高一数学阶段检测题
一、单选题（每题 5 分，共 40 分）
1．下列条件中，能判断平面 α 与平面 β 平行的是（ ）
A．α 内有无穷多条直线都与 β 平行
B．α 与 β 同时平行于同一条直线
C．α 与 β 同时垂直于同一条直线
D．α 与 β 同时垂直于同一个平面
2．某中学高一年级共有学生 1200 人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容
量为 80 的样本，若样本中共有男生 42 人，则该校高一年级共有女生（ ）
A．630 B．615 C．600 D．570
3．已知某种产品的合格率是 90%，合格品中的一级品率是 20%．则这种产品的一级品率为（ ）
A．18% B．19% C．20% D．21%
4．PM2.5 是空气质量的一个重要指标，我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM2.5
日均值在 35μg/m3 以下空气质量为一级，在 35μg/m3～75μg/m3 之间空气质量为二级，在 75μg/m 3
以上空气质量为超标．如图是某地 11 月 1 日到 10 日 PM2.5 日均值（单位：μg/m3）的统计数据，
则下列叙述不正确的是（ ）
A．从 5 日到 9 日，PM2.5 日均值逐渐降低
B．这 10 天的 PM2.5 日均值的中位数是 45C．这 10 天中 PM2.5 日均值的平均数是 49.3
D．从这 10 天的日均 PM2.5 监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是
5．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱
的五面体．如图，五面体 ABCDEF 是一个刍甍，其中△BCF 是正三角形，AB＝2BC＝2EF，则以
下两个结论：①AB∥EF；②BF⊥ED （ ）
A．①和②都不成立 B．①成立，但②不成立
C．①不成立，但②成立 D．①和②都成立
6．20．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”，事件 B 表示“不小
于 5 的点数出现”，则一次试验中，事件 A 或事件 B 至少有一个发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
7. 现对 A，B 有如下观测数据
A 3 4 5 6 7
B 16 15 13 14 17
记本次测试中，A，B 两组数据的平均成绩分别为，，A，B 两班学生成绩的方差分别为 S A2，SB2，
则（ ）
A．，SA2＜SB2 B．，SA2＜SB2
C．，SA2＝SB2 D．，SA2＝SB2
8．如图，PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于 A，B 的任意一点，AE⊥PC 垂足为
E，点 F 是 PB 上一点，则下列判断中不正确的是（ ）
2
5A．BC⊥平面 PAC B．AC⊥PB
C．AE⊥EF D．平面 AEF⊥平面 PBC
二 、多选题：（每题 5 分，全对得 5 分，选不全得 3 分，选错得 0 分，共 20 分）
9．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
10．某特长班有男生和女生各 10 人，统计他们的身高，其数据（单位：cm）如下面的茎叶图所示，
则下列结论正确的是（ ）
A．女生身高的极差为 12 B．男生身高的均值较大
C．女生身高的中位数为 165 D．男生身高的方差较小
11．下列四个正方体图形中，A、B 为正方体的两 个顶点，M、N、P 分别为其所
在棱的中点，能得出 AB∥平面 MNP 的图形是（ ）A． B．
C． D．
12．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，∠DAB＝60°，侧面 PAD 为正三角形，且
平面 PAD⊥平面 ABCD，则下列说法正确的是（ ）
A．在棱 AD 上存在点 M，使 AD⊥平面 PMB
B．异面直线 AD 与 PB 所成的角为 90°
C．BD⊥平面 PAC
D．二面角 P﹣BC﹣A 的大小为 45°
三、填空题：（每题 5 分，第 15 题第一空 2 分，第二空 3 分）
13．已知三个事件 A，B，C 两两互斥且 P（A）＝0.3，P（）＝0.6，P（C）＝0.2，
则 P（A∪B∪C）＝ ．
14．如图，在长方体 ABCD－A1 B1C1D1 中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为________.
15．某校为了普及“一带一路“知识，举行了一次知识竞赛，满分 10 分，有 10 名同学代表班级参
加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这 10 名同学得分情况如折线图所示，则这 10
名同学成绩的极差为 ，80%分位数是 ．
16．在四棱锥 S﹣ABCD 中，底面四边形 ABCD 为矩形，SA⊥平面 ABCD，P，Q 别是线段 BS，AD
的中点，点 R 在线段 SD 上．若 AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则 AR＝ ．
四、解答题（6 题，共 70 分）
17．（10 分）为了了解某校初三年级 500 名学生的体质情况，随机抽查了 10 名学生，测试 1min 仰
卧起坐的成绩（次数），测试成绩如下：
30 35 42 33 34 36 34 37 29 40
（1）这 10 名学生的平均成绩 是多少？标准差 s 是多少？
（2）次数位于 与 之间有多少名同学？所占的百分比是多少？（参考数据：3.82≈14.6）18.（12 分）某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课
的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试．全学年共 1500 人，现从中抽取了 100 人的数学成
绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）．已知这 100 人中[110，120）分数段的人数比[100，
110）分数段的人数多 6 人．
（1）根据频率分布直方图，求 a，b 的值，并估计抽取的 100 名同学数学成绩的中位数；（中位
数保留两位小数）
（2）现用分层抽样的方法从分数在[130，140），[140，150]的两组同学中随机抽取 6 名同学，从
这 6 名同学中再任选 2 名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这 2 名同学的分数不在同
一组内的概率．
19．（12 分）国家射击队的某队员射击一次，命中 7～10 环的概率如表所示：
命中环数 10 环 9 环 8 环 7 环
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
求该射击队员射击一次
求（1）射中 9 环或 10 环的概率；（2）至少命中 8 环的概率；
（3）命中不足 8 环的概率．
20．（12 分）如图，四棱锥 S﹣ABCD 的侧面 SAD 是正三角形，AB∥CD，且 AB⊥AD，AB＝2CD＝
4，E 是 SB 中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面 SAD；
（Ⅱ）若平面 SAD⊥平面 ABCD，且 ，求多面体 SACE 的体积．
21．（12 分）将一颗骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，事件 A：“两数之和为 8”，事件 B：“两
数之和是 3 的倍数”，事件 C：“两个数均为偶数”．
（Ⅰ）写出该试验的基本事件空间 Ω，并求事件 A 发生的概率；
（Ⅱ）求事件 B 发生的概率；
（Ⅲ）事件 A 与事件 C 至少有一个发生的概率．
22．（12 分）如图 1，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E 是 BC 的中点．将
△ABE 沿 AE 折起后如图 2，使二面角 B﹣AE﹣C 成直二面角，设 F 是 CD 的中点，P 是棱 BC 的
中点．
（1）求证：AE⊥BD；
（2）求证：平面 PEF⊥平面 AECD；
（3）判断 DE 能否垂直于平面 ABC，并说明理由．高一数学阶段检测题答案
1.【解答】解：对于 A，若 α 内有无穷多条平行的直线与 β 平行，则不能说明 α 平行 β；
对于 B，平行于同一条直线的两个平面可能不平行，还可以相交；
对于 C，垂直于同一条直线的两平面平行；
对于 D，垂直于同一平面的两个平面不一定平行，还可以垂直．
综上，选项 C 正确．
故选：C．
2. 【解答】解：高一年级共有学生 1200 人，
按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 80 的样本，
样本中共有男生 42 人，
则高一年级的女生人数约为：1200× ＝570．
故选：D．
3. 【解答】解：一级品率是在合格品条件下发生，故这种产品的一级品率为 90%×20%＝
18%．
故答案为：18%．
故选：A．
4. 【解析】由图表可知，选项 A，C，D 正确，
对于选项 B，这 10 天的 PM2.5 日均值的中位数是 47，
故 B 错误，
故选：B．
5. 【解答】解：∵AB∥CD，CD 在平面 CDEF 内，AB 不在平面 CDEF 内，∴AB∥平面 CDEF，
又 EF 在平面 CDEF 内，
由 AB 在平面 ABFE 内，且平面 ABFE∩平面 CDEF＝EF，
∴AB∥EF，故①对；
如图，取 CD 中点 G，连接 BG，FG，由 AB＝CD＝2EF，易知 DE∥GF，且 DE＝GF，
不妨设 EF＝1，则 ，
假设 BF⊥ED，则 BF2+FG2＝BG2，即 1+FG2＝2，即 FG＝1，但 FG 的长度不定，故假设不一定
成立，即②不一定成立．
故选：B．
6. 【解答】解：事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”，事件 B 表示“不小于 5 的点数出现”，
∴P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，
又小于 5 的偶数点有 2 和 4，不小于 5 的点数有 5 和 6，
所以事件 A 和事件 B 为互斥事件，
则一次试验中，事件 A 或事件 B 至少有一个发生的概率为
P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝ + ＝ ，
故选：A．
7. 【解析】根据表中数据，计算 A 组数据的平均值为（3+4+5+6+7）＝5，计算 B 组数据的平均数为（16+15+13+14+17）＝15，
A 组数据的方差为 SA2[（3﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]＝2，
B 组数据的方差为 SB2[（16﹣15）2+（15﹣15）2+（13﹣15）2+（14﹣15）2+（17﹣15）2]＝2；
所以，．
8. 【解答】解：在 A 中，∵C 为圆上异于 A，B 的任意一点，
∴BC⊥AC，
∵PA⊥BC，PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面 PAC，
故 A 正确；
在 B 中∴若 AC⊥PB，
则 AC⊥平面 PBC，
则 AC⊥PC，与 AC⊥PA 矛盾，
故 AC 与 PB 不垂直，
故 B 错误；
在 C 中，∵BC⊥平面 PAC，AE⊂平面 PAC，
∴BC⊥AE，
∵AE⊥PC，PC∩BC＝C，
∴AE⊥平面 PBC，
∵EF⊂平面 PBC，
∴AE⊥EF，故 C 正确；
在 D 中，∵AE⊥平面 PBC，AE⊂面 AEF，
∴平面 AEF⊥平面 PBC，
故 D 正确．
故选：B．
9. 【解析】”至少有一个黑球“中包含“都是黑球，A 正确；
“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B 正确；
“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C 不正确；
“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D 不正确．
故选：AB．
10.【解析】A、找出所求数据中最大的值 173，最小值 161，再代入公式求值极差＝173﹣161＝
12，故本选项符合题意；
B、男生身高的数据在 167～192 之间，女生身高数据在 161～173 之间，所以男生身高的均值较
大，故本选项符合题意；
C、抽取的 10 名女生中，身高数据从小到大排列后，排在中间的两个数为 165 和 167，所以中位
数是 166，故本选项不符合题意；
D、抽取的学生中，男生身高的数据在 167～192 之间，女生身高数据在 161～173 之间，男生身高数据波动性大，所以方差较大，故本选项不符合题意．
故选：AB．
11. 【解析】在 A 中，连接 AC，则 AC∥MN，由正方体性质得到平面 MNP∥平面 ABC，
∴AB∥平面 MNP，故 A 成立；
B 若下底面中心为 O，则 NO∥AB，NO∩面 MNP＝N，
∴AB 与面 MNP 不平行，故 B 不成立；
C 过 M 作 ME∥AB，则 E 是中点，
则 ME 与平面 PMN 相交，则 AB 与平面 MNP 相交，
∴AB 与面 MNP 不平行，故 C 不成立；D 连接 CE，则 AB∥CE，NP∥CD，则 AB∥PN，∴AB∥平面 MNP，故 D 成立．
故选：AD．
12. 【解答】解：如图所示，A．取 AD 的中点 M，连接 PM，BM，连接对角线 AC，BD 相较于
点 O．
∵侧面 PAD 为正三角形，∴PM⊥AD．又底面 ABCD 为菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD 是等边
三角形．
∴AD⊥BM．又 PM∩BM＝M．∴AD⊥平面 PMB，因此 A 正确．
B．由 A 可得：AD⊥平面 PMB，∴AD⊥PB，∴异面直线 AD 与 PB 所成的角为 90°，正确．
C．∵BD 与 PA 不垂直，∴BD 与平面 PAC 不不垂直，因此 C 错误．
D．∵平面 PBC∩平面 ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面 PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM．
∴∠PBM 是二面角 P﹣BC﹣A 的平面角，设 AB＝1，则 BM＝ ＝PM，在 Rt△PBM 中，tan∠
PBM＝ ＝1，∴∠PBM＝45°，因此正确．
故选：ABD．
13. 【解析】三个事件A，B，C 两两互斥，
P（）＝0.6，可得 P（B）＝1﹣0.6＝0.4，
则 P（A∪B∪C）＝P（A）+P（B）+P（C）＝0.3+0.4+0.2＝0.9．
故答案为：0.9．14. 【解析】连接 A1C1，则∠AC1A1 为 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成的角.
因为 AB＝BC＝2，所以 A1C1＝AC＝2 ，
又 AA1＝1，所以 AC1＝3，
所以 sin∠AC1A1＝ ＝ .
15. 【解答】解：由题意知，
数据 3，6，6，6，6，6，7，8，9，10 的极差是 10﹣3＝7；
所以数据 3，6，6，6，6，6，7，8，9，10 的 80%分位数是 ＝8.5．
故答案为：7，8.5．
16. 【解答】解：取 SA 的中点 E，连接 PE，QE．
∵SA⊥平面 ABCD，AB⊂平面 ABCD，∴SA⊥AB，
而 AB⊥AD，AD∩SA＝A，∴AB⊥平面 SAD，故 PE⊥平面 SAD，
又 AR⊂平面 SAD，∴PE⊥AR．
又∵AR⊥PQ，PE∩PQ＝P，∴AR⊥平面 PEQ，
∵EQ⊂平面 PEQ，∴AR⊥EQ．
∵E，Q 分别为 SA，AD 的中点，∴EQ∥SD，则 AR⊥SD，
在直角三角形 ASD 中，AS＝4，AD＝2，可求得 ．
由等面积法可得 ．
故答案为：
17. 【解答】解：（1）10 名学生的平均成绩为：
2
1
1
AA
AC
1
3．
方差： ，
即标准差 ．
（2） ， ，
所以次数位于 与 之间的有 6 位同学，
所占的百分比是 ．
18. 【解答】（1）依题意 a+b＝0.046，1000（b﹣a）＝6，
解得 a＝0.020，b＝0.026，
中位数为 ≈112.31．
（2）设“抽取的 2 名同学的分数不在同一组内”为事件 A
由题意知，在分数为[130，140）的同学中抽取 4 人，分别用 a1，a2，a3，a4 表示，
在分数为[140，150]的同学中抽取 2 人，分别用 b1，b2 表示，
从这 6 名同学中抽取 2 人所有可能出现的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），
（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），
（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）共 15 种，
抽取的 2 名同学的分数不在同一组内的结果有：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），
（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2）共 8 种，
所以 ，抽取的 2 名同学的分数不在同一组内的概率为 ．
19. 【解答】：记事件“射击一次，命中 k 环”为 Ak（k∈N，k≤10），则事件 Ak 彼此互斥．﹣﹣
（2 分）（1）记“射击一次，射中 9 环或 10 环”为事件 A，那么当 A9，A10 之一发生时，事件 A 发生，
由互斥事件的加法公式得
P（A）＝P（A9）+P（A10）＝0.32+0.28＝0.60﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5 分）
（2）设“射击一次，至少命中 8 环”的事件为 B，那么当 A8，A9，A10 之一发生时，事件 B 发
生．由互斥事件概率的加法公式得
P（B）＝P（A8）+P（A9）+P（A10）＝0.18+0.28+0.32＝0.78﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9
分）
（3）由于事件“射击一次，命中不足 8 环”是事件 B：“射击一次，至少命中 8 环”的对立事件：
即 表示事件“射击一次，命中不足 8 环”，根据对立事件的概率公式得
P（ ）＝1﹣P（B）＝1﹣0.78＝0.22﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（12 分）
20. 【解答】解：（Ⅰ）取 SA 的中点 F，连接 EF，
因为 E 是 SB 中点，
所以 EF∥AB，且 AB＝2EF，
又因为 AB∥CD，AB＝2CD，
所以 EF∥DC，EF＝DC，
即四边形 EFDC 是平行四边形，
所以 EC∥FD，又因为 EC⊄平面 SAD，FD⊂平面 SAD，
所以 CE∥平面 SAD；
（Ⅱ）取 AD 中点 G，连接 SG，
因为 SAD 是正三角形，所以 SG⊥AD，
因为平面 SAD⊥平面 ABCD，且交线为 AD，
所以 SG⊥平面 ABCD，
因为 AB⊥AD，所以 AB⊥平面 SAD，
所以 AB⊥SA，
故 ， ，
因为 E 是 SB 中点，所以点 E 到平面 ABCD 的距离等于 ，
所以多面体 SACE 的体积为：
VSACE＝VS﹣ABCD﹣VS﹣ACD﹣VE﹣ABC
＝
＝
＝ ．
21. 【解答】解：（I）将一颗骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，
Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共有 36 个基本事件，
事件 A：“两数之和为 8”，事件 A 包含的基本事件有：
（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），共 5 个基本事件，
∴事件 A 发生的概率为 P（A）＝ ．
（II）事件 B：“两数之和是 3 的倍数”，
事件 B 包含的基本事件有 12 个，分别为：
（1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（4，2），（4，5），（5，1），（5，4），（6，
3），（6，6），
∴事件 B 发生的概率 P（B）＝ ＝ ．
（III）事件 A 与事件 C 至少有一个发生包含的基本事件有 11 个，分别为：
（2，2），（2，4），（2，6），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，3），（6，2），（6，4），（6，
6），
∴事件 A 与事件 C 至少有一个发生的概率为 P（A∪C）＝ ．：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发
22. 【解答】（1）证明：设 AE 中点为 M，连接 BM，
∵在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E 是 BC 的中点，∴△ABE 与△ADE
都是等边三角形．
∴BM⊥AE，DM⊥AE．
∵BM∩DM＝M，BM、DM⊂平面 BDM，
∴AE⊥平面 BDM．
∵BD⊂平面 BDM，∴AE⊥BD．（2）证明：连接 CM 交 EF 于点 N，∵ME∥FC，ME＝FC，∴四边形 MECF 是平行四边形，∴N
是线段 CM 的中点．
∵P 是 BC 的中点，∴PN∥BM．
∵BM⊥平面 AECD，∴PN⊥平面 AECD．
又∵PN⊂平面 PEF，
∴平面 PEF⊥平面 AECD．
（3）解：DE 与平面 ABC 不垂直．
证明：假设 DE⊥平面 ABC，则 DE⊥AB，∵BM⊥平面 AECD，∴BM⊥DE．
∵AB∩BM＝B，AB、BM⊂平面 ABE，∴DE⊥平面 ABE．
∵AE⊂平面 ABE，∴DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾．
∴DE 与平面 ABC 不垂直．
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