江苏省连云港市2019-2020高一数学下学期期末调研试题（Word版附解析）

1 江苏省连云港市 2019～2020 学年第二学期高一年级期末调研考试 数学试题 2020．7 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1． ＝ A． B． C． D． 2．不等式 的解集是 A．( ， ) B．( ， ) ( ， ) C．( ， ) D．( ， ) ( ， ) 3．若从甲，乙，丙，丁 4 位同学中选出 3 名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是 A． B． C． D． 4．某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄 之间的关系，将该校不小于 35 岁的 80 名教师 按年龄分组，分组区间为[35，40)，[40，45)， [45，50)，[50，55)，[55，60]，由此得到频率 分布直方图如图，则这 80 名教师中年龄小于 45 岁的人数有 第 4 题 A．45 B．46 C．48 D．50 5．过圆 x2＋y2＝5 上一点 M(﹣1，2)作圆的切线 l，则 l 的方程是 A． B． C． D． 6．两条平行直线 6x﹣4y＋5＝0 与 y＝ x 的距离是 A． B． C． D． 7．如图，在三棱锥 S—ABC 中，SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4，SA ＝ ，则异面直线 SB 与 AC 所成角的余弦值是 2 2cos sin8 8 π π− 2 4 2 4 − 2 2 2 2 − 2 8x > 2 2− 2 2 −∞ 2 2−  2 2 +∞ 4 2− 4 2 −∞ 4 2−  4 2 +∞ 1 4 1 3 2 3 3 4 2 3 0x y+ − = 2 5 0x y− + = 2 5 0x y− − = 2 5 0x y+ − = 3 2 13 13 13 26 5 13 13 5 13 26 2 32 A． B． C． D． 第 7 题 8．圆 的圆心为 C，直线 l 过点(0，3)且与圆 C 交于 A，B 两点， 若△ABC 的面积为 ，则满足条件的直线 l 的条数为 A．1 B．2 C．3 D．4 二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分．在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．在 4 件产品中，有一等品 2 件，二等品 1 件（一等品与二等品都是正品），次品 1 件，现 从中任取 2 件，则下列说法正确的是 A．两件都是一等品的概率是 B．两件中有 1 件是次品的概率是 C．两件都是正品的概率是 D．两件中至少有 1 件是一等品的概率是 10．关于异面直线 a，b，下列四个命题正确的有 A．过直线 a 有且仅有一个平面 ，使 b⊥ B．过直线 a 有且仅有一个平面 ，使 b∥ C．在空间存在平面 ，使 a∥ ， b∥ D．在空间不存在平面 ，使 a⊥ ，b⊥ 11．正方体的外接球与内切球上各有一个动点 M，N，若线段 MN 的最小值为 ，则 A．正方体的外接球的表面积为 B．正方体的内切球的体积为 C．正方体的棱长为 1 D．线段 MN 的最大值为 12．瑞士著名数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这 条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4， 点 B(﹣1，3)，点 C(4，﹣2)，且其“欧拉线”与圆 M： 相切，则下列 结论正确的是 A．圆 M 上点到直线 x﹣y＋3＝0 的最小距离为 1 8 1 8 − 1 4 1 4 − 2 2 2 2 2 0x y x y+ − − − = 3 1 3 1 2 1 3 5 6 β β β β β β β β β β 3 1− 12π 3 π 3 1+ 2 2 2( 3)x y r− + = 2 23 B．圆 M 上点到直线 x﹣y＋3＝0 的最大距离为 C．若点(x，y)在圆 M 上，则 x＋ y 的最小值是 3﹣ D ． 圆 与 圆 M 有 公 共 点 ， 则 a 取 值 范 围 是 [ ， ] 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．其中第 16 题共有 2 空，第一个 空 2 分，第二个空 3 分；其余题均为一空， 每空 5 分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知两点 A(3，2)，B(8，12)，则直线 AB 的一般式方程为 ． 14．用半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥筒的高为 ，则半圆形纸片的半径为 ． 15．设 cosx＝t，用 t 的代数式表示 cos2x＝ ，用 t 的代数式表示 cos3x＝ ． 16．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S，且满足 a2﹣(b﹣c)2＝S，b ＋c＝2，则 S 的最大值是 ． 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A＝60°，b＝1，S △ABC＝ ． （1）求 c 的值； （2）求 sinC 的值． 18．（本小题满分 12 分） 已知 tan( ＋ )＝ ，tan ＝﹣2． （1）求 tan ； （2）求 sin2 ． 19．（本小题满分 12 分） 已知函数 （其中 a R）． （1）当 a＝﹣1 时，解关于 x 的不等式 ； （2）若 的解集为 R，求实数 a 的取值范围． 3 2 3 2 2 2 2( 1) ( ) 8x a y a− − + − = 1 2 2− 1 2 2+ 3 3 α β 1 3 α β α 2( ) ( 3) 2f x ax a x= + − + ∈ ( ) 0f x < ( ) 1f x ≥ −4 20．（本小题满分 12 分） 如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 为棱 DD1 的中点，求证： （1）BD1∥平面 EAC； （2）平面 EAC⊥平面 AB1C． 21．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C：x2＋y2＋4x﹣2ay＋a2＝0． （1）若圆 C 与 x 轴相切，求实数 a 的值； （2）若 M，N 为圆 C 上不同的两点，过点 M，N 分别作圆 C 的切线 l1，l2，若 l1 与 l2 相交于点 P，圆 C 上异于 M，N 另有一点 Q，满足∠MQN＝60°，若直线 l：x﹣y﹣6＝0 上 存在唯一的一个点 T，使得 ，求实数 a 的值． 22．（本小题满分 12 分） 已知梯形 ABCD 中，AB＝1，∠A＝60°，∠ABC＝90°，∠CBD＝45°，如图（1）所 示．现将△ABC 沿边 BC 翻折至△A′BC，记二面角 A′—BC—D 的大小为． （1）当 ＝90°时，如图（2）所示，过点 B 作平面与 A′D 垂直，分别交 A′C，A′D 于 点 E，F，求点 E 到平面 A′BF 的距离； （2）当 ＝30°时，如图（3）所示，求二面角 A′—CD—B 的正切值． TP 2OC=  θ θ5 江苏省连云港市 2019～2020 学年第二学期高一年级期末调研考试 数学试题 2020．7 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1． ＝ A． B． C． D． 答案：C 考点：二倍角的余弦公式 解析： ，故选 C． 2．不等式 的解集是 A．( ， ) B．( ， ) ( ， ) C．( ， ) D．( ， ) ( ， ) 答案：B 2 2cos sin8 8 π π− 2 4 2 4 − 2 2 2 2 − 2 2 2cos sin cos(2 )8 8 8 2 π π π− = × = 2 8x > 2 2− 2 2 −∞ 2 2−  2 2 +∞ 4 2− 4 2 −∞ 4 2−  4 2 +∞6 考点：一元二次不等式 解析：∵ ，∴ 或 ，故选 B． 3．若从甲，乙，丙，丁 4 位同学中选出 3 名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是 A． B． C． D． 答案：D 考点：古典概型 解析：P＝ ，故选 D． 4．某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄 之间的关系，将该校不小于 35 岁的 80 名教师 按年龄分组，分组区间为[35，40)，[40，45)， [45，50)，[50，55)，[55，60]，由此得到频率 分布直方图如图，则这 80 名教师中年龄小于 45 岁的人数有 第 4 题 A．45 B．46 C．48 D．50 答案：C 考点：频率分布直方图 解析： ，故选 C． 5．过圆 x2＋y2＝5 上一点 M(﹣1，2)作圆的切线 l，则 l 的方程是 A． B． C． D． 答案：B 考点：圆的切线方程 解析：根据切线方程公式可得切线方程为 ，即 ，故选 B． 6．两条平行直线 6x﹣4y＋5＝0 与 y＝ x 的距离是 A． B． C． D． 答案：D 考点：两平行直线间的距离公式 解析：根据两平行间的距离公式可得 ，故选 D． 7．如图，在三棱锥 S—ABC 中，SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4，SA 2 8x > 2 2x > 2 2x < − 1 4 1 3 2 3 3 4 3 4 (0.080 0.040) 5 80 48+ × × = 2 3 0x y+ − = 2 5 0x y− + = 2 5 0x y− − = 2 5 0x y+ − = 2 5x y− + = 2 5 0x y− + = 3 2 13 13 13 26 5 13 13 5 13 26 2 2 5 5 13 266 ( 4) d = = + −7 ＝ ，则异面直线 SB 与 AC 所成角的余弦值是 A． B． C． D． 第 7 题 答案：A 考点：异面直线所成的角 解析：取 AB、BC、SC、SA 的中点分别为 D、E、F、G， 则∠EFG 就是异面直线 SB 与 AC 所成的角或补角， 首先可判断出三角形 SAE 是等边三角形，求得三角形 SAE 高 EG＝3， FG＝FE＝2， 所以 ， 故异面直线 SB 与 AC 所成角的余弦值是 ，故选 A． 8．圆 的圆心为 C，直线 l 过点(0，3)且与圆 C 交于 A，B 两点， 若△ABC 的面积为 ，则满足条件的直线 l 的条数为 A．1 B．2 C．3 D．4 答案：D 考点：直线与圆相交 解析：圆 化为标准方程为 ， 则 ，∴∠ACB＝60°或 120°， 故圆心到直线 AB 的距离为 1 或 ，当 l 斜率不存在时，符合题意， 当 l 斜率为 k 时，设直线为 ， 1 或 ， 解得 k＝ ，或 ，综上所述，共有 4 条，故选 D． 二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分．在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．在 4 件产品中，有一等品 2 件，二等品 1 件（一等品与二等品都是正品），次品 1 件，现 2 3 1 8 1 8 − 1 4 1 4 − 4 4 9 1cos EFG 2 2 2 8 + −∠ = = −× × 1 8 2 2 2 2 2 0x y x y+ − − − = 3 2 2 2 2 2 0x y x y+ − − − = 2 2( 1) ( 1) 4x y− + − = 1 CA CB cos ACB 2sin ACB 32 ⋅ ⋅ ∠ = ∠ = 3 3y kx= + 2 2 1 kd k += = + 3 3 4 − 61 2 ±8 从中任取 2 件，则下列说法正确的是 A．两件都是一等品的概率是 B．两件中有 1 件是次品的概率是 C．两件都是正品的概率是 D．两件中至少有 1 件是一等品的概率是 答案：BD 考点：几何概型 解析：两件都是一等品的概率 ，故 A 错误；两件中有 1 件是次品的概率为 ，故 B 正确； 两件都是正品的概率是 ，故 C 错误；两件中至少有 1 件是一等品的概率是 ，故 D 正确．故选 BD． 10．关于异面直线 a，b，下列四个命题正确的有 A．过直线 a 有且仅有一个平面 ，使 b⊥ B．过直线 a 有且仅有一个平面 ，使 b∥ C．在空间存在平面 ，使 a∥ ， b∥ D．在空间不存在平面 ，使 a⊥ ，b⊥ 答案：BCD 考点：空间中的位置关系 解析：当直线 a⊥b，过直线 a 有无数个平面 ，能使 b⊥ ，故 A 错误； 异面直线 a，b，过直线 a 有且仅有一个平面 ，使 b∥ ，故 B 正确； 异面直线 a，b，在空间存在平面 ，使 a∥ ， b∥ ，故 C 正确； 如果 a⊥ ，b⊥ ，则 a∥b，即直线 a，b 共面，反之异面直线 a，b，在空间不存 在平面 ，使 a⊥ ，b⊥ 故 D 正确．故选 BCD． 11．正方体的外接球与内切球上各有一个动点 M，N，若线段 MN 的最小值为 ，则 A．正方体的外接球的表面积为 B．正方体的内切球的体积为 C．正方体的棱长为 1 D．线段 MN 的最大值为 1 3 1 2 1 3 5 6 1 6 1 2 1 2 5 6 β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β 3 1− 12π 3 π 3 1+9 答案：AD 考点：正方体的外接球与内切球 解析：设正方体棱长为 a，则 ，解得 a＝2， 正方体外接球半径为 ，内切球半径为 1， 正方体外接球表面积为 ，故 A 正确； 内切球体积为 ，故 B 错误； 正方体的棱长为 2，故 C 错误； 线段 MN 的最大值为 ，故 D 正确．故选 AD． 12．瑞士著名数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这 条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4， 点 B(﹣1，3)，点 C(4，﹣2)，且其“欧拉线”与圆 M： 相切，则下列 结论正确的是 A．圆 M 上点到直线 x﹣y＋3＝0 的最小距离为 B．圆 M 上点到直线 x﹣y＋3＝0 的最大距离为 C．若点(x，y)在圆 M 上，则 x＋ y 的最小值是 3﹣ D ． 圆 与 圆 M 有 公 共 点 ， 则 a 取 值 范 围 是 [ ， ] 答案：ACD 考点：与圆有关的位置关系 解析：取 BC 中点 D( ， )， ， ，故直线 AD 为 x﹣y﹣1＝0， 故 ，求得圆心 M 到直线 x﹣y＋3＝0 的距离为 ， 故圆 M 上点到直线 x﹣y＋3＝0 的最小距离为 ，最大距离为 ，所以 A 正确， B 错误； 设 ， ，则 3 1 3 12 2a a− = − 3 24 ( 3) 12π π= 34 41 =3 3 π π 3 1+ 2 2 2( 3)x y r− + = 2 2 3 2 3 2 2 2 2( 1) ( ) 8x a y a− − + − = 1 2 2− 1 2 2+ 3 2 1 2 5 15BCk = = −− 1ADk = 2 2 2 r d= = = 3 2 2 2 4 2 3 2 cosx θ= + 2 siny θ= 3 3 2 cos 6 sinx y θ θ+ = + +10 ， 则 x＋ y 的最小值是 3﹣ ，故 C 正确； ，解得 ，故 D 正确．故选 ACD． 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．其中第 16 题共有 2 空，第一个 空 2 分，第二个空 3 分；其余题均为一空， 每空 5 分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知两点 A(3，2)，B(8，12)，则直线 AB 的一般式方程为 ． 答案： 考点：直线的两点式、一般式 解析： ，化为一般式为 ． 14．用半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥筒的高为 ，则半圆形纸片的半径为 ． 答案：2 考点：圆锥的侧面展开图 解析：半圆形纸片做成的圆锥，母线是底面半径的 2 倍，由于圆锥筒的高为 ，故半圆形 纸片的半径为 2． 15．设 cosx＝t，用 t 的代数式表示 cos2x＝ ，用 t 的代数式表示 cos3x＝ ． 答案： ， 考点：三角恒等变换 解析： ， ． 16．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S，且满足 a2﹣(b﹣c)2＝S，b ＋c＝2，则 S 的最大值是 ． 答案： 考点：余弦定理，解三角形 解析： ， 化简得 ，又 ， 解得 （舍），或 ，则 ， 3 2 2 sin( )6 πθ= + + 3 2 2 2 22 ( 2) 3 2a a≤ − + ≤ 1 2 2 1 2 2a− ≤ ≤ + 2 4 0x y− − = 2 3 12 2 8 3 y x− −=− − 2 4 0x y− − = 3 3 22 1t − 34 3t t− 2 2cos2 2cos 1 2 1x x t= − = − 2 2 2 3cos3 cos2 cos 2sin cos (2 1) 2(1 ) 4 3x x x x x t t t t t t= − = − − − = − 4 17 2 2 2 21( ) sin 2 cos2a b c bc A b c bc A= − + = + − sin 4cos 4A A+ = − 2 2sin cos 1A A+ = cos 1A = − 15cos 17A = − 8sin 17A =11 ， 当 b＝1 时，S 有最大值为 ． 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A＝60°，b＝1，S △ABC＝ ． （1）求 c 的值； （2）求 sinC 的值． 解：（1）在 中， ， 所以 ，所以 ； （2）在 中，由余弦定理得： 所以 ，所以 ， 在 中，由正弦定理得： ， 所以 ． 18．（本小题满分 12 分） 已知 tan( ＋ )＝ ，tan ＝﹣2． （1）求 tan ； （2）求 sin2 ． 解：（1） ， 因为 ， ，所以 （2） ， 因为 ，所以 21 1 8 4 4sin (2 ) ( 1)2 2 17 17 17S bc A b b b= = − = − − + 4 17 3 ABC∆ 1 sin 32ABCS bc A∆ = = 1 3 32 2b c× × × = 4c = ABC∆ 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 11 4 2 1 4 132a = + − × × × = 13a = ABC∆ sin sin a c A C = sin 2 39sin 13 c AC a = = α β 1 3 α β α tan( ) tantan = tan( ) 1 tan( )tan α β αβ α β α α β α + −+ − = + + 1tan( ) 3 α β+ = tan 2α = − tan =7β 2 2 2 2sin cos 2tansin 2 2sin cos sin cos tan 1 α α αα α α α α α= = =+ + tan 2α = − 4sin 2 5 α = −12 19．（本小题满分 12 分） 已知函数 （其中 a R）． （1）当 a＝﹣1 时，解关于 x 的不等式 ； （2）若 的解集为 R，求实数 a 的取值范围． 解：（1）当 时，由 得， ， 所以 ，所以不等式的解集为 ； （2）因为 解集为 ，所以 在 恒成立， 当 时，得 ，不合题意； 当 时，由 在 恒成立， 得 ， 所以 20．（本小题满分 12 分） 如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 为棱 DD1 的中点，求证： （1）BD1∥平面 EAC； （2）平面 EAC⊥平面 AB1C． 证明：（1）连接 BD 交 AC 与 O，连接 OE， 因为 O 是 BD 中点， 是棱 的中点， 所以 OE∥BD1，又 BD1 平面 ，OE⊂平面 ， 所以 ∥平面 ； （2）方法一：连接 ,设正方体边长为 1 2( ) ( 3) 2f x ax a x= + − + ∈ ( ) 0f x < ( ) 1f x ≥ − 1a = − ( ) 0f x < 2 4 2 0x x− − + < 2 4 2 0x x+ − > ( 6 2) ( 6 2 )−∞ − − − + ∞， ， ( ) 1f x −≥ R 2 ( 3) 2 1ax a x+ − + −≥ R 0a = 3 2 1x− + −≥ 0a > 2 ( 3) 3 0ax a x+ − + ≥ R 2 0 ( 3) 12 0 a a a >  − − ≤ 9 6 2 9 6 2a− +≤ ≤ E 1DD ⊄ EAC EAC 1BD EAC 1 1B O B E， A1 B1 B1D1 A B CD E O13 在 △ 中 , , 是 中 点 ， 得 , 同 理 , 故 为 所成二面角的平面角, 在△ 中, , , 得 故 故平面 平面 法二：连接 ,在正方体 中， 面 ， 面 ,得 是正方形，得 ,又 , 得 面 , 面 ,故 ∥ 得 ， 在△ 中, , 是 中点，得 又 ,得 面 ， 平面 故平面 平面 . 21．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C：x2＋y2＋4x﹣2ay＋a2＝0． （1）若圆 C 与 x 轴相切，求实数 a 的值； （2）若 M，N 为圆 C 上不同的两点，过点 M，N 分别作圆 C 的切线 l1，l2，若 l1 与 l2 相交于点 P，圆 C 上异于 M，N 另有一点 Q，满足∠MQN＝60°，若直线 l：x﹣y﹣6＝0 上 存在唯一的一个点 T，使得 ，求实数 a 的值． 解：（1）圆 的方程可以化为： ， 所以圆心 ，半径为 2, 因为圆 与 轴相切，所以 ，所以 （2）因为点 在圆 上，且 ， AEC EA EC= O AC OE AC⊥ 1OB AC⊥ 1EOB∠ 1E AC B− − 1EOB 3 2OE = 1 6 2B O = 1 3 2B E = 2 2 2 1 1OE B E B O+ = 1=90EOB∠ ° EAC ⊥ 1AB C 1A B 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1A D ⊥ 1 1ABB A 1AB ⊂ 1 1ABB A 1 1A D ⊥ 1AB 1 1ABB A 1A B ⊥ 1AB 1 1 1 1A B A D A= 1AB ⊥ 1 1A BD 1BD ⊂ 1 1A BD 1AB ⊥ 1BD OE 1BD 1OE AB⊥ AEC EA EC= O AC OE AC⊥ 1AB AC A= OE ⊥ 1AB C OE ⊂ EAC EAC ⊥ 1AB C TP 2OC=  C 2 2( 2) ( ) 4x y a+ + − = ( 2 )C a− ， C x | | 2a = 2a = ± M N， C 60MQN∠ = 14 所以 ， 因为 分别是圆 的切线， 所以 ，即点 在以 为圆心， 为半径的圆上， 所以点 的轨迹方程为 ， 设 ， ， 由 得， 所以 ，即 ，所以 ， 因为直线 上一存在唯一点 ，使得 ， 所以 只有一组解， 所以 ，所以 22．（本小题满分 12 分） 已知梯形 ABCD 中，AB＝1，∠A＝60°，∠ABC＝90°，∠CBD＝45°，如图（1）所 示．现将△ABC 沿边 BC 翻折至△A′BC，记二面角 A′—BC—D 的大小为． （1）当 ＝90°时，如图（2）所示，过点 B 作平面与 A′D 垂直，分别交 A′C，A′D 于 点 E，F，求点 E 到平面 A′BF 的距离； （2）当 ＝30°时，如图（3）所示，求二面角 A′—CD—B 的正切值． 解：（1）因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ，所以 ， 因为 ， ，所以 120MCN∠ =  PM PN， C 4PC = P C 4 P 2 2( 2) ( ) 16x y a+ + − = 0 0( )T x y， ( )P m n， 2TP OC=  0 0( ) 2( 2 )m x n y a− − = −， ， 0 0 4 2 m x n y a − = −  − = 0 0 4 2 m x n y a = −  = + 2 2 0 0( 2) ( ) 16x y a− + + = l 6 0x y− − = T 2TP OC=  2 2 0 0 0 0 ( 2) ( ) 16 6 0 x y a x y  − + + = − − = | 2 6| 4 2 a+ − = 4 4 2a = ± θ θ 'A BC ⊥ BCD 'A BC  BCD BC= CD BC⊥ CD ⊂ BCD CD ⊥ 'A BC BE ⊂ 'A BC CD BE⊥ 'A D BEF⊥ 平面 BE BEF⊂ 平面 'A D BE⊥15 又 ， ， 所以 ，又 ，所以 ， 在 中， ， 又 ， ， ， 所以 ，又 ，所以 ， 在 中， ，所以 ， 在 中， ， 设点 到平面 的距离为 ，因为 ，所以 ， 所以 ； （2）过点 作直线 // ，过 作 交 于点 ．因为 ，所以 ， 又因为 ，所以 就是二面角 的平面角， 所以 ，因为 ，所以 ， 过点 作 交 于点 ，连接 ， 因为 ， ， ，所以 ， 又 ，所以 又因为 ， ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 是二面角 的平面角， 在 中， ， 所以二面角 的正切值为 ． 'CD A D D= ' 'CD A D A CD⊂， 平面 'BE A CD⊥ 平面 ' 'A C A CD⊂ 平面 'BE A C⊥ 'Rt A BC∆ 3= 2 A B BCBE A C ′ ⋅= ′ 'A BC BCD⊥平面 平面 'A BC BCD BC=平面 平面 'A B BC⊥ ' 'A B A BC⊂ 面 'A B BCD⊥ 平面 BD BCD⊂ 平面 'A B BD⊥ 'Rt A BD∆ 6 7 A B BDBF A D ′ ⋅= =′ 2 2 1' 7 A F A B A F′ ′= − = Rt BEF∆ 2 2 3 2 7 EF BF BE= − = E A BF′ d ' 'A BEF E A BFV V− − = ' 1 1'3 3BEF A BFS A F S d∆ ∆ ⋅ = ⋅ 6 8d = B l CD 'A 'A H l⊥ l H CD BC⊥ l BC⊥ 'A B BC⊥ 'A BH∠ 'A BC D− − ' 30A BH∠ = ° ' 1A B = 1' 2A H = H HQ CD⊥ CD Q 'A Q 'BC A B⊥ BC l⊥ 'l A B B= 'BC A BH⊥ 平面 BC BCD⊂ 平面 'BCD A BH⊥平面 平面 'BCD A BH l=平面 平面 'A H l⊥ ' 'A H A BH⊂ 平面 'A H BCD⊥ 平面 HQ CD⊥ 'CD A HQ⊥ 平面 ' 'A Q A CD⊂ 平面 'CD A Q⊥ 'A QH∠ A CD B′− − 'Rt A QH∆ ' 3tan ' 6 A HA QH HQ ∠ = = A CD B′− − 3 6 A′ B C D Q H l