2019—2020 学年度第二学期期末检测试题
高一数学
2020．7
（全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟）
参考公式：
棱锥的体积 ，其中 为底面积， 为高．
方差 ．
一、单项选择题（本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线 的倾斜角为（ ）
2. 已知 的内角 的对边分别为 ，若 ，则
等于（ ）
3. 已知以 为圆心的圆与圆 相内切，则圆 的方程为
（ ）
4. 如图，在正方体 中，二面角 的大小为
（ ）
5. 若 的方差为 ，则 的方差为（ ）
6. 已知球的半径与圆锥的底面半径都为 2，若它们的表面积相同，则圆锥的高为（ ）
7. 已知 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则 的形
状一定是（ ）
等腰直角三角形 直角三角形 等腰三角形 等边三角形
8. 下列命题说法错误的是（ ）
1
3V Sh= S h
2 2 2
2 1 2( ) ( ) ( )nx x x x x xs n
− + − + + −=
3 1 0x y− + =
6A.
π
3B.
π 2
3C.
π 5
6D.
π
ABC∆ A,B,C a,b,c 060 3A ,a= = b c
sinB sinC
+
+
1
2A. 3B. 3
2C. 2D.
( )4 3C ,− 2 2 1x y+ = C
( ) ( )2 24 3 36A. x y− + + = ( ) ( )2 24 3 16B. x y+ + − =
( ) ( )2 24 3 36C. x y+ + − = ( ) ( )2 24 3 16D. x y− + + =
1 1 1 1ABCD A B C D− 1D BC D− −
.A 6
π
.B 4
π
.C 3
π
.D 2
π
1 2 8, , ,x x x 3 1 2 82 ,2 , ,2x x x
6A. 2 3B. 6C. 12D.
5A. 4 2B. 2 15C. 8D.
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 cosa C b= ABC∆
.A .B .C .D
（第 4 题）
A1 B1
C1D1
D C
BA 若푎 ∥ 훼,푏 ⊥ 훼，则푎 ⊥ 푏 若훼 ∥ 훽 훼 ∩ 훾 = 푎,훽 ∩ 훾 = 푏，则푎 ∥ 푏
若훼 ∥ 훽,푎 ⊥ 훼，则푎 ⊥ 훽 若훼 ⊥ 훾,훽 ⊥ 훾，则훼 ∥ 훽
9．在 中，点 在边 上，且满足퐴퐷 = 퐵퐷 = 2퐶퐷，3푡푎푛2 퐵 - 2푡푎푛퐴 +3 = 0，
则∠퐵的大小为（ ）
二、多项选择题（本大题共 3 小题．每小题 5 分，共 15 分．在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得
0 分）．
10. 已知 的内角 所对的边分别为 ，根据下列条件解三角形，有两
解的是
（ ）
푏 = 3,푐 = 3,퐵 = 60∘
푎 = 2 3,푏 = 10,퐵 = 60∘
11. 已知直线 l 与圆 相交于 两点，弦 的中点为
，
则实数 的取值可为（ ）
12. 如图，已知四棱锥 中， 平面 ，
底面 为矩形， ， .若在直线 上存在
两个不同点 ，使得直线 与平面 所成角都为 .
则实数 的值为（ ）
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 口袋中有若干红球、黄球与蓝球，摸出红球的概率为 ，摸出黄球的概率为
，则摸出红球或蓝球的概率为____ ______.
14. 已知点 与直线 ，则点 关于直线 l 的对称点坐标为_
____.
15. 如图，为测量两座山顶之间的距离 ，已知山高 ，
，从观测点 分别测得 点的仰角
点的仰角 以及 ，则两座山顶之间的
距离 ___ _____ ．
.A .B
.C .D
ABC∆ D BC
.A 6
π
.B 3
π
.C 4
π
.D 5
12
π
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
.A 2 2 120a ,b ,B= = = .B 2 3 45a ,b ,B= = =
.C .D
2 2 2 4 0C : x y x y a+ + − + = A,B AB
( )0 1M ,
a
1A. 2B. 3C. 4D.
P ABCD− PA ⊥ ABCD
ABCD 6AP = AB a= BC
Q PQ ABCD 3
π
a
1A. 2B. 3C. 4D.
0.4
0.2
(1,3)A :l 3 4 0x y+ + = A
MC 5 2BC km=
7 5MN . km= A M 30 ,MAN∠ =
C 45CAB∠ = ° 60MAC∠ = °
MC = km
C
N
A
B
M
（第 15 题）
(第 12 题)16. 如图，三棱锥 中，平面 平面 ，퐶퐷 = 6,∠퐵퐷퐶
= 600，若퐵퐶 = 3퐵퐷，퐴퐶 = 2퐴퐷，
则该三棱锥的体积的最大值为____________.
四、解答题（本大题共 6 小题，计 70 分．应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分 10 分）
已 知 的 内 角 的 对 边 分 别 为 ， 2푐표푠퐴
(푐 푐표푠퐵 + 푏 푐표푠퐶) = 푎
（1）求角 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长.
18. （本小题满分 12 分）
已知矩形 的两条对角线相交于点 ， 边所在直线的方程为
．点 在 边所在直线上.求：
（1） 边所在直线的方程；
（2） 边所在直线的方程．
19. （本小题满分 12 分）
某医院为促进行风建设，拟对医院的服务质量进行量
化考核，每个患者就医后可以对医院进行打分，最高
分为 100 分.上个月该医院对 100 名患者进行了回访调
查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组
，第二组 ，第三组 ，第四组
，第五组 ，得到频率分布直方图，如
图所示．
（1）求所打分数不低于 60 分的患者人数；
（2）该医院在第二、三组患者中按分层抽样的方法抽取 6 名患者进行深入调查，之
后将从这 6 人中随机抽取 2 人聘为医院行风监督员，求行风监督员来自不同组的概
率．
B ACD− BCD ⊥ ACD
ABC∆ A,B,C a,b,c
A
2 3a = ABC∆ 3 ABC∆
ABCD ( )1 0E , AD
2 2 0x y+ + = ( )2 1F ,− AB
AB
CD
[0,20) [20,40) [40,60)
[60,80) [ ]80,100
（第 16 题）20. （本小题满分 12 分）
如图，在直三棱柱 中， ， ，点 为
中点,
连接 、 交于点 ，点 为 中点.
（1）求证：퐸퐹 ∥ 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）求点 到平面 的距离.
21. （本小题满分 12 分）
如图，我炮兵阵地位于 处，两移动观察所分别设于 .
已知 为正三角形.当目标出现于 时，测得
千米， 千米.
（1）若测得 ，求 的面积；
（2）若我方炮火的最远射程为 千米，试问目标 是否
在我方炮火射程范围内？
22.（本小题满分 12 分）
已 知 圆 ， 圆 心 在 直 线 上 ， 且 直 线
被圆 截得的弦长为 .
（1）求圆 的方程；
（2）过圆 上任一点 作圆 的两条切线, 设两切线分别
与 轴交于点 和 ,求线段 长度的取值范围.
1 1 1ABC A B C− 1 2AC BC CC a= = =
2ACB
π∠ = D BC
1AC 1AC E F 1DC
ABC
1ACB ⊥ 1AC D
C 1AC D
A C,D
ACD∆ B 1BC =
2BD =
60DBC∠ = ABC∆
4 B
2 2 2
1 :( ) ( 0)C x a y r r− + = > 1C 2 4 0x y+ + =
3 4 0x y+ + = 1C 2 3
1C
2 2
2 :( 6) 4C x y− + = ( )0 0,Q x y 1C
y M N MN
A
C
B
D2019—2020 学年度第二学期期末检测试题
高一数学参考答案
一、单项选择题
1.A 2.D 3.C 4.B 5.D 6.B 7.C 8.D 9.C
二、多项选择题
10.BD 11.AB 12.ABC
三、填空题
13. 0.8 14. 15. 16.
四、解答题
17. 解（1）由已知及正弦定理得:
…………………2 分
在 中，
…………………3 分
…………………4 分
（2）
…………………6 分
由已知及余弦定理得:
…………………9 分
的周长为 …………………10 分
( 5,1)− 5 7 6 3
( )2cos A sinC cos B sinBcosC sin A+ =
( )2cos Asin B C sin A∴ + =
ABC∆ ( ) ( )sin B C sin A sin Aπ+ = − =
∴ 2cos Asin A sin A=
0sin A ≠
1
2cos A∴ =
( )0C ,π∈
3A
π∴∠ =
1
2ABCS bc sin A∆ =
∴ 1 sin 32 3bc
π =
4bc∴ =
2 212 2b c bccos A= + −
( )212 2 2 cos 3b c bc bc
π∴ = + − −
2 6b c∴ + =
∴ ABC∆ 2 3 2 6+
18. 解（1） 为矩形
边所在的直线方程为：
所在直线的斜率为
…………………2 分
在 边所在直线上．
边所在直线的方程为：
即 .…………………4 分
（2）方法一：
为矩形
设直线 的方程为
.………………6 分
由矩形性质可知点 到 、 的距离相等：
， ……………8 分
解得 或 (舍)． ……………10 分
边所在的直线方程为
…………………12 分
方法二：
由方程 与 联立得
， …………………7 分
关于 的对称点 .………………10 分
， 边所在的直线方程为
.………………12 分
ABCD AD AB∴ ⊥
AD 2 2 0x y+ + =
∴ AB
1
2ABk =
( )2 1F ,− AB
∴ AB ( )11 22y x+ = −
2 4 0x y− − =
ABCD ∴ AB CD
∴ CD
2 0x y m− + =
E AB CD
13
1 4 1 4
m+=
+ +
2m = 4m = −
∴ CD
2 2 0x y− + =
2 4 0x y− − = 2 2 0x y+ + =
( )0 2A ,−
∴ E ( )2 2C ,
AB CD ∴ CD
2 2 0x y− + =19. 解（1）由直方图知，所打分值 的频率为
，………………2 分
人数为 （人）
答：所打分数不低于 60 分的患者的人数为
人． ………………4 分
（2）由直方图知，第二、三组的频率分别为 0.1 和 0.2，则第二、三组人数分别为
10 人和 20 人，所以根据分层抽样的方法，抽出的 6 人中，第二组和第三组的人数
之比为 1:2，则第二组有 2 人，记为 ；第三组有 4 人，记为
. ………………8 分
从中随机抽取 2 人的所有情况如下：
共 15 种 ………10 分
其中，两人来自不同组的情况有： 共 8 种
两人来自不同组的概率为
答：行风监督员来自不同组的概率为 . …………12 分
20. 证明： 直三棱柱 ， 四边形 为平行四边形
为 的中点 为 的中点
又 平面 , 平面 ， 平面 ……………2 分
（2） 四边形 为平行四边形，
平行四边形 为菱形，即 ………………3 分
三棱柱 为直三棱柱
平面
[ )60 100,
0 0175 20 0 0150 20 0 65. . .× + × =
∴ 100 0 65 65.× =
65
,A B
, , ,a b c d
, , , , , , , , , , , , , ,AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd ab ac ad bc bd cd
, , , , , , ,Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd
∴ 8
15
8
15
1 1 1ABC A B C− ∴ 1 1ACC A
E∴ 1AC F 1DC EF AD∴
EF ⊄ ABC AD ⊂ ABC ∴ EF ABC
1 1ACC A 1AC CC=
∴ 1 1ACC A 1 1AC AC⊥
1 1 1ABC A B C−
∴ 1C C ⊥ ABC平面 ,
， ， 平面
平面 .………………5 分
平面
， ， 平面 平面 …… 7
分
平面 平面 平面 …………8 分
（3）法一：（等体积法）连接 ，设点 到平面 的距离为
平面 ， 平面
， 为三棱锥 高
在直角 中， ， .
在直角 中， ，
在直角 中， ， ，
在等腰 中， ， ，
点 到平面 的距离为 ………12 分
方法二：（综合法）作 ，垂足为 ，连接 ，作 ，垂足为 .
平面 ， 平面
， ， 平面
BC ⊂ ABC ∴ 1C C ⊥ BC
2ACB
π∠ = BC AC∴ ⊥
BC 1C C⊥ 1C C AC C= 1 ,C C AC ⊂ 1 1ACC A
BC∴ ⊥ 1 1ACC A
1AC ⊂ 1 1ACC A BC∴ ⊥ 1AC
1 1AC AC⊥ 1BC AC C= ,BC 1AC ⊂ 1ACB 1AC∴ ⊥ 1ACB
1AC ⊂ 1AC D ∴ 1AC D ⊥ 1ACB
DE C 1AC D h
1C C ⊥ ABC CA,CD ⊂ ABC
1 1C C CA,C C CD∴ ⊥ ⊥ 1C C 1C ACD−
1C CA∆ 1 2AC CC a= = 1 2 2AC a∴ =
1C CD∆ 1 2CD a,CC a= = 1 5CD a∴ =
ACD∆ 2CD a,AC a= = 5AD a∴ = 2
ACDS a∆∴ =
1AC D∆ 1 15 2 2DA DC a,AC a= = = 3DE a∴ =
1
26DACS a∆∴ =
1 1C ACD C AC DV V− −= 11
1 1
3 3ACD AC DC C S h S∆ ∆∴ × × = × ×
2
2
2 6
36
a ah a
a
×= =
∴ C 1AC D 6
3 a
CG AD⊥ G 1C G 1CH C G⊥ H
1C C ⊥ ABC AD ⊂ ABC
1C C AD∴ ⊥
CG AD⊥ 1CG C C C= 1CG,C C ⊂ 1C CG平面
平面
， ， 平面
平面 即 为点 到平面 的距离 ……10 分
在直角 中， ；在直角 中， ，
点 到平面 的距离为 .………………12 分
21. 解（1）在 中，根据余弦定理得： ，
…………2 分
………4 分
（2）设
在 中， ，
………………6
分
在 中，
………8 分
（当且仅当 时， 取到最大值） …………10 分
AD∴ ⊥ 1C CG
CH ⊂ 1C CG
AD CH∴ ⊥
1CH C G⊥ 1AD C G G= 1C G,AD ⊂ 1AC D
CH∴ ⊥ 1AC D CH C 1AC D
ACD∆ 2
5
aCG = 1C CG∆ 1
22
5
aC C a,CG= =
1
1
22 65
324
5
aaC C CGCH aC G a
××∴ = = =
∴ C 1AC D 6
3 a
BCD∆ 2 2 2 2CD BC BD BD BC cos DBC= + − ⋅ ⋅ ∠
2 1 4 2 3CD∴ = + − =
2 2 2BD CD BC= + 2BCD
π∴∠ =
1 31 32 2 3 4ABCS sin
π π
∆
∴ = × × × + =
CBD , CDBα β∠ = ∠ =
BCD∆ 2 5 4CD cosα= − 1 CD AD sin sinsin sin
β αβ α= ⇒ =
ABD∆ 2 2 2 2 3AB BD AD BD ADcos
πβ = + − ⋅ +
9 4 2 2 3cos ADcos AD sinα β β= − − + 29 4 2 1 2 3cos AD sin sinα β α= − − − +
2 29 4 2 2 3cos AD sin sinα α α= − − − + ( )9 4 2 2 2 3cos cos sinα α α= − − − +
5 4 96sin
πα = + − ≤
2
3
πα = AB∴ ,在射程范围内.
答：目标 B 在我方炮火射程范围内. ……12 分
22. 解（1） 圆心 在直线 上
……1 分
圆心 到直线 的距离
直线 被圆 截得的弦长为 ，即 ………3 分
圆 的方程 ………………4 分
（2）设过点 的圆 的切线方程为 ，则 ，
整理、化简成关于 的方程 ，①
判别式 ，
. …………8 分
直线 与 轴的交点为
设 ，则 ，而 是方程①的两根，则
，又 ，
. …………10 分
令 ，
由于函数 在区间 是单调递减，所以 ，
max 3AB = 4<
( )1 ,0C a 2 4 0x y+ + =
2a∴ = −
1C 3 4 0x y+ + = 2 4 1
1 3
d
− += =
+
∴ 3 4 0x y+ + = 1C 22 3 2 1r= − 2r =
∴ 1C 2 2( 2) 4x y+ + =
Q 1C ( )0 0y k x x y= − + 0 0
2
2 2
1
k kx y
k
− − + =
+
k ( ) ( )2 2 2
0 0 0 0 0 04 4 2 4 0x x k y x y k y+ − + + − =
( ) ( )( )2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 04 2 4 4 4 16 16 64y x y y x x x y x∆ = + − − + = + +
( )
2 2
0 0 0 0 0 0
2
0 0
4 2 16 16 64
2 4
y x y x y xk
x x
+ ± + +∴ =
+
( )0 0y y k x x− = − y ( )0 00, y kx−
( ) ( )0 1 0 0 2 00, , 0,M y k x N y k x− − 2 1 0MN k k x= − 2 1,k k
2 2
0 0 0
2 1 0
0
4 4
4
x y xMN k k x x
+ += − = + ( )2 2
0 06 4x y− + =
[ ]( )0 0
0
0 0
4 16 32 16 2| | 4,84 4
x xMN xx x
− −∴ = = ∈+ +
( )0 2 2, 6x t t − = ∈ 2
16 16| | 66
tMN t t t
= =+ +
6t t
+ 2, 6 max min
4| | 6,| | 2 23MN MN= = …………12 分42 2, 63MN ∴ ∈
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