不变”）。 “恒流源” （2）中电源 电源两端电压 通过电源的电流 【答案】见解析 【解析】（1）u–q 图线如答图 1； 电压为 U 时，电容器带电 Q，图线和横轴围成的面积为所储存的电能 Ep 故 （2）a．R b．减小电阻 R，可以实现对电容器更快速充电；增大电阻 R，可以实现更均匀充电。 （3） “恒流源” （2）中电源 电源两端电压 增大 不变 通过电源的电流 不变 减小 16．（2019·天津卷）如图所示，固定在水平面上间距为 的两条平行光滑金属导轨，垂直于导轨放置的两 根金属棒 和 长度也为 、电阻均为 ，两棒与导轨始终接触良好。 两端通过开关 与电阻 为 的单匝金属线圈相连，线圈内存在竖直向下均匀增加的磁场，磁通量变化率为常量 。图中虚线右 侧有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为 。 的质量为 ，金属导轨足够长，电阻 忽略不计。 （1）闭合 ，若使 保持静止，需在其上加多大的水平恒力 ，并指出其方向； （2）断开 ， 在上述恒力作用下，由静止开始到速度大小为 v 的加速过程中流过 的电荷量为 ，求该过程安培力做的功 。 【答案】（1） ，方向水平向右 （2） 【解析】（1）设线圈中的感应电动势为 ，由法拉第电磁感应定律 ，则 ① 设 与 并联的电阻为 ，有 ② p 1 ,2E QU Q CU= =又 2 p 1 2E CU= l MN PQ l R MN S R k B PQ m S PQ F S PQ PQ q W 3 BklF R = 21 2 2 3W mv kq= − E E t Φ∆= ∆ E k= PQ MN R并 2 RR =并 闭合 时，设线圈中的电流为 ，根据闭合电路欧姆定律得 ③ 设 中的电流为 ，有 ④ 设 受到的安培力为 ，有 ⑤ 保持 静止，由受力平衡，有 ⑥ 联立①②③④⑤⑥式得 ⑦ 方向水平向右。 （2）设 由静止开始到速度大小为 v 的加速过程中， 运动的位移为 ，所用时间为 ，回路中 的磁通量变化为 ，平均感应电动势为 ，有 ⑧ 其中 ⑨ 设 中的平均电流为 ，有 ⑩ 根据电流的定义得 ⑪ 由动能定理，有 ⑫ 联立⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬式得 S I EI R R = +并 PQ PQI 1 2RQI I= PQ F安 PQF BI l=安 PQ F F= 安 3 BklF R = PQ PQ x t∆ Φ∆ E E t Φ∆= ∆ BlxΦ∆ = PQ I 2 EI R = qI t = ∆ 21 02Fx W mv+ = − ⑬ 17．（2019·天津卷）2018年，人类历史上第一架由离子引擎推动的飞机诞生，这种引擎不需要燃料，也无 污染物排放。引擎获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极 、 之间的匀强电场（初速度忽略不计）， 、 间电压为 ，使正离子加速形成离子束，在加速过程中 引擎获得恒定的推力。单位时间内飘入的正离子数目为定值，离子质量为 ，电荷量为 ，其中 是 正整数， 是元电荷。 （1）若引擎获得的推力为 ，求单位时间内飘入 、 间的正离子数目 为多少； （2）加速正离子束所消耗的功率 不同时，引擎获得的推力 也不同，试推导 的表达式； （3）为提高能量的转换效率，要使 尽量大，请提出增大 的三条建议。 【答案】（1） （2） （3）用质量大的离子；用带电荷量少的离子；减 小加速电压。 【解析】（1）设正离子经过电极 时的速度为 v，根据动能定理，有 ① 设正离子束所受的电场力为 ，根据牛顿第三定律，有 ② 设引擎在 时间内飘入电极间的正离子个数为 ，由牛顿第二定律，有 ③ 联立①②③式，且 得 ④ （2）设正离子束所受的电场力为 ，由正离子束在电场中做匀加速直线运动，有 ⑤ 21 2 2 3W mv kq= − A B A B U m Ze Z e 1F A B N P F F P F P F P 1 2 FN ZemU = 2F m P ZeU = B 21 02ZeU mv= − 1F′ 1 1F F′= t∆ N∆ 1 0vF Nm t −′= ∆ ∆ NN t ∆= ∆ 1 2 FN ZemU = F′ 1 2P F v′= 考虑到牛顿第三定律得到 ，联立①⑤式得 ⑥ （3）为使 尽量大，分析⑥式得到 三条建议：用质量大的离子；用带电荷量少的离子；减小加速电压。 18．（2019·江苏卷）如图所示，匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈，线圈平面与磁场垂直．已 知线圈的面积S=0.3 m2、电阻R=0.6 Ω，磁场的磁感应强度B=0.2 T.现同时向两侧拉动线圈，线圈的两边 在Δt=0.5 s时间内合到一起．求线圈在上述过程中 （1）感应电动势的平均值 E； （2）感应电流的平均值 I，并在图中标出电流方向； （3）通过导线横截面的电荷量 q． 【答案】（1）0.12 V （2）0.2 A 电流方向见解析 （3）0.1 C 【解析】（1）感应电动势的平均值 磁通量的变化 解得 ， 代入数据得 E=0.12 V （2）平均电流 代入数据得 I=0.2 A（电流方向见图 3） （3）电荷量 q=I∆t F F′ = 2F m P ZeU = F P E t Φ∆= ∆ B SΦ∆ = ∆ B SE t ∆= ∆ EI R = 代入数据得 q=0.1 C 19．（2019·江苏卷）如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B．磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右 边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平分速度 不变，竖直分速度大小不变、方向相反．质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左边界的不同 位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d设粒子最后一次碰撞到射出磁场的时间为 t'，则 （a）当 时，粒子斜向上射出磁场 解得 （b）当 时，粒子斜向下射出磁场 解得 20．（2019·浙江选考）如图所示，在间距 L=0.2m 的两光滑平行水平金属导轨间存在方向垂直于纸面（向 内为正）的磁场，磁感应强度为分布沿 y 方向不变，沿 x 方向如下： 导轨间通过单刀双掷开关 S 连接恒流源和电容 C=1F 的未充电的电容器，恒流源可为电路提供恒定电流 I=2A，电流方向如图所示。有一质量 m=0.1kg 的金属棒 ab 垂直导轨静止放置于 x0=0.7m 处。开关 S 掷 向 1，棒 ab 从静止开始运动，到达 x3=－0.2m 处时，开关 S 掷向 2。已知棒 ab 在运动过程中始终与导 轨垂直。求： （提示：可以用 F－x 图象下的“面积”代表力 F 所做的功） （1）棒 ab 运动到 x1=0.2m 时的速度 v1； （2）棒 ab 运动到 x2=－0.1m 时的速度 v2； （3）电容器最终所带的电荷量 Q。 【答案】（1）2 m/s （2） （3） ( 1,3,5, )4 Tt n t n′= + =  31 2L nd d= + −（ ） 1 12t T′ = 3 3 4 π 6 2 L mt d qB −= +（ ） 31+ 2L nd d= +（ ） 5 12t T′ = 3 3 4 π 6 2 L mt d qB −= −（ ） 1 0.2 {5 0.2 0.2 1 0.2 Tx m B xT m x m Tx m > = − ≤ ≤ − < − 4.6 m/s 2 C7 【解析】（1）安培力 ， 加速度 速度 （2）在区间 安培力 ，如图所示 安培力做功 根据动能定理可得 解得 （3）根据动量定理可得 电荷量 在 处的速度 联立解得 21．（2019·浙江选考）小明受回旋加速器的启发，设计了如图 1 所示的“回旋变速装置”。两相距为 d 的平 行金属栅极板 M、N，板 M 位于 x 轴上，板 N 在它的正下方。两板间加上如图 2 所示的幅值为 U0 的交 变电压，周期 。板 M 上方和板 N 下方有磁感应强度大小均为 B、方向相反的匀强磁场。粒 子探测器位于 y 轴处，仅能探测到垂直射入的带电粒子。有一沿 x 轴可移动、粒子出射初动能可调节的 粒子发射源，沿 y 轴正方向射出质量为 m、电荷量为 q（q＞0）的粒子。t=0 时刻，发射源在（x，0） 位置发射一带电粒子。忽略粒子的重力和其它阻力，粒子在电场中运动的时间不计。 F BIL= F BILa m m = = ( )1 0 12 2 m/sv a x x= − = 0.2m 0.2mx− ≤ ≤ 5F xIL= ( )2 2 1 2 5 2 ILW x x= − 2 2 2 1 1 1 2 2W mv mv= − 2 4.6 m/sv = 3BLQ mv mv− = − Q CU CBLv= = 0.2x m= − 3 1 2 m/sv v= = 3 2 2 2 C7 CBLmvQ CB L m = =+ 0 2 mT qB π= （1）若粒子只经磁场偏转并在 y=y0 处被探测到，求发射源的位置和粒子的初动能； （2）若粒子两次进出电场区域后被探测到，求粒子发射源的位置 x 与被探测到的位置 y 之间的关系 【答案】（1） ， （2） 【解析】】（1）发射源的位置 粒子的初动能： （2）分下面三种情况讨论： （i）如图 1， 由 和 ， 及 得 （ii）如图 2， 0 0x y= ( )2 0 2 qBy m ( ) ( )2 2 0 0 2 22 4y yqB mqU yqB mqUqB qB + + + + ( )2 2 2 0 4 2y d y d q B mqUqB − + + + − ( )2 2 2 0 23 ) 2y d y d q B mqUqB + + + +（ 0 0x y= ( )2 0 0 2k qByE m = 0 02kE qU> 02 1 0 1 mvmv mvy R RBq Bq Bq = = =、 、 2 2 1 0 0 1 1 2 2mv mv qU= − 2 2 2 1 0 1 1 2 2mv mv qU= − ( )0 12x y R R= + + ( ) ( )2 2 0 0 2 22 4x y yqB mqU yqB mqUqB qB = + + + + 0 0 02kqU E qU< 0 的区域存在方向沿 y 轴负方向的匀强电场，场强大小为 E，在 y